專題3.2 動點軌跡成曲線坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

專題2動點軌跡成曲線，坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵【題型綜述】1.動點軌跡問題解題策略一般有以下幾種：直譯法：一般步驟為：①建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點,設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)；③列式,列出動點P所滿足的關(guān)系式；④代換,依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程.(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點法)：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動點P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．2.解軌跡問題注意：（1）求點的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗證曲線上的點是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點是否都在曲線上，補上在曲線上而不滿足方程解得點，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點.【典例指引】類型一代點法求軌跡方程例1【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足。求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線上，且。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F?！窘馕觥款愋投x法求軌跡方程例2.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.（I）證明為定值,并寫出點E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】類型三參數(shù)法求軌跡方程例3[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]已知拋物線：的焦點為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點，交的準(zhǔn)線于兩點．（I）若在線段上，是的中點，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點的軌跡方程.【解析】類型四直譯法求軌跡方程例4.已知動圓過點，且在軸上截得的弦長為（Ⅰ）求圓心的軌跡方程；（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，證明：為定值，并求出這個定值.【解析】點睛：定點、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點、定值顯現(xiàn).【擴展鏈接】1.若一個圓內(nèi)含于另一個圓，則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦點，其長軸長為兩圓半徑之和；2.在一個圓內(nèi)有一點，則過該點且與已知圓相切的圓的圓心的點的軌跡為一橢圓，且其長軸長為已知圓的半徑。⒊過兩點的兩條直線的斜率之積為一負(fù)常數(shù)的點的軌跡為一橢圓（兩點除外）。兩定點為橢圓的頂點，兩定點間的距離為長軸長。（時，焦點在x軸上；當(dāng)時，焦點在y軸上）⒋將圓的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）拉伸或縮短為原來的倍，該圓變成橢圓；⒌連接圓內(nèi)一定點與圓上任一點的線段的垂直平分線與圓上該點到圓心的連線的交點的軌跡為一橢圓。方橢圓的長半軸與圓的半徑長相等；⒍兩個同心圓較大圓上任一點與圓心的連線與小圓交于一點，從大圓上該點作x軸的垂線，則過小圓交點向該垂線作垂線，其垂足的點的軌跡為橢圓?！拘骂}展示】1．【2019河南鄭州一模（節(jié)選）】設(shè)點為圓上的動點，點在軸上的投影為，動點滿足，動點的軌跡為．（Ⅰ）求的方程；【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；2．【2019四川綿陽二診】己知橢圓C：的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點．O為坐標(biāo)原點．（1）若直線l過點F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直線l的方程；（2）若以AB為直徑的圓過點O，點P是線段AB上的點，滿足OP⊥AB，求點P的軌跡方程．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根據(jù)弦長公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直線l的方程．（2）設(shè)直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0．結(jié)合韋達定理及條件，整理得3m2=8k2+8．從而有|OP|2=（定值），得到點P的軌跡是圓，且去掉圓與x軸的交點．寫出點P的軌跡方程即可．3．【2019安徽江南十校第二次聯(lián)考】已知兩個定點，，動點到點的距離是它到點距離的2倍．（1）求點的軌跡；（2）若過點作軌跡的切線，求此切線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）利用兩點間的距離公式列方程，化簡后可求得軌跡的方程．（2）由于軌跡是圓，故設(shè)切線方程為點斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得切線的斜率．驗證斜率不存在時直線也滿足題意，由此求得題目所求的切線方程，有兩條．4．【2019湖北黃岡、華師附中等八校聯(lián)考（節(jié)選）】已知點，的兩頂點，且點滿足（1）求動點的軌跡方程；（2）設(shè)，求動點的軌跡方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，代入，化簡后求得動點的軌跡方程．（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用向量相等列方程，轉(zhuǎn)化為的坐標(biāo)，代入（1）中的方程可求得的方程．5．【2019廣東江門調(diào)研（節(jié)選）】在平面直角坐標(biāo)系中，，，為不在軸上的動點，直線、的斜率滿足．（1）求動點的軌跡的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，將利用斜率公式進行化簡整理即可得點P軌跡方程；6．【2019廣西柳州1月模擬（節(jié)選）】已知點，直線為平面內(nèi)的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且．（1）求動點的軌跡的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動點，則，由展開計算得到的關(guān)系式即可；【同步訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(1，0)，直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點,異于點R的點Q滿足：，.（1）求動點的軌跡的方程；（2）記的軌跡的方程為，過點作兩條互相垂直的曲線的弦.，設(shè).的中點分別為．問直線是否經(jīng)過某個定點？如果是，求出該定點，如果不是，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由已知條件知，點R是線段FP的中點，RQ是線段FP的垂直平分線，點Q的軌跡E是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)出直線AB的方程，把A、B坐標(biāo)代入拋物線方程，再利用中點公式求出點M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點．【詳細解析】2.已知點為圓上一動點，軸于點，若動點滿足（其中為非零常數(shù)）（1）求動點的軌跡方程；（2）若是一個中心在原點，頂點在坐標(biāo)軸上且面積為8的正方形，當(dāng)時，得到動點的軌跡為曲線，過點的直線與曲線相交于兩點，當(dāng)線段的中點落在正方形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)由相關(guān)點法得到Q點軌跡；（2）求出線段中點坐標(biāo)，點在正方形內(nèi)（包括邊界）的條件是即，解出來即可.【詳細解析】3.在直角坐標(biāo)系中，已知定圓，動圓過點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)是曲線上兩點，點關(guān)于軸的對稱點為(異于點)，若直線分別交軸于點，證明:為定值.【思路引導(dǎo)】（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）解析幾何中定值問題，往往通過計算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線方程，求出與軸交點坐標(biāo)，再利用點在橢圓上這一條件進行代入消元，化簡計算為定值.【詳細解析】4.已知圓與直線相切，點為圓上一動點，軸于點，且動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線.（1）求動點的軌跡曲線的方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點、且滿足以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求線段長度的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）由圓與直線相切，可得.然后設(shè)動點，即可求解.

（2）設(shè)出直線的，分斜率存在和不存在兩種情形，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點可轉(zhuǎn)化為.再把直線方程和橢圓方程聯(lián)立【詳細解析】5.已知橢圓，過點作直線交橢圓于兩點，是坐標(biāo)原點．（1）求中點的軌跡方程；（2）求的面積的最大值，并求此時直線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）利用點差法，結(jié)合中點坐標(biāo)公式，即可求中點的軌跡方程；（2）令代入，利用韋達定理，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求面積的最大值，及此時直線的方程．【詳細解析】6.已知圓與軸交于兩點，點為圓上異于的任意一點，圓在點處的切線與圓在點處的切線分別交于，直線和交于點，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）曲線與軸正半軸交點為，則曲線是否存在直角頂點為的內(nèi)接等腰直角三角形，若存在，求出所有滿足條件的的兩條直角邊所在直線的方程，若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，則處的切線為，切線CD與AC,BD組方程組可求得C,D點坐標(biāo)，再直線AD,BC組方程組，解點交點P軌跡方程。注意消參，需要用到點M在圓上。同時注意曲線方程變量范圍。（2）設(shè)，則，與橢圓組方程組，可求得GH,同理求得，再利用進行分類討論?！驹敿毥馕觥?.在平面直角坐標(biāo)系中，點，圓，以動點為圓心的圓經(jīng)過點，且圓與圓內(nèi)切.（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過點，且與曲線交于兩點，則在軸上是否存在一點，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切得，再根據(jù)橢圓定義得動點的軌跡的方程；（2）軸平分，就是直線的斜率相反，設(shè)直線，根據(jù)斜率坐標(biāo)公式得，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達定理代入化簡可得，即得.【詳細解析】8.已知點、，動點滿足，設(shè)動點的軌跡為曲線，將曲線上所有點的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑱M坐標(biāo)不變，得到曲線.（1）求曲線的方程；（2）是曲線上兩點，且，為坐標(biāo)原點，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）由直接法,即利用坐標(biāo)表示條件，并化簡可得，再根據(jù)伸縮變換得曲線E的方程為.（2）設(shè)直線方程為：，由點到直線距離公式可得三角形高，由三角形面積公式可得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程,結(jié)合韋達定理及弦長公式可得，代入消元可得一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳細解析】9.．已知點的坐標(biāo)分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積是，點的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）過點作直線交曲線于兩點，交軸于點，若，，證明：為定值.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出動點坐標(biāo)為，把斜率之積用坐標(biāo)表示出來化簡可得的方程（注意有些點不合要求）；（2）解析幾何中的定值問題，設(shè)點的坐標(biāo)分別為.由，可求得，并代入曲線的方程，得的方程，同理得的方程，這樣發(fā)現(xiàn)是方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得．【詳細解析】10.已知為坐標(biāo)原點，，是橢圓上的點，且，設(shè)動點滿足.（1）求動點的軌跡方程；（2）若直線與曲線相交于，兩個不同點，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)利用向量關(guān)系可得動點的軌跡的方程為.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程可得面積函數(shù)，注意等號成立的條件.【詳細解析】11.已知圓：（），設(shè)為圓與軸負(fù)半軸的交點，過點作圓的弦，并使弦的中點恰好落在軸上．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）延長交曲線于點，曲線在點處的切線與直線交于點，試判斷以點為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路引導(dǎo)】（1）由題意得，設(shè)中點為則得到關(guān)于的方程就是點的軌跡的方程.（2）設(shè)直線的方程為求出直線的方程并聯(lián)立得到點坐標(biāo)，由兩點距離公式求出，再由點到直線的距離公式求出距離則線段長為半徑的圓與直線相切.【詳細解析】12.已知點，點在軸上，點在軸的正半軸上，點在直線上，且滿足（1）當(dāng)點在軸上移動時，求點的軌跡的方程；（2）過點做直線與軌跡