離散型隨機變量的分布

關于離散型隨機變量的分布第一節(jié)

二項分布一、二項分布的定義P98(BinomialDistribution)二項分布是從著名的貝努里實驗中推導出來的。所謂貝努里實驗是指只有兩種可能結果的隨機實驗。二項分布是一種應用非常廣泛，也非常重要的一種分布。第2頁,共28頁，2024年2月25日，星期天我們以投硬幣為例，投一次硬幣，只有兩種結果，正面朝上或反面朝上，單次實驗就形成一個二點分布；正面朝上的次數(shù)取值只有兩個，要么1次，要么0次；我們這樣來表達：P(X=1)=p，P(X=0)=q接下來，我們來四次擲幣，每次拋幣都不會影響下一次拋幣的結果，所以是獨立實驗；正面朝上的次數(shù)這個隨機變量的取值就不會只是兩個，而是會有4＋1個取值。即：正面出現(xiàn)0次和1、2、3、4次。我們用小p來表示正面朝上的概率，用q來表示反面朝上的概率，我們把X的取值相應寫成：X=0,X=1,X=2,X=3,X=4，來求這個隨機變量X的概率分布。第3頁,共28頁，2024年2月25日，星期天（1）X=0時，P(X＝0)＝1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/16＝0.0625（2）X=1時，P(X=1)=p*q*q*q*4==1/4＝0.25（3）X=2時，P(X=2)=p*p*q*q*6==6/16＝0.375（4）X=3時，P(X=3)=p*p*p*q*4==1/4＝0.25（5）X=4時，P(X=4)=p*p*p*p==1/16＝0.0625第4頁,共28頁，2024年2月25日，星期天我們推廣到n次，則可以寫出一般性的二項分布的概率分布公式：

(X共有n+1個取值)第5頁,共28頁，2024年2月25日，星期天二項分布的定義如果在相同條件下進行n次獨立試驗，每次試驗只有2種可能的結果，事件A出現(xiàn)的概率P(A)=p,事件A不出現(xiàn)的概率P()=q,那么，n次試驗中事件A出現(xiàn)次數(shù)（隨機變量X）的概率分布為：

x=(0,1,2,….n)，可以簡寫為：B(n，p)(BinomialDistribution)，其中n為獨立試驗次數(shù)，p為每次試驗中A出現(xiàn)的概率。第6頁,共28頁，2024年2月25日，星期天由于p＋q＝1，所以只要知道了n和p，該二項分布就已經(jīng)被確定。我們可以不用計算，而是通過查表的方法非常方便的了解隨機變量的概率分布的全貌。二項分布表的用法。第7頁,共28頁，2024年2月25日，星期天隨機變量取值在某一區(qū)間內(nèi)的概率：（1）事件A至多（最多）出現(xiàn)m的概率：（2）事件A至少出現(xiàn)m次概率：（3）事件A出現(xiàn)次數(shù)不少于a，不大于b的概率為：（4）事件A出現(xiàn)的全部概率之和：第8頁,共28頁，2024年2月25日，星期天二、二項分布的討論（1）二項分布是離散型隨機變量的分布。X的取值有n+1個。（2）二項分布的圖形當p=0.5時是對稱的；當p≠0.5時則是非對稱的。但是當n越大的時候，越趨向于對稱。（3）二項分布的特征值：（4）二項分布由概率p和實驗次數(shù)n兩個參數(shù)決定，也可以簡單記為B(n，p)。（5）二項分布的概率值即可以通過公式計算，也可以通過查表求得。（6）二項分布的特點是，已經(jīng)知道兩種結果發(fā)生的概率，實際上對總體的情況已經(jīng)有所了解。這是求抽樣時（任何樣本量下）每得到一個樣本個體的概率。第9頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例】根據(jù)生命表，年齡為60歲的人，可望活到下年的概率是0.95。設某單位年齡為60歲的人共有10人，問：（1）其中9人活到下年的概率為多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？解：任選一人能否活到下一年與他人無關，因此是獨立事件。因為只有兩種結果，所以符合二項分布。n=10，p=0.95第10頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例2】一場火星文的考試，共10道單項選擇題（五選一），你隨機猜測答案。試問：（1）能夠及格的概率是多少？（2）一道也答不對的概率是多少？（3）答對1－3道的概率是多少？（4）答對的期望值和方差。解：由題意得，p=0.2，n=10，第11頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【練習1】按照以往的經(jīng)驗，你在5點半到5點40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90％。一個星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時等車都不會超過10分鐘概率時多少？至少有2天等車會超過10分鐘的概率是多少？求期望值和方差?！揪毩?】設離散型隨機變量

，概率

，求：（1）參數(shù)p值；（2）概率P(X=2)；（3）數(shù)學期望；（4）方差【例3】某人在每天上班途中要經(jīng)過3個設有紅綠燈的十字路口。設每個路口遇到紅燈的事件是相互獨立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標準差。第12頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【練習1】按照以往的經(jīng)驗，你在5點半到5點40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90％。一個星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時等車都不會超過10分鐘概率時多少？至少有2天等車會超過10分鐘的概率是多少？求期望值和方差。第13頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)超幾何分布

（Hypergeometricdistribution）一、超幾何分布二項分布的適用有一個非常重要的條件，那就是獨立實驗，只有在大群體的情況下，這種獨立實驗的要求才能近似的得到滿足。但如果研究對象不是社區(qū)、大群體，而是一個小群體，比如是一個班組或者一個科室等等，這時總體不大，一般最多只有幾十個人。假定總體分為兩類A和非A，如果這是從總體中抽取n名，那么每個抽取對象出現(xiàn)A類的概率將不再恒定，也就是不滿足二項分布所要求的獨立實驗的條件。超幾何分布將適合這類小群體研究。第15頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例1】設小組共有10名成員，7男3女。任抽3名，問其中男性的概率分布?！窘狻扛鶕?jù)題意有N＝10男7女3n＝3第16頁,共28頁，2024年2月25日，星期天超幾何分布定義定義：總體性質(zhì)共分兩類：A類與非A類?？傮w總數(shù)為N，A類K個，設從總體中任抽n個（n≤N-K），則n中含有A類個數(shù)X的概率分布為：注意：（1）為什么是n≤N-K？

（2）X的取值是n+1或者K＋1，取小的那個。第17頁,共28頁，2024年2月25日，星期天二、超幾何分布的數(shù)學期望和方差：如果用p=K/Nq=1-p，則有：第18頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例1】以隨機方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個委員會，求該委員會中女性人數(shù)的概率分布，期望值和變異數(shù)。第19頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【練習1】班里學生30名,兄弟民族有13名,問任抽5名,抽中兄弟民族人數(shù)的概率分布。解：由題意得：N=30，K=13，n=5，X有6個取值，代入超幾何分布公式：第20頁,共28頁，2024年2月25日，星期天三、超幾何分布與二項分布的關系超幾何分布適合小群體研究，但如果群體規(guī)模逐漸增大，以致抽樣個體間的改變可以忽略不計，這時也可以采用二項分布來討論。且兩種分布計算的結果應該是逐漸的接近。數(shù)學上也可以證明，當N很大（N→∞）時超幾何分布將趨向于二項分布。第21頁,共28頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)

泊松分布

（PoissonDistribution）一、泊松分布泊松分布是由法國數(shù)學家泊松SimeonDenisPoisson提出的，Poisson對于小概率事件特別著迷，特別是許多情況下可能出現(xiàn)的事件。他研究了在那個騎兵仍舊騎馬而不是用坦克的時代里普魯士士兵被馬踢死的人數(shù)的數(shù)據(jù)。他的成果發(fā)表于1837年。第22頁,共28頁，2024年2月25日，星期天泊松利用二項分布的公式推導出泊松分布的公式：x＝0，1，2，。。。(e=2.718)泊松分布只有一個參數(shù)λ，確定了λ，就確定了泊松分布。第23頁,共28頁，2024年2月25日，星期天二、泊松分布的性質(zhì)（1）泊松分布隨機變量X的取值為0和一切正整數(shù)。比如被馬踢死了幾個人。（2）泊松分布圖形是非對稱的，但是隨著λ的增大，圖形將變得接近對稱。（3）泊松分布的數(shù)學期望和方差：E(X)=λD(X)=λ泊松分布的這個性質(zhì)很重要，在N較大，p較小的情況下，我們只要確定了X的期望值（出現(xiàn)概率最大的那個值）實際上就是λ,這時就可以確定這個隨機變量的分布了。第24頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例】見張彥教材P131，發(fā)生在1875－1894年普魯士軍隊中，10個師團被馬踢死士兵的事故記錄如下表。試與泊松理論分布相比較。分析：要了解泊松分布的理論分布，必須要知道參數(shù)λ，根據(jù)泊松分布的非常重要的性質(zhì)λ=E(X)=D(X)，如果我們知道了數(shù)學期望或者方差就可以知道λ了。第25頁,共28頁，2024年2月25日，星期天【例】已知任抽一張卡片，上面的錯字數(shù)服從泊松分布?，F(xiàn)在有1000張卡片，一共有錯字300個，求所抽卡片上錯字數(shù)的概率分布?！窘狻縓＝一張卡片上的錯字數(shù)，x=0,1,2,…..300，λ=E(X),平均每張卡片上出現(xiàn)的錯字數(shù)實際上是X的期望值，E(X)=0.3介紹表的查法，VERYTRICKY!這個表中的X實際上指的是“至少X”第26頁,共28頁，2024年2月25日，星期天三、二項分布和泊松分布的關系泊松發(fā)現(xiàn)，二項分布下