初中數(shù)學(xué)120大招-87 數(shù)學(xué)班主任精準(zhǔn)攻克2022年中考全等三角形的常見輔助線

數(shù)學(xué)班主任精準(zhǔn)攻克2022年中考全等三角形的常見輔助線《知識(shí)框架》1)全等中常見輔助線總結(jié)2）角平分線中常見輔助線總結(jié)全等三角形的證明及其常見輔助線（一）核心知識(shí)聚焦1.遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，或在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；遇到角平分線加垂線，則延長線段與角的另一邊相交，構(gòu)造等腰三角形2.遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題；3.遇到角平分線或等腰三角形，利用“翻折”，“旋轉(zhuǎn)”思維模式來構(gòu)造全等三角形角平分線模型知識(shí)精講1. 過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等的性質(zhì)來解決問題，例：已知：P是平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則.2. 若題目中已經(jīng)有了角平分線和角平分線上一點(diǎn)到一邊的垂線段（距離），則作另一邊的垂線段，例：已知：AD是的平分線，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則.3. 在角的兩邊上取相等的線段，結(jié)合角平分線構(gòu)造全等三角形（角邊等，造全等），例：已知：點(diǎn)D是平分線上的一點(diǎn)，在OA、OB上分別取點(diǎn)E、F，且，連接DE、DF，則.4. 過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，例：已知：點(diǎn)D是平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，則是等腰三角形，即.證明：是的平分線，，又，是等腰三角形.5. 有角平分線時(shí)，過角一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊所在直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角形，例：已知：OC平分，點(diǎn)D是OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交OB的反向延長線于點(diǎn)E，則.6. 從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的另一邊相交，則可得到一個(gè)等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，點(diǎn)D在OA上，DE⊥OE，則可延長DE交OB于點(diǎn)F，則DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分線時(shí)，可將等角放到直角三角形中，構(gòu)造相似三角形，也可以另加一對相等的角構(gòu)造相似三角形，例：（1）已知：OC平分，點(diǎn)E、F分別在OA、OB上，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，則，如圖所示：（2）已知：OC平分，點(diǎn)E、F在OC上，作于點(diǎn)M，作于點(diǎn)N，則，如圖所示：（3）已知：OC平分，點(diǎn)E、F在OC上，作，則，如圖所示：8. 利用“在同圓或等圓中，相等的圓周角（圓心角）所對的弦相等”可得相等線段，例：已知：∠BAC是圓O的圓周角，∠DOE是圓O的圓心角，AF平分∠BAC，OG平分∠DOE，連接BF、CF、DG、EG，則BF＝CF，DG＝EG.9. 【內(nèi)內(nèi)模型】如圖，兩個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)D，則.證明：平分，平分，，在中，①在中，②，由得，即.10. 【內(nèi)外模型】如圖，的一個(gè)內(nèi)角平分線和一個(gè)外角平分線交于點(diǎn)D，則.證明：平分，平分，，在中，，即①在中，②由得，即.11. 【外外模型】如圖，兩個(gè)外角的角平分線交于點(diǎn)D，則.證明：平分，平分，，在中，，即①，②由①＝②，得，在中，，，，即，由④可得，代入③式可得，整理可得.題模一：角平分線類例1.1.1已知，AC平分∠MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上．（1）如圖1，若，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】見解析【解析】（1）關(guān)系是：．證明：∵AC平分∠MAN，∴又，∴則（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）∴；（2）仍成立．證明：過點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F∵AC平分∠MAN∴（角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）∵，∴又，∴△CED≌△CFB（AAS）∵，∴由（1）知，∴．例1.1.2如圖，已知，，BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，求證：．【答案】見解析【解析】延長CE，交BA的延長線于點(diǎn)F．∵BD為∠ABC的平分線，CE⊥BE，∴△BEF≌△BEC，∴，．∵，CE⊥BE，∴，又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴．例1.1.3如圖，，平分，平分，點(diǎn)在上．①探討線段、和之間的等量關(guān)系．②探討線段與之間的位置關(guān)系．【答案】見解析【解析】①；②．證明如下：在線段上取點(diǎn)，使，連結(jié)．在和中∴∴，∵而∴在和中∴∴，∴，技巧提升：作平行線法作平行，構(gòu)造全等．利用的思維模式是全等變換中的“平移”．【例題1】1.△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ．（有多種輔助線作法）【答案】見解析【解析】【分析】方法一，延長AB到D，使BD＝BP，連接PD，根據(jù)已知條件求得各個(gè)角的值，發(fā)現(xiàn)∠4＝∠C，，進(jìn)而得QB＝QC，，再根據(jù)△APD≌△APC，得AD＝AC，等量代換之后得證；方法二，過點(diǎn)P作PD//BQ交CQ于點(diǎn)D，結(jié)合已知條件可得BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC，證明△ABP≌△ADP，可得AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC，等量代換之后得證；【詳解】方法一、證明：延長AB到D，使BD＝BP，連接PD，則∠D＝∠5.∵AP，BQ分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180°－60°－40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°，∴＝40°,在△APD與△APC中，，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB＋BD＝AQ＋QC，∴AB＋BP＝BQ＋AQ．方法二、如圖，過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，BQ平分∠ABC∴∠CBQ＝∠ABC＝×80°＝40°，∴∠CBQ＝∠ACB，∴BQ＝CQ，∴BQ＋AQ＝CQ＋AQ＝AC①，∵PD∥BQ∴∠CPD＝∠CBQ＝40°，∴∠CPD＝∠ACB＝40°，∴PD＝CD，∠ADP＝∠CPD＋∠ACB＝40°＋40°＝80°，∵∠ABC＝80°，∴∠ABC＝∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵在△ABP與△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB＝AD，BP＝PD，∴AB＋BP＝AD＋PD＝AD＋CD＝AC②，由①②可得，BQ＋AQ＝AB＋BP．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，等角對等邊，熟練以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．全等三角形的證明及其常見輔助線（二）核心知識(shí)聚焦1.截長補(bǔ)短法：截長補(bǔ)短法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等；2.截長補(bǔ)短法適用于當(dāng)已知或求證中涉及線段的和、差、倍、分時(shí)，通過截長補(bǔ)短將問題轉(zhuǎn)化為兩條線段相等；3.通過截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在幾何證明的運(yùn)用.截長補(bǔ)短模型證明問題【專題說明】截長補(bǔ)短法在初中幾何教學(xué)中有著十分重要的作用,它主要是用來證線段的和差問題,而且這種方法一直貫穿著整個(gè)幾何教學(xué)的始終.那么什么是截長補(bǔ)短法呢?所謂截長補(bǔ)短其實(shí)包含兩層意思,即截長和補(bǔ)短.截長就是在較長的線段上截取一段等于要證的兩段較短的線段中的一段,證剩下的那一段等于另外一段較短的線段.當(dāng)條件或結(jié)論中出現(xiàn)a+b=c時(shí)，用截長補(bǔ)短．【知識(shí)總結(jié)】1、補(bǔ)短法：通過添加輔助線“構(gòu)造”一條線段使其為求證中的兩條線段之和，在證所構(gòu)造的線段和求證中那一條線段相等；2、截長法：通過添加輔助線先在求證中長線段上截取與線段中的某一段相等的線段，在證明截剩部分與線段中的另一段相等。3、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明，這種做法一般遇到證明三條線段之間關(guān)系是常用.如圖1，若證明線段AB,CD,EF之間存在EF=AB+CD,可以考慮截長補(bǔ)短法.截長法：如圖2，在EF上截取EG=AB,在證明GF=CD即可；補(bǔ)短法：如圖3，延長AB至H點(diǎn)，使BH=CD,再證明AH=EF即可.【類型】一、截長“截長”是指在較長的線段上截取另外兩條較短的線段，截取的作法不同，涉及四種方法。方法一：如圖2所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，F(xiàn)G∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.圖2方法二：如圖2所示，在BF上截取FM=GC，可證四邊形GCFM為平行四邊形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△BCD和△MCF。方法三：如圖3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可證得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，得四邊形BCGK為平行四邊形，BK=CG，于是BF=BK+KF=CG+DF.圖3方法四：如圖3所示，在BF上截取BK=CG，可得四邊形BCGK為平行四邊形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，根據(jù)四邊形BCFD為圓的內(nèi)接四邊形，可證得∠BFC=45°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述兩種方法中都利用了兩個(gè)共頂點(diǎn)的等腰Rt△BDC和△KDF。【類型】二、補(bǔ)短“補(bǔ)短”指的是選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破，根據(jù)輔助線作法的不同也涉及四種不同的方法。方法五：如圖4所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.圖4方法六：如圖4所示，延長GC至N，使NG=BF，得四邊形BFGN為平行四邊形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又CD=BC，可證△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下從略.方法七：如圖5所示，延長CG至P，使CP=BF，連接PF，則四邊形CPFB為平行四邊形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠DEC，因?yàn)椤螾FG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，又可證∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.圖5方法八：如圖5所示，延長CG至P，使GP=DF，連接PF，可證∠DFC=∠PGF=135°，F(xiàn)C=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四邊形BCPF為平行四邊形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如圖6所示，延長DE至Q，使DQ=BF，連接CQ，GQ，可證△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ為等腰直角三角形，可得四邊形FCQG為正方形，F(xiàn)Q=CG，所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.圖6方法十：如圖6所示，延長FE至Q，使FQ=CG，通過證明四邊形FCQG為正方形，△BCF≌△DCQ，同樣可以證明結(jié)論成立。感興趣的讀者可以自行證明，詳細(xì)思路從略。方法十一：如圖7所示，延長FD至H，使DH=CG，可證得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，則∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH為等腰直角三角形，于是BF=HF=DF+DH=DF+CG.圖7方法十二：如圖7所示，延長FD至H，使FH=BF，可得△BFH為等腰直角三角形，于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，所以△BDH∽△BCF，所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.經(jīng)過上述分析，可知采取不同的切入點(diǎn)，解題思路會(huì)有差異。方法1截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點(diǎn)F，使DF=DC，證AF=BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點(diǎn)M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點(diǎn)M處，使DM=AD，證CM=BE（3）旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個(gè)圖形的短邊共線）例：如圖，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求證BM+CN=MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE=MN題模：截長補(bǔ)短類例1.3.1如圖所示，是邊長為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長．【答案】見解析【解析】如圖所示，延長到使．在與中，因?yàn)?，，，所以，故．因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，所以．在與中，，，，所以，則，所以的周長為．典例1．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進(jìn)而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；證明見解析．【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；（2）延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題．【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF．（2）結(jié)論EF＝BE+DF仍然成立；理由：延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，如圖2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．典例突破：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究的方法是：延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論是（直接寫結(jié)論，不需證明）；（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由詳見解析；（3）14．【分析】（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，由“SAS”可證△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可證△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；（2）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；（3）延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，由“SAS”可證△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可證△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．【詳解】證明：（1）延長FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF，故答案為：EF＝BE+DF；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG與△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD；如圖，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，核心知識(shí)聚焦1.倍長中線：遇到已知條件或要證明的結(jié)論中出現(xiàn)中點(diǎn)或中線時(shí)，常將過中點(diǎn)的線段倍長，構(gòu)造全等三角形；2.倍長中線是延長過中點(diǎn)的線段與原中線長相等，形成兩條線段互相平分，從而構(gòu)造出全等三角形；3.倍長中線利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”，把一個(gè)三角形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到與之中心對稱的三角形.∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．題模二：中點(diǎn)類例1.2.1如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長交于，與相等嗎？為什么？【答案】見解析【解析】延長到，使，連結(jié)∵，，∴．∴．又∵，∴∴，而∴，故．例1.2.2（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠A=90°，D為BC中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，ED⊥DF，連接EF，求證：線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；（2）已知：如圖2，∠A=120°，D為BC中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，ED⊥DF，連接EF，請你找出一個(gè)條件，使線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，給出證明．【答案】（1）見解析（2）當(dāng)線段時(shí)，線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形【解析】該題考查的是三角形綜合．（1）證明：延長FD到G使，連接BG，EG，∵D為BC中點(diǎn)，∴，∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴線段BE、BG、EG總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，∵，∴線段BE、FC、EF總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形；（2）當(dāng)線段時(shí)，線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，證明：延長FD到W使，連接BW，EW，∵D為BC中點(diǎn)，∴，在△BDW和△CDF中，∴△BDW≌△CDF（SAS）∴，∵∴，∵，∴，∴，即，∴當(dāng)線段（或，）時(shí)，BE、BW、EW能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形；∵，∴當(dāng)線段（或，）時(shí)，線段BE、FC、EF能構(gòu)成一個(gè)等邊三角形．方法一作平行線法作平行，構(gòu)造全等．利用的思維模式是全等變換中的“平移”．典例1如圖1，已知和都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線段AB上．（1）過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)G，試判斷的形狀并說明理由；（2）求證：；（3）如圖2，若點(diǎn)D在射線CA上，且，求證：．【答案】（1）是等邊三角形，理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得；（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，據(jù)此根據(jù)線段的和差、等量代換即可得證．【詳解】（1）是等邊三角形，理由如下：如圖，過點(diǎn)E作交AC于點(diǎn)G，是等邊三角形，，，是等邊三角形；（2）和是等邊三角形，，，即，在和中，，，，，；（3）由（2）知，，，，，，，由（2）已證：，，和是等邊三角形，，在中，，在中，，，在和中，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確找出兩個(gè)三角形全等的條件是解題關(guān)鍵．方法二作垂直法作垂直，構(gòu)造全等．分為做1條垂直輔助線和2條垂直輔助線．可以利用通過作角平分線上的點(diǎn)兩邊的距離得全等，或截取等長線段得全等；思維模式是全等變換中的“軸對稱”即“對折”．【例題2】7.如圖，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求證：CD⊥AC．【答案】見解析【解析】【分析】過D作DE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根據(jù)SAS證△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．【詳解】過D作DE⊥AB于E，∵AD＝BD，DE⊥AB∴AE＝AB，∠DEA＝90°，∵2AC＝AB∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中，，∴△DEA≌△DCA，∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DEA≌△DCA，主要培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較好，難度適中．變式18.如圖所示，在四邊形中，平分，求證：．【答案】詳見解析【解析】【分析】過點(diǎn)C分別作于E，于F，由條件可得出△CDF≌△CEB，可得∠B=∠FDC，進(jìn)而可證明∠B+∠ADC=180°．【詳解】證明：過點(diǎn)C分別作于E，于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，于F，∴CF=CE，在Rt△CDF與Rt△CEB中，∴，，，.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明△CDF≌△CEB進(jìn)而得出∠B=∠FDC．變式29.已知：∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分線,將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng),兩直角邊分別與OA、OB交于C、D.求證：PC=PD.【答案】見解析【解析】【分析】過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分線的性質(zhì)易得PE＝PF，然后由同角的余角相等證明∠1＝∠2，即可由ASA證明△CFP≌△DEP，從而得證．【詳解】證明：過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP=∠DEP=90°,∵OM是∠AOB的平分線，∴PE=PF,∵∠1+∠FPD=90°又∵∠AOB=90°∴∠FPE=90°，∴∠2+∠FPD=90°∴∠1=∠2,∵在△CFP和△DEP中：，∴△CFP≌△DEP(ASA)∴PC=PD.【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度中等，作輔助線很關(guān)鍵．變式310.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長線交AB于點(diǎn)F，連接DF．求證：∠ADC＝∠BDF．【答案】見解析【解析】【分析】作BG⊥CB，交CF的延長線于點(diǎn)G，由ASA證明△ACD≌△CBG，得出CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，證出BG＝BD，∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，再由SAS證明△BFG≌△BFD，得出∠FGB＝∠FDB，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：作BG⊥CB，交CF的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠BCG，在△ACD和△CBG中，，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，∵CD＝BD，∴BG＝BD，∵∠ABC＝45°，∴∠FBD＝∠GBF＝∠CBG，在△BFG和△BFD中，，∴△BFG≌△BFD（SAS），∴∠FGB＝∠FDB，∴∠ADC＝∠BDF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；本題有一定難度，需要通過作輔助線兩次證明三角形全等才能得出結(jié)論．變式411.如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．(1)求證：AE平分∠BAD．(2)求證：AD＝AB＋CD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）過點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，首先根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，根據(jù)等量代換可得BE=EF，再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分∠BAD；（2）首先證明Rt△DFE和Rt△DCE可得DC=DF，同理可得AF=AB，再由AD=AF+DF利用等量代換可得結(jié)論；【詳解】（1）證明：過點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥AD，∴AE平分∠BAD．（2）證明：AD=CD+AB，∵∠C=∠DFE=90°，∴在Rt△DFE和Rt△DCE中，∴Rt△DFE和Rt△DCE（HL），∴DC=DF，同理AF=AB，∵AD=AF+DF，∴AD=CD+AB；【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理．培優(yōu)變式512.已知如圖,在△ABC中,以AB、AC為直角邊,分別向外作等腰直角三角形ABE、ACF,連結(jié)EF,過點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,反向延長DA交EF于點(diǎn)M.（1）用圓規(guī)比較EM與FM的大小.（2）你能說明由(1)中所得結(jié)論的道理嗎?【答案】(1)EM=FM；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）直接用圓規(guī)比較兩線段的大小；（2）作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K.先說明Rt△EHA≌Rt△ADB,得EH=AD,Rt△FKA≌Rt△ADC,得FK=AD,得EH=FK,在Rt△EHK與Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM,得EM=FM.【詳解】解：（1）EM=FM（2）作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K,則∠AHE=90?,∠AKF=90?,因?yàn)椋珹D⊥BC,所以，∠ADB=90?,所以，∠ABD+∠BAD=90?,又因?yàn)?，△ABE是等腰直角三角形，所以，AE=AB,∠BAE=90?,所以，∠EAH+∠BAD=90?,所以，∠EAH=∠ABD，所以，Rt△EHA≌Rt△ADB（AAS），所以，EH=AD，同理：Rt△FKA≌Rt△ADC，F(xiàn)K=AD，所以EH=FK在Rt△EHK與Rt△FKM中,所以，Rt△EHM≌Rt△FKM（AAS）得EM=FM.【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：全等三角形的判定和性質(zhì).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記全等三角形的判定和性質(zhì).方法三倍長中線法倍長中線主要用于證明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定過程中，遇到一般三角形邊上的中線或中點(diǎn)，考慮中線倍長；思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”，可轉(zhuǎn)移元素或?qū)⒎稚⒌臈l件聚集攏來．其主要的圖形特征和證明方法如圖：已知：在三角形ABC中，O為BC邊中點(diǎn)，輔助線：延長AO到點(diǎn)D使AO＝DO，結(jié)論：△AOB≌△DOC證明：延長AO到點(diǎn)D使AO＝DO，由中點(diǎn)可知，OB＝OC，在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC同理在下圖中仍能得到△AOB≌△DOC規(guī)律總結(jié)：由倍長中線法證明三角形全等的過程一般均是用SAS的方法，這是由于作出延長線后出現(xiàn)的對頂角決定的．補(bǔ)充：關(guān)于倍長中線的其他方法①向中線做垂直，易證△BEO≌△CDO步驟：延長AO到點(diǎn)D，過點(diǎn)B，C分別向AD作垂線，垂足為E，D，易證△BEO≌△CDO（AAS）②過中線做任意三角形證明全等，易證△BDO≌△CEO步驟：在AC上任意選取一點(diǎn)E，連接EO并延長到點(diǎn)D，使EO＝DO，連接BD，易證△BDO≌△CEO（SAS）點(diǎn)撥：倍長中線的思路：已知中線——作中線倍長線——證全等——找大小關(guān)系【例題3】13.如圖，是的中線，分別在邊上（不與端點(diǎn)重合），且，則（）．A. B.C. D.與的長短關(guān)系不確定【答案】A【解析】【分析】延長至點(diǎn)G，使，連接，證明，可得，進(jìn)而根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得．【詳解】如圖，延長至點(diǎn)G，使，連接，是邊上的中線，,又，是的垂直平分線，，又(SAS)，，．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，證明是解題的關(guān)鍵．變式14.如圖，為AD上的中點(diǎn)，則BE＝______．【答案】【解析】【分析】延長BE交CD于點(diǎn)F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運(yùn)用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點(diǎn)F,∵AB平行CD，則∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，又E為AD上的中點(diǎn)，∴BE=EF,所以.∴∴在直角三角形BCF中，BF==.∴.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運(yùn)用勾股定理求解.變式15.如圖，中，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．【答案】；【解析】【分析】延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關(guān)系計(jì)算．【詳解】如圖：延長至使，連接在和中：∴∴∵∴∴∵∴∴∴即∴【點(diǎn)睛】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關(guān)的角的代換是解決本題的關(guān)鍵．變式16.如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求證：AB＝CD.【答案】見解析【解析】【分析】此題要證明AB=CD，不能通過證明△ABE和△CED全等得到，因?yàn)楦鶕?jù)已知條件無法證明它們?nèi)?；那么可以利用等腰三角形的性質(zhì)來解題，為此必須把AB和CD通過作輔助線轉(zhuǎn)化到一個(gè)等腰三角形中，而延長DE到F，使EF=DE，連接BF就可以達(dá)到要求，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)就可以證明題目的問題．【詳解】證明：延長DE至點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF.∵E是BC的中點(diǎn)∴BE＝CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED∴∠BFE＝∠CDE，BF＝CD又∵∠BAE＝∠CDE∴∠BFE＝∠BAE∴AB＝BF又∵BF=CD，∴AB＝CD【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；一般證明線段相等大多數(shù)是通過全等三角形解決問題，有時(shí)沒有全等三角形時(shí)，可以利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．變式17.某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是的中線，延長AD至點(diǎn)E，使，連接BE，證明：．【理解與應(yīng)用】（2）如圖2，EP是的中線，若，，設(shè)，則x的取值范圍是________．（3）如圖3，AD是的中線，E、F分別在AB、AC上，且，求證：．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，結(jié)合前面的做題思路，利用三角形三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】（1）證明：，，，，（2）；如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，在與中，，，，在中，，即，的取值范圍是；故答案為：；（3）延長FD至G，使得，連接BG，EG，在和中，，，，，，在和中，，，，，，在中，兩邊之和大于第三邊，，又，，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．培優(yōu)變式18.問題探究：小紅遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，中，，，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長AD到E，使，連接BE，證明，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請回答：（1）小紅證明的判定定理是：__________________________________________；（2）AD的取值范圍是________________________；方法運(yùn)用：（3）如圖2，AD是的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長交AC于點(diǎn)E，使，求證：．（4）如圖3，在矩形ABCD中，，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作，且，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：．【答案】（1）；（2）；（3）見解析；（4）見解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中線與輔助線條件，直接證明，從而可得證明全等的依據(jù)；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到求解的范圍，從而可得答案；（3）延長至點(diǎn)，使，證明，利用全等三角形的性質(zhì)與，證明，得到，從而可得答案；（4）延長至點(diǎn)使，連接、、，證明，得到，利用銳角三角函數(shù)證明，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)可得是直角三角形，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖，AD是中線，在與中，故答案為：（2）故答案為：（3）證明：延長至點(diǎn)，使，∵是的中線∴在和中∴，∴，又∵，∵，∴，又∵，∴∴，又∵∴（4）證明：延長至點(diǎn)使，連接、、∵G為的中點(diǎn)∴在和中∴∴在中，∵，∴又矩形中，∴，∴，∴，又，∴，∴，又為的外角，∴，即，∵，∴，∴，即，在和中，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵G為的中點(diǎn)，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是倍長中線法證明三角形全等，同時(shí)考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)1角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題；【例1】如圖，已知BP平分∠ABC，PD⊥BC于D，BF+BE＝2BD，求證：∠BFP+∠BEP＝180°．【分析】過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD＝PH，利用“HL”證明Rt△BDP和Rt△BHP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD＝BH，再求出DE＝FH，然后利用“邊角邊”證明△ODE和△PHF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEP＝∠PFH，然后根據(jù)∠BFP+∠PFH＝180°等量代換即可得證．【答案】證明：如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H，∵BP平分∠ABC，PD⊥BC，∴PD＝PH，在Rt△BDP和Rt△BHP中，，∴Rt△BDP≌Rt△BHP（HL），∴BD＝BH，∵BF+BE＝2BD，∴BD﹣BF＝BE﹣BD，即BH﹣BF＝BE﹣BD，∴FH＝DE，在△ODE和△PHF中，，∴△ODE≌△PHF（SAS），∴∠BEP＝∠PFH，∵∠BFP+∠PFH＝180°，∴∠BFP+∠BEP＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出DE＝FH．【變式1-1】（2019秋?漢陽區(qū)期中）已知：∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分線，將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB交于C、D．（1）PC和PD有怎樣的數(shù)量關(guān)系是．（2）請你證明（1）得出的結(jié)論．【分析】過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，由角平分線的性質(zhì)易得PE＝PF，然后由同角的余角相等證明∠1＝∠2，即可由ASA證明△CFP≌△DEP，從而得證．【答案】解：（1）PC＝PD．（4分）（2）過P分別作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∴∠CFP＝∠DEP＝90°，（6分）∵OM是∠AOB的平分線，∴PE＝PF，（7分）∵∠1+∠FPD＝90°，（直角三角板）又∵∠AOB＝90°，∴∠FPE＝90°，∴∠2+∠FPD＝90°，∴∠1＝∠2，（9分）在△CFP和△DEP中，∴△CFP≌△DEP（ASA），（10分）∴PC＝PD．（12分）【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度中等，作輔助線很關(guān)鍵．【變式1-2】（2019?北京校級期中）已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，點(diǎn)B、D分別在AN、AM上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠ADC＝90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明之；（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）得到∠ACD＝∠ACB＝30°后再可以證得AD＝AB＝AC從而，證得結(jié)論；（2）過點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF，從而證得結(jié)論．【答案】（1）關(guān)系是：AD+AB＝AC（1分）證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°∴∠CAD＝∠CAB＝60°又∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°（2分）則AD＝AB＝AC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）（4分）∴AD+AB＝AC（5分）；（2）仍成立．證明：過點(diǎn)C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F（6分）∵AC平分∠MAN∴CE＝CF（角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）（7分）∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°∴∠CDE＝∠ABC又∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB（AAS）（10分）∵ED＝FB，∴AD+AB＝AE﹣ED+AF+FB＝AE+AF（11分）由（1）知AE+AF＝AC（12分）∴AD+AB＝AC（13分）【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是一道比較好的綜合題．【變式1-3】（2019秋?東區(qū)校級月考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不需證明）（2）如圖③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【分析】圖①根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，過點(diǎn)P作PA⊥OM于A，作PB⊥ON于B，△POA和△POB即為關(guān)于直線OP對稱的全等三角形；（1）猜想FE＝FD；（2）過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得FG＝FH＝FK，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠GFH＝120°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AFC＝120°，根據(jù)對頂角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角邊”證明△EFG和△DFH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE＝FD．【答案】解：圖①如圖所示；（1）FE＝FD；（2）如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴FG＝FH＝FK，在四邊形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∠B＝60°，∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，遇到角平分線，作角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【考點(diǎn)2截取法構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】利用對稱性，在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；【例2】（2019秋?黃浦區(qū)校級期中）已知：在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，且∠C＝60°，BD平分∠ABC，求證：BC＝AB+DC．【分析】先在BC上截取BE＝BA，根據(jù)已知條件證明△BAD≌△BED，進(jìn)而可得出AD＝DE，∠A＝∠BED，再根據(jù)∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∠C＝60°，可知△CDE是等邊三角形，故可得出結(jié)論．【答案】證明：在BC上截取BE＝BA，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD，在△BAD和△BED中，∵∴△BAD≌△BED（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠BED，∵∠BED+∠DEC＝180°，∠A+∠C＝180°，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DC＝AD∵∠C＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD＝CE，∴BC＝BE+CE＝AB+CD．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分別平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE，CD，BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】在CB上取點(diǎn)G使得CG＝CD，可證△BOE≌△BOG，得BE═BG，可證△CDO≌△CGO，得CD＝CG，可以求得BE+CD＝BC．【答案】解：在BC上取點(diǎn)G使得CG＝CD，∵∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵在△COD和△COG中，，∴△COD≌△COG（SAS），∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，∵在△BOE和△BOG中，，∴△BOE≌△BOG（ASA），∴BE＝BG，∴BE+CD＝BG+CG＝BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證CD＝CG和BE＝BG是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2019秋?邵陽期末）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，AD為∠BAC的角平分線，求證：AB＝AC+CD小明同學(xué)經(jīng)過思考，得到如下解題思路：在AB上截取AE＝AC，連接DE，得到△ADE≌△ADC，從而易證AB＝AC+CD（1）請你根據(jù)以上解思路寫出證明過程；（2）如圖②，若AD為△ABC的外角∠CAE平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，∠D＝25°，其他條件不變，求∠B的度數(shù)．【分析】（1）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B＝∠BDE，求出BE＝DE＝CD，進(jìn)而得出答案；（2）首先得出△AED≌△ACD（SAS），即可得出∠B＝∠EDC，求出BE＝DE＝CD，進(jìn)而得出答案．【答案】證明：（1）在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD為∠ABC的角平分線，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠C＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠B+∠BDE＝∠AED，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝ED＝CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD；（2）在射線BA上截取AE＝AC，連接DE，∵AD為∠EAC的角平分線，∴∠EAD＝∠CAD，在△AED和△ACD中，，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠ACD＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴設(shè)∠B＝x，則∠ACB＝2x，∴∠EAC＝3x，∴∠EAD＝∠CAD＝1.5x，∵∠ADC+∠CAD＝∠ACB＝2x，∴∠ADC＝0.5x＝25°，解得：x＝50°∴∠EDC＝x，∴∠B＝∠EDC＝50°，【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，利用已知得出△AED≌△ACD是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2019?長汀縣校級模擬）觀察、猜想、探究：在△ABC中，∠ACB＝2∠B．（1）如圖①，當(dāng)∠C＝90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，求證：AB＝AC+CD；（2）如圖②，當(dāng)∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；（3）如圖③，當(dāng)AD為△ABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【分析】（1）過D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，理由角平分線性質(zhì)得到ED＝CD，利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，得到AE＝AC，∠AED＝∠ACB，由∠ACB＝2∠B，利用等量代換及外角性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊得到BE＝DE，由AB＝AE+EB，等量代換即可得證；（2）AB＝CD+AC，理由為：在AB上截取AG＝AC，如圖2所示，由角平分線定義得到一對角相等，再由AD＝AD，利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來同（1）即可得證；（3）AB＝CD﹣AC，理由為：在AF上截取AG＝AC，如圖3所示，同（2）即可得證．【答案】解：（1）過D作DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，如圖1所示，∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，又∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝DC，則AB＝BE+AE＝CD+AC；（2）AB＝CD+AC，理由為：在AB上截取AG＝AC，如圖2所示，∵AD為∠BAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ADC中，，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AGD＝2∠B，又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BE＝DG＝DC，則AB＝BG+AG＝CD+AC；（3）AB＝CD﹣AC，理由為：在AF上截取AG＝AC，如圖3所示，∵AD為∠FAC的平分線，∴∠GAD＝∠CAD，∵在△ADG和△ACD中，，∴△ADG≌△ACD（SAS），∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠FGD＝2∠B，又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，∴∠B＝∠GDB，∴BG＝DG＝DC，則AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3延長垂線段構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，構(gòu)成等腰三角形；【例3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點(diǎn)F）．【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根據(jù)角的和差、等量代換，可得∠CBF＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根據(jù)線段的和差、等式的性質(zhì)，可得答案．【答案】證明：如圖：延長BE交AC于點(diǎn)F，∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF．∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA）∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，∴∠C+2∠CBF＝3∠C，∴∠CBF＝∠C．∴BF＝CF，∴BE＝BF＝CF．∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，∴BE＝（AC﹣AB）．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等量代換，等式的性質(zhì)，利用等量代換得出∠CBF＝∠C是解題關(guān)鍵．【變式3-1】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求證：AC﹣AB＝2BE．【分析】延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形對邊相等，CM＝BM利用等量代換即可求證．【答案】證明：延長BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，此題的關(guān)鍵是作好輔助線，延長BE交AC于M，利用三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考查的知識(shí)點(diǎn)較多，是一道難題．【變式3-2】（2019秋?通州區(qū)期末）已知：∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足為E．求證：BD＝2CE．【分析】延長CE、BA交于點(diǎn)F．根據(jù)等角的余角相等，得∠ABD＝∠ACF；再根據(jù)ASA可以證明△ABD≌△ACF，則BD＝CF；根據(jù)ASA可以證明△BCE≌△BFE，則CE＝EF，從而證明結(jié)論．【答案】證明：延長CE、BA交于點(diǎn)F．∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACF．又AB＝AC，∠BAD＝∠CAF＝90°，∴△ABD≌△ACF，∴BD＝CF．∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE．有BE＝BE，∴△BCE≌△BFE，∴CE＝EF，∴CE＝BD，∴BD＝2CE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)；準(zhǔn)確作出輔助線是正確解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2019?成都校級期中）如圖，△ABC中，過點(diǎn)A分別作∠ABC，∠ACB的外角的平分線的垂線AD，AE．D，E為垂足，求證：（1）ED∥BC；（2）ED＝（AB+AC+BC）．【分析】（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點(diǎn)F、G，根據(jù)AD⊥BD，得到∠ADB＝∠FDB＝90°，再根據(jù)BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，證得△ABD≌△FBD，進(jìn)而得到AD＝FD、AE＝EG，證得DE∥BC．（2）根據(jù)上題證得的△ABD≌△FBD，AB＝BF，同理AC＝CG，證得GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，從而證得結(jié)論．【答案】證明：（1）分別延長AD、AE與直線BC交于點(diǎn)F、G，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°，∵BD＝BD，∠ABD＝∠FBD，∴△ABD≌△FBD∴AD＝FD，同理可得AE＝EG，∴DE∥BC；（2）由（1）知△ABD≌△FBD，∴AB＝BF，同理AC＝CG，∵DE＝FG∴GF＝FB+BC+GC＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+BC+AC）【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理及三角形的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的利用中位線定理得到中位線與第三邊的位置或數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)4倍長中線法構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形.【例4】（2019秋?津南區(qū)校級期中）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長BE交AC于F，求證：AF＝EF．【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．【答案】證明：如圖，延長AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作輔助線得到全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)，得到對應(yīng)的角相等，然后證明兩線段相等．【分析】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長AD到點(diǎn)G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對等邊證明AE等于EF．【答案】證明：如圖，延長AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作輔助線得到全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)，得到對應(yīng)的角相等，然后證明兩線段相等．【變式4-1】（2019秋?閔行區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，D是BC邊上點(diǎn)，且DE＝CE，點(diǎn)F在AE上，聯(lián)結(jié)DF，滿足DF＝AC，求證：DF∥AB．【分析】延長FE到G，使EG＝EF．連接CG，由于已知條件通過SAS證得△DEF≌△CEG得到DF＝GC，∠DFE＝∠G，由DF＝AC得到∠G＝∠CAE，繼而由角平分線的性質(zhì)可求得∠BAE＝∠DEF，可證明DF∥AB．【答案】證明：如圖，延長FE到G，使EG＝EF，連接CG．在△DEF和△CEG中，∴△DEF≌△CEG（SAS）．∴DF＝GC，∠DFE＝∠G．∵DF＝AC，∴∠G＝∠CAE，∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE．∴∠G＝∠BAE，∴∠BAE＝∠DFE，∴DF∥AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行求解是正確解決本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2019春?富陽市校級期中）如圖，AD為△ABC的中線，∠ADB和∠ADC的平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．求證：BE+CF＞EF．【分析】延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，證△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，證△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【答案】證明：延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵DE、DF分別為∠ADB和∠ADC的平分線，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度．【變式4-3】（2019秋?啟東市校級月考）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．【分析】延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，證△EFD≌△HFD，推出EF＝FH，證△BDE≌△CDH，推出BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得出CF+CH＞FH，代入求出即可．【答案】證明：延長ED到H，使DE＝DH，連接CH，F(xiàn)H，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∵DE、DF分別為∠ADB和∠ADC的平分線，∴∠1＝∠4＝∠ADB，∠3＝∠5＝∠ADC，∴∠1+∠3＝∠4+∠5＝∠ADB+∠ADC＝×180°＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠3+∠2＝90°，即∠EDF＝∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF＝FH，在△BDE和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，在△CFH中，由三角形三邊關(guān)系定理得：CF+CH＞FH，∵CH＝BE，F(xiàn)H＝EF，∴BE+CF＞EF．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，題目比較好，但是有一定的難度．【考點(diǎn)5作平行線構(gòu)全等】【方法點(diǎn)撥】有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形．或通過一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形．【例5】若兩個(gè)三角形的一邊及其對角對應(yīng)相等，并有一對角互補(bǔ)（不是直角），則這兩個(gè)三角形為友好三角形．如圖1，點(diǎn)D在AB邊上，CD＝CB，則△ABC和△ACD就是友好三角形．（1）兩個(gè)友好三角形全等．（從下面選擇一個(gè)正確的填入）A．一定B．不一定C．一定不（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC延長線上，連結(jié)DE交BC于其中BD≠BF，若△BDF和△CEF是友好三角形，求證：DF＝EF．（3）如圖3，CE是△ABC的中線，點(diǎn)D在AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，CF＝AE，DF＝DC，圖中與△ACE成友好三角形的是．【分析】（1）由友好三角形的定義可求解；（2）過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，由友好三角形的定義可得BD＝CE，∠B+∠BCE＝180°，通過證明△DFG≌△ECF，可得DF＝EF；（3）由題意可得∠DCF＝∠DFC＝∠EFB，BE＝AE，∠BEF+∠AEC＝180°，由友好三角形的定義可得△BEF與△ACE成友好三角形；【答案】解：（1）∵兩個(gè)友好三角形一對角互補(bǔ)∴兩個(gè)友好三角形一定不全等故選C（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G，∵△BDF和△CEF是友好三角形∴BD＝CE，∠B+∠BCE＝180°∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB，∵DG∥AC∴∠ACB＝∠DGB，∠DGC＝∠BCE∴∠ACB＝∠DGB＝∠B∴DG＝DB，且∠DGC＝∠BCE，∠DFG＝∠CFE∴△DFG≌△ECF（AAS）∴DF＝EF（3）①∵CE是△ABC的中線，∴AE＝BE，∵DF＝DC∴∠DFC＝∠DCF∴∠DCF＝∠DFC＝∠EFB，且BE＝AE，∠BEF+∠AEC＝180°∴△BEF與△ACE成友好三角形故答案為：△BEF【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解這個(gè)題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理．題目比較好，但是有一定的難度．【變式5-1】（2019秋?建湖縣期末）如圖，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分別在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求證：EF∥AB．【分析】過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，可證明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可證明EF∥AB．【答案】解：過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，∵EG∥AC在△DEG和△DCA中，，∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DEG≌△DCA是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2019春?河口區(qū)校級期中）如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，F(xiàn)G∥AB交BC于G．試判斷CE，CF，GB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，可證明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可證明EF∥AB．【答案】解：過E作AC的平行線于AD延長線交于G點(diǎn)，∵EG∥AC在△DEG和△DCA中，，∴△DEG≌△DCA（ASA），∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC故EG＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EG＝EF，∴∠G＝∠EFD，∴∠EFD＝∠BAD，∴EF∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△DEG≌△DCA是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP＝BQ+AQ．（有多種輔助線作法）【分析】方法一、延長AB到D，使BD＝BP，連接PD．則∠D＝∠5．由已知條件不難算出：∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝40°＝∠C．于是QB＝QC．又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，故∠D＝40°．于是△APD≌△APC（AAS），所以AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，等量代換即可得證；方法二、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBQ＝40°，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得BQ＝CQ，然后