2023屆浙江省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練-平面解析幾何（解答題）【解析版】

《2023屆浙江省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練》

專題12平面解析幾何（解答題）

33.（2022.浙江.高三開學(xué)考試）如圖，已知雙曲線€1：]-/=],經(jīng)過點(diǎn)且斜率為％的直線/與C交

（向

于48兩點(diǎn)，與C的漸近線交于兩點(diǎn)（從左至右的順序依次為MB）,其中后e0,m.

（1）若點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，求火的值；

（2）求△O8N面積的最小值.

【答案】（嗚

C瓜一近

―_4-

【分析】（1）聯(lián)立直線/與雙曲線方程，根據(jù)點(diǎn)了是兒加的中點(diǎn)，列方程求解即可.

（2）聯(lián)立直線/與雙曲線方程，表示出|BN|的長，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式表示出三角形的高，從而得到

三角形面積表達(dá)式，即可求得結(jié)果.

(1)

設(shè)4（5,乂）,8（々,%）

y=Z:（x-l）+l

聯(lián)立直線/與雙曲線方程尤2消去丫得(1-2公卜2一4%(1-/)》-2(1-%)2=0,

——y2=0

12'

由韋達(dá)定理可知，辦+“力片丫若等

y=k（x-1）+1_\-k

聯(lián)立直線/與其中一條漸近線方程I72，解得,

y=x

lT了一"

_"k_k-1

即/=0,，同理可得蒞一夜,

------k+k

22

4%-4/

貝jIx”+XM=

I-2k2

則可知AB的中點(diǎn)與MN中點(diǎn)重合.

由于T（Ll）是MN的中點(diǎn)，所以4n）=2,解得衣=；；

(2)

y=&(x—l)+I與]-y2=i聯(lián)立，消去y得

(l-2)l2)x2-4A:(l-A:)x-2(l-jt)2-2=0

由⑴知I,\BN\=\AM\=.pgS0BN=-S0MN)

20"(1一心2+1.2公

由于[AB|=J1+十，鵬

1-2公

所以網(wǎng)二時迎里手正L

又。到直線的距離"=元方，所以

SQBN2|則"=且心生叵正三叵:

2

.。耽2II2\-2k

_也_________。-2)_________

2J(1-+]_2：2J(]-k)~

S「1_

整理得網(wǎng)2I1-2公?

J1+-----y+1

V(D

1-2公-2t2+4t-l14-

令t=”ke1-冬1則「^二一尸7一2,

(13

當(dāng)1=2,即4=［時，

t2

六與的最大值為2,所以Som的最小值為6一立.

（1一2）4

34.（2022.浙江.杭十四中高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓C過點(diǎn)（6,；）,焦點(diǎn)

耳（一6,0）,月（百,0）,圓。的直徑為百心.

（1）求橢圓C及圓。的方程;

（2）設(shè)直線/與圓。相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線/與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②直線/與橢圓C交于AB兩點(diǎn).若38的面積為偵，求直線/的方程.

7

【答案】（1）—+/=1,X2+/=3；（2）y=-y/5x+3yf2

4

【詳解】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得。力，

即得橢圓方程；（2）第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組

可得切點(diǎn)坐標(biāo).第二問先根據(jù)三角形面積得一角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間

距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程.

詳解：解：（1）因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為耳卜后,0）,￡（6,0）,

f2

可設(shè)橢圓C的方程為］?+方v=l（a>b>0）.又點(diǎn)在橢圓c上,

所以/十五一’，解得a2=4,

2

a2—h2=3,b=1,

因此,橢圓C的方程為!

因?yàn)閳A。的直徑為耳馬，所以其方程為f+y2=3.

(2)①設(shè)直線/與圓O相切于「(毛,%)(玉)>(),%>0),則為2+%2=3,

所以直線/的方程為y=-如-%)+%,g|Jy=-^^+y.

fx2.

了+)，2=1，

由｛3,消去y,得

y=--X+—,

I%%

2222

(4JQ)+y0)x-24A^X+36-4y0=0.(*)

因?yàn)橹本€/與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，

22

所以△=(-24X0)-4(4V+y；)@6-4%2)=48y0聞-2)=0.

因?yàn)轭},為>0,所以毛=0,%=I.

因此，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（應(yīng)」）.

②因?yàn)槿切巍?8的面積為偵，所以』AB0P=2西，從而48=逑.

7277

設(shè)A（X”X）,3（X2，%）,

24%士網(wǎng)函-2）

由(*)得&2=

2(4/2+城)

所以AB?=(X1-X2丫+(%-%)'

xj]48yo2(x；-2)

y2222

°i(4x0+y0)

因?yàn)閄02+為2=3,

2

16(X0-2)32

所以AB=/,\2=右，即2琮-45/2+100=0,

(V+1)49

解得k=：（k=20舍去），則%2=；,因此P的坐標(biāo)為粵,

綜上，直線/的方程為y=S+3應(yīng).

點(diǎn)睛：直線與橢圓的交點(diǎn)問題的處理一般有兩種處理方法：一是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用“設(shè)而不求”思想求解;

二是設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出交點(diǎn)坐標(biāo)，適用于已知直線與橢圓的一個交點(diǎn)的

情況.

35.（2022?浙江?高三階段練習(xí)）如圖，已知拋物線。：尸=2*5>0）的焦點(diǎn)凡且經(jīng)過點(diǎn)4（2p,m）（m>0）,

M=5.

(2)點(diǎn)M,N在C上，且AM_L4V.過點(diǎn)A作A￡)_LMN,。為垂足，證明：存在定點(diǎn)。，使得為定值.

【答案】(1)P=2,m=4-.

(2)證明見解析.

【分析】(1)由拋物線定義有|AF|=2p+5=5求P,由A在拋物線上求〃?即可.

(2)令MN:x=b，+〃，N(x“y°,聯(lián)立拋物線得到一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理，根據(jù)AM_LAN

及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求3〃數(shù)量關(guān)系，確定MV所過定點(diǎn)8,再由">_LMN易知。在以AB為

直徑的圓上，即可證結(jié)論.

(1)

由拋物線定義知：|AF|=2p+曰=5,則p=2,

又A(4,⑴(加>0)在拋物線上，則加2=4*4,可得旭=4.

(2)

設(shè)M(X1,y),N(再,以)，由(1)知：44,4),

所以AW=(%-4,y-4),47=@-4,必一4),乂AM_LAV,

所以(％—4)(/_4)+(y-4)(%—4)=a/-4(%+/)+M-火乂+y2)+32=0,

令宜線MN:x=6+〃，聯(lián)立。：丁=4工，整理得丁一以^-4〃=0,且A=16攵2+16〃>0,

所以y+%=4k,yy2=一4〃,則再+%=攵(必+%)+2九=4〃+2〃,x^x2=22yM+初(〉］+%)+=??,

綜上，幾2-16k2-12〃-162+32=(〃-4攵-8)5+42—4)=0,

當(dāng)"二8+4%時，MN"=My+4)+8過定點(diǎn)3(8,Y)；

當(dāng)〃=4—4攵時，加汽:工=%3—4)+4過定點(diǎn)(4,4),即A,例,N共線，不合題意;

所以直線MN過定點(diǎn)8(8,T),又ADJLMN,故。在以A3為直徑的圓上，

而中點(diǎn)為。(6,0),即QQ卜惇=2若為定值，得證.

36.(2022?浙江?慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試)已知雙曲線=第>())的離心率為孚，且點(diǎn)(3,&)在

C上.

(1)求雙曲線C的方程：

(2)試問：在雙曲線C的右支上是否存在一點(diǎn)尸，使得過點(diǎn)尸作圓V+y2=l的兩條切線，切點(diǎn)分別為A8,

直線A8與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點(diǎn)且5血.=@?若存在，求出點(diǎn)P；若不存在，請說

33

明理由.

【答案】⑴二-y2=1

3

(2)存在，42百,6)或P(2g,-g)

【分析】(1)根據(jù)題意即可列出關(guān)于a、b、。方程組，即可解出答案；

(2)根據(jù)題意設(shè)P(x°,>。)，即可求出直線A3的方程，則可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可表示出

+y；1?CG

|MN|=j2,再由點(diǎn)。到直線AB的距離d=j,+y2，則可表示出ST"N|M=送落若，

即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)

因?yàn)閑=￡=氈，所以。,二:/二合+/，即^2=3/，

a33

乂點(diǎn)(3,碼在雙曲線的C:J-￡=l(a>08>0)圖像匕

o792

所以/一后"I'即套一后"I'解得^=1，"2=3'

所以雙曲線C：5一/=］；

(2)

設(shè)尸(%,％),

由已知點(diǎn)A,B在以O(shè)P為直徑的圓卜―5)~+［)告］=丘|區(qū)上，

(x-尹+(尸等=宅

又點(diǎn)在/+丁=1上，則有方程組.

x2*4+y2=1

解得直線AB的方程為xax+yay=1,

設(shè)直線AB與漸近線y=4x,y=-3x的交點(diǎn)分別為M,N,

3

x(>x+%y=i

13

由，6解得M

，=丁*

%)+丁先

J/

=1

v+yoy

3

1111V3解得N

V=-------X

3%

季3

1

-T

,1

又點(diǎn)。到直線AB的距離為d=&+),

則三角形MQV的面積S=------;—i—xI}/=~?~-----\

22?+%3X”,

2o_^/3173

又因?yàn)樽鋉弁=1,所以5一丁'；3屋了麗，

由已知S=噂，解得尤=3,即%=±6，

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線右支上，解得%=26，

即點(diǎn)P(2底@或尸(2點(diǎn)一百).

37.(2022?浙江?高三開學(xué)考試)己知直線/：＞=h+1與雙曲線C:二-V=l交于M、N兩個不同的點(diǎn).

4'

(1)求&的取值范圍；

(2)若A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)〃在雙曲線C的左支上，點(diǎn)N在雙曲線C的右支上，且直線M4、附分別

與N軸交于P、。兩點(diǎn)，當(dāng)忸。=1時，求我的值.

【答案】（1）一亞＜k＜亞且&X土:

222

（2）*=—

10

1一4攵2±0

【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元，依題意可得八，即可求出參數(shù)的取值范圍;

△＞0

（2）設(shè)N（七,%）,由（1）可得韋達(dá)定理，求出直線M4的方程，即可求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，同理可

得。點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)忸。=1得到方程，解得即可.

（1）

解：聯(lián)立方程組■消丁整理得0—必2）/-8丘-8=0,

1-4公w0版也”J

依題意可得《<解得----<k<——且士，.

△=32-64火2>on222

(2)

8k

…=K

解:設(shè)〃、N坐標(biāo)分別為"（％,x）,N5,y）,A（-2,0）,由⑴

2知，—8

直線MA的方程為y=4（x+2）,

（2、

令x=0可得點(diǎn)尸坐標(biāo)為0,J-

（為+2）

同理點(diǎn)。坐標(biāo)為0,-以

IZ+2J

由|圖T，所以本一備

”以溫舄4

所以卜⑸1-2公(1-2"=2(2女一Ip,

整理得20/一必_7=0,即（2k+1）（10"7）=0,

解得％=—萬1（舍去7）或4=木7，.??％=卡.

38.（2022?浙江省淳安中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，已知橢圓三+普=1（。＞方＞0）的離心率為五，以該橢圓

a2b22

上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)斗名為頂點(diǎn)的三角形的周長為4（忘+1）.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),

設(shè)尸為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線尸片和P鳥與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(I)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線PR、PF1的斜率分別為％、k2,證明k”1；

(III)是否存在常數(shù)幾，使得|/叫+|8|=川陰(力恒成立？若存在，求2的值；若不存在，請說明理由.

22

【答案】(I)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+二=1;雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

84

--^=1(II)占乂=心工=1-(UD存在常數(shù)冗.近使得|崗+|凹=川陰?|8|恒成立，

44%—48

c_>/2

【詳解】試題分析：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知：￡一彳，

2a+2c=4(0+1),所以a=2也，c—2.

又a2=b?+c2,因此b=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為84=1.

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為靠蔗=l(m>0),因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m=2,

因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為彳T=i.

-

(2)設(shè)A(x”yi),B(X2，y2)，P(xo，yo),則ki=%+2,k2=^2

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線X?—y2=4上，所以x—y=4.

4.w

因此kpk2=%+2.當(dāng)?2—%—4=1

即ki-k2=l.

222

(3)由于PFi的方程為丫=履儀+2),將其代入橢圓方程得(2kl+l)x2-8klx+8kl-8=0,

嶼2幽T

2J

顯然2kl+l#0,顯然△>().由韋達(dá)定理得X]+X2=內(nèi)'1,X]X2=叫

所以|AB|=婷J(Xi+xJ-4XiX,

11__1討+1超

則畫+兩二砸“'+1+耳+/

又ki-k2=l,

2

史

述

近

111討+1==

兩十函=凝弓+[+持88

所以

3^2

故|AB|+|CD|=8|AB|.|CD|.

3yf2

因此存在入=8，使|AB|+|CD|=MABHCD?l^)ta：.

考點(diǎn)：本題考查了圓錐曲線方程的求法及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評：對于直線與圓錐曲線的綜合問題，往往要聯(lián)立方程，同時結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求

解；而對于最值問題，則可將該表達(dá)式用直線斜率k表示，然后根據(jù)題意將其進(jìn)行化簡結(jié)合表達(dá)式的形式

選取最值的計(jì)算方式

39.(2022?浙江?高三開學(xué)考試)已知橢圓C5+親?=l(a>h>0)過點(diǎn)Aif,且以長軸和短軸為對角線

的四邊形面積為4〃.

(1)求C的方程；

22

（2）已知橢圓c：會+%=4,在橢圓q上任取三點(diǎn)氏c,r＞,是否存在;i使得△BC。與橢圓c相切于三角形

三邊的中點(diǎn)，若存在，求出義的值，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴￡+/=i；

4

（2）存在，2=4

,（⑸

【分析】（I）由以長軸和短軸為對角線的四邊形面積為4從可得;2山北=4加，求得。=力，再結(jié)合A1，Y

\3

在橢圓上得到二十導(dǎo)=1,兩式聯(lián)立即可得到答案；

a4h-

（2）設(shè)的中點(diǎn)分別是E,居尸（毛方）,然后得到直線E尸為等+政=1,與橢圓C

進(jìn)行聯(lián)立，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理以及結(jié)合題意通過計(jì)算即可得到答案

（1）

以長軸和短軸為對角線的四邊形面積為S=；?2a?2b=2",從而2必=4b2,a=2b,

因?yàn)锳，#）在橢圓上，所以*+京=1，解得a=2,6=1,

所以橢圓方程為三+尸=1

4

（2）

設(shè)3（肛〃）,8。,或＞的中點(diǎn)分別是瓦尸,￡（5,乂）尸（孫必），則。（2%一肛2y-睢0（2/-八

因?yàn)锽C,8。均與橢圓c相切于E,尸點(diǎn)，所以BC:.+yy=1,8。:管+y2y=1,

~4~+X"=1

因?yàn)?（〃筋）在3。,比＞兩直線上，所以，

xm

2+yn=1

~T2

所以（3），（"J在直線詈+“y=i上,即直線所的方程為詈+〃）』,

——mx+ny=.1

22

t得4n+m2m】，八

聯(lián)立x---r-XH-m—1=0,

16萬2n2n2

—X+V2=1

4.

所以％+々8/n

;TA

4n2+m2-4n^—-\-mr

所以％+%=土%+土—

4n4/i4〃4/7+m

當(dāng)直線C￡＞斜率存在時，且C。的中點(diǎn)為（為+%-加,乂+%-〃），直線

8-m2-4九2

CD:y-必一乂口一（玉+/一相）］+（＞|+丫2-〃）=一1》+

工2一百4n

22y=Ax+B/、

Sm4n222

]^A=--,B=~~Jx^,|-+AL+2ABX+B-1=0,

4〃4n----Fy2=]14j

14

因?yàn)?與橢圓C相切，所以化簡得"=4A2+1，

代入A=_：,§=8-"；心",得（8一加2-4n2）-=4（MJ2+4“2）

因?yàn)?（典〃）在橢圓G：￡+y2=2上，所以加+4〃2=4叫代入得（8-44）2=4（44）,解得2=4,2=1（舍）,

4

8-m2-An28-42_2

所以4=4,此時A=--—,B=

4〃4/74/tn

?qi-xzL4+fl,x-8〃？8加1

CO中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為芯+%一根=—5----7-m=--m=--m

4n~+m~4221

-2A8

方程（；+*V*----

的解為"2

所以;1=4時，8與橢圓C相切時切點(diǎn)為8的中點(diǎn)，所以；1=4滿足條件,

當(dāng)直線C。斜率不存在時，不妨假設(shè)直線CO切于橢圓C的左頂點(diǎn)（-2,0）,且根據(jù)橢圓的對稱性，C。的中

點(diǎn)為左頂點(diǎn)（-2,0）,B在x軸的正半軸上，

所以將x=-2代入橢圓C：《+y2=；l得y=±JTZ,不妨設(shè)a-2,JT斤），

將N=0代入橢圓6：:+丫2=4得％=±2〃，所以8（2＞/1,0）,

則BC的中點(diǎn)為（互-1,叁口，代入橢圓C得上2里1+上1=1,解得2=4,

I2）44

綜上所述，2=4

【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為人不X）,B（為力）：

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或?。┑囊辉畏匠蹋?/p>

（3）寫出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為為+x2g々形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

40.（2022?浙江嘉興?高三階段練習(xí)）已知橢圓C:：+￡=1（O<b<2）,直線4：y=x+”與橢圓C交于A,B

兩點(diǎn)，且|AB|的最大值為孚.

⑴求橢圓C的方程；

⑵當(dāng)|A8|=當(dāng)時，斜率為-2的直線12交橢圓C于P,。兩點(diǎn)（P,。兩點(diǎn)在直線/,的異側(cè)），若四邊形APBQ

的面積為處正，求直線/,的方程.

9

【答案】（1）《+片=1

42

（2）/2:2x+y土友=0.

【分析】（1）設(shè)力a，%）,3（七,必），聯(lián)立直線4與橢圓方程，得出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長公式求解，結(jié)合

函數(shù)的最大值可得人=應(yīng)，進(jìn)而求得橢圓方程即可；

（2）設(shè)直線4方程為y=-2x+〃，尸（&,%），Q（%”），記點(diǎn)P，。到直線4的距離分別為4，4，表達(dá)

出4，4，根據(jù)當(dāng)即°=々指求解即可.

上+片=1

設(shè)A（XQ）,8（w，%）,聯(lián)立直線4與橢圓方程得4b2~，

y=x+m

消去y得W+4）f+8〃a+4（2）=0,又演,巧是這個方程的兩個實(shí)根,

A=64/-16（從+4）"一/）〉0

所以%+々=j，由弦長公式得

/r+4

4（m2-b2}

網(wǎng)=TiTF,一々卜0m

所以當(dāng)m=0時，|A回取到最大值，即=^^==之屈,解得人&?

皿,技+43

所以橢圓C的方程為三+反=1.

42

(2)

_1

設(shè)直線4方程為y=-2x+〃，-W,%)，。&,”)，聯(lián)立直線4與橢圓方程7萬一，消去y得

y=-2x+n

9x2-8Aix+2/-4=0,

△=(-8"『-4X9X(2〃2-4)>0

所以x3+x4,且〃4-3夜,3&),

2〃2一4

WZ=-y-

記點(diǎn)p,Q到直線《的距離分別為4，d2,又&=壓浸，&=&泮1且優(yōu)一%)(%—%)<0,

卜3-必|卡卜-%|=卜3-4)一(七一)'4)|3|(X「XJ

所以4+4==

&忘一y/241

所以S“曄=g|A8|(4+4)=；.gJ18-a、=J18-〃2，

因?yàn)?.2=9#，所以及48-〃2=處,整理得r=2,所以〃=±忘滿足條件,

999

綜上所述直線的方程為￡y=-2x土血，即為/2：2x+y±3=0.

v-22

41.(2022?浙江省蒼南中學(xué)局三階段練習(xí))已知點(diǎn)A(2,D在雙曲線C:^--2v=1(匕>0)上

2b2

(1)求雙曲線C的漸近線方程；

⑵設(shè)直線/：y=%(x-D與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)E,F,直線AE,AF分別交直線x=3于點(diǎn)M,N.當(dāng)

.AMN的面積為及時，求左的值.

【答案】⑴y=±^^x

(2)-|

【分析】(1)由雙曲線的性質(zhì)求解，

(2)由E,尸兩點(diǎn)坐標(biāo)表示|MN|,聯(lián)立.直線/與雙曲線方程，由韋達(dá)定理化簡，再由一AMN列方程求解

(1)

將點(diǎn)42,1)代入方程三-與=1,解得從=1,

2b-

所以雙曲線C的方程為J-y2=],漸近線方程為y=±[x：

(2)

^=fc(x-l)

1-2公NO

聯(lián)立＜X*2*IO,整理得（1-2犬卜2+44、-2公-2=0,由題意

=1A>0

得公＜1且公k:，設(shè)點(diǎn)E,F的坐標(biāo)分別為（西,乂）,（々，%），由韋達(dá)定理得為+々=/^，平2=與工

22左一12H—1

直線AE的方程為）=1=上三。-2）,令》=3,得y=2二+1,即M（3,空■+」，同理可得

士一2%一2I斗一2）

2舊1-H

門

叱駕占為二三X一3+6-24+2/

(X,-2)(X2-2)

fcc,(x2-1)-2A:(X2-1)+X2(3_1)+2憶(玉一1)_再

(xt-2)(x2-2)

I，1lX|-々llil無?-k后11-AI

=|A：-lI---------=-一-=|Z:-11—r-；~i—=V2,,

士匕-2（芭+々）+4KT\l\-k2

所以.AMN的面枳S=!X|MN|X1==*^4=&,即2^^=|1一%|，

22yjl-k~

解得k=l或上=-=,又公＜1且公力：,所以A的值為-

525

42.（2022?浙江?紹興魯迅中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓C:=1（。＞匕＞0）過點(diǎn)（-2,0）,乙（2,0）

為其左、右焦點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程;

（2）P為第一象限內(nèi)橢圓C上的一點(diǎn)，直線尸耳/鳥與直線x=5分別交于A,B兩點(diǎn)，記△E48和△24工的面

S.25PA-PF.

積分別為S”邑，若”=不，求U的值?

%9PB-PF2

【答案】⑴3+4=1

IOo

（2）1

【分析】（1）先根據(jù)橢圓焦點(diǎn)得c=2,再由定義得到橢圓方程.

(2)先設(shè)直線尸耳P瑪并表示出AB,再根據(jù)自吟求出嗚，()，《5彳

,8(5,9),最后由距離公式得到

歸用=|而,|尸用=g而解=竟疝陷=|加計(jì)算出答案.

(1)

由題意可知耳(-2,0),月(2,0),

a=V10，

b2=a1—c1=6,

橢圓C的方程為：3+0=1.

106

（2）

2

由F}（-2,0）,產(chǎn)（%。,%）得直線m：為x-（％）+））'+2%=°，

令x=5,解得尸；^，

7%1

/.A5,

）

I7+27

同3%

I%-2

.,\AB\=^___肛L=4坐一20%,

X。+2%?！?XQ—4

AB5-x2

51_|ll（o）_（5-xo）_25

化簡得16x；+90x0-325=0①或34x；-90x0+125=0②,

由①得（2%-5）（既+65）=0,故/=}

由②可知/<0,故該方程無實(shí)根.

s22a

將X。=與代入橢圓方程J+J=1中，解得%=3，

21062

（翡）A卜￡］，8（5,9），

.■.|p/-|=|Vio,|Pf；|=^VK）.|PA|=|Vio,|PB|=|>/io,

2262

.1網(wǎng)?同I

,1網(wǎng)尸國■

43.（2022?浙江?高三開學(xué)考試）已知橢圓C：「+與=l（a>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,離心率為!，ABC

ab~2

為橢圓C的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)。為3A3C的外心.

（1）求C的方程；

（2）記直線AB、8C、C4、OD的斜率分別為&愁2人、8,且斜率均存在.求證：4k&k/=3.

2、戶

【答案】（1）土r+匕=1：

1612

（2）證明見解析.

【分析】（1）利用右焦點(diǎn)、離心率求出&匕即得解；

（2）設(shè)4（%,乂）,3（々,必）,。（毛,％）,。（%,％），求出K&，%人即得證.

（1）

解：由橢圓C:￡+]=l（a>0,〃>0）的右焦點(diǎn)為尸（2,0）,離心率為￡得a=4,c=2.所以

ab"ci2

b=J16-4=2^3.

所以橢圓C的方程為蘭+q=1.

1612

（2）

證明：設(shè)雙%％），“玉,%），°（Z，％），則匕=^^內(nèi)=^5^￡=^^人=3

“2”1”2巧”3巧”4

設(shè),ABC的外接圓方程為犬+丁-2x4X-2y4y+F=0,

得x；+y：_2^-2y4yt+F=0,x1+y1-2x4x,-2y4y2+F=0,

兩式相減得W-X；+貨-4=2X4(&-4)+2%(%-X)，

因?yàn)閥；-y；=-1-（%2-^2）,所以;（％+X）=2%+2以勺，

同理：；（々+》3）=2匕+2以&.

-X.-x,cX+X.X.-X,

兩式相減得：2%=水小，于是：2寸寸7-忒力/

所以％4.*)_鼻f

4

七-+?石一百江(x2+x})k2-(x3+x2)kl

44a/

(外一占)(工3-々)(々一%)

將占=k2=y^代入上得:k&=

馬一百X2-X3(X；一引(%-%)-(4T)(%-%)

因?yàn)閤；-x：=-g(y；-y；)，^~x2=_g(￡_￡)

3（犬3-玉乂*2-吟（工3一%）

所以％=

4（丫3—%）（必一乂）（%一芳）

所以4K自公自=3得證.

44.（2022.浙江省桐廬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓E:'方=l（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)”[1,引，且焦距

閨勾=2百，線段A8.CD分別是它的長軸和短軸.

⑴求橢圓E的方程；

（2）若N（s/）是平面上的動點(diǎn)，從下面兩個條件中選一個，證明：直線尸。經(jīng)過定點(diǎn).

①s=l,/w土弓，直線附,N8與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P,Q；

②f=2,swR,直線NC,NO與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P,Q.

【答案】（1）二+>2=1

4

（2）見解析

J_+J_=1

【分析】（1）由已知可得：/+/一，解得：〃=44=1,即可求橢圓E的方程：

Y_/=3

（2）選①，則MlJ）,4―2,0）,8（2,0）,設(shè)尸（與,力）,。（々,人），

如A=7^7=g，kzB=三=T，所以：y=g（x+2）,/柩：>=T（*_2）,

1+ZJ1—ZJ

聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出RQ的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，令y=0,x=4,故直線P。恒過定點(diǎn)

（4，。）.

選②，則Ms,2）,C（0,l）,0（0,-l）,設(shè)尸（與,力）,Q（q,y。），

,2-11,2+13—13,

kNC=—=—,kND=—=一，所以4vc:y=_x+L4vo:y=

SSSSSS

聯(lián)立直線和橢圓的方程，求出尸，。的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到直線PQ的方程，令x=0,y=；,故宜線P。恒過定

點(diǎn)[*[

（1）由已知，C=5點(diǎn)硝用在橢圓上，所以*磊=1，又因?yàn)閮ΘD6小，所以/=4,從=1,所

以橢圓的方程為：a1=4,〃=1.

（2）選①，則N（l/）,4（—2,0）,8（2,0）,設(shè)產(chǎn)（今,力）,。（知“），L=7二=:，輸=[==一八所以

1+231—2

y=：（x+2）

/NA：y=；（x+2），4vB：y=T（x—2）,《2消去y得：（9+4z2）x2+16r2x+16r-36=0,

匕+>1

△=256/-4（9+4產(chǎn)）（161-36）=362>。所以_2與=鑒言，所以與=三螯，則為=懸？，所以

借"二二消去丫得：（1+4/2）X2-I6Z2X+16/2-4=0,

A=256~4（l+4產(chǎn)）（16產(chǎn)-4）=16>0,所以2%=毛某，所以q=卷，則3忌，所以

I2t4t

0[竊所以怎「當(dāng)望=簽潦=品'所以直線尸。的方程為:

9+4/1+4/

4/_-2t（8/-2）

，所以16y4+（8x—32）/+16城+（2x-8）f+3y=0,所以y=0,x=4,故直線

?。恒過定