專題3.6 定值計(jì)算并不難構(gòu)建函數(shù)再消元（解析版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

【題型綜述】在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值．【典例指引】例1．已知圓與坐標(biāo)軸交于（如圖）．（1）點(diǎn)是圓上除外的任意點(diǎn)（如圖1），與直線交于不同的兩點(diǎn)，求的最小值；（2）點(diǎn)是圓上除外的任意點(diǎn)（如圖2），直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．設(shè)的斜率為的斜率為，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出，的直線方程，聯(lián)立直線，分別得出M,N的坐標(biāo)，表示出，求其最值即可；（2）分別寫出E,F的坐標(biāo)，寫出斜率，即可證明為定值．（2）由題意可知，的斜率為直線的方程為，由，得，則直線的方程為，令，則，即，直線的方程為，由，解得，的斜率（定值）．學(xué)科*網(wǎng)例2．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由e=，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)E，使為定值，定點(diǎn)為（）．（Ⅱ）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，（6分）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∴，，根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使得為定值，則有=（x1﹣m，y1）?（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）?（x2﹣m）+y1y2==（k2+1）=（k2+1）?﹣（2k2+m）?+（4k2+m2）=，要使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)有3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），即m=，此時(shí)=為定值，定點(diǎn)為（）．學(xué)科*網(wǎng)點(diǎn)評：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn)．例3．已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，短軸長為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與圓相切，探究是否為定值，如果是定值，請求出該定值；如果不是定值，請說明理由．【答案】（1）（2）【思路引導(dǎo)】（1）由已知得由此能求出橢圓的方程．（2）當(dāng)直線軸時(shí)，．當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線直線與與圓的交點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），由直線與圓相切，得，聯(lián)立，得（，由此能證明為定值．聯(lián)立得，，=綜上，（定值）學(xué)科*網(wǎng)【點(diǎn)評】本題考查橢圓方程的求法，角為定值的證明，線段的取值范圍的求法等．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．例4．已知是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線分別與線段交于兩點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線與軌跡相交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，判斷的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）（定值）【思路引導(dǎo)】（1）化簡向量關(guān)系式可得，所以是線段的垂直平分線，所以，轉(zhuǎn)化為橢圓定義，求出橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式求三角形高，寫出三角形面積化簡即可證明為定值．【擴(kuò)展鏈接】2015全國新課標(biāo)=2\*ROMANII理20題深度思路引導(dǎo)已知橢圓，直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（2）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．高考試題落實(shí)運(yùn)算求解能力考查的方式：1．考查思路引導(dǎo)運(yùn)算條件：平行四邊形的判定定理選擇，為何不選有關(guān)平行與長度的定理來判定平行四邊形，而要選擇對角線相互平分來判定平行四邊形，這種處理方式的優(yōu)點(diǎn)在于弦中點(diǎn)的運(yùn)算量更?。ㄐ枰綍r(shí)訓(xùn)練有這種認(rèn)識(shí)）2．考查遇障礙而調(diào)整：若第1小問使用點(diǎn)差法，如何求中點(diǎn)坐標(biāo)，需有目標(biāo)思路引導(dǎo)及方程思想來指導(dǎo)，利用中點(diǎn)在直線上這個(gè)條件列出另一個(gè)方程．3．考查確定運(yùn)算程序：相交求坐標(biāo)，中點(diǎn)關(guān)系構(gòu)建斜率方程這種程序；中點(diǎn)關(guān)系求坐標(biāo)，點(diǎn)在橢圓上構(gòu)建斜率方程這種程序如何選擇？實(shí)際上運(yùn)算難度大體相當(dāng)．4．考查據(jù)算理正確的變形與運(yùn)算：無論選擇何種運(yùn)算程序都具有過硬的運(yùn)算技能，需要發(fā)現(xiàn)特殊代數(shù)結(jié)構(gòu)的能力，在運(yùn)算中要有求簡的意識(shí)．運(yùn)算求解過程中，大體會(huì)涉及到以下代數(shù)式運(yùn)算與化簡：（1）中點(diǎn)坐標(biāo)：①韋達(dá)定理：或②解方程組；（2）點(diǎn)坐標(biāo)：解方程組；（3）解斜率方程：①；或②，特別是如何正確解出第2個(gè)方程；特別要注意到相約，，9及公因式，然后約因式才會(huì)得到二次方程：4．解法的幾何變換化簡析：設(shè)，則橢圓變?yōu)閳A：，，同理可得：，在圓中易知，則可得：，在圓中易知為菱形，且，則易得：5．問題一般化設(shè)直線與橢圓相交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，則參數(shù)滿足，易知中點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上，則，這就是說，這種形式的平行四邊形法則對任何橢圓均存在附命題人的思路引導(dǎo)及參考答案：【解題思路】（1）思路1將的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算可得常數(shù)（其中為直線的斜率），完成證明．思路2將點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減，可得到的關(guān)系式，通過適當(dāng)變形，即可完成證明．（2）思路1利用直線過點(diǎn)，將參數(shù)用表示，然后將直線的方程代入橢圓方程中，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)第（1）問的結(jié)論，可設(shè)直線的方程為，將它代入橢圓方程，得到點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)椤八倪呅螢槠叫兴倪呅巍钡某浞直匾獥l件是“線段與線段互相平分”，因此有，由此得到關(guān)于的方程．若此方程有解，則四邊形可以為平行四邊形，且此時(shí)方程的解即為使得四邊形為平行四邊形時(shí)的斜率；若此方程無解，則說明四邊形不能構(gòu)成平行四邊形．思路2由點(diǎn)既在橢圓上，也在直線上，可以聯(lián)立橢圓與的方程，解得，再將直線的方程與方程聯(lián)立，可解得，于是有關(guān)于的方程，后同思路1．思路3與思路1類似，將參數(shù)用參數(shù)和表示，聯(lián)立與直線的方程，可解得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得關(guān)于和的方程，后同思路1．【答案】（1）證法1如下圖所示，設(shè)直線，，將代入，得，故，于是直線的斜率，即，所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．證法2設(shè)直線，，將的坐標(biāo)代入橢圓方程，有①，②，①-②，整理可得，即，故直線的斜率，即，所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）解法1四邊形能為平行四邊形（見下圖）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是．由（1）得的方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得，則，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，然后將的方程代入橢圓方程，可得，四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，于是，解得因?yàn)?，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．解法2四邊形能為平行四邊形，設(shè)，由（1）得，因?yàn)樵跈E圓上，所以有，解得①，由四邊形為平行四邊形，可知，解得：②據(jù)①②有，即，解得，以下同解法1．解法3四邊形能為平行四邊形（見下圖）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，即的方程為，由（1）得直線的方程為，因?yàn)榧仍谏希苍谏?，所以有，解得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則“四邊形為平行四邊形”的充要條件是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程有，化簡可得，解得，以下同解法1．【新題展示】1．【2019閩粵贛三省十校聯(lián)考】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為，．（1）求橢圓的方程；（2）是上異于的兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率之積為，證明：兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)．【思路引導(dǎo)】（1）利用橢圓的離心率和橢圓上的點(diǎn)，構(gòu)造關(guān)于的方程，求解得到橢圓方程；（2）假設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，代入橢圓后利用韋達(dá)定理表示出，從而可用，表示出；再利用，表示出，根據(jù)，可將與作和整理得到結(jié)果．【解析】（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以又因?yàn)?，所以又，解得所以橢圓的方程為（2）設(shè)三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線斜率分別為，則直線方程為由方程組消去，得：由韋達(dá)定理可得：故同理可得又故則從而即兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù)2．【2019廣東江門一?！恳阎獧E圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，，橢圓的離心率．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）、是橢圓上另外兩點(diǎn)，若△的重心是坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明△的面積為定值．（參考公式：若坐標(biāo)原點(diǎn)是△的重心，則）【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意得到，得，，進(jìn)而得到方程；（2）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線和橢圓方程，求得弦長AB，再由點(diǎn)到直線的距離得到，根據(jù)點(diǎn)P在曲線上得到參數(shù)k和m的等量關(guān)系，得證．【解析】（1）依題意，，，由得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）△最多只有1條邊所在直線與軸垂直，不妨設(shè)所在直線與軸不垂直，其方程為（因?yàn)椤鞯闹匦氖?，所以不在直線上，）由得，，設(shè)、，則，且，從而，設(shè)，由得，，，點(diǎn)在橢圓上，所以即，且符合．點(diǎn)到直線的距離，△的面積，由即得，為常數(shù)．3．【2019湖南懷化3月一?！恳阎獧E圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率等于．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)位置及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出其方程，利用頂點(diǎn)和離心率確定其中的參數(shù)，即可求解其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）寫出橢圓的右焦點(diǎn)，然后，設(shè)出直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為，則由題意知∴．即∴∴橢圓的方程為（2）設(shè)、、點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．又易知點(diǎn)的坐標(biāo)為顯然直線存在的斜率，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程是將直線的方程代入到橢圓的方程中，消去并整理得，∴，∵，∴將各點(diǎn)坐標(biāo)代入得，∴4．【2019湘贛十四校聯(lián)考】橢圓：的左焦點(diǎn)為且離心率為，為橢圓上任意一點(diǎn)，的取值范圍為，．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，設(shè)圓是圓心在橢圓上且半徑為的動(dòng)圓，過原點(diǎn)作圓的兩條切線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)．是否存在使得直線與直線的斜率之積為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）利用離心率得到的關(guān)系；然后表示出，通過的范圍得到，由得到，從而求得方程；（2）假設(shè)圓的方程，利用直線與圓相切，得到關(guān)于的方程，從而得到的表達(dá)式，從而得到當(dāng)時(shí)，為定值，求得結(jié)果．【解析】（1）橢圓的離心率橢圓的方程可寫為設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為則，，，橢圓的方程為（2）設(shè)圓的圓心為，則圓的方程為設(shè)過原點(diǎn)的圓的切線方程為：，則有整理有由題意知該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)圓的半徑時(shí)，直線與直線的斜率之積為定值5．【2019江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，面積的最大值是．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求出四邊形的面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程是，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合判別式和韋達(dá)定理，可表示出弦長，再求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)和點(diǎn)在曲線上，求出的關(guān)系式，最后根據(jù)，即可得出結(jié)果．【解析】（Ⅰ）由解得得橢圓的方程為．（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)四邊形的面積為．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程，點(diǎn)到直線的距離是由得因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以有整理得由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為由得，故四邊形的面積是定值，其定值為．6．【2019四川瀘州二診】已知，橢圓過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率與的斜率互為相反數(shù)．求橢圓的方程；求證：直線的斜率為定值．【思路引導(dǎo)】由焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，可設(shè)橢圓方程為，可得，解方程即可；設(shè)，，設(shè)直線的方程為，代入，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將換為，求出的坐標(biāo)，即可求出直線的斜率，再化簡即可得結(jié)果．【解析】由題意，可設(shè)橢圓方程為，，解得，，橢圓的方程為．設(shè)，，設(shè)直線AE的方程為，代入得，，，又直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，再上式中以代k，可得，，直線EF的斜率．7．【2019廣東廣州天河區(qū)綜合測試】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，且．求橢圓的離心率；四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，記直線AD，BC的斜率分別為、，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】，，線段AB的中點(diǎn)從而，由，求出，由此能求出橢圓的離心率；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，直線BC的方程為，聯(lián)立直線BC和橢圓方程得到點(diǎn)C坐標(biāo)，聯(lián)立直線AD和橢圓方程，得，，代入點(diǎn)坐標(biāo)化簡，由此能證明為定值．【解析】，，線段AB的中點(diǎn)，，解得，．，橢圓的離心率．證明：由得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，直線BC的方程為，聯(lián)立，得，解得，，即，直線AD的方程為聯(lián)立，化為，，解得，，，，化為，，為定值．8．【2019河北五個(gè)一名校聯(lián)盟一診】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線過曲線的焦點(diǎn)，與曲線交于、兩點(diǎn)，且，都垂直于直線，垂足分別為，直線與軸的交點(diǎn)為，求證為定值．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為C(x，y)，由題意得，能求出曲線方程；（2）設(shè)代入【解析】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心坐標(biāo)為C(x，y)，根據(jù)題意得，化簡得（Ⅱ）設(shè)，，由題意知的斜率一定存在設(shè)，則，得所以，，，又=9．【2019遼寧葫蘆島調(diào)研】已知橢圓：的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為，其離心率為（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)作直線（軸除外）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)及定值，若不存在，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由離心率及2ab＝4，結(jié)合a2＝b2+c2，解得a、b，即可求得橢圓C的方程；（2）由題意可設(shè)直線l：x＝my，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，將?用m與x0表示，利用對應(yīng)系數(shù)成比例，即可求得x0，代入得?為定值；【解析】（1）由得：所以橢圓方程為（2）由于直線l過右焦點(diǎn)F（1，0），可設(shè)直線l方程為：x=my+1，代入橢圓方程并整理得：（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0)△=64-（4+3m2)(4-12m2)>0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是方程①的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理得：x1+x2=，x1x2=，y1+y2=，y1y2假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)P(x0，0)，使為定值，則：(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+x02=+-+x02=由題意，上式為定值，所以應(yīng)有：即：12x02-48=-15-24x0+12x02解得：x0=，此時(shí)10．【2019福建漳州一?！恳阎獧E圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．【思路引導(dǎo)】(1)先由題意設(shè)橢圓的方程，再結(jié)合條件列出方程，從而可求出橢圓的方程；(2)先設(shè)直線的方程，由直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，以及，化簡之后作商，即可證明結(jié)論．【解析】解法一：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線的焦點(diǎn)為，得，①又，②由①②及，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)化為．（2）依題意設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程得，，所以，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線為，令，得，，又，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以；綜上所述，為定值．解法二：（1）同解法一．（2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程得，所以，，，，，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的垂直平分線為，令，得，所以，所以；當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以；綜上所述，為定值．11．【2019福建泉州1月質(zhì)檢】已知中，，，，點(diǎn)在上，且．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，求證：為定值．【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合題意，證明到，發(fā)現(xiàn)軌跡是橢圓，結(jié)合橢圓性質(zhì)，即可。（2）設(shè)出直線MN的方程，代入橢圓方程，設(shè)出M，N坐標(biāo)，利用坐標(biāo)，計(jì)算，代入，即可?！窘馕觥浚?）如圖三角形中，，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓（不包含實(shí)軸的端點(diǎn)），所以點(diǎn)的軌跡的方程為．注：答軌跡為橢圓，但方程錯(cuò)，給3分；不答軌跡，直接寫出正確方程，得4分（未寫出，這次不另外扣分）．（2）如圖，設(shè)，，可設(shè)直線方程為，則，由可得，，，，，，，，因?yàn)?，所以為定值?2．【2019陜西榆林一?！恳阎獧E圓的離心率，左頂點(diǎn)到直線的距離，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：到直線的距離為定值．【思路引導(dǎo)】（1）結(jié)合離心率，計(jì)算出a，b，c之間的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線距離，計(jì)算a，b值，即可。（2）分直線AB斜率存在與不存在討論，結(jié)合直線方程和橢圓方程，并利用，計(jì)算O到直線距離，即可．【解析】（1）∵橢圓的離心率，∴，∴，∵，∴，即，∵橢圓的左頂點(diǎn)到直線，即到的距離，∴，把代入得：，解得：，∴，，∴橢圓的方程為．（2）設(shè)，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由橢圓的性質(zhì)可得：，，∵當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，即，也就是，又∵點(diǎn)在橢圓上，∴，∵以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且平行于軸，∴，∴，解得：此時(shí)點(diǎn)到直線的距離②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立有，消去，得∴，，同理：，消去，得，即，∴∵為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，∴∴∴∴∴點(diǎn)到直線的距離綜上所述，點(diǎn)到直線的距離為定值．【同步訓(xùn)練】1．如圖，點(diǎn)是拋物線：（）的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的定點(diǎn)，且，點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，斜率分別為，．（1）求拋物線的方程；（2）若，點(diǎn)是拋物線在點(diǎn)，處切線的交點(diǎn)，記的面積為，證明為定值．【答案】（1）（2）【思路引導(dǎo)】（2）過作軸平行線交于點(diǎn)，并設(shè)，，由（1）知，學(xué)科*網(wǎng)所以，又，所以，直線：，直線：，解得因直線方程為，將代入得，所以．學(xué)科*網(wǎng)點(diǎn)評：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的．定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn)．2．已知常數(shù)，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【思路引導(dǎo)】根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（的距離之和為定值當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)（0，的距離之和為定值2．學(xué)科*網(wǎng)3．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若四邊形的面積最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于且，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值．【答案】（1）（2）見解析【思路引導(dǎo)】（1）四邊形面積最大值為，所以根據(jù)a,b,c的方程組解出（2）先設(shè)，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理以及，得，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得最后驗(yàn)證斜率不存在的情形．因?yàn)椋?，即，所以，原點(diǎn)到直線的距離；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，學(xué)科*網(wǎng)則，由得，解得，所以此時(shí)原點(diǎn)到直線的距離為．綜上可知，原點(diǎn)到直線的距離為定值．4．已知橢圓：的短軸長為，離心率為，圓的圓心在橢圓上，半徑為2，直線與直線為圓的兩條切線．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試問：是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）學(xué)科*網(wǎng)【思路引導(dǎo)】（1）由橢圓焦點(diǎn)在軸上，，離心率，則，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，圓的方程為，由直線與圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得為方程，的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知：，由在橢圓上即可求得．5．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，恰為橢圓的上頂點(diǎn)，此時(shí)的面積為6．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線與直線分別相交于點(diǎn)，問當(dāng)變化時(shí)，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）弦長為定值6．【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)時(shí)，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；（2）利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，求得以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6，猜測當(dāng)變化時(shí)，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6，再進(jìn)行證明即可．6．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，并且與圓相切．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)為軌跡內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)？是與無關(guān)的定值，并求出該值定值．【答案】（1）；（2）見解析．學(xué)科*網(wǎng)【思路引導(dǎo)】（1）由橢圓定義易知軌跡為橢圓，確定，即可；（2）設(shè)，直線，與橢圓聯(lián)立得，進(jìn)而通過韋達(dá)定理建立根與系數(shù)的關(guān)系，，由，代入化簡即可求定值．試題解析：（1）由題設(shè)得：，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓方程為．方法：①當(dāng)時(shí)，…；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，…；可以減少計(jì)算量．7．已知橢圓的焦距為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之和為，證明：直線的斜率為定值．【答案】（1）；（2）學(xué)科*網(wǎng)【思路引導(dǎo)】（1）由已知條件先求出橢圓的半焦距，再把代入橢圓方程，結(jié)合性質(zhì)，求出、、，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理及過兩點(diǎn)的斜率公式，利用直線的斜率之和為零可得，從而可得結(jié)果．【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和過兩點(diǎn)的斜率公式，屬于難題．用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求．8．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知點(diǎn)在橢圓C上，點(diǎn)A、B是橢圓C上不同于P、Q的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足：．試問：直線AB的斜率是否為定值？請說明理由．【答案】（1）（2）【思路引導(dǎo)】對于（1），結(jié)合已知即可求出b2與a2，問題便可解答；對于（2），當(dāng)時(shí)，PA，PB的斜率之和為0．設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，接下來求出直線PA與PB的方程，然后將其與橢圓分別聯(lián)立，即可求出,然后利用斜率的計(jì)算公式不難求出k的值，問題便可解答．9．在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，以為圓心的圓與圓交于兩點(diǎn)．（1）若直線與圓切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于，當(dāng)線段長最小時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)是圓上異于的