第3章 MATLAB矩陣分析與處理

第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣變換3.3矩陣求值3.4矩陣的特征值與特征向量3.5稀疏矩陣3.1特殊矩陣

3.1.1通用的特殊矩陣

常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：

zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。

ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。

eye：產(chǎn)生單位矩陣。

rand：產(chǎn)生0～1區(qū)間均勻分布的隨機(jī)矩陣。

randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。例3-1建立隨機(jī)矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。分析：產(chǎn)生(0，1)區(qū)間均勻分布隨機(jī)矩陣使用rand函數(shù)，假設(shè)得到了一組滿足(0，1)區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)xi，則若想得到在任意[a，b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，只需用yi=a+(b-a)xi計(jì)算即可。產(chǎn)生均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣使用randn函數(shù)，假設(shè)已經(jīng)得到了一組標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)xi，如果想更一般地得到均值為μ、方差為σ2的隨機(jī)數(shù)，可用yi=μ+σxi計(jì)算出來(lái)。>>x=20+(50-20)*rand(5)x=44.441722.926224.728424.256639.672247.173828.354949.117832.652821.071423.809636.406448.715047.472145.473947.401348.725234.561343.766248.019838.970848.946744.008448.784840.3621>>y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)y=0.92720.88091.05490.56770.59050.82990.23730.70280.52360.54790.50400.26200.36130.70090.79850.69290.34401.03330.69890.94570.3510-0.33110.05880.32650.95083.1.2用于專門(mén)學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣

魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。例3-2將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。

M=100+magic(5)M=

117124101108115

123105107114116

104106113120122

110112119121103

111118125102109

(2)范得蒙矩陣

范得蒙(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander([1;2;3;5])

A=

1111

8421

27931

1252551(3)希爾伯特矩陣

在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n)

使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。例3-3求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。

命令如下：

formatrat%以有理形式輸出

H=hilb(4)

H=11/21/31/41/21/31/41/51/31/41/51/61/41/51/61/7H=invhilb(4)

(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。toeplitz(x)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。例如

T1=toeplitz(1:6)T2=toeplitz(1:4,1:5)(5)伴隨矩陣

MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令：

p=[1,0,-7,6];

compan(p)(6)帕斯卡矩陣

我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開(kāi)后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例3-4求(x+y)5的展開(kāi)式。

在MATLAB命令窗口，輸入命令：

pascal(6)

矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開(kāi)式的系數(shù)。3.2矩陣變換

3.2.1對(duì)角陣與三角陣

1．對(duì)角陣

只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。

(1)提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。

diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+|k|)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。例3-5先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];

D=diag(1:5);

D*A

%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)2．三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。

(1)上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。

(2)下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。3.2.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)

1．矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是小數(shù)點(diǎn)后面接單引號(hào)（.'）。還有一種轉(zhuǎn)置叫共軛轉(zhuǎn)置，其運(yùn)算符是單引號(hào)（'），它在轉(zhuǎn)置的基礎(chǔ)上還要取每個(gè)數(shù)的復(fù)共軛。例如，B=A'得到的B就是A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，等價(jià)于B=conj(A).'或B=conj(A.')。如果矩陣的元素都是實(shí)數(shù)，那么轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置的結(jié)果是一樣的。2．矩陣的旋轉(zhuǎn)

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。

3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。

4．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.2.3矩陣的逆與偽逆1.矩陣的逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)

則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：

A·B·A=A

B·A·B=B

此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。2用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得x=A-1b例3-7用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=inv(A)*b也可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“＼”求解線性代數(shù)方程組。3．矩陣的偽逆如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A'同型的矩陣B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。3.3矩陣求值3.3.1方陣的行列式

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。3.4.2矩陣的秩與跡

1．矩陣的秩

矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。

2．矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。3.3.3向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。1．向量的3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：

(1)norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2—范數(shù)。

(2)norm(V,1)：計(jì)算向量V的1—范數(shù)。

(3)norm(V,inf)：計(jì)算向量V的∞—范數(shù)。2．矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)

MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。3.3.4矩陣的條件數(shù)

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：

(1)cond(A,1)計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。

(2)cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。

(3)cond(A,inf)計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。3.4矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。(4)可用A*V和V*D來(lái)驗(yàn)證結(jié)果。例3-8用求特征值的方法解方程。

3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%A的伴隨矩陣

x1=eig(A)%求A的特征值x1=

2.1837+0.0000i

1.0000+1.0000i

1.0000-1.0000i

-0.9252+0.7197i

-0.9252-0.7197i

x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)3.5稀疏矩陣3.5.1矩陣存儲(chǔ)方式

MATLAB的矩陣有兩種存儲(chǔ)方式：完全存儲(chǔ)方式和稀疏存儲(chǔ)方式。1．完全存儲(chǔ)方式完全存儲(chǔ)方式是將矩陣的全部元素按列存儲(chǔ)。2．稀疏存儲(chǔ)方式稀疏存儲(chǔ)方式僅存儲(chǔ)矩陣所有的非零元素的值及其位置，即行號(hào)和列號(hào)。在MATLAB中，稀疏存儲(chǔ)方式也是按列存儲(chǔ)的。設(shè)：A是具有稀疏特征的矩陣，其完全存儲(chǔ)方式是按列存儲(chǔ)全部12個(gè)元素：1、0、2、0、5、0、0、0、0、0、0、7，其稀疏存儲(chǔ)方式如下：(1，1)，1，(3，1)，2，(2，2)，5，(3，4)，7括號(hào)內(nèi)為元素的行列位置，其后面為元素值。3.5.2稀疏存儲(chǔ)方式的產(chǎn)生1．將完全存儲(chǔ)方式轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式函數(shù)A=sparse(S)將矩陣S轉(zhuǎn)化為稀疏存儲(chǔ)方式的矩陣A。當(dāng)矩陣S是稀疏存儲(chǔ)方式時(shí)，則函數(shù)調(diào)用相當(dāng)于A=S。sparse函數(shù)還有其他一些調(diào)用格式。①sparse(m,n)：生成一個(gè)m×n的所有元素都是0的稀疏矩陣。②sparse(u,v,S)：其中u、v、S是3個(gè)等長(zhǎng)的向量。S是要建立的稀疏矩陣的非零元素，u(i)、v(i)分別是S(i)的行和列下標(biāo)，該函數(shù)建立一個(gè)max(u)行