2023學(xué)年北京順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案詳析

2023學(xué)年北京順義區(qū)楊鎮(zhèn)一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

2023.11

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

一、選擇題，10小題，每題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).

1.直線后一丫一』°的傾斜角為（）

A.30B.60c.120D.150

2.在平面直角坐標(biāo)系x°）'中，角a以3為始邊，它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（43）,則cosa=（）

_44_33

A.5B.5c.4D.4

3.如圖所示，在正方體ABS-AAGR中，E,尸分別是AB,的中點(diǎn)，則異面直線BC與m所

成的角的大小為（）

A.30°B.45。c.60°D.90。

4.已知平面a的法向量為（2-4，—2），平面夕的法向量為（T2，%）,若a〃夕，則"=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.如果AB>0,BOO,那么直線—+B）'+C=°不經(jīng)過(guò)的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.已知圓C的方程為丁+丁一2工+4），-4=0和圓2的方程為一+（>-1）2=4,兩圓的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交C.相離D.外切

7.己知直線x+（〃?+2）yT=°與直線爾+3y7=°平行，則加的值為（）

A.-3B.1C.1或3D.T或3

8.己知三棱錐。一A8C,點(diǎn)M,N分別為AB,℃的中點(diǎn)，且%=a,OB=b,°C=c,用a,方，

c表示MN,則MN等于（）

B

—(a-\-b-c\—(a-b-\-c\-(c-a-b

B.2、，c.2</D.2<

9.如圖，已知一艘停在海面上的海監(jiān)船°上配有雷達(dá)，其監(jiān)測(cè)范圍是半徑為25km的圓形區(qū)域，一艘輪

船從位于海監(jiān)船正東40km的A處出發(fā)，徑直駛向位于海監(jiān)船正北30km的B處島嶼，速度為28km/h.

這艘輪船能被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到的時(shí)長(zhǎng)為（）

A.1小時(shí)B.0.75小時(shí)C.0.5小時(shí)D.0.25小時(shí)

10.如圖所示,該曲線W是由4個(gè)圓:（xT）2+V=L（x+1『+9=11+（）'+1）2=11+（，—1）2=1的一部

分所構(gòu)成,則下列敘述錯(cuò)誤的是（）

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2兀

B.若圓、2+>2="=>°）與曲線亞有4個(gè)交點(diǎn),則廠=&或2

c.BO與OE的公切線方程為x+y-i-應(yīng)=0

D.曲線上的點(diǎn)到直線X+y+5五+1=°的距離的最小值為3

二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知A（L2,3）,以4,5,9）,AJ5產(chǎn)則它的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為

12.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（—3，。）和（3,0）,橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

為

13已知直線4：奴-2y+4=04：x+（a-3）y+a=o

（1）當(dāng)。=4時(shí)，兩直線乙4的交點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為

（2）若直線《‘L”的值為

14.已知集合力="'2=/一'殷｛（x，y）|，=x+*,若集合AcB中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)b的取

值范圍是

15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體A'。。一人向GR中，點(diǎn)p是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），點(diǎn)E在線

段8㈤上，且4,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在點(diǎn)P,使得平面PB'D'〃平面CM.

②存在點(diǎn)P,使得！PBQi是等腰直角三角形；

③若PE<5,則點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2幣.

AP_1

④當(dāng)PC-3時(shí)，則平面0片"截正方體A8C0-48cA所得截面圖形的面積為18.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

三、解答題，6小題，共85分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

TT

/（x）=sin（x+—）

16.已知函數(shù)3.

[0-]

（1）寫(xiě)出了（X）的最小正周期；（2）求f（x）在區(qū)間’2上的最大值及相應(yīng)x的值.

17.已知-加C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（3，°）'3（T，-3）、C（1,1）.

（1）求直線8c的方程；（2）求,A8C的面積.

18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體AB8-AAG2中，點(diǎn)乂為線段4A的中點(diǎn).

BC

⑴求證：w%

(2)求平面A與平面MCD'夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)。到平面MC"的距離.

19.已知圓C的方程為：x2+y2-2x-4y+\=0

⑴求過(guò)點(diǎn)"O'勺的圓C的切線方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(°4)的直線/被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2>/3,求直線/的方程.

20.在梯形ABC。中，AB8,4">=60,48=24。=2。>=4,0為48的中點(diǎn)，線段47與。尸交于0

點(diǎn)，將-A8沿4c折起到△ACO的位置，使得平面4C3工平面ACD.

⑴求證：BC平面PO。'；

娓PQ

(2)線段9>'上是否存在點(diǎn)°,使得CQ與平面BCO所成角的正弦值為E?若存在，求出麗的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48的距離之比為定值〃?(加*1)的點(diǎn)的

軌跡是圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)入(一2，1)，8(1，1).「滿(mǎn)足詬一，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓點(diǎn)M

為圓心，

⑴求圓M的方程；

⑵若點(diǎn)°是直線4：x+)'+5=°上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn),求四邊形

尸的面積的最小值；

4伍+1)+〃(。+1)

⑶若直線3以+力-1=°(">°力>())始終平分圓加的面積，寫(xiě)出~ab的最小值.

1.B

【分析】首先將直線方程化為斜截式，即可求出斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可得解.

【詳解】直線/的方程為6x-y-i=（）,即y=

所以直線的斜率火=g,設(shè)傾斜角為a,則tana=G,因?yàn)?Wa<18。，

所以&=60.

故選：B.

2.B

【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義即可求得結(jié)果.

【詳解】解：角。以改為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（43）,

44

cosa=/=—

5

故選：B.

3.C

【分析】利用線線平行，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，在三角形中求解即可.

【詳解】如圖，連接碼則4C〃A。,

E,尸分別是AB,AE＞的中點(diǎn),

:.DB〃EF,

是異面直線qc與我所成的角，且，AQB是等邊三角形,

NA08=60。

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)題意得兩平面的法向量平行，從而得到”=切，進(jìn)而求出結(jié)果.

2=-t

-4=2r（k=l

【詳解】由題意得：機(jī)=（2T,—2）與"=（一1,2次）平行，故機(jī)=5,即l-2=W,解得：卜=-

故選：C

5.A

y----x---

【分析】將直線化為88,結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過(guò)的象限.

AC

y----x---

【詳解】由題設(shè)，直線可寫(xiě)成.BB,又AB>°,BOO,

--<0--<0

B,8,故直線過(guò)二、三、四象限，不過(guò)第一象限.

故選：A.

6.B

【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找到圓心之間的距離和半徑之間的關(guān)系即可判斷圓與圓的位置關(guān)系.

［詳解】由題知x2+y2_2x+4y—4=0可化為，

（1『+（產(chǎn)2）一=9,所以圓心為。，-2），半徑為3,

V+（y-l）2=4,圓心為（0,1），半徑為2,

所以圓心之間的距離為“°-爐+。-（-2））~=如,

因?yàn)閳A心距大于半徑差的絕對(duì)值,小于半徑和，

所以?xún)蓤A相交.

故選:B.

7.A

【分析】利用兩直線平行即可得機(jī)（帆+2）TX3=0,又因?yàn)椋?=1時(shí)兩直線重合，即可得加=-3.

【詳解】根據(jù)題意，由兩直線平行可得“（機(jī)+2）-以3=0,即"+2,〃-3=0,

解得〃?=1或m=-3；

經(jīng)檢驗(yàn)加=1時(shí)，兩直線重合，不合題意；

所以〃?=-3.

故選：A

8.D

【分析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.

［詳解］因?yàn)镺A=%0B=b,OC=c,

MN=ON-OM==-OC--（OA+OB\=-（c-b-a］

故選：D.

9.C

【分析】以。為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，求出直線與圓的方程，計(jì)算圓心到直線的距離

和半徑比較，可知這艘外籍輪船能否被海監(jiān)船監(jiān)測(cè)到；計(jì)算弦長(zhǎng)，可求得持續(xù)時(shí)間為多長(zhǎng).

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，東西方向?yàn)閤軸建立直角坐標(biāo)系，

則A(40,0),8(0,30),圓。方程Y+y=25,

上+2=1

直線48方程：4030,即3x+4y—120=0,

」|-120|?z

八d=-------=24<25

設(shè)。到A3距離為d,則5,

所以外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到，

27252-2421

設(shè)監(jiān)測(cè)時(shí)間為，，則-28-2(小時(shí))，

外籍輪船能被海監(jiān)船檢測(cè)到的時(shí)間是0.5小時(shí).

故選：C.

10.D

【分析】對(duì)于A,將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為［的相同的半圓

構(gòu)成計(jì)算即可;對(duì)于B,結(jié)合圖像分情況討論即可;對(duì)于C,設(shè)公切線方程為>=,根據(jù)直線和

圓相切的條件列出方程求解即可得到結(jié)果;對(duì)于D,根據(jù)選項(xiàng)C中的方法,求得〃B,”G的公切線方程，再利

用兩條平行線間的距離公式計(jì)算即可.

【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓構(gòu)成，所以

其面積為2x2+2x7txr=4+2兀，故A正確；

當(dāng)r=0時(shí),交點(diǎn)為B,D,F,H;當(dāng)r=2時(shí),交點(diǎn)為A,C,E,G;當(dāng)°&或r>2時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn);當(dāng)&<r<2時(shí),

交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，故B正確；

設(shè)B。與。E的公切線方程為y=H+/(%<0/>0),

尸I,_一廿

由直線和圓相切的條件可得丁Ji",

解得“=TJ=i+后(i-&舍去)，

則其公切線方程為y=-x+i+&,即x+y-0T=°,故c正確;

同理可得力B,HG的公切線方程為x+y+l+&=0,

卜&+]]閥

d==4

則兩平行線的距離為，故D錯(cuò)誤.

故選:D.

H（U,2）（2,3,5）

【分析】由空間向量坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.

【詳解】?.?A（l，2,3）,8（45,9）,

.A8=(3,3,6)

AC」AB=1(3,3,6)=(1,1,2)

??33

故AC的坐標(biāo)為(11，2)

...原點(diǎn)。(。,。,。)

.OC=OA+AC=(1,2,3)+(1,I,2)=(2,3,5)

；.點(diǎn)C的坐標(biāo)為"=（2,3,5）

故答案為：°J2）；（2,3,5）

S=1

12.2516

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓定義求出橢圓方程作答.

【詳解】依題意，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2=1。，則。=5,而橢圓半焦距。=3,因此橢圓短半軸長(zhǎng)

h=y/a2-c2=J52-32=4,

3=1

所以所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是2516.

-----1-----=1

故答案為：2516

13.（-2,-2）6

【分析】把。=4代入，再解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)；利用直線垂直的充要條件列式計(jì)算即得.

【詳解】當(dāng)。=4時(shí)，直線4：2x-y+2=O,4：x+y+4=O,由jx+y+4=0,解得jy=-2.

所以直線《人的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-2）.

由“4,得a-2(a-3)=0,解得a=6,

所以”的值為6.

故答案為：(-2,-2)；6

14.

【分析】首先分析集合A、B的元素特征，再數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)人的取值范圍.

【詳解】解：由*=，式，則xzo,所以V+y2=i(x"°),

所以”={°'""="二『}表示以(°，°)為圓心，1為半徑的圓在y軸及右側(cè)部分的點(diǎn)集,

集合B={(x,y)|y=x+b}表示直線>上的點(diǎn)集，

由圖可知-應(yīng)<64-1,艮產(chǎn)MT.

故答案為：N,T

15.①③④

【分析】①利用面面平行的判定定理求解，②利用空間直角坐標(biāo)系求解，③分析點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)PE

的變化情況即可求解，④根據(jù)圖中的幾何關(guān)系作出平面尸42截正方體488-AAGR截面即可求解.

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)A重合時(shí)，平面尸〃平面CBO,

連接AC交8a于點(diǎn)a,連接即交AC于點(diǎn)o,連接。WF。，妝，

:0c//PO,且。6=40//A0,.?.四邊形QP°G平行四邊形，°'p//G°,

?.?。[尸（Z平面C[8￡>,CQu平面C]8￡>,Of〃C】BD

?:B\D、〃BD、qR&平面C|8。，BDu平面C]BD,BR〃GBD,

又...BRP0、=qBRPO,U平面PBB,PB\D\〃平面C、BD:

故①正確；

對(duì)于②，分別以3A°C,3A所在的直線為x軸，y軸，z軸，

由幾何關(guān)系可知PD'=/弭，要使！理〃是等腰直角三角形，則/犯-LPB\

由己知得口（。，。，4）,4（444）,設(shè)點(diǎn)P（4-a,a,0）

則PR=（a-4,-a,4）＞PB、=（a,4-a,4）,

...瓦=°,...42_4a+8=0,此方程無(wú)解，則不存在點(diǎn)P,使得！PBQ是等腰直角三角形，故②

不正確；

對(duì)于③，因?yàn)橐煌?，則（）,（）,（，，），

即EA=EC=A＞5,則p軌跡是在AC上的線段，不包括端點(diǎn)A、C,如下圖所示，

由己知得4^C為等腰三角形，則4^C底邊上的高附=3正＜5,隨著P向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，砂逐漸減小,

故在線段AH上存在一點(diǎn)P使得EP=5,

同理可知靠近點(diǎn)C處也存在一點(diǎn)P使得EP=5,

設(shè)線段產(chǎn)石=5,由勾股定理可知0”=4,所以點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2近，故③正確；

E

對(duì)于④，連接BD,過(guò)點(diǎn)P作BD的平行線交AB,4。于點(diǎn)加，N,連接B、M，D、N,

則MNDR為平面Pg"截正方體ABCD-AECR所得的截面圖形,

AP=—AC=>/2/—

由已知得4，由△AMNs44町可知MN=2j2,

又因?yàn)獒?ND12A/5，且MN//相,所以四邊形MND、耳為等腰梯形,

r，（2&+40）x30=18

其中梯形的高〃=312,所以截面面積為2、>,故④正確;

故答案為：①③④

71

X=-

16.（1）2兀；（2）最大值為1,6.

【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)式，利用正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算即可.

（2）求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即得.

/（x）=sin（x+—）T=—=2n

【詳解】（1）函數(shù)3的周期1

r八兀1?！肛?兀九兀兀

X€[0,—]X4€[—,]x-\=—X=—r/\_*

⑵當(dāng)2時(shí)，336,因此當(dāng)32,即6時(shí)，

[0巴]x=—

所以〃x）在區(qū)間’5上的最大值是1,對(duì)應(yīng)'一7.

17.(l)2x_yT=0；(2)5.

【分析】（1）求出直線8c的斜率，進(jìn)而求出8c邊的方程.

（2）求出直線BC的方程，由點(diǎn)到直線的距離求解三角形的高，進(jìn)而求出面積.

【詳解】（1）直線BC的斜率為,因此8c邊上的直線方程為y-l=2（x—1）,所以BC邊上

的直線方程為：2x-y-l=0

（2）直線品的方程為2x-y-l=O,

_|3x2_0_"_廠,_________

于是點(diǎn)A到直線BC的距離為：V22+l2,而忸。=>/（-1-1『+（-3-1）-=2逐,

Grr.40「仿而gS..c=；x|BC|x"=1x26x>^=5

所以的面積22

21

18.（1）證明見(jiàn)解析（2）§（3）§

【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

因?yàn)檎襟wABCO-AAGA的棱長(zhǎng)為2,M是AA的中點(diǎn)，

所以A（0,0,0）,C（2,2,0）,Q（0,2,0）,M（0,0』）,〃（0,2,2），A（0,0,2）,8（2,0,0）,G（2,2,2）

所以《=（2,2,—2卜?。?,2,2）,

所以4c?8C|=2x0+2x2+（-2）x2=0,所以ACJLBC],即4（_Lg,

⑵解：由（1）可得=（0,2,l）,MC=（2,2,-l）.

1

設(shè)平面MCR的法向量為"=（x,y,z）,

n,MD、=2y+z=0

n-MC=2x+2y-z=0令y=l,則z=—2,x=-2,所以〃=（一2』，一2）,

則

顯然平面AORA的法向量可以為"=(1,0,0),

COS0=H.2

設(shè)平面A。"A與平面MCA夾角為巴所以H'H3,

2

所以平面4ORA與平面MCR夾角的余弦值為

(3)解：因?yàn)?°=(°，°，一2),設(shè)點(diǎn)。到平面MCj的距離為人

|一?〃|

d=II=43-

則??，故點(diǎn)。到平面0的距離為3.

19.(l)y=4；(2)3x+4y_16=0或x=0

【分析】(1)由題意得點(diǎn)〃在圓C上，由切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直可得切線方程;

(2)求出圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線距離公式求解，注意分類(lèi)討論.

【詳解】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(X-1>+(N-2)2=4,圓心為C(L2),半徑為廠=2,

由|MC|=2知點(diǎn)加在圓0上，且MC與x軸垂直，因此切線方程是丫=%

(2)由題意圓心C到直線/的距離為”=J22-(G)2=1,

因此直線犬=0滿(mǎn)足題意，

j=,^-2+4j=i卜」

再設(shè)直線/的斜率存在時(shí)的方程為y="+4,由?+k2解得4,

3,

y=—x+4.1/八

直線/的方程為.4,即o3x+4y-16=0,

綜上，直線/方程為3x+4y-16=°或了=0

20.(1)證明見(jiàn)解析

PQJ

⑵存在，PD'3

【分析】(1)根據(jù)菱形和中位線的性質(zhì)得到°尸〃3C,然后根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)面面垂直和菱形的性質(zhì)得到°。，OA,0P兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間

V6

向量和CQ與平面BCD'所成角的正弦值為8列方程，解方程得到力即可.

【詳解】(1)

在梯形ABC￡＞中連接CP,

因?yàn)锳B=2CD,ABCDP為AB中點(diǎn),所以AP=AD=CD,AP//CD,

所以四邊形APCO為菱形,

所以。是AC中點(diǎn)，

又尸為A8中點(diǎn)，所以O(shè)P〃BC,

因?yàn)椤鉖u平面P8',8CN平面PO。,

所以BC〃平面尸。。'.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛PCC為菱形，所以ACJ_OP,AC10D,即AC_L。。'，

因?yàn)槠矫鍭C5/平面ACD,平面ACB一平面ACO=AC,ODu平面ACD,

所以平面ABC,

因?yàn)椤鉇,OPu平面ABC,所以O(shè)D_LQ4,ODLOP,

所以0D,OA,0P兩兩垂直,

則以。為原點(diǎn)，分別以％，°P,°〃為x,Kz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镹MD=60。，所以0A=OC=G,OD=OP=\,

P（O,1,O）0（0,0,1）,C（-6,0,0）,B（-x/3,2,0）=（0,-l,l）SC=（0-2,0）8O=（6,-2,1）

CP=（6,1,0）

uuuuuuuuuuuuuu.—、

設(shè)尸Q="°=（°，Y㈤，則CQ=CP+PQ=（＞/3,l-A,A）

設(shè)平面8co的法向量為m=(x,y,z),

in-BC=0-2y=0

則=即［Gx-2y+z=0,令x=6,則Y=。，z=-3

所以3回.3）,

如

因?yàn)镃Q與平面3s所成角的正弦值為8,

I忍鼻|(^,l-2,A)-(>^,0,-3)|卡

/111?II、

\cos(CQ,m

3小3+(1-/1)，［2x23+0+98，解得'［或2（