曲線的凹凸性和漸近線

關(guān)于曲線的凹凸性和漸近線一、曲線的凹凸性問題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義1*:第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天對于曲線的彎曲方向，我們換一個角度來看曲線上任一點的切線位于曲線的上方曲線上任一點的切線位于曲線的下方機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束我們可以證明：定義1和定義2是等價的。第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定理1（凹凸性的充分條件）：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明1：用定義1證第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由定義2，(1)成立。同理可以證明(2)。證明2：用定義2證第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天推論：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例1：解：注意到,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例2解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(1)(2)第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二、曲線的拐點1、定義注意:

拐點處的切線必在拐點處穿過曲線。2、拐點的求法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例3：解凹的凸的凹的拐點拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意:例4：解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)f(x)的拐點的步驟：注意：例第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天定理4證明：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例5：解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天三、漸近線定義:1.鉛直漸近線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例如有鉛直漸近線兩條:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2.水平漸近線例如有水平漸近線兩條:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3.斜漸近線斜漸近線求法:顯然，水平漸近線是斜漸近線的特例。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天證明：由漸近線的定義，有要使此時成立，必須機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天注意:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6解第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例7：

確定常數(shù)a,b,

使解:由條件知，第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天四、函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步第三步機動目錄上頁下頁返回結(jié)束步驟：第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第五步第四步

求曲線的漸近線；第七步第六步

作圖。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例8解非奇非偶函數(shù),且無對稱性.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點和拐點:不存在拐點極值點間斷點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天作圖機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天例9解無奇偶性及周期性.列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)沒有漸近線。第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天拐點極大值極小值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天1、凹凸性的定義：兩種定義；

用函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等于零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，由二階導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)在各個區(qū)間的凹凸性，再由凹凸性的改變判別拐點;2、凹凸性的判別和拐點的求法：3、漸近線的求法：水平漸近線和斜漸近線；機動目錄上頁下頁返回結(jié)束五、小結(jié)4、函數(shù)作圖。第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束習(xí)題3-4(P188)1(3)(6)；2(2)；3；5；

7(2)(6)；8；11(2)；12

第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天解：例機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天解：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

;

.的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

曲線第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天4.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天5.求證曲線有位于一直線的三個拐點.證明：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第48頁,共54頁，2024年2月25日，星期天6、解偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對稱.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第49頁,共54頁，2024年2月25日，星期天拐點極大值列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點與拐點:拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第50頁,共54頁，2024年2月25日，星期天機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第51頁,共54頁，2024年2月25日，星期天備用題求笛卡兒葉形線的漸近線.解:

令

y=t

x

,代入原方程得曲線的參數(shù)方程:因所