初中數(shù)學(xué)120大招-84 對角互補模型

中考數(shù)學(xué)幾何模型3：對角互補模型名師點睛撥開云霧開門見山共頂點模型，即四邊形或構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。主要：含90°的對角互補，含120°的對角互補，兩種類型，種類不同，得出的個別結(jié)論會有所區(qū)別。解決此類題型常用到的輔助線畫法主要有兩種：旋轉(zhuǎn)法和過頂點作兩垂線.類型一：含90°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2類型二：含120°的對角互補模型（1）如圖，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，則有以下結(jié)論：；；作法1作法2（2）如圖，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，當(dāng)∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D時，則有以下結(jié)論：；； 作法1作法2典題探究啟迪思維探究重點例題1.如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值．【解答】解：當(dāng)OP∥AD或OP經(jīng)過C點，重疊部分的面積顯然為正方形的面積的，即25，當(dāng)OP在如圖位置時，過O分別作CD，BC的垂線垂足分別為E、F，如圖在Rt△OEG與Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，∴S四邊形OHCG＝S四邊形OECF＝25，即兩個正方形重疊部分的面積為25．變式練習(xí)>>>1.角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．（1）求證：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的邊長為4，E為OM的中點，求MN的長．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；例題2.四邊形ABCD被對角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一條對角線AC的長度為2，求四邊形ABCD的面積．【解答】解：將△ABC繞點A旋轉(zhuǎn)90°，使B與D重合，C到C′點，則有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直線上，則ACDC′是三角形，又因為AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形ACC′的面積，所以S四邊形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．變式練習(xí)>>>2.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若這個四邊形的面積為12，則BC+CD=_______.答案：例題3.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當(dāng)PE＝2PF時，AP＝3．【解答】解：如圖作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，設(shè)PQ＝4x，則AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案為3．變式練習(xí)>>>3.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：如圖，連接BF，取BF的中點O，連接OE，OC．∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F(xiàn)，E四點共圓，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故選：B．【本題兩種方法解答，過E作兩垂線亦可】例題4.用兩個全等且邊長為4的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結(jié)論？（直接寫出結(jié)論，不用證明）；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖2），你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？說明理由；（3）在上述情況中，△AEC的面積是否會等于？如果能，求BE的長；如果不能，請說明理由．【解答】解：（1）BE＝CF．證明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（3）能．△AEC的CE邊上的高為等邊△ABC的高，為2，∵△AEC的面積等于，∴底邊CE＝2，∴BE＝6或2．變式練習(xí)>>>4.我們規(guī)定：橫、縱坐標(biāo)相等的點叫做“完美點”．（1）若點A（x，y）是“完美點”，且滿足x+y＝4，求點A的坐標(biāo)；（2）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是正方形，點A坐標(biāo)為（0，4），連接OB，E點從O向B運動，速度為2個單位/秒，到B點時運動停止，設(shè)運動時間為t．①不管t為何值，E點總是“完美點”；②如圖2，連接AE，過E點作PQ⊥x軸分別交AB、OC于P、Q兩點，過點E作EF⊥AE交x軸于點F，問：當(dāng)E點運動時，四邊形AFQP的面積是否發(fā)生變化？若不改變，求出面積的值；若改變，請說明理由．【解答】解（1）∵點A（x，y）是“完美點”∴x＝y(tǒng)∵x+y＝4∴x＝2，y＝2∴A點坐標(biāo)（2，2）（2）①∵四邊形OABC是正方形，點A坐標(biāo)為（0，4），∴AO＝AB＝BC＝4∴B（4，4）設(shè)直線OB解析式y(tǒng)＝kx過B點∴4＝4kk＝1∴直線OB解析式y(tǒng)＝x設(shè)點E坐標(biāo)（x，y）∵點E在直線OB上移動∴x＝y(tǒng)∴不管t為何值，E點總是“完美點”．例題5.已知，點P是∠MON的平分線上的一動點，射線PA交射線OM于點A，將射線PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)交射線ON于點B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用圖1，求證：PA＝PB；（2）如圖2，若點C是AB與OP的交點，當(dāng)S△POB＝3S△PCB時，求PB與PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射線AP交ON于點D，且滿足且∠PBD＝∠ABO，請借助圖3補全圖形，并求OP的長．【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足為E、F∵四邊形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，∴∠EPA＝∠FPB，由角平分線的性質(zhì)，得PE＝PF，∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；（2）∵S△POB＝3S△PCB，∴PO＝3PC，由（1）可知△PAB為等腰三角形，則∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，∴＝，即PB2＝PO?PC＝3PC2，∴＝達(dá)標(biāo)檢測領(lǐng)悟提升強化落實1.如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE，連結(jié)DE、DF、EF，在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③四邊形CDFE的面積保持不變；④DE長度的最小值為4；⑤△CDE面積的最大值為8，其中正確的結(jié)論是______________.答案：①②③2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于點E，且四邊形ABCD的面積為8，求BE的長.答案：3.如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE＝2CE，連接BE．過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF．求：（1）CF的長；（2）OF的長．【解答】解：（1）如圖，在BE上截取BG＝CF，連接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG與△OCF中，，∴△OBG≌△OCF（SAS），∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF?BE，則62＝BF?2解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF?EF，∴CF＝；4.如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN＝α，將∠QPN繞點P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．（1）如圖①，當(dāng)α＝90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是DE+DF＝AD；（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC＝120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α＝60°時，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF＝AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．【解答】解：（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，∵四邊形ABCD為∠ADC＝120°的菱形，∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，∴△MDP是等邊三角形，∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，∵∠PAM＝30°，∴∠MPD＝60°，∵∠QPN＝60°，∴∠MPE＝∠FPD，在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；5.“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D．”這里，根據(jù)已學(xué)的相似三角形的知識，易證：＝．在圖1這個基本圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)添加條件“如圖2，點E是直線AC上一動點，連接DE，過點D作FD⊥ED，交直線BC于點F，設(shè)＝．”（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖②，若m＝n，點E在線段AC上，則＝1；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖3，若點E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點E在直線AC上運動時，①中的結(jié)論是否仍然成立？請僅就圖4的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請直接寫出CE的長．【解答】解：（1）當(dāng)m＝n時，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案為1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案為．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①當(dāng)E在線段AC上時，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根據(jù)勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而