第二章層次分析模型

第二章層次分析模型層次分析法

(AnalyticHierarchyProcess)簡(jiǎn)稱AHP是由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty于二十世紀(jì)七十年代創(chuàng)立的一種系統(tǒng)分析與決策的綜合評(píng)價(jià)方法，是在充分研究了人類的思維過程的基礎(chǔ)上提出來的，它比較合理地解決了定性問題定量化的處理過程。（或者說AHP是一種定性與定量相結(jié)合的系統(tǒng)化、層次化的分析方法）通過建立遞階層次結(jié)構(gòu)，把人們的判斷轉(zhuǎn)化為若干因素兩兩之間重要度的比較上面，把難于量化的定性判斷轉(zhuǎn)化為可操作的重要度的比較上面。層次分析法的主要特點(diǎn)

應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。層次分析模型的應(yīng)用背景層次分析法的基本方法與步驟1、分析系統(tǒng)中各因素之間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；2、對(duì)同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準(zhǔn)則的重要性兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；3、由判斷矩陣計(jì)算被比較元素對(duì)于該準(zhǔn)則的相對(duì)權(quán)重；4、計(jì)算各層次元素對(duì)系統(tǒng)目標(biāo)的合成權(quán)重，并且進(jìn)行排序；下面就上述每一步進(jìn)行具體分析1、遞階層次結(jié)構(gòu)的建立

將問題涉及的因素條理化、層次化，構(gòu)造出一個(gè)有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個(gè)模型下，復(fù)雜問題的組成因素被分成若干組成部分，稱為元素。這些元素又按其屬性及關(guān)系形成若干層次，上一層次的元素對(duì)下一層次的有關(guān)元素起支配作用，這些層次又分為三類。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等五因素選擇旅游地

最高層：又稱為目標(biāo)層，這一層只有一個(gè)元素，它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果。

中間層：又稱為準(zhǔn)則層，這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以有若干層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則和子準(zhǔn)則。

最低層：又稱為方案層，這一層次包括了為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的的各種措施、決策方案等。上述層次之間的支配關(guān)系不一定是完全的，即可以存在這樣的元素，它并不支配下一層次的所有元素，而僅支配其中的部分元素，這種自上而下的支配關(guān)系所形成的層次結(jié)構(gòu)稱為遞階層次結(jié)構(gòu)。（如下圖）決策目標(biāo)準(zhǔn)則1準(zhǔn)則2準(zhǔn)則m1……子準(zhǔn)則1子準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則m2……方案1方案2方案n…………………………目標(biāo)層決策層方案層在遞階層次結(jié)構(gòu)中層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需分析的詳盡程度有關(guān)，一般層次不受限制，每一層次中各元素所支配的元素不要超過9個(gè)，因?yàn)橹湓剡^多會(huì)給兩兩比較判斷帶來困難。如果超過9個(gè)，可以考慮合并一些因素或增加層次數(shù)。無論哪一種情況，都要在對(duì)問題進(jìn)行深入研究的情況下進(jìn)行，以便使之具有一定的合理性。一個(gè)遞階層次結(jié)構(gòu)應(yīng)該具有以下特點(diǎn)：1、從上到下順序地存在支配關(guān)系。除目標(biāo)層外，每個(gè)元素至少受上一層一個(gè)元素支配。除最后一層外，每個(gè)元素至少支配下一層次一個(gè)元素，上下層元素的聯(lián)系比同一層次強(qiáng)，以避免同一層次中不相鄰元素存在支配關(guān)系；2、整個(gè)結(jié)構(gòu)中，層次數(shù)不受限制；3、最高層只有一個(gè)元素，每一個(gè)元素所支配的元素一般不超過9個(gè)，若元素過多時(shí)進(jìn)一步分組；2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣在這一步中，決策者要反復(fù)回答問題，針對(duì)準(zhǔn)則C，兩個(gè)C所支配的元素哪個(gè)更重要，重要程度如何，并按1—9標(biāo)度對(duì)重要程度賦值。

1—9標(biāo)度的含義表：

標(biāo)度

含義

1具有相同的重要性

3稍重要

5重要

7強(qiáng)烈重要

9極端重要

2、4、6、8重要性之比界于以上相鄰兩者之間

倒數(shù)采用1—9標(biāo)度的依據(jù)主要是：1、在定性比較時(shí)，人們頭腦中存在比較明顯的五個(gè)等級(jí)，即相等、較強(qiáng)、明顯強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對(duì)強(qiáng)。2、心理學(xué)家認(rèn)為個(gè)因素是兩兩比較的極限心理。3、AHP的創(chuàng)立者Saaty通過對(duì)椅子光照度的心理測(cè)試，得出采用1-9標(biāo)度不僅在簡(jiǎn)單尺度中最好，而且不次于復(fù)雜尺度。尺度目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途前面.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等五因素選擇旅游地準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣OC1C2C3C4C5C1C2C3C4C5C1景色C2費(fèi)用C3居住C4飲食C5旅途

利用此表，這樣對(duì)于準(zhǔn)則C，幾個(gè)被比較元素通過兩兩比較構(gòu)成一個(gè)判斷矩陣，其中就是元素與相對(duì)于C的重要度比值。判斷矩陣（又稱為正互反矩陣）具有性質(zhì)：

利用此性質(zhì)可知，一個(gè)n階判斷矩陣只要給出其上三角或下三角的元素就可以了，這樣大大降低比較判斷的次數(shù)。另外，若判斷矩陣A同時(shí)具有選擇：則稱A為一致性矩陣。注意并不是所有的判斷矩陣都具有一致性，一致性及其檢驗(yàn)是AHP的重要內(nèi)容3、單一準(zhǔn)則下元素相對(duì)權(quán)重計(jì)算及一致性經(jīng)驗(yàn)

這一步要在第二步（構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣）的基礎(chǔ)上。從給出的每個(gè)判斷矩陣中求出被比較元素的排序權(quán)重，并通過一致性經(jīng)驗(yàn)確定每一判斷矩陣是否可以接受。（1）權(quán)重計(jì)算方法

a）和法：取判斷矩陣n個(gè)列向量的歸一化后算術(shù)平均值近似作為權(quán)重向量，即有（w1表示第1行第一列的元素除以第1列所有元素的和，再加上第1行第2個(gè)元素除以第2列所有元素的和，依次類推加上1行第n個(gè)元素除以第n列所有元素的和。最后除以n）b）、根法（幾何平均法）將A的各個(gè)列向量采用幾何平均，然后歸一化，得到的列向量近似作為加權(quán)向量。即有

c）特征根法：求判斷矩陣的最大特征根（正的）及其對(duì)應(yīng)的特征向量（正向量），分別稱為主特征根與右主特征向量，然后將歸一化后的右主特征向量作為排序權(quán)重向量（2）特征根法原理及算法設(shè)是n階判斷矩陣A的排序權(quán)重向量，當(dāng)A為一致性矩陣時(shí)，可以令可以驗(yàn)證其中A的秩為1，A的唯一非零特征根為n（3）一致性檢驗(yàn)

在判斷矩陣的構(gòu)造中，并不要求判斷矩陣完全滿足一致性。但要求判斷有大體上的一致性是應(yīng)該的，出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要，丙比甲極端重要的判斷，一般是違反常規(guī)的，一個(gè)混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，當(dāng)判斷矩陣過于偏離一致性時(shí)，其可靠性程度也就值得懷疑了，因此需要對(duì)一致性進(jìn)行檢驗(yàn)，其步驟為：（i）計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.（ConsistentIndex）（ii）查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.（RandomIndex）下面給出了具體的表。平均隨機(jī)一致性指標(biāo)R.I.（

Saaty的結(jié)果如下1—11階矩陣）其中n表示矩陣的階數(shù)RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110（iii）計(jì)算一致性比率C.R.（ConsistentRatio）當(dāng)時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)該對(duì)判斷矩陣作適當(dāng)?shù)男拚?/p>

為了討論一致性需要計(jì)算最大特征根：（1）、通過計(jì)算特征根求最大特征根（2）、利用公式4、計(jì)算各層元素對(duì)目標(biāo)層次的總排序權(quán)重

上面得到的是一組元素對(duì)其上一層次中元素的權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各方案對(duì)于目標(biāo)的排序權(quán)重，即所謂總排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇。總排序權(quán)重自上而下地將單一準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費(fèi)用C4飲食C5旅途前面.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等五因素選擇旅游地準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣OC1C2C3C4C5C1C2C3C4C5C1景色C2費(fèi)用C3居住C4飲食C5旅途用同樣的方法可得方案層（第三層）對(duì)準(zhǔn)則層的每一個(gè)元素的兩兩比較判斷矩陣（5個(gè)），不妨設(shè)為方案層（第三層）對(duì)第二層的景色的兩兩比較判斷矩陣方案層（第三層）對(duì)第二層的費(fèi)用的兩兩比較判斷矩陣方案層（第三層）對(duì)第二層的居住的兩兩比較判斷矩陣方案層（第三層）對(duì)第二層的飲食的兩兩比較判斷矩陣方案層（第三層）對(duì)第二層的旅途的兩兩比較判斷矩陣通過上述5個(gè)兩兩比較判斷矩陣，計(jì)算出權(quán)向量，及最大特征根k123450.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6683.0053.00233.0093下面的問題是由各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量和各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)向量計(jì)算各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量，記作對(duì)于方案P1（桂林），它在景色等5個(gè)準(zhǔn)則中的權(quán)重用的第一個(gè)分量表示（表中的第一行），而5個(gè)準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重又用權(quán)向量表示，同樣可以計(jì)算得P2、P3在目標(biāo)中的組合權(quán)重為0.246、0.456，于是組合權(quán)重向量為所以方案P1在目標(biāo)中的組合權(quán)重應(yīng)該為它們相應(yīng)項(xiàng)的乘積之和，即由上述計(jì)算可知，對(duì)于三個(gè)層次的決策問題，第2層有n個(gè)元素，第3層有m個(gè)元素，記第2層對(duì)第1層的權(quán)重向量為第3層對(duì)第2層的權(quán)重向量為矩陣方案層對(duì)目標(biāo)層的組合權(quán)重向量為依此類推，若共有s層，則第k層對(duì)第一層的組合權(quán)重滿足：其中是以第k層對(duì)第k-1層的權(quán)向量為列組成的矩陣，所以最下層對(duì)最上層的組合權(quán)向量為：

例在合理利用留成問題中有以下遞階層次結(jié)構(gòu)模型（如圖）設(shè)諸判斷矩陣如下，每個(gè)矩陣同時(shí)列出其最大特征根，右主特征向量及一致性比率等。合理使用企業(yè)留成O目標(biāo)層O發(fā)獎(jiǎng)金A1用于福利事業(yè)A2引進(jìn)新設(shè)備A3方案層A調(diào)動(dòng)職工的積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工生活條件C3決策層C判斷矩陣O-COC1C2C3C111/51/30.105C25130.637C331/310.258C1A1A2A1130.75A21/310.25C2A2A3A211/50.167A3510.833C3A1A2A1120.667A21/210.333因此最終排序向量為：于是，對(duì)于工廠合理使用企業(yè)留成利潤(rùn)，促進(jìn)企業(yè)發(fā)展所考慮的三種方案的相對(duì)優(yōu)先排序，利潤(rùn)分配比例為引進(jìn)新設(shè)備占53.1%，用于發(fā)獎(jiǎng)金占25.1%，用于改善福利事業(yè)占21.8。國(guó)家綜合實(shí)力國(guó)民收入軍事力量科技水平社會(huì)穩(wěn)定對(duì)外貿(mào)易美、俄、中、日、德、英、法例1：國(guó)家實(shí)力分析例2：工作選擇工作單位選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽(yù)關(guān)系位置考研究生考公務(wù)員高中老師初中老師自由職業(yè)困難程度過河的效益A經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時(shí)間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進(jìn)出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3例3：過河的效益分析過河的代價(jià)A經(jīng)濟(jì)代價(jià)B1環(huán)境代價(jià)B3社會(huì)代價(jià)B2投入資金C1操作維護(hù)C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對(duì)水的污染C8對(duì)生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2例4：過河的代價(jià)分析待評(píng)價(jià)的科技成