2022年福建省福州市民進(jìn)建人高級(jí)職業(yè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2022年福建省福州市民進(jìn)建人高級(jí)職業(yè)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＝-(≠1，n∈N*)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊的項(xiàng)是()A．1

B．1＋

C．1＋＋

D．1＋＋+參考答案：C2.(B卷）設(shè)隨機(jī)變量X~N(),則服從（ ）A. N() B. N(） C. N(0，1) D. N(）參考答案：B3.若實(shí)數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的

(

)

A．必要而不充分的條件

B．充分而不必要的條件

C．充要條件

D．即不充分也不必要的條件參考答案：C略4.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)．若函數(shù)圖象恰好經(jīng)過(guò)k個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)為k階格點(diǎn)函數(shù)．已知函數(shù)：①y=sinx；

②y=cos（x+）；③y=ex﹣1；

④y=x2．其中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)為（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④參考答案：C【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)已知中在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)．若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好經(jīng)過(guò)k個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．我們逐個(gè)分析四個(gè)答案中四個(gè)函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到答案．【解答】解：對(duì)于①，注意到y(tǒng)=sinx的值域是[﹣1，1]，當(dāng)sinx=0時(shí)，x=kπ（k∈Z），此時(shí)相應(yīng)的整數(shù)x=0；當(dāng)sinx=±1時(shí)，x=kπ+（k∈Z），此時(shí)沒(méi)有相應(yīng)的整數(shù)x，因此函數(shù)y=sinx僅過(guò)唯一的整點(diǎn)（0，0），該函數(shù)是一階格點(diǎn)函數(shù)．同理可知，對(duì)于②，函數(shù)y=cos（x+）不是一階格點(diǎn)函數(shù)．對(duì)于③，令y=ex﹣1=k（k∈Z）得ex=k+1＞0，x=ln（k+1），僅當(dāng)k=0時(shí)，x=0∈Z，因此函數(shù)y=ex﹣1是一階格點(diǎn)函數(shù)．對(duì)于④，注意到函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過(guò)多個(gè)整點(diǎn)，如點(diǎn)（0，0），（1，1），因此函數(shù)y=x2不是一階格點(diǎn)函數(shù)．綜上所述知①③正確，故選C．5.當(dāng)實(shí)數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值（

）A.4

B.8

C.6

D.10參考答案：B略6.“直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直”是“直線與平面垂直”的（）．A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略7.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù).（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°則這個(gè)常數(shù)為

（

）ks5uA.

B.

C.1

D.0參考答案：A略8.若a，b，c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對(duì)x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．不充分不必要條件參考答案：A9.函數(shù)f（x）圖象如圖所示，則f（x）的解析式可能是（）A．f（x）=lnx﹣sinx B．f（x）=lnx+cosx C．f（x）=lnx+sinx D．f（x）=lnx﹣cosx參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】由圖象可知，f（1）＞f（）＞0，分別對(duì)A，B，C，D計(jì)算f（1），f（），再比較即可．【解答】解：由圖象可知，f（1）＞f（）＞0，當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)于A：f（1）=ln1﹣sin1＜0，不符合，對(duì)于D，f（1）=ln1﹣cos1＜0，不符合，對(duì)于B：∵f（）=ln+cos=ln，f（1）=ln1+cos1=cos1，對(duì)于C：∵f（）=ln+sin=ln+1，f（1）=ln1+sin1=sin1，∴f（）＞f（1），不符合故選：B10.正方體的棱長(zhǎng)為1，在正方體表面上與點(diǎn)A距離是的點(diǎn)形成一條曲線，這條曲線的長(zhǎng)度是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則_____.參考答案：90o略12.設(shè)i是虛數(shù)單位，則=．參考答案：﹣1﹣i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】由=進(jìn)一步化簡(jiǎn)計(jì)算即可得答案．【解答】解：∵==﹣1﹣i，∴=﹣1﹣i．故答案為：﹣1﹣i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．13.雙曲線的焦距為

.參考答案：12略14.已知過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，|AF|＝4，則|BF|＝______.參考答案：

15.把長(zhǎng)為1的線段分成三段，則這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為 。參考答案：略16.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：略17.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的圖象如圖所示，它與直線y=0在原點(diǎn)處相切，此切線與函數(shù)圖象所圍區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則a的值為． 參考答案：﹣3【考點(diǎn)】定積分． 【專題】計(jì)算題． 【分析】由圖可知f（x）=0得到x的解確定出b的值，確定出f（x）的解析式，由于陰影部分面積為，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于a的方程求出a并判斷a的取舍即可． 【解答】解：由圖知方程f（x）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=0，于是b=0， ∴f（x）=x2（x+a），有， ∴a=±3． 又﹣a＞0?a＜0，得a=﹣3． 故答案為：﹣3． 【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生利用定積分的方法求平面圖形面積的能力． 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=，PB⊥PD.

（Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角P—AB—C的大?。?/p>

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，且，問(wèn)為何值時(shí)，PC⊥平面BMD.

參考答案：解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（－1，0，0），D（0，－1，0），P（0，0，）.（1），故直線PD與BC所成的角的余弦值為

（2）設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，由于由取的一個(gè)法向量又二面角P—AB—C不銳角.∴所求二面角P—AB—C的大小為45°

（3）設(shè)三點(diǎn)共線，

（1）

（2）由（1）（2）知

故

19.（本小題共14分）已知四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，

AB=2，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（1）求證：AF//平面PEC；（2）求PC與平面ABCD所成角的正切值；

參考答案：解法一：（1）取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE.，且

又∵E是AB的中點(diǎn)，且AB=DC，∴FO=AE.

∴四邊形AEOF是平行四邊形.

∴AF//OE.……4分又平面PEC，平面PEC，∴AF//平面PEC.…………………7分（2）連結(jié)AC.

∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成的角.………10分在中

即直線PC與平面ABCD所成角的正切值為………………14分20.已知圓O：，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),一條直線：與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B

（1）設(shè),求的表達(dá)式；

(2）若，求直線的方程；（3）若，求三角形OAB面積的取值范圍.參考答案：

略21.某公司計(jì)劃2012年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為0.3萬(wàn)元和0.2萬(wàn)元．問(wèn)該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？參考答案：解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得

目標(biāo)函數(shù)為．-----------3分

二元一次不等式組等價(jià)于

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如圖：------------------5分

作直線，

即．

平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．

聯(lián)立解得．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．---------------------------8分

（元）-----------------9分答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬(wàn)元．-----------------------10分略22.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)已知,圓C上任意一點(diǎn)M,求面積的最大值.參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）圓C的參數(shù)方程為，通過(guò)三角函數(shù)的平方關(guān)系式消去參數(shù)θ，得到普通方程．通過(guò)x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圓C的極坐標(biāo)方程；（2）求出點(diǎn)M（x，y）到直線AB：