專題17 圓（學(xué)生版）

知識點01：垂徑定理及其應(yīng)用【高頻考點精講】1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。2、垂徑定理的推論（1）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。3、垂徑定理的應(yīng)用：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題。知識點02：圓周角定理【高頻考點精講】1、圓周角定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。注意：圓周角必須同時滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩條邊都與圓相交。2、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論：半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。3、解題技巧：解決圓的有關(guān)問題時，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角。知識點03：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)【高頻考點精講】1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補。2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。知識點04：三角形的外接圓與外心【高頻考點精講】1、外接圓定義：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓。2、外心定義：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點。3、注意事項（1）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部。（2）找三角形的外心，就是找三角形三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個。知識點05：切線的性質(zhì)【高頻考點精講】1、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。2、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。3、經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。4、切線性質(zhì)的運用：由切線長定理可知，如果出現(xiàn)圓的切線，可以連接過切點的半徑，得出垂直關(guān)系。知識點06：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心【高頻考點精講】內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。2、內(nèi)心定義：三角形三個內(nèi)角角平分線的交點。3、任何三角形有且僅有一個內(nèi)切圓，而任一個圓都有無數(shù)個外切三角形。4、三角形內(nèi)心的性質(zhì)（1）三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。（2）三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分內(nèi)角。知識點07：弧長及扇形面積計算【高頻考點精講】1、弧長計算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）2、扇形面積計算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形。（3）扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則①S扇形＝πR2②S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積解題技巧：將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用方法：①直接用公式法；②和差法；③割補法。知識點08：圓錐的計算【高頻考點精講】1、圓錐頂點和底面圓周上任意一點的連線叫做圓錐的母線。頂點與底面圓心的連線叫圓錐的高。2、圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長。3、圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl．4、圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl5、圓錐的體積＝×底面積×高6、注意事項（1）圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等。（2）圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等。檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.50一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?湖州）如圖，點A，B，C在⊙O上，連結(jié)AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，則∠BOC的度數(shù)是（）A．80° B．90° C．100° D．110°2．（2分）（2023?錦州）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠ABC＝40°，連接OA，OC．若⊙O的半徑為3，則扇形AOC（陰影部分）的面積為（）A．π B．π C．π D．2π3．（2分）（2023?赤峰）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BCD＝105°，連接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝2∠COD．則∠CBD的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2分）（2023?廣西）如圖，點A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°5．（2分）（2023?重慶）如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，連接AC，若∠ACD＝50°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2分）（2023?山西）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC，BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠BAC＝40°，則∠DBC的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°7．（2分）（2023?濱州）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構(gòu)成，且三個等圓⊙O1，⊙O2，⊙O3相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）A．πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．πcm28．（2分）（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重要標志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉(zhuǎn)彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線的長為（）A． B． C． D．9．（2分）（2023?河北）如圖，點P1～P8是⊙O的八等分點．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長分別為a，b，則下列正確的是（）A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)＞b D．a(chǎn)，b大小無法比較10．（2分）（2023?廣元）如圖，半徑為5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一點，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，若CD＝CE，則圖中陰影部分面積為（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?青島）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），P（﹣1，0），⊙P過原點O，且與x軸交于另一點D，AB為⊙P的切線，B為切點，BC是⊙P的直徑，則∠BCD的度數(shù)為°．12．（2分）（2023?南通）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，則∠ACD＝度．13．（2分）（2023?徐州）如圖，在⊙O中，直徑AB與弦CD交于點E．＝2，連接AD，過點B的切線與AD的延長線交于點F．若∠AFB＝68°，則∠DEB＝°．14．（2分）（2023?寧波）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為cm2．（結(jié)果保留π）15．（2分）（2023?吉林）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為15m，點A，B是圓上的兩點，圓心角∠AOB＝120°，則的長為m．（結(jié)果保留π）16．（2分）（2023?北京）如圖，OA是⊙O的半徑，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于點D，AE是⊙O的切線，AE交OC的延長線于點E．若∠AOC＝45°，BC＝2，則線段AE的長為．17．（2分）（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是．18．（2分）（2023?青海）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留π）．19．（2分）（2023?衢州）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與BC邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．20．（2分）（2023?南充）如圖，AB是⊙O的直徑，點D，M分別是弦AC，弧AC的中點，AC＝12，BC＝5，則MD的長是．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點C是圓上一點．在AB的延長線上取一點D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．22．（6分）（2023?北京）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．（1）求證DB平分∠ADC，并求∠BAD的大?。唬?）過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F，若AC＝AD，BF＝2，求此圓半徑的長．23．（8分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，點C是的中點，連接BC，過點C的直線垂直于BE的延長線于點D，交BA的延長線于點P．（1）求證：PC為⊙O的切線；（2）若PC＝2BO，PB＝10，求BE的長．24．（8分）（2023?婁底）如圖1，點G為等邊△ABC的重心，點D為BC邊的中點，連接GD并延長至點O，使得DO＝DG，連接GB，GC，OB，OC．（1）求證：四邊形BOCG為菱形．（2）如圖2，以O(shè)點為圓心，OG為半徑作⊙O．①判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并予以證明．②點M為劣弧BC上一動點（與點B、點C不重合），連接BM并延長交AC于點E，連接CM并延長交AB于點F，求證：AE+AF為定值．25．（8分）（2023?營口）如圖，在△ABC中，AB＝BC，以BC為直徑作⊙O與AC交于點D，過點D作DE⊥AB，交CB延長線于點F，垂足為點E．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若BE＝3，cosC＝，求BF的長．26．（8分）（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點E，過點E作EF∥AB，交CA的延長線于點F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過點E作EG⊥AC于點M，交⊙O于點G，交AB于點N，求的長．27．（8分）（2023?長春）【感知】如圖①，點A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點P在弧AC上（點P不與點A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進而得證．下面是小明