初中數(shù)學(xué)120大招-108 整體代入法

整體代入法【規(guī)律總結(jié)】整體代入法，在求代數(shù)式值中應(yīng)用求代數(shù)式的值最常用的方法，即把字母所表示的數(shù)值直接代入，計(jì)算求值。有時(shí)給出的條件不是字母的具體值，就需要先進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出字母的值，但有時(shí)很難求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根據(jù)題目特點(diǎn)，將一個(gè)代數(shù)式的值整體代入，求值時(shí)方便又快捷，這種整體代入的技法經(jīng)常用到?！镜淅治觥坷?、在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為a和b(a>b)的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置(圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2.當(dāng)AD-AB=2時(shí)，S2A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b【答案】B【解析】解：S1=(AB-a)?a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)?a+(AB-b)(AD-a)，

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，

∴S2-S1=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)?a-(AB-b)(AD-a)

=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)例2、若m是方程2x2-3x-1=0的一個(gè)根，則6m2【答案】2018【解析】解：由題意可知：2m2-3m-1=0，

∴2m2-3m=1

∴原式=3(2m2-3m)+2015=2018例3、解下列各題：

(1)若n滿足(n-2023)(2021-n)=-6，求(n-2023)2+(2021-n)2的值．

(2)已知：m2=n+2，【答案】解：(1)∵(n-2023)(2021-n)=-6，

∴原式=(n-2023+2021-n)2-2(n-2023)(2021-n)

=(-2)2-2×(-6)

=4+12

=16；

(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，

∴m2-n=2，n2-m=2，

∵m≠n，

∴m-n≠0，

∴①-②得

m2-n2=n-m

∴(m-n)(m+n)=-(m-n)，

∵m-n≠0，

【解析】本題主要考查的是代數(shù)式求值，完全平方公式，運(yùn)用了整體代入法的有關(guān)知識(shí)．

(1)將給出的代數(shù)式進(jìn)行變形為(n-2023+2021-n)2-2(n-2023)(2021-n)，然后整體代入求值即可；

(2)先根據(jù)m2=n+2，【好題演練】一、選擇題已知a+b=12，則代數(shù)式2a+2b-3的值是(????)A.2 B.-2 C.-4 D.-3【答案】B【解析】解：∵2a+2b-3=2(a+b)-3，

∴將a+b=12代入得：2×12-3=-2

故選：B．

注意到2a+2b-3只需變形得2(a+b)-3，再將若α、β為方程2x2-5x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2α2+3αβ+5βA.-13 B.12 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程解的定義．

根據(jù)一元二次方程解的定義得到2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，則2α2+3αβ+5β可表示為5(α+β)+3αβ+1，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=52，αβ=-12，然后利用整體代入的方法計(jì)算．

【解答】

解：如果a2+2a-1=0，那么代數(shù)式(a-4aA.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】

本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)求值的方法．

根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后根據(jù)a2+2a-1=0，可以得到a2解：(a-4a)?a2a-2=a2-4a?a

已知1x-1y=3，則代數(shù)式A.-72 B.-112 C.【答案】D【解析】解：∵1x-1y=3，

∴y-xxy=3，

∴x-y=-3xy，

則原式=2(x-y)+3xy(x-y)-xy

=-6xy+3xy-3xy-xy

=-3xy-4xy

=34，已知x1，x2是方程x2-3x-2=0的兩根，則A.5 B.10 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】

本題考查了完全平方公式以及根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2小慧去花店購(gòu)買鮮花，若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢還剩下10元；若買3支玫瑰和5支百合，則她所帶的錢還缺4元．若只買8支玫瑰，則她所帶的錢還剩下(????)A.31元 B.30元 C.25元 D.19元【答案】A【解析】【分析】

本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)每支玫瑰x元，每支百合y元，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量結(jié)合小慧帶的錢數(shù)不變，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再將其代入5x+3y+10-8x中即可求出結(jié)論．

【解答】

解：設(shè)每支玫瑰x元，每支百合y元，

依題意，得：5x+3y+10=3x+5y-4，

∴y=x+7，

∴5x+3y+10-8x=5x+3(x+7)+10-8x=31．

故選A．

二、填空題已知ab=a+b+1，則(a-1)(b-1)=______．【答案】2【解析】【分析】

本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則及整體代入思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．

將ab=a+b+1代入原式=ab-a-b+1，合并即可得．

【解答】

解：當(dāng)ab=a+b+1時(shí)，

原式=ab-a-b+1

=a+b+1-a-b+1

=2，

故答案為：2．

將拋物線y=ax2+bx-1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,5)，則8a-4b-11的值是______【答案】-5【解析】解：將拋物線y=ax2+bx-1向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，

表達(dá)式為：y=ax2+bx+2，

∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,5)，代入得：4a-2b=3，

則8a-4b-11=2(4a-2b)-11=2×3-11=-5，

故答案為：-5．

根據(jù)二次函數(shù)的平移得出平移后的表達(dá)式，再將點(diǎn)(-2,5)代入，得到4a-2b=3若a+b=1，則a2-b2【答案】-1【解析】解：∵a+b=1，

∴a2-b2+2b-2

=(a+b)(a-b)+2b-2

=a-b+2b-2

=a+b-2

=1-2

=-1．

故答案為：-1．

由于a+b=1，將a若實(shí)數(shù)x滿足x2-2x-1=0，則2x3【答案】-2020【解析】【分析】

把-7x2分解成-4x2與-3x2相加，然后把所求代數(shù)式整理成用x2-2x表示的形式，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算求解即可．本題考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知條件的形式是解題的關(guān)鍵，整體代入思想的利用比較重要．

【解答】

解：∵x2-2x-1=0，

∴x2-2x=1，

2x3-7x2+4x-2017

=2x已知x-y+2+x+y-2=0，則x2-【答案】-4【解析】【分析】

本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，那么這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出x、y的值，再代入所求代數(shù)式求解即可．

【解答】

解：∵x-y+2+x+y-2=0，

∴x-y+2=0，x+y-2=0，

即x-y=-2，x+y=2，

∴x2已知m+n=3mn，則1m+1n的值為【答案】3【解析】【試題解析】【分析】

本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，利用通分將原式變形為m+nmn是解題的關(guān)鍵．

原式通分后可得出m+nmn，代入m+n=3mn即可求出結(jié)論．解：原式=1m+1n=m+nmn，

又∵m+n=3mn，

∴三、解答題已知x=12+1，y=12-1，分別求下列代數(shù)式的值；

(1)【答案】解：(1)∵x=12+1=2-1，y=12-1=2+1，

∴x-y=-2，xy=2-1=1，

∴【解析】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用完全平方公式以及整體思想，本題屬于基礎(chǔ)題型．

(1)先將x、y進(jìn)行分母有理化，得到x=2-1，y=2+1，再求出x-y與xy的值，然后根據(jù)完全平方公式得出x2+y閱讀材料，然后解方程組．

材料：解方程組x-y-1=0,?①4(x-y)-y=5.?②

由①得x-y③，把③代入②，得4×1-y=5．

解得y=-1．

把y=-1代入③，得x=0．

∴x=0y=-1

這種方法稱為“整體代入法”.你若留心觀察，有很多方程組可采用此方法解答，請(qǐng)用這種方法解方程組2x-3y-2=0,①【答案】解：由①得：2x-3y=2③，

將③代入②得：1+2y=9，即y=4，

將y=4代入③得：x=7，

則方程組的解為x=7y=4【解析】由第一個(gè)方程求出2x-3y的值，代入第二個(gè)方程求出y的值，進(jìn)而求出x的值，即可確定出方程組的解．

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

閱讀材料，善于思考的小軍在解方程組2x+5y=3①4x+11y=5②解：將方程②變形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③把方程①代入③得2×3+y=5∴y=-1把y=-1代入①得x=4∴方程組的解為x=4請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程組3x-2y=5?①(2)已知x、y滿足方程組5x2-2xy+20【答案】解：(1)由②得：3x+6x-4y=19，即3x+2(3x-2y)=19③，

把①代入③得：3x+10=19，即x=3，

把x=3代入①得：y=2，

則方程組的解為x=3y=2；

(2)由5x2-2xy+20y2=82得：5(x2+4y2)-2xy=82，即x2+4y【解析】此題考查了解二元一次方程組，弄清閱讀材料中的“整體代入”方法是解本題的關(guān)鍵．

(1)模仿小軍的“整體代換”法，求出方程組的解即可；

(2)方程組第一個(gè)方程變形表示出x2+4y2，第二個(gè)方程變形后代入求出xy(1)已知x3?x(2)若n為正整數(shù)，且x2n=4，求(3【答案】解：(1)∵x3?xa?x2a+1=x31，

∴3+a+2a+1=31，

解得a=9；

(2)∵x2n=4，

【解析】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方和積的乘方運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

(1)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則得到3+a+2a+1=31，解出a的值即可；

(2)先根據(jù)積的乘方運(yùn)算得到9x6n-4x4n，然后由冪的乘方的逆運(yùn)算得到閱讀理解：

例題：已知實(shí)數(shù)x滿足x+1x=4，求分式xx2+3x+1的值．

解：∵x+1x=4．

∴xx2+3x+1的倒數(shù)x2+3x+1x=x+1x+3=4+3=7

∴x【答案】解：(1)∵a+1a=5，

∴3a2+5a+3a=3a+5+3a=3(a+1a)+5=15+5=20，

∴a3a【解析】此題考查了分式的值，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．

(1)原式變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；

(2)原式變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值．

我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)小明同學(xué)又用x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為(11a+7b)(8a+12b)長(zhǎng)方形，那么x+y+z=___．【答案】解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2【解析】【分析】

本題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方公式的應(yīng)用，代數(shù)式求值，整體代入法，利用面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．

(1)直接求得大正方形的面積，然后再根據(jù)大