2023-2024學(xué)年廣東省汕頭市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省汕頭市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知i是虛數(shù)單位，”R,則”復(fù)數(shù)伍+4為純虛數(shù)”是"。=1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】復(fù)數(shù)（。+講為純虛數(shù)時(shí)〃=±1,根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】（。+以=/+2歷-1為純虛數(shù)，則4?=1,且"0,即”土1.

因此“復(fù)數(shù)（a+i）2為純虛數(shù)”不能推出“。=1”,而“a=1”時(shí)“復(fù)數(shù)（a+i）2為純虛數(shù)”一定成立,

所以“復(fù)數(shù)（a+i）2為純虛數(shù)”是“a=1”的必要不充分條件.

故選：B

2.拋物線y=4Y的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C（0.）（春。）

【正確答案】C

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】將拋物線y=4x?的化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=iy,p=：,開口向上，焦點(diǎn)在夕軸的正

48

半軸上，

所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,，

故選：C.

3.設(shè)S“是等差數(shù)列也}的前〃項(xiàng)和，若％+%+6=3，則

A.5B.1C.9D.11

【正確答案】A

a

【詳解】\+<23+a5=3a3=3,a}=1,S$+%）=■|x24=5%=5,選A.

4.已知函數(shù)〃x)=e、.若a=/(40%)力=/(2i"),c=/(ln2),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.c<b<a

【正確答案】C

【分析】根據(jù)/(x)的單調(diào)性，只要比較4°98，升"，In2的大小即可得.

【詳解】4M8=2I96<2L".In2<l<40-98.即ln2<4°鄧<2.，

又〃x)=/是增函數(shù)，所以c<a助.

故選：C.

5'函數(shù)危尸普言在[-，用的圖像大致為

【正確答案】D

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得/(x)是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊

值得正確答案.

sin(-x)+(-x)—sinx-x

【詳解】由/(—)=-=-/'(x),得八X)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)

cos(-x)+(-x)2COSX+X

對稱.=fM=—^>0.故選D.

2(%)2n-1+]Z

本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性質(zhì)法或賦

值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，若邑=14,%=8,則十詈的值為

()

42

A.4B.-C.2D.-

93

【正確答案】A

【分析】設(shè)出公比根據(jù)題干條件列出方程，求出公比，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算

求出答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列]〃｝的公比為式4>0）,

88

則風(fēng)=4+“2+”3=~2=14,得3q2-4q—4=0,

qq

2

解得"2或1=-]（舍），

所以生土41=量上量=/=4

%+旬。5+%

故選：A.

7.已知尸為拋物線/二X的焦點(diǎn)，點(diǎn)48,c在拋物線上，F(xiàn)為43C的重心，則

\AF\+\BF\+\CF\=（）

A.vB.1C.-D.2

22

【正確答案】C

【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半徑公式和重心的坐標(biāo)表示可直接

求得結(jié)果.

【詳解】由拋物線方程知：尸（；，01

設(shè)8（芍,%），C（W，%），

1113

則|/尸|+忸可+|邙=斗二+不二=（++%+%）、；

F為N8C的重心，.??芭+/+J=L則&+石+占=3,

344

二1第+網(wǎng)+團(tuán)

故選：C.

8.已知/8C是邊長為2的等邊三角形，為圓M的直徑，若點(diǎn)P為圓加上一動點(diǎn)，則

P4PC的取值范圍為（）

A.[0,4]B.[-1,3]C.[-2,4]D.[-3,1]

【正確答案】B

【分析】由題意得尸3Pd1（癡；茄）?（尸。；加），然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律和計(jì)算公式

計(jì)算即可.

【詳解】如圖所示

▼▼八▼▼▼/>▼▼TN-Z\"-ZX▼▼▼今▼▼▼——ZX▼▼八▼▼▼ZX---JP

PA-PC=(PM+MA)-^PM+MCj=PM'+PM-MC+MA-PM+MA-MC

=\+PM-(MC+MA)+O

2■、??一

由圖像可知|MCI=2>MC+A//與尸M■夾角的范圍為［。，河，

???，、?-一，、??,、

所以PM?(MC+MA)=^>M],C+os<PM,^1C+MA)>GP，2],

所以PCe[-l,3].

故選：B.

二、多選題

9.已知關(guān)于x的不等式a/+bx+c>0解集為{H-2<X<3},則()

A.a>0

B.不等式ax+c>0的解集為卜,<6}

C.a+h+c>0

D.不等式cf-bx+acO的解集為

【正確答案】BCD

根據(jù)已知條件得-2和3是方程辦2+法+。=0的兩個(gè)實(shí)根，且"0,根據(jù)韋達(dá)定理可得

b=-a,c=-6a,根據(jù)6=-a,c=-6a且a<0，對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)求解或判斷可得解.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于》的不等式a/+云+°>0解集為{42<x<3},

所以-2和3是方程ax?+6x+c=0的兩個(gè)實(shí)根，且a<0,故A錯(cuò)誤;

bc

所以一2+3=-一,-2x3=-,所以b=-〃,c=-6〃，

aa

所以不等式公+?！?可化為。工一6。>0,因?yàn)椤?lt;0,所以x<6,故8正確；

因?yàn)閍+b+c=Q-a-6。=-64，又a<0,所以a+b+c>0,故。正確；

不等式ex?-&V+Q<0可化為-Gar?+or+a<0,又。<0,

所以-6/+x+l>0,即6x2-x-l<0,即（3x+l）（2x-l）<0,解得—3<x<g,故。正確.

故選：BCD.

利用一元二次不等式的解集求出參數(shù)〃，瓦c的關(guān)系是解題關(guān)鍵.本題根據(jù)韋達(dá)定理可得所要

求的關(guān)系，屬于中檔題.

10.如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為所在棱的中點(diǎn)，M,N為正方體的頂點(diǎn).則

滿足的是（）

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可

判斷AD的正誤.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接/C,則MN//4C,

故ZPOC（或其補(bǔ)角）為異面直線。尸,所成的角，

1_應(yīng)

在直角三角形OPC,OC=6,CP=l故tanZPOC=

故MV_LOP不成立，故A錯(cuò)誤.

對于B,如圖(2)所示，取N7的中點(diǎn)為。，連接尸0,OQ,則OQ_LNT,PQ1MN,

由正方體SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故而SNMN=N,故OQJ?平面SN7M,

又MNu平面SNTM,OQLMN,而OQPQ=Q,

所以MVJ.平面。P。，而尸Ou平面。P。，微MN1OP,故B正確.

對于C,如圖(3),連接8。，則BDVMN,由B的判斷可得。尸_L8。,

故0PlMN,故C正確.

AS

對于D,如圖（4）,取的中點(diǎn)0,的中點(diǎn)K,連接尸K,OK,

則AC//MN,

因?yàn)镈P=PC,aPQ//AC,故PQHMN,

所以NQP?；蚱溲a(bǔ)角為異面直線PO,MN所成的角，

圖⑷

因?yàn)檎襟w的棱長為2,故尸。=g/C=&,0Q=y]AO2+AQ2=VI+2=，

PO^^JPK2+OK2=5/4+T=5/5>QO2<PQ2+OP2,故NQP°不是直角，

故尸。,MN不垂直，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知點(diǎn)P在圓（x-5『+（y_5）2=16上，點(diǎn)?。?,0）、8（0,2）,則（）

A.點(diǎn)尸到直線的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線的距離大于2

C.當(dāng)"民4最小時(shí)，|尸卻=3近

D.當(dāng)最大時(shí)，|尸4=3近

【正確答案】ACD

【分析】計(jì)算出圓心到直線45的距離，可得出點(diǎn)P到直線48的距離的取值范圍，可判斷

AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)NP&4最大或最小時(shí)，形與圓M相切，利用勾股定理可判

斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓（*-5）2+（”5）2=16的圓心為"（5,5）,半徑為4,

直線48的方程為彳+§=1,即x+2y-4=0,

42

圓心M到直線AB的距離為自片與=?=華>4，

J『+22V55

所以，點(diǎn)P到直線力8的距離的最小值為虛-4<2,最大值為“好+4<10,A選項(xiàng)正確,

55

B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

如下圖所示：

當(dāng)NP3/最大或最小時(shí)，P8與圓〃相切，連接A7尸、BM,可知

\BM\=^/（0-5）2+（2-5）2=734,\MP\=A,由勾股定理可得忸尸|=眄"二麗30,

CD選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/與半徑為，?的圓C相離，圓心C到直線/的距離為d,則圓C上一點(diǎn)P到

直線/的距離的取值范圍是

12.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛%｝和｛〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S.和7；,,且*=5笠，則使得會為

整數(shù)的正整數(shù)〃的值為（）

A.2B.3C.4D.14

【正確答案】ACD

【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式得出?='粵=3+與，進(jìn)而可得出

bn〃+1n+1

〃+1為15的正約數(shù)，由此可得出正整數(shù)〃的可能取值.

(2〃-1)(4+*)

【詳解】由題意可得2=0/、=￡"??=?，則

2

%=邑'3(2〃-l)+39=3n+18=升_I5_

b?T?i(ZI)+3"+1〃+l'

由于*為整數(shù)，則〃+1為15的正約數(shù)，則”+1的可能取值有3、5、15,

b.

因此，正整數(shù)〃的可能取值有2、4、14

故選：ACD.

本題考查兩個(gè)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和比值的計(jì)算，涉及數(shù)的整除性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬

于中等題.

三、填空題

13.若x>-l,則x+一3—的最小值是

【正確答案】2行-1

【分析】由x+—3=x+l+3_\-l,結(jié)合基本不等式即可.

X+lX+1

【詳解】因?yàn)閤>T,所以x+l>0,

所以XH----=X+Id------]22yfi—1，

x+1x+1

當(dāng)且僅當(dāng)X+1=—1即4=6-1時(shí)，取等號成立.

X+1

故X+―7的最小值為26-1，

故2百-1

14.若三個(gè)原件4B,C按照如圖的方式連接成一個(gè)系統(tǒng)，每個(gè)原件是否正常工作不受其

他元件的影響，當(dāng)原件/正常工作且8,C中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)就正常工作，若

原件4B,C正常工作的概率依次為0.7,0.8,0.9,則這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為

【正確答案】0.686

【分析】根據(jù)題意，先求得B與C至少有一個(gè)正常工作的概率，再結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法

公式，即可求解.

【詳解】由題意，系統(tǒng)正常工作的情況分成兩個(gè)步驟，4正常工作且8,C至少有一個(gè)正常

工作的情況，其中A正常工作的概率為0.7；8正常工作的概率為0.8,C正常工作的概率為

0.9,

則8與C至少有一個(gè)正常工作的概率為1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98,

所以這個(gè)系統(tǒng)正常工作的概率為：0.7x0.98=0.686；

故0.686；

本題主要考查了對立事件和相互獨(dú)立事件的概率的計(jì)算，其中解答中熟記相互獨(dú)立事件的概

率的計(jì)算公式，結(jié)合對立事件的概率計(jì)算公式求解是的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題

的能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知橢圓C：?+：=1的右焦點(diǎn)尸，點(diǎn)尸在橢圓C上，又點(diǎn)力(5,8),貝1」|以|-|尸尸|的最

小值為.

【正確答案】6

【分析】由橢圓的定義得到歸尸|=4-|P￡|,進(jìn)而將眼|-|尸尸|轉(zhuǎn)化為|叫+附卜4,經(jīng)分析

當(dāng)尸,4月三點(diǎn)共線時(shí)，|尸山+|尸耳從而可求出結(jié)果.

由橢圓的定義知：戶用+|PF|=4,所以附=4-陶,

因此\PA\-\PF\=\PA\-（4-\PFt\）=\PA\+\PFt\-4,

而|P/|+|「居|的最小值是當(dāng)P,A,Ft三點(diǎn)共線時(shí)，

因此照卜|尸產(chǎn)性|/用-4,

又耳(-1,0),因此|2周=J(5+l)2+$=10,

所以歸4卜|尸尸住6,因此|24|-|尸川的最小值為6,

故6.

16.在三棱錐尸-/8C中，點(diǎn)P在底面的射影是Z8C的外心，

NBAC卷,BC=?PA=屁，則該三棱錐外接球的體積為.

【正確答案】粵

48

【分析】先由正弦定理得，/8C外接圓的半徑，再由勾股定理，即可求出半徑，從而可得

外接球體積.

【詳解】解：設(shè)/BC的外心為。＞連接叫,則球心。在

PQ上，連接

則。明為力8c外接圓的半徑匕

連接。1,設(shè)外接球的半徑為員

則OA=OP=R,

在N8C中，由正弦定理得

BC上。

------------=-7^=2尸,

sinABACy/3

T

解得r=l,即。/=1,

在Rt尸ZQ中,

22

P0}=yJPA-r=A/5^T=2,

在RtNOQ，中OO；+AO；=NO：即

（2-R『+12=R2,解得：R=j,

所以外接球的體積為：，，4萬［25"，

V-------=---------=------

3348

125兀

故

48

四、解答題

17.為了了解某城市居民用水量的情況，我們獲得100戶居民某年的月均用水量（單位：噸）

通過對數(shù)據(jù)的處理，我們獲得了該100戶居民月均用水量的頻率分布表，并繪制了頻率分布

直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)隱藏）100戶居民月均用水量的頻率分布表

組號分組頻數(shù)頻率

1[0,0.5)40.04

2[0.5,1)0.08

3[1,1.5)15

4[1.5,2)22

5[2,2.5)X

6[2.5,3)140.14

7[3,3.5)6y

8[3.5,4)40.04

9[4,4.5)0.02

合計(jì)100

(噸)

(2)求頻率分布直方圖中左數(shù)第4個(gè)矩形的高度;

(3)在頻率分布直方圖中畫出頻率分布折線圖.

【正確答案】(1)25,0.06

⑵0.44

(3)答案見解析

【分析】(1)求出區(qū)間［0.5,1)內(nèi)的頻率為Q08,頻數(shù)為8,區(qū)間［4,4.5)內(nèi)的頻率為0.02,頻

數(shù)為2,由此能求出占九

(2)左數(shù)第4個(gè)矩形對應(yīng)的頻率為0.22,且表中的數(shù)據(jù)組距為0.5,由此能求出它的高度.

(3)由頻率分布直方圖，能畫出折線圖.

【詳解】(1)解：區(qū)間95,1)內(nèi)的頻率為0.08,頻數(shù)為8,區(qū)間［4,4.5)內(nèi)的頻率為0.02,頻

數(shù)為2,貝！|x=100-(4+8+15+22+14+6+4+2)=25，尸粉0.06.

(2)解：因?yàn)樽髷?shù)第4個(gè)矩形對應(yīng)的頻率為0.22,且表中的數(shù)據(jù)組距為0.5,所以它的高度

0.22人,,

為<L：---=0.44.

0.5

(3)解：由頻率分布直方圖，畫出折線圖如圖所示:

葉頻率/組距

18.，18C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為,已知sin(/+C).

⑴求cosB；

(2)若Q+C=6,?/BC面積為2,求6.

【正確答案】(1)擇(2)2.

【詳解】試題分析：(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知N+C=》-8,再利用誘導(dǎo)公式化簡

D

sin(A+C),利用降幕公式化簡8疝25,結(jié)合sin28+cos25=l,求出cos5；(2)由(1)

可知sin8=指，利用三角形面積公式求出皈，再利用余弦定理即可求出入

222

試題解析：(1)sin(^l+C)=8siny,Asin5=4(l-cos5),Vsin5+cosS=1.

16(l-cosfi)2+cos25=l,/.(17cos5-15)(cosS-l)=0,/.cosB=—；

Q

(2)由(1)可知sin5=—,

17

117

S=-ac-sinB=2,/,ac--,

AABRCr22

22222222

Z,=a+c-2accosB=a+c-2xyx^|=a+c-15=(a+c)-2ac-15=36-17-15=4,

?*.6=2.

19.設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和s.,滿足￡用=工/，且4=1.

1+

(1)證明：數(shù)列”為等差數(shù)列;

（2）求｛《,｝的通項(xiàng)公式.

1,/?=1

【正確答案】（1）證明見解析；（2）an=\-2

【分析】（1）將S“”=吾記兩邊同時(shí)取倒數(shù)在整理，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明；

（2）由（1）求出進(jìn)而可得S,,當(dāng)〃22時(shí)，a“=S"-S“T，再檢驗(yàn)q=l是否滿足

a.=S,—S,T（?>2）,進(jìn)而可得｛g｝的通項(xiàng)公式.

【詳解】（1）由5川=目不1I+2S”1、

可得——=------=—+2

1十N■s?s?

11cl1,

即《---不=2,—=—=1

s“+is.hq

所以/是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列,

3”

（2）由（1）可得丁=l+（"-l）x2=2〃一l,gpS?=-

Sa2n-l

cc11-2

--

'j〃22時(shí)‘a(chǎn)n--2/7_12/J-3（2?-l）（2/?-3）;

當(dāng)I時(shí)“小布所以《=1不滿足==（2i；2-3）'

l,/7=1

所以4=J-2

,/?>2

（2n-l）（2/7-3）

方法點(diǎn)睛:

由數(shù)列前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)公式時(shí)，一般根據(jù)見七」;求解，注意檢驗(yàn)《是否滿足

a?（n>2）,不滿足則需要分段.

20.如圖，四棱錐尸的底面是矩形，尸。_1底面/6?！?gt;,PD=DC=l,M為8c的

中點(diǎn)，5.PB1AM.

R

（2）求二面角4一尸Af—8的正弦值.

【正確答案】（1）&；（2）叵

14

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、。戶所在直線分別為x、夕、z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)8c=2”，由已知條件得出/M=0，求出。的值，即可得出8C的長：

（2）求出平面尸、PBM的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求

得結(jié)果.

【詳解】（1）［方法一空間坐標(biāo)系+空間向量法

PD，平面4BCD,四邊形Z8C。為矩形，不妨以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。/、DC、DP所在

直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一中z,

設(shè)8c=2a,則。（0,0,0）、尸（0,0,1）、8（24,1,0）、M（a,l,0）、4（2a,0,0）,

則P8=(2a,l,-1),//=(-a,l,O),

PBLAM,則尸￡.//=-2/+1=0，解得q=亞，故5c=2a=&;

2

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法

如圖，連結(jié)80.因?yàn)镻O_L底面/8C。，且/Mu底面N8CD,所以尸。工

又因?yàn)镻BPD=P,所以/"/平面產(chǎn)80.

又8￡>u平面PBO,所以4W_LB￡>.

從而ZADB+ZDAM=90°.

因?yàn)?跖45+/。心0=90。，所以NM4B=N4DB.

十日4DBA

所以ADBsBAM,于是F=

所以;BC=l.所以8C=JL

［方法三］:幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)BD交/〃于點(diǎn)N.

p

由［方法二］知AM工DB.

ANDA2

在矩形48C。中，有DANsBMN,所以——=——=2,即力Nr4”.

MNBM3

令8C=2/Q>0）,因?yàn)椤?c的中點(diǎn)，則用W=E,DB=力4『+1，AM=4『+、?

由s=,得/=；歷護(hù)IT'解得",所以8C=2r=應(yīng).

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法

設(shè)平面的法向量為/=（x”wzj,則總（-?！?。］,二理卜四,0,1）,

。772

’彳於另七取寸&，可得是（在1,2卜

由，

m-AP--72A;+4=0

設(shè)平面尸5〃的法向量為\小,%,Z2),9=(-孝,0,0,(-72,-1,1),

n-BM=

由62*，取力=1,可得了=（0,1,1）,

nBP=—y/2,x-)-8+z2=0

加后—3_3A/L4

cos(^m,n)-j

加V7XA/2-14

所以,sin-cos2=~~~，

因此，二面角4-尸用-8的正弦值為叵

14

［方法二］:構(gòu)造長方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長方體ABCD-A^C^，聯(lián)結(jié)雞,4B,交點(diǎn)記為，,由于“4_LAtB,AB}1BC,

所以AH_L平面48cA.過〃作A"的垂線，垂足記為G.

聯(lián)結(jié)AG,由三垂線定理可知AG1D.M,

故N/GH為二面角4-PM-B的平面角.

易證四邊形48cA是邊長為④的正方形，聯(lián)結(jié)A”,HM.

SDjHM=5"附?HG,S認(rèn)HM=SjE方形“cq—SDXA}H$HBMMCDt,

由等積法解得4G=亞.

10

在Rt中，AH=—,HG=^~,由勾股定理求得NG=叵.

2105

所以，sinNAGH="~=叵,即二面角力一PM-8的正弦值為叵.

AG1414

【整體點(diǎn)評】(1)方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的

判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明

的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.

(2)方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問題是常用的方法，思路清

晰，運(yùn)算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注

意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

22)2

21.已知雙曲線C：*_一%=1.>0,/>>0)與雙曲線春-］=1的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)

（2,3）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線/經(jīng)過用，傾斜角為彳兀，/與雙曲線C交

于48兩點(diǎn)，求尸第5的面積.

【正確答案】（1%-上=1

3

⑵60

【分析】（1）根據(jù)共漸近線設(shè)出雙曲線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解；

（2）根據(jù)題意求出直線的方程，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去》后由韋達(dá)定理得

x,+x2,x,x2,從而由弦長公式求得弦長|/8|,再求出片到直線48距離后即可求得耳55的

面積.

【詳解】（1）依題意，設(shè)所求雙曲線c方程為廿-二=義，

62

代入點(diǎn)（2,3）得=即2=4,

所以雙曲線C方程為廣-工=-L即/-片=1.

6223

（2）由⑴得,2=1+3=4,則C=2,4（-2,