初中數(shù)學(xué)120大招-34 相似三角形存在性揭秘

二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性二次函數(shù)背景下的相似三角形考點(diǎn)分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點(diǎn)；2.簡單一點(diǎn)的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復(fù)雜一點(diǎn)的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個(gè)字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當(dāng)相似時(shí)：一般說來，這類題目都由圖像上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法?！緜渥ⅰ浚?.以下每題教法建議，請老師根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況參考；2.在講解時(shí)：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，?yīng)采用啟發(fā)、誘導(dǎo)的策略，并在讀題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學(xué)生在復(fù)雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導(dǎo)”引導(dǎo)學(xué)生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學(xué)生計(jì)算，加強(qiáng)師生之間的互動(dòng)性，讓學(xué)生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導(dǎo)學(xué)生分析題目，邊講邊讓學(xué)生書寫，每個(gè)問題后面有答案提示；5.引導(dǎo)的技巧：直接提醒，問題式引導(dǎo)，類比式引導(dǎo)等等；6.部分例題可以先讓學(xué)生自己試一試，之后再結(jié)合學(xué)生做的情況講評；7.每個(gè)題目的講解時(shí)間根據(jù)實(shí)際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時(shí)間足夠的情況下講解。例1.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴當(dāng)△BDP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)．（i）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）當(dāng)時(shí)，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（﹣，0）．例2.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，并與y軸相交于點(diǎn)C，如果BC∥x軸，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸與BC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，如果以點(diǎn)E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是M，求tan∠AMC的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖像與y軸相交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∵BC//x軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是﹣2，∵點(diǎn)A、B兩點(diǎn)在直線y＝x上，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），∵這個(gè)二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解這個(gè)方程組，得a＝，b＝1，∴二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2；（2）根據(jù)（1）得，二次函數(shù)y＝+x﹣2圖像的對稱軸是直線x＝﹣2，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x軸，∴∠OBD＝∠BOE，∴以點(diǎn)E、O、B組成的三角形與△OBD相似有可能以下兩種：①當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OBE，顯然這兩相似三角形的相似比為1，與已知相似比不為1矛盾，這種情況應(yīng)舍去，②當(dāng)時(shí)，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣10，0）；（3）過點(diǎn)C作CH⊥AM，垂足為H，根據(jù)（1）得，二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（﹣2，﹣3），設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直線AM的解析式為y＝x﹣1，設(shè)直線AM與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．例3（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，點(diǎn)M(m，0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如果以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，3)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=?x2+x+3，∵y=?x2+x+3=?(x-)2+，∴此拋物線對稱軸為x=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)；【小問2詳解】解：設(shè)直線AB的解析式為y=px+q，把A（4，0），B（0，3）代入得，解得：，∴直線AB的解析式為y=，∵M(jìn)（m，0），MN⊥x軸，∴N（m，?m2+m+3），P（m，），∴NP=?m2+3m，OB=3，∵NP∥OB，且以點(diǎn)P、N、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，∴NP=OB，即?m2+3m=3，整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2；【小問3詳解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），∴AB=5，BP=，而NP=?m2+3m，∵PN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，當(dāng)時(shí)，△BPN∽△OBA，即，整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)時(shí)，△BPN∽△ABO，即，整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）；綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（3，0）．例4.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，頂點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)，使得．如果存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【小問1詳解】解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，設(shè)拋物線解析式為：，將點(diǎn)C代入可得：，解得：，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；【小問2詳解】解：如圖所示：為直角三角形且三邊長分別為：，，，的三邊長分別為：，，，∴，∴為直角三角形，∵，∴△AOC~△DCB；【小問3詳解】解：設(shè)存在點(diǎn)P使，作線段AC的中垂線交AC于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)F，連接CF，如（2）中圖：∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，設(shè)，∴，，∴，整理得：①，=，即②，將①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合題意舍去），∴，，設(shè)直線FA解析式為：，將兩個(gè)點(diǎn)代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)得：，將①代入②得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，∴．例5．（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．（1）求直線AB的表達(dá)式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【分析】（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，求出拋物線解析式，再將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)（，0），設(shè)C（t，0），當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABP∽△APC，過B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，則tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，即可求C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）設(shè)直線BD的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，則x＝，∴P（，0），設(shè)C（t，0），如圖1，當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP過B點(diǎn)作BQ⊥x軸交于點(diǎn)Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；當(dāng)C點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，△ABC≌△ABP，此時(shí)C（，0）；綜上所述：C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，0）或（，0）．【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．1.（2021年寶山二模24）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和點(diǎn)D（﹣3，n），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，求△ODE的面積；（3）如果點(diǎn)P在y軸上，△PCD與△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣1經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0）和D（﹣3，n），∴，解得：，∴拋物線解析式為：y＝x2+x﹣1；∴＝2，∴D（﹣3，2）；（2）∵將拋物線平移，使點(diǎn)C落在點(diǎn)B處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，∴E（﹣2，3），∴S△ODE＝9﹣﹣＝；（3）如圖1，連接CD，AC，CB，過點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，∵A（﹣2，0），B（1，0），C（﹣1，0），D（﹣3，2），∴OB＝OC，DE＝CE＝3，AB＝3，BC＝，CD＝3，∴∠ABC＝∠OCD＝45°，∵△PCD與△ABC相似，點(diǎn)P在y軸上，∴分兩種情況討論：①如圖2，當(dāng)∠BAC＝∠CDP時(shí)，△DCP∽△ABC，∴，∴，∴PC＝2，∴P（0，1），②如圖3，當(dāng)∠BAC＝∠DPC時(shí)，△PCD∽△ABC，∴，∴，∴PC＝9，∴P（0，8）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，1）時(shí)，△PCD與△ABC相似．2.（2021崇明二模24）（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線上一點(diǎn)，且在第四象限內(nèi)，聯(lián)結(jié)AC、BC、CD、BD．（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出對稱軸；（2）當(dāng)S△BCD＝4S△AOC時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)E是x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A、D、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）＝ax2﹣3ax﹣4a，∴﹣4a＝﹣4，∴a＝1，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣3x﹣4，對稱軸．（2）如圖1中，設(shè)D（m，m2﹣3m﹣4），連接OD．∵S△BCD＝S△OCD+S△OBD﹣S△OBC＝4S△AOC，∴×4×（﹣m2+3m+4）+×4×m﹣×4×4＝4××1×4整理得：m2﹣4m+