2023-2024學(xué)年北京市80中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年北京市80中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷

2023.10

（考試時(shí)間90分鐘滿分100分）

一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目

要求）

1.在空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z中，點(diǎn)A（2,3,4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A,（2,3,-4）B（-2,3,-4）c（-2,-3,-4）D（2,-3,-4）

2.設(shè)A是空間一定點(diǎn)，”為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是（）

A.圓B.直線C.平面D.線段

3.已知空間向量。，基滿足。+5=0，小2,小3,卜卜4,則8s《，禮（）

I.1_11

A.2B.3c.2D.4

1

PE=-PD

4.如圖，在四棱錐P一.8中，底面是平行四邊形，已知=PB=b,PC=c,2

則BE=（）

111131113-

—a+—br+—c—a——b-\--c——a——b+—c

A.222B.222c.222D.222

5.若直線/的一個(gè)方向向量為平面。的一個(gè)法向量為"，則可能使〃的是（）

m=(l,0,0)n=(-2,0,0)/??=(1,3,5)=(1,0,1)

加二(0,2,1)H=(-1,0,-1)口，九=(1,一L3)n=(0,3,1)

6.已知向量a=（Lx，-2）,6=（0,L2）,^=（1,0,0）,若d,b,C共面，貝ijx等于（）

A.-1B.1C.1或TD.1或0

7.在長(zhǎng)方體ABCC-ABIG"中，AB=BC=\,例=6,則異面直線AA與所成角的余弦值為

1正且受

A.5B.6c.5D.2

1

8.設(shè)向量XL）,b=（2，T，2）,若,則實(shí)數(shù)4的值為（）

2__2_

A.2B.-2C.-2或55D.2或55

9.正方體A88-A4CQ的棱長(zhǎng)為2,尸為側(cè)面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足歸力卜迷，貝必面積的最

小值為（）

A.1B.夜C.2D.2-上

10.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體488-ABC"中，E,F分別為。"，BBI的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤

的是（）

叵

A.直線FG與直線AE的距離為5

B.直線尸&與平面的距離為§

C.直線尸6與底面ABCD所成的角為30°

2

D.平面48田與底面ABCD夾角的余弦值為§

二、填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分.）

11.設(shè)直線1的方向向量為加=（21"）,平面a的一個(gè)法向量為"=（4，-2,-2）,若直線/工平面a,則

實(shí)數(shù)z的值為

12.已知平行四邊形A8C3中，A（4,L3）,8（2,-5,l）,C（3,7,—5）,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

13.己知空間三點(diǎn)°（Qa°），A（T，l，0），8（0,l,l）在直線OA上有一點(diǎn)H滿足則點(diǎn)H的坐標(biāo)

為

14.如圖在一個(gè)120°的二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B,線段AC、8。分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，

2

且均與棱AB垂直，若AB=?,AC=\,BD=2,則8=

15.如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA1.平面ABCO.SA=AB,0,P分別是AC,

SC的中點(diǎn)，M是棱S。上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的序號(hào)是

①OM_LA尸

②存在點(diǎn)M,使0M〃平面SBC

③存在點(diǎn)M,使直線。河與A8所成的角為30°

④點(diǎn)M到平面A8C。與平面SAB的距離和為定值

三、解答題(本題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

16.如圖，在底面A8CZ)為菱形的平行六面體4BCO-AMG2中，M,N分別在棱明,CG上，且

AiM=-AA,,CN=-CCtg/AAD=/AAB=NOAB=6()

⑴用向量表示向量MN：

⑵求證：D，M'ByN共面；

(3)當(dāng)A8為何值時(shí)，AC'1A".

17.如圖，在三棱柱AB。-44G中，側(cè)面BCCg為正方形，平面BCG4,平面,AB=BC=2,

M,N分別為AM,AC的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面BCC網(wǎng);

⑵從條件①：AB1MN,條件②：3M=MN中選擇一個(gè)作為己知，求直線AB與平面BMN所成角的正

弦值.

18.如圖，在四棱錐ABCO中，PAJ.平面ABCD,AC±AD,AB1BC,ZBCA=60°,

AP=AD=AC=2tE為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且4M=2M5,

⑴求證：EM〃平面PAD；

(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；

(3)點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角為45°,求AF的長(zhǎng).

19.如圖，在四棱柱4B8-A4CQ,e_L底面ABCD,449=90。，AD//BC,且

AA=AB=AD=28C=2,點(diǎn)E在棱A8上，平面人了。與棱GA相交于點(diǎn)尸.

1AE

(1【)棱AB上是否存在點(diǎn)E,使二面角A-EC-O的余弦值為§?若存在，求出益的值；若不存在,

說明理由.

(III)求三棱錐片-AEF的體積的最大值.

4

1.c

【分析】在空間直角坐標(biāo)系°-xyz中，點(diǎn)（。也c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為即可選出答案.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2,3,4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-3,-4）.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)平面的法向量的含義，即可判斷出答案.

【詳解】由題意故點(diǎn)M位于過點(diǎn)A且和“垂直的平面內(nèi)，

故點(diǎn)M構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點(diǎn)A,且以“為法向量的平面,

故選：C

3.D

【分析】根據(jù)a+〃+c=°得至ijc=-a-b,兩邊平方，利用向量數(shù)量積公式求出北.

【詳解】因?yàn)椤?"。=0,所以。一也則'十〃叫"+2〃力+J

即4+2忖忡。$（。&+9=16,從而12cos,6=3,

cosla,h}=—

解得：'/4.

故選：D

4.A

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

PE=-PD

【詳解】因?yàn)樵谒睦忮FP-MCD中，底面ABCD是正方形，PA=a,PB=b,PC=c,2,

BE=-（BP+BD\=--PB+-（BA+BC\

所以2、，2>

=--PB+-BA+-BC=--PB+-(PA-PB]+-(PC-PB

22222、,2、

131131

=-PA--PB+-PC=-a--b+-c

222222.

故選：A.

5.D

【分析】要使直線與平面平行，則直線的方向向量和平面的法向量垂直，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)

計(jì)算即可.

【詳解】若〃/。，則小，〃,即",=0,

對(duì)于A,E=lx(-2)+0x0+0x0=-2*0,不符合題意；

對(duì)于B,〃r〃=lxl+3x0+5xl=6H0,不符合題意；

對(duì)于C,機(jī)力=0x(T)+2x0+lx(-l)=Tw0,不符合題意;

5

對(duì)于D,而'"=1x0+(-l)x3+3xl=0,符合題意;

故選：D

6.A

<X=A

【分析】根據(jù)向量共面可得.=筋+4%進(jìn)而可得12=2",即得答案

【詳解】因?yàn)椤?，b，C共面，

所以存在實(shí)數(shù)4〃，使"=勸+〃。，

所以(1,x,-2)=2(0,1,2)+Ad,0,0),

j=〃

<x=A,

,-2=22

??，

解得x=-l.

故選：A.

7.C

【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角

與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.

詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

D(0,0,0),A(l,0,0),B、(1,1,百),。(0,0,G),所以ADX=(-1,0,百),DB.=(1,1,后)

因?yàn)?叫叫xV5,所以異面直線AR與必所成角的余弦值為彳，選c.

點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;

第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)

用公式關(guān)

8.C

【分析】直接利用空間向量夾角的余弦公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄?XL),"=(2，-1，2),cos(a，*§,

所以/",\"聃ab=而25-2+4而8解得—廣￡

故選：C.

9.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)尸(2，％z)由|戶川=加,得出點(diǎn)P的軌跡方程，由幾何性質(zhì)求

6

得|PBL,再根據(jù)垂直關(guān)系求出△P8C面積的最小值.

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，D4QCCA分別為為V"軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則。(0,0,2),8(220),設(shè)P(2,y,z)

所以陷bj4+y2+(z-2)2=?,得V+(Z-2)2=2,

所以阿舄=J(2-0『+(0-2)2-夜=近

因?yàn)?c1平面4880,所以5C_LP8

S=-|BC||PBl=>/2

故4P8C面積的最小值為2111lmi-

故選：B

10.C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CO-4gGA中，

如圖，以D為原點(diǎn)，以D4OCOA所在直線為x，y，z軸距離空間直角坐標(biāo)系,

則41,0,0),8(1,1,0),C(0,l,0),0(0,0,0),4(1,0,1),“1,1,1),G(0,1,1),D'9°，D，q0,0,5),F[1，1，-

=其=(-1,0,；

則

對(duì)A,AE//FC,

1

cos(AE,AF)=A""

*二°心\/\AE\-\AF\

,所以5

7

sin(4E,”)2A/6

-S-

設(shè)直線FG與直線AE的距離，即為F到直線AE的距離為",

…m-c乖＞2娓屈

d=|AF|-sm(AE,A/7)=——x---=----

則255,A正確；

對(duì)B,直線做到平面的距離即為點(diǎn)F到平面他￡的距離,

AF=|0,14lA用=(O,l,l),/l￡=f-l,O,^

由A知I2人I2J

設(shè)平面48也的法向量為〃=(x,y,z),

\y+z=O

AB}n=0］

=0

則［A4E口n=八O，即［一XH--2Z,

令x=l,則z=2,y=-2,.?.?=(1,-2,2)；

設(shè)點(diǎn)尸到平面AB|E的距離為"，

公四口上」

則I利33,

￡

即直線FG與平面AB|E的距離為3,B正確；

FC=|-1,0,-|

對(duì)C,I2人平面43。的法向量為。.=(0，。，1),

1

5=石

故直線FG與底面ABCD所成的角的正弦值為5,c錯(cuò)誤；

對(duì)D,由B知平面的法向量為"=(L-2,2)

/八八\DD「n22

cos,n)=1---f---=一「=-

\/加JiaIVi+4+43

又由圖知，平面與底面ABCD的夾角為銳角,

8

2

故平面與底面ABCD的夾角的余弦值為3,故D正確.

故選：C

11.-1

【分析】由題意可知小〃，?，代入坐標(biāo)計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可知機(jī)〃〃，

2_-1__z_

所以工一三一三，解得z=-l.

故答案為：-1

12（5,13-3）

【分析】設(shè)平行四邊形"CO的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為p,則點(diǎn)p為AC,8。的中點(diǎn)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)

公式求解即可

【詳解】設(shè)平行四邊形ABCO的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為p,則點(diǎn)p為AC,8D的中點(diǎn).

由A（4,1,3）,C（3,7,-5）,得點(diǎn)p的坐標(biāo)為Gil.

又點(diǎn)8（2,-5,1）,所以點(diǎn)口的坐標(biāo)為（5/3,-3）

故答案為：（“3，-3）

13.H^°）

【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

［詳解］設(shè)〃（見〉*）,O”=（x,y,z）,Q4=（-l,l,0）,B//=（x,y-l,z-l）,

因?yàn)锽”_LOA,所以BH_LOA,即-x+y-l=o,

因?yàn)橹本€0A上有一點(diǎn)H,

-1=Ax

OA=WH^\\=A.y

所以。A//。"，即1°=初，顯然%wO,

X,

———Iy——x

所以z=0,y代入-x+y-i=o中，

—v=lo'］

得2"2,所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為I22）,

「黃，o）

故答案為：I22J

9

14.3

【分析】由CO=CA+A8+8D,兩邊平方后展開整理，即可求得。4，則。。的長(zhǎng)可求.

［詳解】CQ=G4+A3+BD,

2.2-22

,CD=CA+AB+BD+2C4A8+2C48D+2A8?8。，

CA1ABfBDLAB,

CA.AB=O,BD?AB=O,

C4.BD=|C4||^D|cos(1800-1200)=ix1x2=1

.2

,CD=l+2+4+2xl=9,

.JCD1=3

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想

象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.①②④

【分析】根據(jù)題意以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABERAS所在直線分別為x,y,z軸，利用向量法判斷①③④，根

據(jù)線面平行的判定定理判斷②即可.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,A"AS所在直線分別為x,y,z軸，

設(shè)&4=AB=2,

則A（0,0,0）,C（2,2,0）,3（2,0,0）,0（0,2,0）,S（0,0,2）,0（1,1,0）

由M是棱S。上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)”（。，42-4,（04”2）,

AP=（1,1,1）,OM=（-1,2-1,2-2）

??.APOM=-14-2-1+2-2=0,

即。MLAP,①正確；

10

當(dāng)M是中點(diǎn)時(shí)，是,,S8D的中位線，

所以QM〃SB,又QM0平面SBC,SBu平面SBC,

所以0M//平面S8C,②正確；

/4B=（2,0,0）,（9M=（-1,2-1,2-2）

若存在點(diǎn)M，使直線。加與AB所成的角為30。，

ABOM16

cos30°=―——=,=—

則AB]inOMJ+（"i），（2一葉2,

化簡(jiǎn)得3%-92+7=0,無解，③錯(cuò)；

點(diǎn)M到平面"CD的距離4=2-7,

W-AD|_|(O,2,2-A).(O,2,O)|_

d2=

點(diǎn)M到平面SAB距離

所以4+4=2-2+2=2,④正確

故答案為：①②④

MN=AB+AD--AA

16.（1）3

⑵證明見解析

（3）1

【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

（2）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則得到。M=A?1,即可證明。，M,4N共面；

（3）設(shè)AVc'，4）=b，AB=a,因?yàn)榈酌鍭BC。為菱形，則當(dāng)時(shí)，昨回第，由

AC,AlB=a+b+c-a-c=0即可得出答案.

MN=MA+AB+BC+CN=--AA+AB+BC+-AA=AB+AD--AA

【詳解】（1）333

22

（）、正明DM=AM-AD=-AA}-ADNB}=C}B]-C}N=-AA,-AD

:.DM=NB\D,M,N共面

M=1

⑶當(dāng)AB,AC]J_,

證明：設(shè)〃二乙仞二兒"為，

11

.底面A8C0為菱形，則當(dāng)前一1時(shí)，卜卜葉同，

i4Cj=AB+BC+CC）=67+/?+cA^B=AB-AA^—a—c

Z\AD=Z\AB=NDAB=60

22

「.AC]-A]B=（,a+b-^c）-（a-c）=a+ab-bc-c=0

ACX±A1B

2

17.（1）證明見解析（2）3

【分析】（1）取AB的中點(diǎn)為K,連接”K,NK,可證平面MKNH平面8℃由，從而可證MNH平面BCC網(wǎng)

（2）選①②均可證明?平面4BC,從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線

面角的正弦值.

【詳解】（1）取A5的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱A'。-ABC可得四邊形ABBA為平行四邊形，

而B,M=MA,,BK=KA則MKHBB、

而MK<Z平面BCC、BI,u平面SCC,4,故MKH平面BCC、B、,

^^CN=NA,BK=KA,則NK//BC,NK<z平面8。6片，BCu平面8CC4,

所以NK〃平面BCC由，

而NKMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKM7平面8℃片，而MNu平面MKN,故MN〃平面

（2）因?yàn)閭?cè)面BCC耳為正方形，故CB,叫

而CBu平面BCCIB、,平面CBBG1平面ABB^,

平面C平面,故CB_L平面,

因?yàn)镹K〃皮?，故NKJ_平面A3瓦4,

因?yàn)锳Bu平面故NKLA5,

若選①，則A3J_MN,而NK_LA8,NKMN=N,NK,MNu平面MNK,

12

故AB2平面MNK,而MKu平面MNK,故他J.MK,

所以而C8_LBB],CBcAB=B,CB,A8u平面ABC,故?平面43c,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則W°，0,0），A（0,2,0），N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故BA=（O,2,O）,BN=（l,l,O）,BM=（O,l,2）,

設(shè)平面BMW的法向量為〃=（x，y，z）,

「BN=0fx+y=o

則1〃-8M=。，從而fy+2z=0,取z=-l,則〃=（-2,21）,

sin0=|cos/n,=—^―=—

設(shè)直線AB與平面BMW所成的角為。，則I'/I2x33.

若選②，因?yàn)镹K/1BC,故NKJ■平面A88M,而必^（=平面加",

取NK1KM,而B、M=BK=l,NK=l,故gM=NK,

而48=MK=2,MB=MN,故BBM.MKN,

所以NBB]M=NMKN=90。，故A,B}1BBt

而C8L88、CBcAB=B,C8,ABu平面ABC,故與，平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0），A（0,2,（））,N（l,l,0）M0,l,2）,

收=（0,2,0）,=（1,1,0）,5M=（0,1,2）,

設(shè)平面的法向量為

「BN=0卜+y=0

則[iM=0,從而&+2z=0,取z=-l,則"=（一2,2,-1）,

sin0=|cos/z?,=—^―-—

設(shè)直線A8與平面的VM所成的角為，，則I'/I2x33.

X

13

叵

18.（1）證明見解析（2）7（3）&

【分析】（1）由已知可得A。，AC,AP兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ARACAP所在的直線分別

為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量證明線線平行，再證明線面平行即可；

（2）分別求出相關(guān)平面的法向量后，再運(yùn)用夾角公式計(jì)算即可；

（3）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再計(jì)算長(zhǎng)度即可.

【詳解】（1）證明：因?yàn)镻AJ_平面ABCD,AZXACU平面所以

因?yàn)锳CLAO,所以A2ACAP兩兩垂直，

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以43AC,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)槿恕?ARAB'BC,/8c4=60。，AP=AD=AC=2,E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且AM=2M8,

A(0,0,0),C(0,2,0),B(-E，：,0),M(-g，0),p7nn一con

所以223P(0,0,2),E(l,1,0),￡)(2,0,0)

EM=(---1,0,0),AC=(0,2,0),

所以3所以EM-AC=0,

所以AC_LEM,又ACLAO,所以EM//AD,

又“MN平面PAD,A￡）u平面PAD,

所以EM〃平面PAD.

PC=(0,2,-2),P8=(一堂,"-2)

(2)22

設(shè)平面PBC的法向量為〃=（x，y，z）,

2y-2z=0

PCn=0

'?=><叢廠>rc

PBn=0-----x-\—y—2z=()n=,U)

則有22',可取

14

由題意，平面小。的一個(gè)法向量可取機(jī)=(0，1，0),

設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角為0,

]

cos9=|cos〈肛n)\=

Jg+1+l7

則

叵

所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為7.

(3)設(shè)尸(Xo，y(>，Zo),PF=APD(0<2<1),即(Xo，%,Zo-2)=2(2,O,-2)

可得F(22,0,2-2㈤，所以"=(22-1,-1,2-22),又AC=(0,2,0)

|cos^EF,AC)|20

2xJ(22-1)~+(-1)-+(2-2彳)~2

由題意有

2=1

化簡(jiǎn)得2萬-3；1+1=0,解得5或4=1(舍)，所以尸(1,0,1),

所以IAF|=J(1-0)2+(o-o)2+(1-0)2=6

i

19.(I)證明見解析；(II)存在，12；(III)當(dāng)F與"重合時(shí)，體積最大值為3.

【分析】(I)根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證明AF//EC即可;

(II)以A為原點(diǎn)，ABMDAA,分別為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)E(f,o,0),04/42,