2024年初中升學考試專題復習數(shù)學總復習（按知識點分類）切線的性質

切線的性質39．（2023?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D在斜邊AB上，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，與AC相交于點F，連接DE．若AC＝8，BC＝6，則DE的長是（）A．4109 B．8109 C．【考點】切線的性質；勾股定理．【分析】首先求出AB＝10，先證△BOE和△BAC相似，由相似三角形的性質可求出OE，BE的長，進而可求出CE的長和AE的長，然后再證△BDE和△BEA相似，最后利用相似三角形的性質即可求出DE．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得：AB=A連接AE，OE，設☉O的半徑為r，則OA＝OE＝r，∴OB＝AB﹣OA＝10﹣r，∵BC與半圓相切，∴OE⊥BC，∵∠C＝90°，即AC⊥BC，∴OE∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴BEBC即：BE6由10?r10=r由BE6=10?r∴CE=BC?BE=6?10在Rt△ACE中，AC＝8，CE=8由勾股定理得：AE=A∵BE為半圓的切線，∴∠BED＝∠BAE，又∠DBE＝∠EBA，∴△BDE∽△BEA，∴BEAB∴DE?AB＝BE?AE，即：DE×10=10∴DE=8故選：B．【點評】此題主要考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，弦切角定理，勾股定理等知識點，解答此題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法，靈活運用相似三角形的性質和勾股定理進行計算．切線的性質46．（2023?眉山）如圖，AB切⊙O于點B，連結OA交⊙O于點C，BD∥OA交⊙O于點D，連結CD，若∠OCD＝25°，則∠A的度數(shù)為（）A．25° B．35° C．40° D．45°【考點】切線的性質；圓周角定理．【分析】連接OB，由切線的性質得到∠ABO＝90°，由平行線的性質得到∠D＝∠OCD＝25°，由圓周角定理得出∠O＝2∠D＝50°，因此∠A＝90°﹣∠O＝40°．【解答】解：連接OB，∵AB切⊙O于B，∴半徑OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵BD∥OA，∴∠D＝∠OCD＝25°，∴∠O＝2∠D＝50°，∴∠A＝90°﹣∠O＝40°．故選：C．【點評】本題考查切線的性質，圓周角定理，關鍵是由圓周角定理得到∠O＝2∠D，由切線的性質定理得到∠ABO＝90°，由直角三角形的性質即可求出∠A的度數(shù)．切線的性質42．（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考點】切線的性質．【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質得到∠OCD＝90°，求得∠ACO＝40°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠A＝∠ACO＝40°．【解答】解：連接OC，∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠OCD＝90°，∵∠ACD＝50°，∴∠ACO＝90°﹣50°＝40°，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°，故選：B．【點評】本題考查了切線的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．43．（2023?重慶）如圖，AC是⊙O的切線，B為切點，連接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝23，BC＝3，則OC的長度是（）A．3 B．23 C．13 【考點】切線的性質．【分析】根據(jù)切線的性質得到OB⊥AC，求得∠ABO＝∠CBO＝90°，得到OB=33【解答】解：連接OB，∵AC是⊙O的切線，∴OB⊥AC，∴∠ABO＝∠CBO＝90°，∵∠A＝30°，AB＝23，∴OB=33∵BC＝3，∴OC=B故選：C．【點評】本題考查了切線的性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．切線的性質30．（2023?瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝210，⊙O的弦CD⊥AB于點E，CD＝6．過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點F，連接BC．（1）求證：BC平分∠DCF；（2）G為AD上一點，連接CG交AB于點H，若CH＝3GH，求BH的長．【考點】切線的性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質得到OC⊥CF，即∠OCF＝90°，根據(jù)直角三角形的性質得到CE＝DE=12CD＝3，∠BEC＝90°，求得∠BCE+∠OBC＝90°，等量代換得到∠BCE＝∠BCF，根據(jù)角平分線的定義得到BC平分∠（2）連接OC，OG，過G作GM⊥AB于M，根據(jù)圓周角定理CD⊥AB，得到CE=12CD＝3，OC＝OG=12AB=10，根據(jù)勾股定理得到OE=OC2?CE2【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵CF是⊙O的切線，點C是切點，∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∵CD⊥AB，AB是直徑，∴CE＝DE=12CD＝3，∠∴∠BCE+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCE＝∠BCF，即BC平分∠DCF；（2）解：連接OC，OG，過G作GM⊥AB于M，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE=12CD＝3，OC＝OG=1∴OE=O∵GM⊥AB，CD⊥AB，∴CE∥GM，∴△GMH∽△CEH，∴GHCH∵CH＝3GH，∴13∴GM＝1，設MH＝x，則HE＝3x，∴HO＝3x﹣1．OM＝4x﹣1，在Rt△OGM中，OM2+GM2＝OG2，∴（4x﹣1）2+12＝（10）2，解得x＝1（負值舍去），∴BH＝OH+OB＝3×1﹣1+10=2【點評】本題考查了切線的性質，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握各定理是解題的關鍵．31．（2023?南充）如圖，AB與⊙O相切于點A，半徑OC∥AB，BC與⊙O相交于點D，連接AD．（1）求證：∠OCA＝∠ADC；（2）若AD＝2，tanB=13，求【考點】切線的性質；解直角三角形；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有【分析】（1）連接OA交BC于點F，根據(jù)切線的性質和圓周角定理得∠ADC=12∠（2）過點A作AE⊥BC于點E，得△ADE是等腰直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：連接OA交BC于點F，∵AB是⊙O的切線，∴∠OAB＝90°，∵OC∥AB，∴∠AOC＝∠OAB＝90°，∵CO＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠ADC=12∠∴∠OCA＝∠ADC；（2）解：過點A作AE⊥BC于點E，∵∠ADE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE=22AD∵tanB=AE∴BE＝3AE＝32，∴AB=BE2在Rt△ABF中，tanB=AF∴AF=13AB∵OC∥AB，∴∠OCF＝∠B，∴tan∠OCF=OF設OC＝r，則OF＝OA﹣AF＝r?2∴3（r?253解得r=5∴OC=5【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑．切線的性質41．（2023?邵陽）如圖，AD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，BC與⊙O相切于點B，連接OB，若∠ABC＝65°，則∠BOD的大小為50°．【答案】50°．【分析】利用圓的切線的性質定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質和圓周角定理解答即可．【解答】解：∵BC與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°．∵∠ABC＝65°，∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°．∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAB＝50°．故答案為：50°．【點評】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，圓的切線的性質定理，熟練掌握圓的有關性質是解題的關鍵．42．（2023?濱州）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為62°或118°．【答案】62°或118°．【分析】由切線的性質求得∠PAO＝∠PBO＝90°，由多邊形內角和定理求得∠AOB＝124°，根據(jù)圓周角定理即可求得答案．【解答】解：如圖，連接CA，BC，∵PA、PB切⊙O于點A、B，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠AOB+∠PAO+∠PBO+∠APB，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣56°＝124°，由圓周角定理知，∠ACB=12∠當點C在劣弧AB上時，由圓內接四邊形的性質得∠ACB＝118°，故答案為：62°或118°．【點評】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握相關定理是解決問題的關鍵．43．（2023?廣元）如圖，∠ACB＝45°，半徑為2的⊙O與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設t＝PE+2PF，則t的取值范圍是22≤t≤4+22【答案】22≤t≤4+22【分析】設半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，ON，延長NO交CB于D，求得∠CND＝∠OMD＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到∠CDN＝45°，求得OD＝22，得到CN＝DN＝2+22，如圖1，延長EP交BC于Q，推出△ECQ與△PFQ是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到CE＝EQ，F(xiàn)Q=2PF，求得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ，當EQ與⊙O相切且點P在圓心的右側時，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，根據(jù)正方形的性質得到EN＝OP＝2，求得t＝4+22；如圖2，當EQ與⊙O相切且點P在圓心的，左側時，t有最小值，同理可得t＝2【解答】解：設半徑為2的⊙O與角的兩邊相切于M，N，連接OM，ON，延長NO交CB于D，∴∠CND＝∠OMD＝90°，∵∠ACB＝45°，∴△CND是等腰直角三角形，∴∠CDN＝45°，∵ON＝OM＝2，∴OD＝22，∴CN＝DN＝2+22，如圖1，延長EP交BC于Q，∵EQ⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEQ＝∠PFQ＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠EQC＝45°，∴△ECQ與△PFQ是等腰直角三角形，∴CE＝EQ，F(xiàn)Q=2PF∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ當EQ與⊙O相切且點P在圓心的右側時，t有最大值，連接OP，則四邊形ENOP是正方形，∴EN＝OP＝2，∴t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN+EN＝2+22+2=4+2如圖2，當EQ與⊙O相切且點P在圓心的，左側時，t有最小值，同理可得t＝PE+2PF＝PE+FQ＝EQ＝CE＝CN﹣EN＝22故t的取值范圍是22≤t≤4+22故答案為：22≤t≤4+22【點評】本題考查了切線的性質，等腰直角三角形的判定和性質，正方形的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵．切線的性質37．（2023?福建）如圖，已知△ABC內接于⊙O，CO的延長線交AB于點D，交⊙O于點E，交⊙O的切線AF于點F，且AF∥BC．（1）求證：AO∥BE；（2）求證：AO平分∠BAC．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)切線的性質得到AF⊥OA，求得∠OAF＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠CBE＝90°，求得∠OAF＝∠CBE，根據(jù)平行線的性質得到∠BAF＝∠ABC，于是得到∠OAB＝∠ABE，根據(jù)平行線的判定定理即可得到AO∥BE；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ABE＝∠ACE，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠ACE＝∠OAC，等量代換得到∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論．【解答】證明：（1）∵AF是⊙O的切線，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直徑，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE與∠ACE都是EA所對的圓周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．【點評】本題考查了切線的性質，角平分線的定義、平行線的判定與性質、等腰三角形的性質、熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．切線的性質33．（2023?紹興）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線CD，交AB的延長線于點D，過點A作AE⊥CD于點E．（1）若∠EAC＝25°，求∠ACD的度數(shù)；（2）若OB＝2，BD＝1，求CE的長．【答案】（1）115°；（2）25【分析】（1）由垂直的定義得到∠AEC＝90°，由三角形外角的性質即可求出∠ACD的度數(shù)；（2）由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理得到CDCE=OD【解答】解：（1）∵AE⊥CD于點E，∴∠AEC＝90°∴∠ACD＝∠AEC+∠EAC＝90°+25°＝115°；（2）∵CD是⊙O的切線，∴半徑OC⊥DE，∴∠OCD＝90°，∵OC＝OB＝2，BD＝1，∴OD＝OB+BD＝3，∴CD=O∵∠OCD＝∠AEC＝90°，∴OC∥AE，∴CDCE∴5CE∴CE=2【點評】本題考查切線的性質，垂線，平行線分線段成比例，勾股定理，三角形外角的性質，關鍵是由三角形外角的性質求出∠ACD的度數(shù)，由勾股定理求出CD的長，由平行線分線段成比例定理即可求出CE的長．34．（2023?廣元）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，連接AC，BC，過點C作⊙O的切線交AB延長線于點D，OF⊥BC于點E，交CD于點F．?（1）求證：∠BCD＝∠BOE；（2）若sin∠CAB=35，AB＝10，求【答案】（1）見解析；（2）BD的長為907【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質得到∠OCD＝90°，求得∠OCB+∠BCD＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OCB＝∠OBC，等量代換得到∠BCD＝∠BOE；（2）過B作BH⊥CD于H，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC＝6，根據(jù)平行線的性質得到∠BOE＝∠CAB，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BH=18【解答】（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°，∴∠OCB+∠BCD＝90°，∵OF⊥BC，∴∠BEO＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD＝∠BOE；（2）解：過B作BH⊥CD于H，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵sin∠CAB=BCAB=∴BC＝6，∵OF⊥BC，∴AC∥OF，∴∠BOE＝∠CAB，∵∠BCD＝∠BOE，∴∠BAC＝∠BCD，∴sin∠CAB＝sin∠DCB=BH∴BH=18∵OC⊥CD，BH⊥CD，∴BH∥OC，∴△BDH∽△ODC，∴BHOC∴185解得BD=90故BD的長為907【點評】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，三角函數(shù)的定義，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．切線的性質42．（2023?天津）在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為D，∠AOC＝60°，E為弦AB所對的優(yōu)弧上一點．（1）如圖①，求∠AOB和∠CEB的大小；（2）如圖②，CE與AB相交于點F，EF＝EB，過點E作⊙O的切線，與CO的延長線相交于點G，若OA＝3，求EG的長．【答案】（1）120°，30°；（2）3．【分析】（1）由垂徑定理得到AC=BC，因此∠BOC＝∠AOC＝60°，得到∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，由圓周角定理即可求出∠（2）由垂徑定理，圓周角定理求出∠CEB的度數(shù)，得到∠C的度數(shù)，由三角形外角的性質求出∠EOG的度數(shù)，由銳角的正切定義即可求出EG的長．【解答】解：（1）∵半徑OC垂直于弦AB，∴AC=∴∠BOC＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，∵∠CEB=12∠∴∠CEB＝30°；（2）如圖，連接OE，∵半徑OC⊥AB，∵AC=∴∠CEB=12∠∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠B＝75°，∴∠DFC＝∠EFB＝75°，∴?∠DCF＝90°﹣∠DFC∵OE＝OC，∴∠C＝∠OEC＝15°，∴∠EOG＝∠C+∠OEC＝30°，∵GE切圓于E，∴∠OEG＝90°，∴tan∠EOG=EG∵OE＝OA＝3，∴EG=3【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解直角三角形，三角形外角的性質，關鍵是由圓周角定理，等腰三角形的性質求出∠C＝15°，由三角形外的性質求出∠EOG的度數(shù)，由銳角的正切定義即可求出EG的長．43．（2023?湖北）如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE是⊙O的切線，且DE⊥AC，垂足為E，延長CA交⊙O于點F．（1）求證：AB＝AC；（2）若AE＝3，DE＝6，求AF的長．【答案】（1）證明見解析；（2）9．【分析】（1）連接OD，由切線的性質得到半徑OD⊥DE，又DE⊥AC，因此OD∥AC，推出∠C＝∠ODB，由等腰三角形的性質得到∠B＝∠ODB，故∠B＝∠C，即可證明AB＝AC；（2）連接DF，DA，由圓周角定理得到∠F＝∠B，而∠B＝∠C，得到∠F＝∠C，推出DF＝DC，因此CE＝FE，由△DAE∽△CDE，得到DE：CE＝AE：DE，即可求出CE＝12，于是得到AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【解答】（1）證明：連接OD，∵DE是⊙O的切線，∴半徑OD⊥DE，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：連接DF，DA，∵∠F＝∠B，∠B＝∠C，∴∠F＝∠C，∴DF＝DC，∵DE⊥CF，∴FE＝EC，∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∵DE⊥AC，∴∠C+∠CDE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∵∠AED＝∠CDE＝90°，∴△DAE∽△CDE，∴DE：CE＝AE：DE，∵AE＝3，DE＝6，∴6：CE＝3：6，∴CE＝12，∴EF＝EC＝12，∴AF＝EF﹣AE＝12﹣3＝9．【點評】本題考查切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，關鍵是由切線的性質推出OD∥AC；由等腰三角形的性質得到EF＝CE，由△DAE∽△CDE，求出CE的長．切線的性質45．（2023?河南）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO交⊙O于點B，點C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，則CA的長為103??【答案】103【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質可得∠OAP＝90°，然后利用SSS證明△OAC≌△OBC，從而可得∠OAP＝∠OBC＝90°再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP＝13，最后根據(jù)△OAC的面積+△OCP的面積＝△OAP的面積，進行計算即可解答．【解答】解：連接OC，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC（SSS），∴∠OAP＝∠OBC＝90°，在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP=O∵△OAC的面積+△OCP的面積＝△OAP的面積，∴12OA?AC+12OP?BC=1∴OA?AC+OP?BC＝OA?AP，∴5AC+13BC＝5×12，∴AC＝BC=10故答案為：103【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．切線的性質25．（2023?武漢）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若ABCD=1A．23 B．53 C．34【答案】B【分析】連接DB、DE，設AB＝m，由ABCD=13得CD＝3AB＝3m，再證明AB是⊙D的切線，而⊙D與BC相切于點E，則BC⊥OE，由切線長定理得EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，由AB∥CD，得∠ABD＝∠CDB，則∠CBD＝∠CDB，所以CB＝CD＝3m，CE＝2m，由勾股定理得DE=C【解答】解：連接DB、DE，設AB＝m，∵ABCD∴CD＝3AB＝3m，∵AD是⊙D的半徑，AD⊥AB，∴AB是⊙D的切線，∵⊙D與BC相切于點E，∴BC⊥OE，EB＝AB＝m，∠CBD＝∠ABD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD＝3m，∴CE＝CB﹣EB＝3m﹣m＝2m，∵∠CED＝90°，∴DE=CD∴sinC=DE故選：B．【點評】此題重點考查切線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．切線的性質36．（2023?黑龍江）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接BC，若∠B＝28°，則∠P＝34°．【答案】34．【分析】根據(jù)切線的性質可得∠OAP＝90°，然后利用圓周角定理可得∠AOC＝2∠B＝56°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答．【解答】解：∵PA切⊙O于點A，∴∠OAP＝90°，∵∠B＝28°，∴∠AOC＝2∠B＝56°，∴∠P＝90°﹣∠AOC＝34°，故答案為：34．【點評】本題考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握切線的性質，以及圓周角定理是解題的關鍵．37．（2023?大連）如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點C為⊙