初中數(shù)學(xué)120大招-78 全等模型-倍長中線模型

全等模型—倍長中線模型知識點(diǎn)管理知識點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究倍長中線模型三角形的中線：三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形邊長的不等關(guān)系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊三角形的中線：三角形的頂點(diǎn)和對邊中點(diǎn)的連線三角形邊長的不等關(guān)系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊倍長中線定義：“倍長中線”是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（通常用“SAS”證明）（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。題型一：求三角形中線取值范圍【例1】（2021·重慶市暨華中學(xué)校八年級月考）在中，，中線，則邊的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2021·全國）如圖，是的邊上的中線，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長至點(diǎn)E，使，連接，證明，可得，然后運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果．【詳解】如圖，延長至點(diǎn)E，使，連接．∵為的邊上的中線，∴，在和中，∴，∴．在中，，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)倍長法構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2021·武漢一初慧泉中學(xué)八年級月考）已知AD是△ABC的中線，AD=6，CA=5，則邊AB的取值范圍是______．【答案】7<AB<17【分析】作出圖形，延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=6，∴AE=6+6=12，∵12+5=17，12-5=7，∴7＜CE＜17，即7＜AB＜17．故答案為：7＜AB＜17．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2021·全國）△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC邊上的中線，則AD長度的范圍是__________．【答案】1＜AD＜7【分析】延長AD至E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：延長AD至E，使DE=AD，連接CE．在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB．在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，故1＜AD＜7．故答數(shù)為：1＜AD＜7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長中線是常見的輔助線之一．【變式1-4】（2021·陜西城固·七年級期末）如圖，在中，是邊上的中線，過作的平行線交的延長線于點(diǎn)．若，，試求的取值范圍．【答案】4＜AE＜8【分析】證明△ABD≌△ECD（AAS），得到AB=EC=6，AD=ED，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD．∵AB∥CE，∴∠BAD=∠E，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC=6，∴AD=DE，在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC，即6-2＜AE＜6+2，∴4＜AE＜8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

題型二：利用倍長中線證明線段、角相等【例題2】（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，CE、CB分別是與的中線，且，．求證：．【答案】見解析【詳解】解析：過點(diǎn)B作交CE的延長線于點(diǎn)F，由點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，得到，再由BF與AC平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，利用AAS得到與全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，，即，再由，根據(jù)點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，得到，利用外角性質(zhì)及等量代換得到，利用SAS得到與全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，等量代換即可得證．答案：證明：如圖，過點(diǎn)B作交CE的延長線于點(diǎn)F．∵CE是的中線，，∴，，，在和中，∵∴（AAS），∴，，∴，又∵，CB是的中線，∴，∵，∵，∴，在和中，∵∴（SAS），∴．易錯：證明：在和中，∴（ASA）．錯因：寫錯證明方法．滿分備考：遇到三角形的中線，可通過倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形解決問題．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2019·呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）（1）是的中線，，則的取值范圍是__________．（2）在（1）問的啟發(fā)下，解決下列問題：如圖，是的中線，交于，交于，且，求證：．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據(jù)倍長中線法將AD延長一倍，再證△ADC≌△GDB，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出AG的取值范圍，從而求出AD的取值范圍；（2）由（1）中結(jié)論：△ADC≌△GDB，即可得到：AC=BG，∠CAD=∠G，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定即可得到BG=BF=AC.【詳解】（1）將AD延長至G，使AD=DG，連接BG，如下圖所示：在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB∴AC=BG=6在△ABG中∴∴（2）將AD延長至G，使AD=DG，連接BG，如下圖所示：由（1）中結(jié)論：△ADC≌△GDB∴AC=BG，∠CAD=∠G又∵，∴，∴∵∴∴BG=BF=AC【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.【變式2-2】（2020·湖南長沙市·月考）如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于，求證：、【分析】利用中線類倍長的基本模型進(jìn)行證明，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行論證．【詳解】延長到，使，連結(jié)∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定及等腰三角形的判定及性質(zhì)，掌握用倍長中線法構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵.【變式1-3】（2021·陜西碑林·交大附中分校七年級期中）問題背景：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，則得到△ADC≌△EDB，小明證明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示）；問題解決：小明發(fā)現(xiàn)：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．請寫出小明解決問題的完整過程；拓展應(yīng)用：以△ABC的邊AB，AC為邊向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中點(diǎn)，連接AM，DE．當(dāng)AM＝3時，求DE的長．【答案】問題背景：SAS；問題解決：完整過程見解析；拓展應(yīng)用：DE＝6．【分析】問題背景：先判斷出BD=CD，由對頂角相等∠BDE=∠CDA，進(jìn)而得出△ADC≌△EDB（SAS）；問題解決：先證明△ADC≌△EDB（SAS），得出BE=AC=3，最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN=AM，連接BN，同（1）的方法得出△BMN≌△CMA（SAS），則BN=AC，進(jìn)而判斷出∠ABN=∠EAD，進(jìn)而判斷出△ABN≌△EAD，得出AN=ED，即可求解．【詳解】問題背景：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案為：SAS；問題解決：如圖1，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC≌△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB＝4，AC＝3，∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∵DE＝AD，∴AD＝AE，∴＜AD＜；拓展應(yīng)用：如圖2，延長AM到N，使得MN＝AM，連接BN，由問題背景知，△BMN≌△CMA（SAS），∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，∴AC//BN，∵AC＝AD，∴BN＝AD，∵AC//BN，∴∠BAC+∠ABN＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAC+∠EAD＝180°，∴∠ABN＝∠EAD，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE，∵M(jìn)N＝AM，∴DE＝AN＝2AM，∵AM＝3，∴DE＝6．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握倍長中線法，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

類倍長中線模型【例題3】（2020·宜春市宜陽學(xué)校八年級月考）閱讀理解：（1）如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使得，再連接，把，，集中在中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______．（2）解決問題：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：．【答案】（1）；（2）見解析；【分析】（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，由AD為中線，推出BD=CD，可證△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三邊關(guān)系即可，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG由D為BC中點(diǎn)，BD=CD可證△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中由三邊關(guān)系，【詳解】（1）如圖1延長到點(diǎn)，使得，再連接，∵AD為中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，∵CD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴AC=EB=6，，∵，∴，∴，（2）如圖2延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)BG，EG，由D為BC中點(diǎn)，BD=CD，在△FDC和△GDB中，∵CD=BD，∠FDC=∠GDB，F(xiàn)D=GD，∴△FCD≌△GBD（SAS），∴FC=GB，∵，DF=DG，∴EF=EG，在△BEG中EG<EB+BG，即，【點(diǎn)睛】本題考查中線加倍，三角形全等，三邊關(guān)系，垂直平分線，等腰三角形，掌握中線加倍構(gòu)造三角形，用三角形全等轉(zhuǎn)化等量關(guān)系，用三邊關(guān)系求取值范圍，用垂直平分線轉(zhuǎn)化線段，用等腰三角形證角是解題關(guān)鍵，變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·廣東廣州市·月考）如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：為的角平分線．【分析】通過補(bǔ)長EG，轉(zhuǎn)換成倍長中線模型【詳解】延長到點(diǎn)，使得，連結(jié)∵是的中點(diǎn)∴在和中，∴∴，∵∴∴∴∵∴∴∴為的角平分線.【變式3-2】（2021·湖北隨州市·八年級期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．【分析】延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進(jìn)而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（3），延長到，使，連接，，，，，，點(diǎn)在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運(yùn)用以上知識是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（江蘇省南京玄武外國語學(xué)校、十三中科利華集團(tuán)校2019-2020學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．（感悟）解題時，條件中若出現(xiàn)中點(diǎn)、中線字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．（解決問題）受到（1）的啟發(fā)，請你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE＋CF＞EF，【答案】（1）見解析；（2），見解析【分析】延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題；【詳解】解：延長FD到G，使得DG=DF，連接BG、EG．（或把△CFD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△BGD），∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．綜合提升變式練綜合提升變式練一、填空題1．（2022·安徽亳州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD為中線，．（1）若，AD長度為a，則a的取值范圍為________；（2）若，，則AC的長度為________．【答案】

3【分析】（1）延長中線AD到E，使，可證△ACD≌△EBD（SAS），得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，求解即可；（2）延長AD，使，連接CF，可證△ABD≌△FCD（SAS），得，，在Rt△AFC中，根據(jù)30°所對的直角邊等于斜邊的一半可得，從而可求．【詳解】解：（1）如圖1，延長中線AD到E，使，∵AD是三角形的中線，∴，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS），∴，∵，，第三邊上的中線為a，∴，即，∴．故答案為：．（2）如圖2，延長AD，使，連接CF，∵AD為中線，∴，在△ABD和△FCD中，，∴△ABD≌△FCD（SAS），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了延長中線構(gòu)成全等三角形，及全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是延長中線作輔助線構(gòu)造全等三角形．2．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．【答案】1＜AD＜7【分析】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點(diǎn)加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河北·廊坊市第四中學(xué)八年級階段練習(xí)）在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是△ABC的中線，則AD的取值范圍是_____．【答案】2＜AD＜7【分析】延長中線利用全等，使AD與已知兩邊滿足三角形的三邊關(guān)系．【詳解】解：延長AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：9﹣5＜AE＜9+5，∴2＜AD＜7，故答案為：2＜AD＜7．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線，全等三角形的判定（SAS），三角形的三邊長度關(guān)系；延長三角形的中線證明全等是常用的解題方法，要熟練掌握．二、解答題4．（2022·貴州畢節(jié)·二模）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：(1)如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請根據(jù)小明的方法思考幫小明完成解答過程．(2)如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．請判昕AC與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)AC=BF，理由見解析(1)解：如圖，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．∵AB-BE<AE<AB+BE∵2<AE<8．∵AE=2AD∴1<AD<4．(2)AC=BF，理由如下：延長AD至點(diǎn)G，使GD=AD，連接BG，0在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE．∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，作輔助線：延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣西貴港·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC，CD上，AE與BF相交于點(diǎn)O，，AE平分BF，AF平分∠DAE．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)F作，F(xiàn)P與AE交于點(diǎn)P，先證明再證明從而可得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)F作，F(xiàn)P與AE交于點(diǎn)P，連接EF，PB，證明，結(jié)合，證明△BEP∽△AEB，可得，從而可得結(jié)論.(1)證明：如圖1，過點(diǎn)F作，F(xiàn)P與AE交于點(diǎn)P，∴，∵AE平分BF，即，又，∴△POF≌△EOB，∴，，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∵AF平分∠DAE，∴，∴，∴．(2)如圖2，過點(diǎn)F作，F(xiàn)P與AE交于點(diǎn)P，連接EF，PB．∵，AF平分∠DAE，，∴△AEF≌△ADF，∴，又在中，，又由（1）知：△POF≌△EOB，四邊形BEFP是平行四邊形，∴，∴，又，∴△BEP∽△AEB，∴，∴，又，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，“熟練運(yùn)用以上知識，作出適當(dāng)?shù)妮o助線”是解本題的關(guān)鍵.6．（2022·湖南長沙·八年級階段練習(xí)）已知：如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B．求證：AE=BC．【答案】見解析【分析】先通過延長CD到F使DF=CD，連接AF，構(gòu)造出△BCD的全等三角形△AFD，由全等三角形性質(zhì)可得∠F=∠BCD，BC=AF，又根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到CD=BD，∠B=∠BCD，由等量代換和等角對等邊就可推出AE=BC．【詳解】證明：延長CD到F使DF=CD，連接AF，如圖∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，在△ADF與△BCD中，，∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能正確構(gòu)造出全等三角形是做出本題的重點(diǎn)．7．（2020·海南·?？谑械谄咧袑W(xué)八年級期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．【答案】(1)對頂角相等；BD；SAS(2)(3)【分析】（1）延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，根據(jù)SAS定理證明△ABD≌△ECD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計算；（3）延長AD交EC的延長線于F，證明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．(1)延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（對頂角相等）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案為：對頂角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案為；(3)延長AD交EC的延長線于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件．8．（2022·全國·一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長；(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；(3)求證：CE＝AB．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積公式計算，求出CD；（2）根據(jù)題意得到BD﹣AD＝2DE，根據(jù)勾股定理計算即可證明；（3）延長CE至點(diǎn)F，使EF＝CE，連結(jié)AF，證明△AEF≌△BEC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再證明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，證明結(jié)論．(1)解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC?BC＝AB?DE，即×3×4＝×5×CD，解得：CD＝；(2)證明：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，∵CD⊥AB，∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB?2DE＝2DE?AB；(3)證明：延長CE至點(diǎn)F，使EF＝CE，連結(jié)AF，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（SAS），∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，∴∠CAF＝∠ACB＝90°，∵AC＝CA，∴△ACF≌△CAB（SAS），∴CF＝AB，∵CF＝2CE，∴CE＝AB．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算、勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·新疆·烏魯木齊市第四中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，已知AE=EF．求證：AC=BF．【答案】見解析【分析】延長AD到G，使得DG=AD，連接BG，證明△ADC≌△GDB（SAS）得到AC=BG且∠CAD=∠G，再由等腰三角形的性質(zhì)得到AE=EF，繼而證明BG=BF，據(jù)此解題．【詳解】證明：延長AD到G，使得DG=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中∴△ADC≌△GDB（SAS）∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF∴∠EFA=∠EAF∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∵AC=BG∴BF=AC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊對等角、等角對等邊等知識，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．11．（2021·山東威?！て吣昙壠谥校?shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．【答案】（1）；；；；（2）見解析；（3）8．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進(jìn)而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點(diǎn)F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點(diǎn)F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．12．（2020·北京·八年級單元測試）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE=EF．求證：AC=BF．經(jīng)過討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：完成下面問題：（1）①思路一的輔助線的作法是：；②思路二的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過程）．【答案】（1）①延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG；②作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G；（2）見解析【分析】（1）①依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE=EF可以進(jìn)一步證得∠G=∠FAE=∠AFE=∠BFG，從而證明結(jié)論；②作BG=BF交AD的延長線于點(diǎn)G，利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，證出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①如圖①，延長AD至點(diǎn)G，使DG＝AD，連接BG，∵AD為△ABC中線，∴BD=CD，在△ADC和△GDB中，∵AD=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG，∵AE=EF，∴∠CAD=∠EFA，∵∠BFG=∠G，∠G=∠CAD，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF，∴AC=BF；②如圖②，作BG＝BF交AD的延長線于點(diǎn)G，∵BG=BF，∴∠G=∠BFG，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠EAF，在△ADC和△