2021-2022學(xué)年北京昌平區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

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2021-2022學(xué)年北京昌平區(qū)初三第一學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷及答

案

一、選擇題(本題共8道小題，每小題2分，共16分)下面各題均有四個選項，其中只有

一個是符合題意的

1.已知NA為銳角，且sinA=2,那么NA等于()

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：???NA為銳角，sinA=2,AZA=30°.故選B.

考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值.

2.已知3a=4b(ab*°),則下列各式正確的是()

a_4。_3a_btz_4

A.b3B.64C.34D.3b

【答案】A

【解析】

a

【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)即可得到了的值，再進(jìn)行選擇即可.

【詳解】3a=46,等式兩邊同時除以3b.

—a——3

得：64.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形是解答本題關(guān)鍵.

3.拋物線y=x2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,-2)B.(-2,0)C.(0,2)D.(2,

0)

【答案】A

【解析】

【分析】已知拋物線的解析式滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)式y(tǒng)=的形式，直接寫出頂點(diǎn)坐

標(biāo)即可.

【詳解】解：；拋物線^=/一2

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.??拋物線y=一—2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0,_2）,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).

k

4.己知反比例函數(shù)“x的圖象經(jīng)過點(diǎn)“（2,3）,則左的值為（）

A.3B,4C.5D,6

【答案】D

【解析】

【分析】將（2,3）代入解析式中即可.

【詳解】解：將點(diǎn)（2,3）代入解析式得，

3=-

2,k=6.

故選:D

【點(diǎn)睛】此題考查的是求反比例系數(shù)解析式,掌握用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解決

此題的關(guān)鍵.

5.如圖，AD是AABC的外接圓。。的直徑，若NBCA=50°,則NBAD=（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理推論：直徑所對圓周角為直角、同圓中等弧所對圓周角相等即可

得到結(jié)論.

【詳解】解：??.ND是人48c的外接圓的直徑，

二點(diǎn)A,8,C,。在OO上，

?:NBC4=50。

.■ZADB=ZBCA=5O\

AD是MBC的外接圓0°的直徑，

ZABD=90°

2

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\￡）8/。=90。-50。=40。，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，由圓周角定理得到

ZADB=50°,乙480=90。是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，面積為18的正方形ABCD內(nèi)接于。0,則。0的半徑為（）

D/--------\C

A.2

D.36

【答案】C

【解析】

【分析】連接OA、0B,則AO/B為等腰直角三角形，由正方形面積為18,可求邊長為

/4=18,進(jìn)而通過勾股定理，可得半徑為3.

【詳解】解：如圖，連接0A,0B,則OA=OB,

B?.?四邊形ABCD是正方形,

???208=90。，

/.△。力8是等腰直角三角形，

正方形ABCD的面積是18,

?.?AB2=189

.?."+082=482=18,即：2OJ2=18

:.OA—3

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質(zhì)等知識，構(gòu)造等腰直角三角形是解題的

3

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關(guān)鍵.

7.關(guān)于二次函數(shù)y=-（x-2）2+3,以下說法正確的是（）

A.當(dāng)x>-2時，y隨x增大而減小B.當(dāng)x>-2時，y隨x增大而增大

C.當(dāng)x>2時，y隨x增大而減小D.當(dāng)x>2時，y隨x增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】由拋物線解析式可求得開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求得答案.

【詳解】解：3,

二拋物線開口向下，對稱軸為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

?.?二次函數(shù)的圖象為一條拋物線，當(dāng)x>2時，y隨x的增大而減小，x<2時，y隨x增大

而增大

正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y=a

（x-h）2+k中，對稱軸為x二h,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為2,與x軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)

A,B,點(diǎn)C（1,c）,D（夜，d）,E（e,1）,P（m,n）均為力3上的點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)

A,B重合），若m<n<百m,則點(diǎn)P的位置為（）

A.在8C上B.在上C.在DE上D,在乙4

上

【答案】B

【解析】

【分析】先由勾股定理確定出各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用m<n<Gm判斷即可.

【詳解】；點(diǎn)C、D、E、P都在上，

4

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???由勾股定理得：2C22（V2）2+tZ2=22222

1+=2,；e+l=2,

解得c=百，d=6,e=M,

故C（1，V3）,口（啦,及），E（51）,

1?,P（m,n）,m<n<^m,且m在力3上，點(diǎn)c的橫坐標(biāo)滿足”一石兒，點(diǎn)D縱坐標(biāo)滿

足為=熊，

二從點(diǎn)D到點(diǎn)C的弧上的點(diǎn)滿足：

故點(diǎn)P在CO上.

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理和圓的基本性質(zhì)，掌握相應(yīng)的定理和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）

9.請寫出一個開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)（0,1）的拋物線的表達(dá)式

［答案］y=_/+2x+i（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線開口向下a〈0,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為常數(shù)項，

然后寫出即可.

【詳解】???拋物線開口向下，并且與y軸交于點(diǎn)（0,1）

...二次函數(shù)的一般表達(dá)式V="/+bx+c中，a〈o,c=l,

二次函數(shù)表達(dá)式可以為：歹=一一+2"+1（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握開口方向、與y軸的交點(diǎn)與二次函數(shù)二次項系

數(shù)、常數(shù)項的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.已知。。的半徑為5cm,圓心0到直線1的距離為4cm,那么直線1與。。的位置關(guān)系

是一?

【答案】相交

【解析】

【分析】由題意得d〈r,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法判定即可.

【詳解】解：的半徑為5cm,圓心0到直線1的距離為4cm,

/.d<r,

直線1與。0的位置關(guān)系是相交.

故答案為相交.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系.已知。。的半徑為r,如果圓心0到直線1的距

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離是d,當(dāng)d>r時，直線與圓相離；當(dāng)d=i"時，直線與圓相切；當(dāng)d〈r時，直線與圓相

交.

11.若扇形的圓心角為60°,半徑為2,則該扇形的弧長是(結(jié)果保留兀)

2

一兀

【答案】3

【解析】

【分析】已知扇形的圓心角為60°,半徑為2,代入弧長公式計算.

【詳解】解：依題意，n=60°,廠2,

njir60%x22

-------=------------=—4

扇形的弧長=180°180°3.

2

-71

故答案為：3.

曲r

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式的運(yùn)用.關(guān)鍵是熟悉公式：扇形的弧長=兩.

12.點(diǎn)A(-1,yi),B(4,y2)是二次函數(shù)y=(x-1)2圖象上的兩個點(diǎn)，則

y】y2(填“>”，"V”或“=”)

【答案】乂

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=(x—l)2的對稱軸為x=l,則》=一1時的函數(shù)值必和x=3

的函數(shù)值相等，進(jìn)而根據(jù)拋物線開口朝上，在對稱軸的右側(cè)了隨x的增大而增大即可判斷

乂

【詳解】解：???二次函數(shù)y=(x-1)2的對稱軸為x=l,

X=-1時的函數(shù)值乂和x=3的函數(shù)值相等，在對稱軸的右側(cè)V隨x的增大而增大

?/3<4

凹<y2

故答案為：必(必

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，AB為。。的直徑，弦于點(diǎn)[[,若48=10,8=8,則川的長度

為一

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【答案】3

【解析】

【分析】連接0C,由垂徑定理可求出CH的長度，在RtaOCH中，根據(jù)CH和。。的半徑,

即可由勾股定理求出0H的長.

【詳解】連接0C,

RtAOCH中，0C=2AB=5,CH=2CD=4；

由勾股定理，得：OH=J"［一次=』5?-4'=3；

即線段0H的長為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也

考查了勾股定理.

m-\

14.已知反比例函數(shù)丫=x的圖象分布在第二、四象限，則m的取值范圍是—

【答案】m<1

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖像所在的象限，求出m的取值范圍.

m-\

【詳解】解：???反比例函數(shù)y=x圖像在第二、四象限，

.?.m-\<0

.?.加<1

故答案為：加<1.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖像所在的象限得到m的取值范圍.

15.如圖，PA,PB分別與。。相切于A,B兩點(diǎn)，C是優(yōu)弧AB上的一個動點(diǎn)，若/P=

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【解析】

【分析】連接。4°8,根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理求得=130。，進(jìn)而

根據(jù)圓周角定理即可求得ZACB

【詳解】解：連接如圖，

??,PA,PB分別與00相切

ZOAP=ZOBP=90°

NAOB=360°-NOAP-NOBP-ZP=130°

\-AB=AB

：.ZACB=-ZAOB=65°

2

故答案為：65

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

16.點(diǎn)A(X],y])，B(x2,y2)(X]?x2^0)是y=ax?(a#0)圖象上的點(diǎn)，存在'

=1時，|%一%|=1成立，寫出一個滿足條件a的值一

【答案】。=1

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【解析】

【分析】由"加可知圖像一定過（°，°）,令%=°,乂=°,由kfLi時，

尻一為=1成立，取"1,必T,代入丁="2中解出。即可.

【詳解】???丁="/一定過（0,0）,

...令占=°,弘=°,

???歸72|=1時，|凹-必|=1成立，

.?.取“2=1,%。

1="『，

解得："=1.

故答案為：a=l.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題（本題共12道小題，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題6分，第

27、28題，每小題7分，共68分）

17.計算：2sin60°+tan45°—cos30°tan600

行」

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角形函數(shù)值進(jìn)行混合運(yùn)算即可.

=2x立+1—旦百

【詳解】解：原式22

=73-1

2

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的銳角三角形函數(shù)值的混合運(yùn)算，牢記特殊角的三角函數(shù)值是

解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,點(diǎn)D在AC上且AD=3,DE_LAB于點(diǎn)E,求

AE的長

9

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【答案】5

【解析】

【分析】先證明"DE~4BC,由相似三角形的性質(zhì)即可求出AE.

【詳解】；DE，AB于點(diǎn)E,ZC=90°,

AZAED=ZC,

VZA-ZA,

A△ADEABC,

AD_AE

：.~AB~7C,

3_AE

MF,

12

AE=5.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理以及性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

19.已知：二次函數(shù)y=x2-4x+3

(1)求出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)在坐標(biāo)系中畫出圖象，并結(jié)合圖象直接寫出y<0時，自變量x的取值范圍

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【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,7）,與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為0，°）,（3,°）；（2）1＜》＜3

【解析】

【分析】（1）把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）畫出圖像，由圖像即可得出°時，自變量x的取值范圍.

x2--

［詳解】（1）y~4X+3=（X-2）-1=（x-l）（x-3）（

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-D

與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（L。），（3叫

（2）如圖所示：

當(dāng)歹＜°時，自變量x的取值范圍為1＜》＜3.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在AABC中，ZB=30°，AB=4,AD_LBC于點(diǎn)D且tanNCAD=5，求BC的長

11

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【解析】

［分析］在放A/06中求出40,BD,在用A/OC中，由tanNC'。-］求出。，即

可得出8c的長.

【詳解】..?/0,80于點(diǎn)口，

,"DC為直角三角形，

在RIAADB中,N6=30°,AB=4,

..產(chǎn)=；力8=2,BD=，4爐—3="2—2?=26,

八—tanZG4Z)=—

在應(yīng)△%/)。中，2,AD=2,

CD1

tanZCAD=-=-

：.4D2,

?-C?D=I，

?BC=BD+CD=26+l

???

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形，掌握直角三角形中，

30°角所對的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

21.已知：如圖，aABC為銳角三角形，AB=AC

求作：一點(diǎn)P,使得NAPC=NBAC

作法：①以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫圓；

②以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交。A于點(diǎn)C,D兩點(diǎn)；

③連接DA并延長交OA于點(diǎn)P

點(diǎn)P即為所求

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（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明

證明：連接PC,BD

：AB=AC,

...點(diǎn)C在。A上

：BC=BD,

二Z_________=Z__________

_i_

.".ZBAC=2ZCAD

?.?點(diǎn)D,P在。A上,

NCPD=2ZCAD（）（填推理的依據(jù)）

ZAPC=ZBAC

【答案】（1）見解析；（2）BAC=BAD,圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角

的一半

【解析】

【分析】（1）根據(jù)按步驟作圖即可；

（2）根據(jù)圓周角定理進(jìn)行證明即可

【詳解】解：（1）如圖所示，

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(2)證明：連接PC,BD

：AB=AC,

.?.點(diǎn)C在。A上

VBC=BD,

ZBAC=ZBA1)

_i_

.\ZBAC=2ZCAD

:點(diǎn)D,P在。A上,

.../CPD=2ZCAD(圓周角定理)(填推理的依據(jù))

：.ZAPC=ZBAC

故答案為：BAC=BAD,圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a,2)是一次函數(shù)'=苫-1的圖象與反比例函數(shù)

y——{hR0

x的圖象的交點(diǎn)

k

y=—(Aw0

(1)求反比例函數(shù)1的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)P(n,0)且垂直于x軸的直線與一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)分別為

M,N,當(dāng)SaoPM>S^PN時，直接寫出n的取值范圍

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6

y——

【答案】（1）X；（2）〃<一2或〃〉3

【解析】

k

——

【分析】把“（出2）代入y=x-l求出。的值，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入X求出％,即可求

出反比例表達(dá)式；

（2）當(dāng)S.OPM>S.OPN時，故PW>PN,由圖像即可確定n的取值范圍.

【詳解】（1）把'（d2）代入夕=xT,得”3,

.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為（3,2）,

把，（3,2）代入°

得k=6,

6

V二一

???反比例函數(shù)表達(dá)式為X.

（2）

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?/S.OPM>S.OPN,

???PM>PN，

；.〃<-2或〃>3.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵.

23.居庸關(guān)位于距北京市區(qū)50余公里外的昌平區(qū)境內(nèi)，是京北長城沿線上的著名古關(guān)城,

有“天下第一雄關(guān)”的美譽(yù)某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用皮尺和測角儀等工具，測量南關(guān)主

城門上城樓頂端距地面的高度，下表是小強(qiáng)填寫的實踐活動報告的部分內(nèi)容：請你幫他計

算出城樓的高度AD(結(jié)果精確到0.1m,sin35°^0.574,cos35°^0.819,

tan35°^0.700)

【答案】城樓頂端距地面約為31.9m

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【解析】

AE

【分析】根據(jù)題意，設(shè)AE為xm,在RtZ\ACE中，tan/ABE=8E,進(jìn)而列出方程

0.7(x+13)=x,求得ZE,根據(jù)AD=AE+ED即可求解

【詳解】解：根據(jù)題意,得BM=ED=16m,ZAEC=90°

設(shè)AE為xm,在RtZXACE中，

VZACE=45°,

.".ZCAE=45",

.".AE=CE

在RtAABE中，

AE

VtanZABE=BE,

又：NABE=35",

X

/.tan35°=》+13

即0.7(x+13)=x

解得x=?30.3

.,.AD=AE+ED?=30,3+16*31.9(m)

答：城樓頂端距地面約為31.9m

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，。。是aABC的外接圓，AB是。。的直徑，ABJ_CD于點(diǎn)E,P是AB延長線上一

點(diǎn)，且NBCP=NBCD

(1)求證：CP是00的切線：

(2)連接DO并延長，交AC于點(diǎn)F,交。0于點(diǎn)G,連接GC若。。的半徑為5,0E=3,求

GC和OF的長

17

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OF=—

【答案】（1）見解析；（2）GC=6,11

【解析】

【分析】（1）連接0C,由己知可得/0CB+NBCD=90°,進(jìn)而根據(jù)/BCP=/BCD,等量代

換可得N0CB+NBCP=90°,即可證明CP是。。的切線；

（2）證明0E為4DCG的中位線，由/°〃GC,證明△GCFS/\OAF,進(jìn)而列出比例式代

入數(shù)值進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）證明：連接0C

?；OB=OC,

.\ZOBC=ZOCB

：AB_LCD于點(diǎn)E,

/CEB=90°

Z0BC+ZBCD=90°

.".ZOCB+ZBCD=90°

,/ZBCP=ZBCD,

.".Z0CB+ZBCP=90°

AOCXCP

；.CP是。0的切線

(2)?.,AB_LCD于點(diǎn)E,

，E為CD中點(diǎn)

：0為GD中點(diǎn)，

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，0E為4DCG的中位線

.\GC=20E=6,0E//GC

-.-AO//GC

.,.△GCF^AOAF

GCGF

：.~OA~~OF

6GF

即5OF

VGF+OF=5,

25

；.0F=11

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握切線的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

25.隨著冬季的到來，干果是這個季節(jié)少不了的營養(yǎng)主角，某超市購進(jìn)一批干果，分裝成

營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本20元銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（袋）與銷

售單價x（元）之間的關(guān)系可近似地看作一次函數(shù)：y=-2x+80（20WxW40）,設(shè)每天獲

得的利潤為w（元）

（1）求出w與x的關(guān)系式；

（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

2

【答案】（1）W=-2X+120X-1600.（2）當(dāng)銷售單價定為每袋30元時，每天可獲得

最大利潤，最大利潤是200元

【解析】

【分析】（1）由公式利潤=（售價-成本）X數(shù)量即可列出關(guān)系式；

（2）把w=_2x2+120x_1600化為w=_2（x_30r+200,由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得

出答案.

w=x2

【詳解】（1）由題可得：（~20）>>=（x-20）（-2x+80）=-2x+120x-1600；

力w=-2x2+120x-l600=-2（x-30）2+200

v20<X<40（且a=-2<0,

.?.當(dāng)x=30時,%大=20。

答：當(dāng)銷售單價定為每袋30元時，每天可獲得最大利潤，最大利潤是200元.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用一銷售問題，由題列出關(guān)系式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

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26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1,m）和點(diǎn)（3,n）在二次函數(shù)y=x?+bx的圖象上

（1）當(dāng)m=-3時

①求這個二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)：

②若點(diǎn)（-1,yi）,（a,y2）在二次函數(shù)的圖象上，且y2>y「則a的取值范圍是一；

（2）當(dāng)mn<0時，求b的取值范圍

［答案］（1）①^=（*_2）2_4；②或a〉5；（2）一3<6<—1

【解析】

【分析】（1）①將點(diǎn)（1,-3）代入y=x2+bx求出b的值，得出函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行配方

即可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)：②根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得出a的取值：

（2）用含有b的代數(shù)式分別表示出m,n,根據(jù)mnVO分類討論即可.

【詳解】解：（1）當(dāng)m=-3時

①把點(diǎn)（1.-3）代入y=x?+bx,得b=-4,

二次函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x=（x-2）2-4

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-4）

②根據(jù)題意得拋物線y=x2-4x開口向上，對稱軸為直線x=2,

?/y2>y］,

；.i）當(dāng)點(diǎn)（T,y】），（a,丫2）在拋物線對稱軸左側(cè)時，有。<-1；

ii）當(dāng)點(diǎn)（-1,yi）,（a,y2）在拋物線對稱軸兩側(cè)時，根據(jù)對稱性可知。>5；

所以a的取值范圍是：aVT或a>5

故答案為：aVT或a>5

（2）將點(diǎn)（1,m）,（3,n）代入y=x?+bx,可得m=l+b,n=9+3b

當(dāng)mn<0時，有兩種情況：

m>0,1+6>0,

<V

①若［〃<0.把m=i+b,n=9+3b代入可得〔9+3b<0.此時不等式組無解

m<0,1+6<0,

<<

②若［〃>0.把m=i+b,n=9+3b代入可得〔9+3b>0.解得_3Vb<-1

所以-3<b<T

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)，能

結(jié)合題意確定b的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

27.已知/P0Q=120°,點(diǎn)A,B分別在OP,0Q上，OA<OB,連接AB,在AB上方作等邊

△ABC,點(diǎn)D是B0延長線上一點(diǎn)，且AB=AD,連接AD

（1）補(bǔ)全圖形；

（2）連接0C,求證:ZCOP=ZCOQ；

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（3）連接CD,CD交OP于點(diǎn)F,請你寫出一個NDAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并證明

備用圖

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）ZDAB=150°,見解析

【解析】

【分析】（1）依據(jù)題意作出相應(yīng)圖形即可；

（2）在BQ上截取BE=AO,連接CE,由等邊三角形的性質(zhì)得，CA=CB,ZACB=60°

由同角的補(bǔ)角相等得/CAO=/CBE,由SAS證得ACAO和ACBE全等，即可得證；

（3）由NDAB=150°,DA=AB,得/ADB=NABD=15°,由等邊三角形性質(zhì)，可得

ZCAB=ZCBA=ZACB=60°,故/CAD=150°,由等邊對等角得/ADC=NACD=15°,

ZDBC=ZDCB=75°,由等角對等邊得DB=DC再由NP0Q=120°,ZBDC=30°,得

ZDF0=90°,等量代換即可得證.

【詳解】解：（1）如圖所示：

一

D0BQ

（2）證明如下：

在BQ上截取BE=AO,連接CE,

D0BEQ

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:△ABC為等邊三角形，

???CA=CB,ZACB=60°

VZP0Q=120°,

.,.ZCA0+ZCB0=180°

VZCB0+ZCBE=180°,

???NCAO二NCBE,

CA=CB

<ZCAO=ZCBE

在ACAO和ACBE中，

AACAO^ACBE(SAS),

ACO=CE,ZCOA=ZCEB,

???ZCOE=ZCEB,

；?ZCOP=ZCOQ；

(3)ZDAB=150°,

如圖：

DOBEQ

VZDAB=150°,DA=AB,

???NADB=NABD=15°

VAABC為等邊三角形，

???NCAB二NCBA=NACB=60°,

AZCAD=150°,

VAD=AC,

/.ZADC=ZACD=15°,

/.ZDBC=ZDCB=75°,

???DB=DC,

VZP0Q=120°,ZBDC=30°,

???ZDF0900

VAD=AC,

ADF=FC

.'.DO=OC

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VDB=DO+OB,

；.DB=CO+OB,

ACD=OB+OC.

【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判

定和性質(zhì)，以及添加輔助線構(gòu)造全等三角形，掌握相應(yīng)的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P,0,Q給出如下定義：若OQ<PO<PQ且P0W2,

我們稱點(diǎn)P是線段0Q的“潛力點(diǎn)”

已知點(diǎn)0（0,0）,Q（1,0）

3

2—

（1）在P1（0,-1）,P2（2,2）,p3（-1,1）中是線段0Q的“潛力點(diǎn)”是

（2）若點(diǎn)P在直線y=x上，且為線段0Q的“潛力點(diǎn)”，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）直線y=2x+b與x軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,當(dāng)線段MN上存在線段0Q的“潛力

點(diǎn)”時，直接寫出b的取值范圍

n-y/2<xn<---,,.r--------1<<-1.

【答案】（1）8；⑵2.（3）1<64215或2

【解析】

【分析】（1）分別計算出0Q、P0和PQ的長度，比較即可得出答案；

（2）先判斷點(diǎn)P在以0為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在線段0Q垂直平分線的左側(cè)，結(jié)

合P0W2,點(diǎn)P在以0為圓心，2為半徑的圓上或圓內(nèi)，可得點(diǎn)P在如圖所示的線段AB上

（不包含點(diǎn)B）,過B作BC'y軸，過A作軸，垂足分別為°，。，再根據(jù)圖形的

性質(zhì)求解從而可得答案；

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(3)由(2)得：點(diǎn)P在以0為圓心，1為半徑的圓外且點(diǎn)P在以0為圓心，2為半徑的圓

上或圓內(nèi)，而PO<PQ,點(diǎn)P在線段0Q垂直平分線的左側(cè)，再分兩種情況討論：當(dāng)b>°

時，當(dāng)時，分別畫出兩種情況下的臨界直線》=2x+b,再根據(jù)臨界直線經(jīng)過的特殊

點(diǎn)求解6的值，再確定范圍即可.

【詳解】解：(1)???0(0,0),Q(1,0),

\OQ=\,

3

—

■■■P,(0,-1),P2(2,2),p3(-1,1)

OP

''=1，6。=#+F="不滿足0Q<P0<PQ且po《2,

所以公不是線段()Q的“潛力點(diǎn)”，

―一比8加6~@比方710

同理「尸”限廠爵廠方口二限一