北京孝義營中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

北京孝義營中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．2.據(jù)人口普查統(tǒng)計(jì)，育齡婦女生男生女是等可能的，如果允許生育二胎，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】等可能事件的概率．【分析】由于每一胎生男生女是等可能的，且都是，根據(jù)等可能事件的概率可得某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是．【解答】解：由于每一胎生男生女是等可能的，且都是，則某一育齡婦女兩胎均是女孩的概率是=，故選C．3.已知直線l過圓x2+（y﹣3）2=4的圓心，且與直線x+y+1=0垂直，則l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】由題意可得所求直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，3），斜率為1，再利用點(diǎn)斜式求直線l的方程．【解答】解：由題意可得所求直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，3），斜率為1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線的方程，兩條直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B5.設(shè)集合A={2,3,4}，，則A∩B=(

)A.{4} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}參考答案：C【分析】先解不等式求出，再利用交集定義求解．【詳解】＝或∴＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，不等式求解法\要準(zhǔn)確．6.執(zhí)行如右下圖所示的程序框圖，若輸出的值為，則輸入的最大值是()

參考答案：D7.有下列關(guān)系：其中有相關(guān)關(guān)系的是（）①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系．A．①②③ B．①② C．①③④ D．②③參考答案：C【考點(diǎn)】BH：兩個(gè)變量的線性相關(guān)．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相關(guān)關(guān)系的定義，依次分析題目所給四個(gè)關(guān)系是否符合相關(guān)關(guān)系的定義，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，相關(guān)關(guān)系是一種不確定的關(guān)系，是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系，分析可得：①③④是相關(guān)關(guān)系，②是函數(shù)關(guān)系；故選：C．8.有下列命題:(1)若，則；(2)直線的傾斜角為，縱截距為1；(3)直線：與直線：平行的充要條件時(shí)且；(4)當(dāng)且時(shí)，；(5)到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡方程為；其中真命題的個(gè)數(shù)是A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：B本題的知識(shí)覆蓋比較廣，寬度大，選對(duì)需要一定的基本功，注重考查學(xué)生思維的廣闊性與批判性。（1）當(dāng)C＝0時(shí)不成立；（2）考查傾斜角、截距的概念，的傾斜角為，縱截距應(yīng)為－1，本小題易出現(xiàn)錯(cuò)誤；（3）小題是教材結(jié)論，本命題為真命題；（4）小題考查均值不等式的倒數(shù)形式的成立條件，條件應(yīng)為；（5）小題考查“曲線方程”與“方程曲線”的概念，本命題為假命題，由教材第69頁變化而來。9.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d，命題①；②③；④；⑤．其中真命題的個(gè)數(shù)是

A、1

B、2

C、3

D、4

參考答案：A10.雙曲線﹣=1的漸近線方程是（）A．4x±3y=0 B．16x±9y=0 C．3x±4y=0 D．9x±16y=0參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a，b的值，因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±，把a(bǔ)，b的值代入即可．【解答】解：∵雙曲線方程為，∴a=3，b=4，由∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴漸近線方程為y=±=±x化簡(jiǎn)，得，4x±3y=0故選A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.把53名同學(xué)分成若干小組，使每組至少一人，且任意兩組的人數(shù)不等，則最多分成

個(gè)小組.參考答案：9∵，又，∴，即將8個(gè)人從第二組開始每組分1人，從而得到第一組1人，第二組3人，第三組4人，……，第九組10人，由此可得至多可以分為9個(gè)組．

12.在的展開式中，設(shè)各項(xiàng)的系數(shù)和為a，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為b，則=

.參考答案：113.若向量=（4，2，﹣4），=（6，﹣3，2），則（2﹣3）?（+2）=．參考答案：﹣212【考點(diǎn)】空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【分析】利用向量的坐標(biāo)形式的四則運(yùn)算法則、利用向量的數(shù)量積公式求出數(shù)量積．【解答】解：∵，∴=﹣10×16+13×（﹣4）=﹣212故答案為﹣212【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的四則運(yùn)算法則、考查向量的數(shù)量積公式：對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．14.在數(shù)列{an}中，已知a1+a2+…+an=2n﹣1，則an=．參考答案：2n﹣1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由已知遞推式求得數(shù)列首項(xiàng)，且得到n≥2時(shí)的另一遞推式a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1，與原遞推式作差后驗(yàn)證首項(xiàng)得答案．【解答】解：由a1+a2+…+an=2n﹣1①，可得a1=1，且a1+a2+…+an﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）②，①﹣②得：．當(dāng)n=1時(shí)，上式成立．∴an=2n﹣1．故答案為：2n﹣1．15.在空間直角坐標(biāo)系中，若的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則的形狀為

．參考答案：直角三角形16.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.由直線,,與曲線所圍成的封閉圖形的面積為

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過橢圓C：=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，并與橢圓的長(zhǎng)軸垂直，已知拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求拋物線的方程和橢圓C的方程；（2）若雙曲線與橢圓C共焦點(diǎn)，且以y=±x為漸近線，求雙曲線的方程．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由題意可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=﹣2px（p＞0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可解得p，得到拋物線方程，得到準(zhǔn)線方程，即有橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由a，b，c的關(guān)系和點(diǎn)滿足橢圓方程，解得a，b，即可得到橢圓方程；（2）由題意得到雙曲線的c=1，設(shè)出雙曲線方程，求出漸近線方程，得到a1，b1的方程組，解得即可．【解答】解：（1）由題意可知拋物線開口向左，故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=﹣2px（p＞0），∵，∴，∴p=2，∴拋物線的方程為y2=﹣4x；故準(zhǔn)線方程為x=1，∴橢圓C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴c=1，由于點(diǎn)（﹣，）也在橢圓上，則解得，．∴；（2）因?yàn)殡p曲線與橢圓C共焦點(diǎn)，所以雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，且c=1，則設(shè)雙曲線的方程為，由題意可知：，解得，∴．19.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示．（1）求此幾何體的表面積；（2）如果點(diǎn)P，Q在正視圖中所示位置：P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題；由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體，底面圓半徑長(zhǎng)a，圓柱高為2a，圓錐高為a．（2）將圓柱側(cè)面展開，在平面矩形內(nèi)線段PQ長(zhǎng)為所求．【解答】解：（1）由三視圖知：此幾何體是一個(gè)圓錐加一個(gè)圓柱，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和．底面圓半徑長(zhǎng)a，圓柱高為2a，圓錐高為a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（2）沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如上圖．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）則，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長(zhǎng)為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積，解題的關(guān)鍵是由三視圖還原出實(shí)物圖的幾何特征及其度量，再由公式求出表面積，還考查曲面距離最值問題，采用化曲面為平面的辦法．須具有空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．20.（12分）（2015秋?遼寧校級(jí)月考）已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，f（x）＜0的解集為（0，），數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（n，Sn）（n∈N+）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N+都成立的最小正整數(shù)m．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】綜合題；方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求出bn=，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)這二次函數(shù)f（x）=ax2+bx（a≠0），則f′（x）=2ax+b，由f（x）＜0的解集為（0，），得a=3，b=﹣2，所以

f（x）=3x2﹣2x．又因?yàn)辄c(diǎn)（n，Sn）（n∈N+）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以Sn=3n2﹣2n．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）=6n﹣5．當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3×12﹣2=6×1﹣5，所以，an=6n﹣5（n∈N+）（2）由（Ⅰ）得知bn===（﹣），故Tn=（1﹣+…+﹣）=（1﹣），因此，要使Tn＜，即（1﹣）＜，成立的m，必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的應(yīng)用，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)f（x）=x2+alnx，g（x）=（a+1）x，a≠﹣1．（Ⅰ）若函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)且它們的單調(diào)性相同，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）若a∈（1，e]（e=2.71828…），設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），求證：當(dāng)x1，x2∈時(shí)，不等式|F（x1）﹣F（x2）|＜1成立．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）由題意得f′（x）?g′（x）=（x+）（a+1）=?（a+1）≥0，當(dāng)x∈時(shí)，或恒成立，求得﹣x2的最值，即可得出結(jié)論；（Ⅱ）由題意得F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，即可得出結(jié)論．解答：解：（I）f′（x）=x+，g′（x）=a+1，∵f（x），g（x）在區(qū)間上都為單調(diào)函數(shù)，且它們的單調(diào)性相同，∴f′（x）?g′（x）=（x+）（a+1）=?（a+1）≥0，∵x∈，∴（a+1）（a+x2）≥0，∴當(dāng)x∈時(shí)，或恒成立，∵﹣9≤﹣x2≤﹣1，∴a＞﹣1或a≤﹣9．（Ⅱ）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣（a+1）x，∴F′（x）=x+﹣（a+1）=，∵F（x）定義域是（0，+∞），a∈（1，e]，即a＞1，∴F（x）在（0，1）是增函數(shù)，在（1，a）是減函數(shù)，在（a，+∞）是增函數(shù)∴當(dāng)x=1時(shí)，F(xiàn)（x）取極大值M=F（1）=﹣a﹣，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）取極小值m=F（a）=alna﹣a2﹣a，∵x1，x2∈，∴|F（x1）﹣F（x2）|≤|M﹣m|=M﹣m，設(shè)G（a）=M﹣m=a2﹣alna﹣，則G′（a）=a﹣lna﹣1，∴G″（a）=1﹣，∵a∈（1，e]，∴G″（a）＞0，∴G′（a）=a﹣lna﹣1，在a∈（1，e]是增函數(shù)，∴G′（a）＞G′（1）=0，∴G（a）=a2﹣alna﹣，在a∈（1，e]也是增函數(shù)∴G（a）≤G（e），即G（a）≤=﹣1，而=﹣1＜﹣1=1，∴G（a）=M﹣m＜1，∴當(dāng)x1，x2∈時(shí)，不等式|F（x1）﹣F（x2）|＜成立．點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用．22.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l：y=kx﹣與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)橢圓的焦半距為c，利用離心率為，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．列出方程組求解c，推出b，即可得到橢圓的方程．（2）存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．設(shè)點(diǎn)A（x1，