“平行與垂直”教學(xué)研究報(bào)告

“平行與垂直”教學(xué)研究報(bào)告株洲市天元區(qū)栗雨小學(xué)數(shù)學(xué)組瀟湘數(shù)學(xué)教育工作室一、問(wèn)題“平行與垂直”是“空間與圖形,'領(lǐng)域的一節(jié)“形概念”課°學(xué)生是在認(rèn)識(shí)了直線與角的基礎(chǔ)學(xué)習(xí)本內(nèi)容的。這個(gè)內(nèi)容是認(rèn)識(shí)平行四邊形和梯形以及深人學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)，也是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的載體“之前學(xué)習(xí)的“形概念”.大都是對(duì)一個(gè)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，而本內(nèi)容涉及同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,這對(duì)學(xué)生的空間觀念要求更高。好在平行和垂直的生活原型還是很常見，喚醒學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)比較容易「但又正是因?yàn)樯罱?jīng)驗(yàn)的影響.學(xué)生對(duì)平行和垂直的認(rèn)識(shí)往往局限在表面。比如，生活中的“線”往往是有長(zhǎng)度的,這就給學(xué)生認(rèn)識(shí)永不相交帶來(lái)了負(fù)遷移。人教版數(shù)學(xué)教材把本內(nèi)容安排在四年級(jí)上冊(cè)，編排的順序是先認(rèn)識(shí)平行,從相交中分離認(rèn)識(shí)垂直(教材中未出現(xiàn)相交概念);接著學(xué)習(xí)垂線、平行線的畫法;最后認(rèn)識(shí)梯形和平行四邊形。在平行與垂直這部分,教材的主要目標(biāo)是:初步理解垂直與平行是同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系.認(rèn)識(shí)垂線和平行線的概念。因?yàn)檫@節(jié)課在整個(gè)幾何學(xué)習(xí)中處于初級(jí)階段，因此，對(duì)“同一平面”這一前提條件，教材似有刻意回避之意，而在教學(xué)中，很多教師卻恰恰相反，特別將之提出且重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。對(duì)這個(gè)問(wèn)題的不同處理反映了教師處理本教學(xué)內(nèi)容時(shí)的左右為難。那么，教師該如何跳出這種在文字上糾纏不休的藩籬，真正去思考本教學(xué)內(nèi)容中應(yīng)該關(guān)注的問(wèn)題呢？我們數(shù)學(xué)組對(duì)此提出了一些思考,供大家參考、討論。.教學(xué)實(shí)踐中的問(wèn)題問(wèn)題一:如何跳出靜態(tài)教材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)修正和完善實(shí)現(xiàn)概念的梳理建構(gòu)？問(wèn)題二:如何突破思維定式,引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注表象到關(guān)注概念本質(zhì)？問(wèn)題三：如何以概念教學(xué)為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想與方法的滲透與指導(dǎo)？效之困(1)為了創(chuàng)造開放的問(wèn)題情境,教師有的讓學(xué)生用扔擲兩根小棒的方式呈現(xiàn)兩直線位置的基礎(chǔ)性資源;有的則讓學(xué)生在紙上任意畫出兩條直線，目的也是希望呈現(xiàn)兩直線的多種位置關(guān)系的資源。但實(shí)際課堂中,由于學(xué)生認(rèn)識(shí)上的局限性，我們看到的資源往往不是足夠豐富。于是，很多教師選取的策略是，事先準(zhǔn)備好兩條直線各種可能的位置關(guān)系，當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)r一些以后，又以“巧妙”的方式補(bǔ)充一些變式資源這種方式雖然能使教學(xué)流程順利流暢.且不會(huì)影響后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié),但學(xué)生對(duì)于為什么要補(bǔ)充這些資源完全處于被動(dòng)狀態(tài)。事實(shí)上,平行和垂直是兩種特殊的位置關(guān)系。如何在學(xué)生對(duì)直線位置關(guān)系形成整體認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)他們對(duì)這兩種特殊位置關(guān)系進(jìn)行研究，從而輕而易舉地理解兩個(gè)概念，是本課教學(xué)的困惑之一。(2)呈現(xiàn)了豐富的基礎(chǔ)性資源后，通常教師會(huì)要求學(xué)生按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各種情況進(jìn)行分類。在分類的過(guò)程中，多數(shù)學(xué)生習(xí)慣采用二分法,把呈現(xiàn)分離狀態(tài)的分成一類(延長(zhǎng)后相交的自然也被歸于這一類).把其他相交的情況分為另一類。教師對(duì)此類問(wèn)題常采用的方法是，從中把延長(zhǎng)后會(huì)相交的“拎”出來(lái)，讓學(xué)生“試著把兩條直線再畫長(zhǎng)一些,看看會(huì)怎樣:學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)，這種情況是相交的。而對(duì)于真正的平行線,在沒(méi)有學(xué)習(xí)垂直和距離的概念時(shí)，怎么驗(yàn)證它們是永不相交的？事實(shí)上，判斷兩條直線是否平行,最直接的方法是通過(guò)測(cè)量?jī)蓷l直線間的距離是否相等，這一方法非常直觀,易于理解。但是，如果這樣做,是不是應(yīng)該先研究垂直,再研究平行？平行和垂直，到底是先有“雞”還是先有“蛋”？即使學(xué)生通過(guò)想象理解了永不相交，但又怎樣把“在同一個(gè)平面內(nèi)”這一前提條件自然地加上去？要不要強(qiáng)調(diào)在同一個(gè)平面內(nèi)？(3)很多教師備課時(shí)對(duì)本內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)的定位感到茫然。有教師認(rèn)為，平行線、垂線內(nèi)容應(yīng)以屬于

u自律日R線與角這一單元才算名正言順;也有教師認(rèn)為，把平行與垂在放到平行四邊形和梯形這一單.元教學(xué)更為合適，因?yàn)槠叫惺沁@兩個(gè)圖形概念的邏輯起點(diǎn)。盡管兩種歸屈對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的影響不明顯，但肯接影響了概念生成建構(gòu)的層次前者更注意從圖形的角度理解平行線與垂線，這常常出致教師糾纏于文字的闡釋而忽視概念的本質(zhì)；后者乂往往重視平彳ju自律日R(4)在概念教學(xué)中很多教師注重教技法。比如，平彳j線的面法、垂線的畫法(一般放在本單元第二課時(shí))，同時(shí),在概念教學(xué)中教判斷也已成為多數(shù)教師潛意以的行為。比如，學(xué)生常常被要求在一些位置關(guān)系中判斷哪組線互相平行那么，概念教學(xué)中要不要教推理，如果要教，教到什么程度？很多教師對(duì)此處于進(jìn)退兩難的狀態(tài)學(xué)之難(I)思維定式使探究活動(dòng)成為走過(guò)場(chǎng)，空間想象力的局限使學(xué)生思維缺乏開放性，比如，當(dāng)教師提出“在紙上任意畫兩條直線.會(huì)有哪幾種情況”的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)狀況的總和“［能力,很多，但很少有學(xué)生能獨(dú)立畫出豐富的位置狀態(tài)、先入為主的認(rèn)識(shí)定式使得學(xué)生對(duì)概念缺乏本質(zhì)認(rèn)識(shí)。比如，很多學(xué)生能認(rèn)識(shí)水平狀態(tài)下的平行與垂出，但對(duì)其他變式缺乏敏感性。究其原因,學(xué)生時(shí)永不相交或相交成直角這些概念的內(nèi)涵不甚明晰，而靜態(tài)思維導(dǎo)致的認(rèn)知局限也使很多學(xué)生僅把諸如“〃的位置關(guān)系看成一個(gè)類似角的組合圖形.對(duì)平行與垂直的概念認(rèn)識(shí)僅停留在靜態(tài)的表面認(rèn)識(shí)卜.，不能從位置關(guān)系匕深入理解這兩個(gè)概念。(2)對(duì)于兩直線的位置關(guān)系缺乏整體的、結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。在教學(xué)中我們不難發(fā)現(xiàn)，在分類中,學(xué)生普遍把“分離的相交“(即延長(zhǎng)后會(huì)相交的情況)看作是“分開的”。在分類標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有確定時(shí),學(xué)生分類的方法也是五花八門，有的按線的方向來(lái)分,有的按線的長(zhǎng)短來(lái)分……要把學(xué)生引導(dǎo)到按“是否相交”來(lái)分，很是費(fèi)時(shí)、費(fèi)力。(3)無(wú)法從整體上認(rèn)識(shí)兩直線的位置關(guān)系教材對(duì)兩直線的位置關(guān)系只命了兩個(gè)名 平行和垂直，甚至課題也就是“平行與垂直”,導(dǎo)致學(xué)生誤以為兩直線的位置關(guān)系不是平行就是垂直。由于知識(shí)的局限,教材還回避r異面直線的概念,用“在紙上畫”的提示，把學(xué)生的思維固定在同一個(gè)平面的范昭，導(dǎo)致學(xué)生誤以為兩直線只要永不相交就是平行的。(4)幾何圖形分為單個(gè)要素和要素之間的關(guān)系兩個(gè)方面。研究表明，小學(xué)生容易觀察圖形中的單個(gè)要素(比如直線、射線、線段等的特點(diǎn))，但是對(duì)于要素之間的關(guān)系往往不容易理解。比如,平?行是反映平面內(nèi)兩條直線既不重合又不相交的一種位置關(guān)系，學(xué)生對(duì)此常常無(wú)法準(zhǔn)確理解,相當(dāng)一部分學(xué)生對(duì)垂直的認(rèn)識(shí)仍然限于直角。.對(duì)問(wèn)題的分析(1)平行概念的描述方式比較抽象，學(xué)生難于理解C“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線二這里的平面是無(wú)限大的，這里的直線也是可以無(wú)限延長(zhǎng)的c可現(xiàn)實(shí)生活中的“面”是有限大的，現(xiàn)實(shí)生活中的“直線”也是有限長(zhǎng)的。如何在有限大的面中判斷兩條視覺(jué)范圍內(nèi)有限長(zhǎng)的直線是否相交？概念中的“無(wú)限”和現(xiàn)實(shí)中的“有限”的矛盾.使得學(xué)生一旦遇到那種看似沒(méi)相交而實(shí)際上會(huì)相交的情況時(shí)就會(huì)出現(xiàn)借沒(méi)的判斷C(2)從“形概念”的結(jié)構(gòu)體系來(lái)看,平行與垂直是聯(lián)結(jié)各個(gè)概念不可或缺的紐帶。比如,由平彳泗邊形到梯形的認(rèn)識(shí)，就是由“兩組對(duì)邊互相平行”到“只有一組對(duì)邊平行“。另夕卜?從“形概念”的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，除r認(rèn)識(shí)概念本身的特征，還涉及圖形之間關(guān)系的梳理.比起單個(gè)要素的概念更為重要。比如垂直，在平行四邊形與長(zhǎng)方形、正方形之間的關(guān)系上,它構(gòu)成了平行四邊形的種差。而在實(shí)際的教學(xué)中，平行卜j垂直沒(méi)有被教師們所重視很多教師認(rèn)為學(xué)生只要能感知生活中的平行與垂直現(xiàn)象就足夠了.并沒(méi)有讓學(xué)生很好地去體驗(yàn)、去感悟概念的形成過(guò)程，里沒(méi)有把它放到為后續(xù)概念的學(xué)習(xí)作基礎(chǔ)的高度去認(rèn)識(shí)，教學(xué)中往往采用“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的處理方式，陷入圍繞“在同一平面內(nèi)”“無(wú)限延長(zhǎng)”等字眼上打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的怪圈。（3）教師在概念教學(xué)中存在結(jié)構(gòu)化教學(xué)意識(shí)不強(qiáng)的缺陷。教師對(duì)某一個(gè)關(guān)系概念在概念分支體系中所處的地位和作用缺乏整體認(rèn)識(shí),對(duì)其教學(xué)不夠重視。學(xué)習(xí)平行與垂直的概念是為了什么？我們能不能把它們放到一個(gè)更高的高度來(lái)學(xué)習(xí)？教師由于不會(huì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)點(diǎn)狀知識(shí)的認(rèn)識(shí)或記憶出現(xiàn)了負(fù)擔(dān)I在分類后，教師應(yīng)該通過(guò)對(duì)一系列圖形的辨析、動(dòng)態(tài)的關(guān)系演示等突破兩直線位置關(guān)系的本質(zhì)——是否相交，相交成什么角度。只有這樣,學(xué)生才能更清晰、準(zhǔn)確地把握這兩種直線的特殊位置關(guān)系。二、實(shí)踐1.畫圖+想象，兩次分類梳理關(guān)系，在整體框架中把握概念內(nèi)涵。活動(dòng)目標(biāo):在想象的基礎(chǔ)上研究?jī)芍本€的位置關(guān)系?；顒?dòng)設(shè)計(jì)：（1）看一看：（課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)一根直線不斷向兩端延伸）直線有什么特點(diǎn)？在紙上任意畫一條直線。（2）想一想：如果繼續(xù)畫第二條直線，這時(shí)這兩條直線的位置可能會(huì)出現(xiàn)哪些情況？（3）畫一畫:在自己的本子上把所想的情況畫下來(lái)。片段呈現(xiàn)：師：同學(xué)們畫的兩條直線形成了怎樣的位置關(guān)系呢？出現(xiàn)了哪幾種不同的情況？和小組內(nèi)的同學(xué)交流交流C生:我們發(fā)現(xiàn)了這樣一些位置關(guān)系°-—乂」二?。?） （3） （4） （5） （6） （7） （8）師：同學(xué)們畫了這么多種位置關(guān)系，其中有沒(méi)有相同的？（待學(xué)生思考片刻后，追問(wèn)）我們要畫的是兩直線的位置關(guān)系，你們畫的線還可以延長(zhǎng)嗎？想象一下，把每組的兩條直線延長(zhǎng),會(huì)是什么樣子？生.有些圖形延長(zhǎng)后變了。比如,（2）、（4）、（6）中的直線延長(zhǎng)后都交叉在一起了。二一二 一 4 ,1（4） （6）師：如果讓你們把這些位置關(guān)系進(jìn)行分類，你們會(huì)怎么分？生2：。）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）分成一類，因?yàn)樗鼈兘徊媪?；?）和（8）分成一類，因?yàn)樗鼈冄娱L(zhǎng)后都沒(méi)有交叉。師：數(shù)學(xué)上，我們把第一類直線的位置關(guān)系叫做相交。把同一個(gè)平面內(nèi)延長(zhǎng)后也不相交的兩條直線的位置關(guān)系叫做平 相交行。（板書，如右所同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系,示）在這6種相交的 〔平行情況中，如果讓你再次分類，你會(huì)怎么分？生3：（3）、（4）、（5）、（6）中的兩條直線組成了4個(gè)直角，分為一類，其他的分為另一類。師：兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其余的情況就說(shuō)這兩條直線是斜交的。請(qǐng)大家在板書圖合適的地方補(bǔ)上垂直與斜交這兩種位置關(guān)系。 「垂直「相交，生補(bǔ)充完善 [I斜交/-*一 同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系「北板書，如右所不。 L平行師：如果用圖表示平行、相交、垂直三者之間的關(guān)系，下面哪個(gè)是對(duì)的，為什么？（注：不包含兩條直線重合的情況）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生先想象直線延長(zhǎng)后的樣子再分類，能夠讓學(xué)生時(shí)刻記得直線是無(wú)限長(zhǎng)的。不讓學(xué)生直接畫，而只采用想象，目的是培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。二次分類后，讓學(xué)生完成概念結(jié)構(gòu)圖并判斷集合圖的正確性，是為了讓學(xué)生對(duì)兩直線的位置關(guān)系形成結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。.想象+演示,讓直線“動(dòng)”起來(lái)，從“位置關(guān)系”的視角學(xué)習(xí)概念?；顒?dòng)目標(biāo)：感受平行與垂直是兩條直線的兩種特殊的位置關(guān)系?；顒?dòng)設(shè)計(jì):課件動(dòng)態(tài)演示兩條直線的位置關(guān)系變化過(guò)程。片段呈現(xiàn)：課件先出示一條紅色直線，再出示一條藍(lán)色直線與之重合。師：紅、藍(lán)兩條直線的位置有什么關(guān)系？生4：疊在一起O師：在數(shù)學(xué)里，我們說(shuō)它們重合。請(qǐng)你想象一下，紅色直線不動(dòng)，藍(lán)色直線怎樣移動(dòng)可以使它們的位置變成平行呢？生5：把藍(lán)色直線往上移。生6：也可以往下移。師：無(wú)論往上還是往下，移動(dòng)時(shí)都要怎么樣？生7：平平地移。師：也就是平移，對(duì)嗎？（課件演示平移過(guò)程）如果把這條藍(lán)色直線沿著線上一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一點(diǎn)點(diǎn)，那兩條直線的位置會(huì)怎樣呢？生8：相交。（課件演示）師：請(qǐng)你閉上眼睛想象一下，再移動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)，兩條直線的位置會(huì)是什么情況？再移動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)呢？會(huì)不會(huì)出現(xiàn)比較特殊的關(guān)系？什么時(shí)候出現(xiàn)？生回答，師用課件演示Q師：現(xiàn)在兩條直線互相垂直，如果這條藍(lán)色直線又動(dòng)了一點(diǎn)點(diǎn)呢？再動(dòng)呢？是不是一直相交呢？生想象后回答，師用課件演示。師小結(jié)：通過(guò)剛才的演示，我們進(jìn)一步了解到平行和垂直就是兩條直線在同一平面內(nèi)的兩種特殊的位置關(guān)系。設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生在理解“平行與垂直是同一平面內(nèi)兩條直線間的特殊位置關(guān)系”這一點(diǎn)上總是存在困難。針對(duì)這一困難設(shè)計(jì)這樣一個(gè)想象+動(dòng)態(tài)演示的活動(dòng)，是為r讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)這兩種位置關(guān)系的特殊性，培養(yǎng)空間觀念，并溝通平行與垂直兩個(gè)概念之間的內(nèi)在關(guān)系。.動(dòng)手+推理，跳出概念悟性質(zhì),溝通概念間的聯(lián)系?；顒?dòng)目標(biāo):初步感悟平行線的性質(zhì)?；顒?dòng)設(shè)計(jì):出示問(wèn)題,想象會(huì)有什么情況。（I）把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）把兩根小棒都撰成和第?:根小棒垂直，你有什么發(fā)現(xiàn)？片段呈現(xiàn)：師：請(qǐng)大家閉上眼睛，根據(jù)老師的描述來(lái)想象師描述具體操作：先擺一根紅色小棒，再擺一根藍(lán)色小棒與它平行，又?jǐn)[一根藍(lán)色小棒與它平行，后面擺的兩根藍(lán)色小棒的位置是什么關(guān)系？生先想象，再擺小棒驗(yàn)證自己的想象結(jié)果C師：能把你們的發(fā)現(xiàn)和大家說(shuō)說(shuō)嗎？生9：我發(fā)現(xiàn)后擺的兩根藍(lán)色小棒互相平行。師：很好，那請(qǐng)大家再閉上眼睛，根據(jù)老師的描述來(lái)想象.師描述具體操作:先擺一根紅色小棒，再擺一根藍(lán)色小棒與它垂直,又?jǐn)[一根藍(lán)色小棒與它垂直，后面擺的兩根藍(lán)色小棒的位置是什么關(guān)系？生先想象，再擺小棒驗(yàn)證自己的想象結(jié)果師：現(xiàn)在你們又有什么發(fā)現(xiàn)？生小我發(fā)現(xiàn)后擺的兩根藍(lán)色小棒也是互相平行的。設(shè)計(jì)意圖：兩直線同時(shí)和第三條直線互相平行（垂直），這兩條直線也互相平行，這是中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)平行公理和平行線的性質(zhì)時(shí)要接觸到的在小學(xué)階段設(shè)計(jì)此活動(dòng),主要目的是增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念。由此可見，教學(xué)時(shí)想象、操作的過(guò)程必不可少。三、討論.如何準(zhǔn)確地把握教學(xué)起點(diǎn)？學(xué)生對(duì)平行和垂直的生活現(xiàn)象并不陌生，但對(duì)直線可以無(wú)限延長(zhǎng)這些常識(shí)卻因被表象掩蓋而忽視。這節(jié)課需要做的是讓學(xué)生在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)I：體驗(yàn)在同一平面內(nèi).不相交的兩條直線叫做平行線,相交里有一種特殊的叫做互相垂直.從而使學(xué)生的認(rèn)識(shí)上升到思維的層面。在實(shí)際教學(xué)中，大部分學(xué)生將這么多的直線分為兩類:看上去交叉的一類，看上去不交叉的一類。這樣的情況在教師的預(yù)設(shè)之內(nèi),所以我們?cè)O(shè)計(jì)從無(wú)限延長(zhǎng)的角度拓寬