2024年高考數(shù)學一輪復(fù)習（新高考版）1 .1 集 合

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.1集合

【考試要求】1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義2理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解

集合間的包含和相等關(guān)系3會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、

集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本運算.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.集合與元素

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號且或生表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數(shù)集的記法

非負整數(shù)集

集合正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

(或自然數(shù)集)

符號NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對于兩個集合4B,如果集合4中任意一個元素都是集合3中的元素,

就稱集合A為集合8的子集，記作A=8(或52A).

(2)真子集：如果集合AU8,但存在元素xGB,且就稱集合A是集合B的真子集，記

作AB(或8A).

(3)相等：若AU8,且匹4則4=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本運算

表示

集合語言圖形語言記法

運

并集{xlxea,或xW8}(3E)

正

交集旦()

補集IxlxGU,且依A}[djA

【常用結(jié)論】

1.若集合A有〃(〃21)個元素，則集合A有2"個子集，2”—1個真子集.

2.AUB=A0B=A.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J"或"X")

(1)集合{xWNW=x},用列舉法表示為{-1,0,1}.(X)

(2){x|y=x2+1}={y\y=x2+1}={(x,加=f+l}.(X)

(3)若1G{『，x},則x=-l或x=l.(X)

(4)對任意集合A,B,都有(AnB)U(AUB).(V)

【教材改編題】

1.(2022?新高考全國H)已知集合4={一1],2,4},8={如一1|W1},則AD8等于()

A.(-1,2}B.(1,2}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由得一1這x—1W1,解得0WxW2,所以8={x|0WxW2},所以ACB={1,2},

故選B.

2.下列集合與集合4={2022,1}相等的是()

A.(1,2022)

B.{(x,y)\x=2022,y=\}

C.{x|*-2023x+2022=0}

D.{(2022,1))

答案C

解析(1,2022)表示一個點，不是集合，A不符合題意；

集合{(x,y)\x=2022,y=l}的元素是點，與集合A不相等，B不符合題意；

{xlx2-!023x+2022=0}={2022,1}=A,故C符合題意;

集合{(2022,1)}的元素是點，與集合A不相等，D不符合題意.

3.設(shè)全集U=R,集合A={x|—lWx<3},8={X|2A—42X—2},則AUB=,[y(AnB)

答案{x|x2一1}{x|x<2或x>3}

解析因為A={x|-lWx<3},8={x|2x-42x-2}={x|x，2},

所以AUB={xk》-l},4nB={x[2Wx<3},

[(XACB)={x|_r<2或x》3}.

■探究核心題型

題型一集合的含義與表示

例1（1）（2022?衡水模擬）設(shè)集合A={（x,y）|y=x},B={（x,y）伊=『},則集合ACB的元素

個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如圖，函數(shù)y=x與），=/的圖象有兩個交點，

故集合4nB有兩個元素.

（2）已知集合4={1,a-2,a2-a-l},若一1GA,則實數(shù)a的值為（）

A.1B.I或0

C.0D.-1或0

答案C

解析’..一IGA,

若a—2=-1,即a=l時，A={1,—1,—1},不符合集合元素的互異性；

若次一〃一i=—1,即〃=1（舍去）或4=0時，

A={1,-2,—1},

故a=0.

思維升華解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限

制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.

跟蹤訓(xùn)練1（1）（多選）若集合M={X|L2<0,XGN},則下列四個命題中，錯誤的命題是（）

A.(WB.{0}GM

C.{1}CMD.1QM

答案ABD

解析對于A,因為M={x|x-2<0,xGN},所以O(shè)WM,所以A錯誤；

對于B,因為{0}是集合，且0GM,所以{0}UM,所以B錯誤；

對于C,因為1WM,所以{1}=M,所以C正確；

對于D,因為1是元素，所以D錯誤.

(2)(2023?聊城模擬)已知集合4={0,1,2},8={羽“64匕6可，則集合3中元素的個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因為A={0,l,2},a^A,b^A,

所以ah=O或ab=1或ab=2或ab=4,

故8={ab|aeA,beA}={0,l,2,4},

即集合B中含有4個元素.

題型二集合間的基本關(guān)系

例2(1)(2022.宜春質(zhì)檢)已知集合4=3)=111。-2)},8={.很》一3},則下列結(jié)論正確的是

()

A.A=BB.AClB=0

C.ABD.BQA

答案C

解析由題設(shè)，可得A={尤|x>2},

又8={xlx2-3},

所以4是8的真子集，

故A,B,D錯誤，C正確.

(2)設(shè)集合A={x|-1Wx+1W2},8={川團-1WXW2〃Z+I},當x《Z時，集合4的真子集有

個；當8UA時，實數(shù)〃?的取值范圍是.

答案15(—8,-2)U[-l,0]

解析A={x|-2〈xWl},

若xGZ,則4={-2,-1,0,1).

故集合A的真子集有24-1=15(個).

由BQA,

得①若B=0,則2，〃+1<%一1,即—2,

2m+11,

②若BW0,貝小2/n+lWl,

jn—12一2,

解得一1WmWO,

綜上，實數(shù)〃？的取值范圍是(-8,-2)U[-l,0].

思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時，必須考慮空集的情況，否則

易造成漏解.

(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進而轉(zhuǎn)

化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)已知非空集合"滿足：①知={-2,—1,1,2,3,4},②若xCAf,則fWM

則集合M可能是()

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4)

C.{1}D.{1,-2,2}

答案AC

解析由題意可知3"用且44M,而一2或2與4同時出現(xiàn)，

所以一2&W且24M,

所以滿足條件的非空集合M有{一11},{1}.

(2)函數(shù)火x)=、N—2x—3的定義域為A,集合B={x|—aWxW4一〃},若BQA,則實數(shù)a的

取值范圍是.

答案(-8,-3]U[5,+8)

解析由/—2%—320,得x23或xW—I,

即A={x|x23或xW-1}.

,：BQA,

顯然8/0,

.*.4—aW—1或一。23,

解得“25或aW—3,

故實數(shù)a的取值范圍是(一8,-3]U[5,+8).

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

例3(1)(2021?全國乙卷)已知集合5={*=2〃+1,”WZ},T={t\t=4n+l,nSZ},則SCT

等于()

A.0B.SC.TD.Z

答案C

解析方法一在集合7中，令”=%(%GZ),則z=4〃+l=2(2Z)+l(A：eZ),而集合S中，s

=2〃+l("GZ),所以必有TUS,所以SCT=T.

方法二S={…，-3,-1,1,3,5,-},7={…，-3,1,5,…},觀察可知，TQS,所以SC17

=T.

(2)設(shè)全集U=R,A={x|-2Wx<4},B={x\y=yfI+2},則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{x|xW—2}B.{x\x>_2}

C.{小，4}D.{x|xW4}

答案C

解析觀察Venn圖，可知陰影部分的元素由屬于8而不屬于A的元素構(gòu)成，所以陰影部分

表示的集合為

；A={x[—2<x<4},U=R,

".[uA.—{x\x<—2或x24},

又8={妙=5+2}=>8={加>一2},

.?.(CuA)nB={x|x24}.

命題點2利用集合的運算求參數(shù)的值(范圍)

例4(2023?衡水模擬)已知集合4={小=皿1-1)},B={#vWa},若([R4)UB=R,則實數(shù)

。的取值范圍為()

A.(1,+8)B.[1,+00)

C.(一8,1)D.(-8,1]

答案B

解析由題可知A={x|y=ln(l—=

1RA={X|XW—1或x'l},

所以由(CRA)UB=R,得a2l.

思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；

如果集合中的元素是連續(xù)的，可用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況.

跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022?全國甲卷)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3)，集合A={7,2},8={雙

一4x+3=0},則[M4U8)等于()

A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1)D.{-2,0)

答案D

解析由題意得集合B={1,3},所以4UB={-1,1,2,3},

所以[MAU8)={-2,0}.故選D.

⑵(2023?駐馬店模擬)已知集合A={x|(x-l)(x-4)<0},B={x\x>a},若AU8={x|x>l},則a

的取值范圍是()

A.[1,4)B.(1,4)

C.[4,+8)D.(4,+8)

答案A

解析由題意可得A={x|la<4}.

因為AUB={x|x>l},

所以lWa<4.

題型四集合的新定義問題

例5(1)(多選)當一個非空數(shù)集F滿足條件“若a,bGF,則a—%,ab^F,且當b#0

時，月6尸”時，稱F為一個數(shù)域，以下說法正確的是()

A.0是任何數(shù)域的元素

B.若數(shù)域尸有非零元素，則2023c尸

C.集合P={4x=3k,ZWZ}為數(shù)域

D.有理數(shù)集為數(shù)域

答案ABD

解析對于A,若“GF,則a-a=0WF,故A正確；

對于B,若。且。力0,則1=*凡2=1+1GF,3=1+2GF,依此類推，可得2023GF,

故B正確；

對于C,P={x\x=3k,%GZ},3G巴66尸，但專￡尸，故尸不是數(shù)域，故C錯誤；

對于D,若a,b是兩個有理數(shù)，則a+b,a-b,ab,永b#0)都是有理數(shù)，所以有理數(shù)集是

數(shù)域，故D正確.

(2)已知集合”={1,2,3,4},AGM,集合4中所有元素的乘積稱為集合A的“累積值”，且

規(guī)定：當集合4只有一個元素時，其累積值即為該元素的數(shù)值，空集的累積值為0.設(shè)集合4

的累積值為幾

①若〃=3,則這樣的集合A共有個；

②若〃為偶數(shù)，則這樣的集合A共有個.

答案213

解析①若”=3,據(jù)“累積值”的定義得人={3}或4={1,3},這樣的集合A共有2個；

②因為集合M的子集共有24=16(個)，

其中“累積值”為奇數(shù)的子集為{1},{3},{1,3},共3個，

所以“累積值”為偶數(shù)的集合共有13個.

思維升華解決集合新定義問題的關(guān)鍵

解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目所給定義

和要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

跟蹤訓(xùn)練4設(shè)集合。={2,3,4},對其子集引進“勢”的概念：①空集的“勢”最?。虎诜?/p>

空子集的元素越多，其“勢"越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越

大，子集的“勢”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，

依此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列，則排在第6位的子集是.

答案{2,4}

解析根據(jù)題意，將全部的子集按“勢”從小到大的順序排列為:0,{2},{3},{4},{2,3},

{2,4},{3,4},{2,3,4}.

故排在第6位的子集為{2,4}.

課時精練

應(yīng)基礎(chǔ)保分練

1.（2022?全國乙卷）設(shè)全集U={1,2,3,4,5}‘集合“滿足1,3},則（）

A.2CMB.3GM

C.D.54M

答案A

解析由題意知M={2,4,5},故選A.

2.設(shè)集合A={xGN*|2*<4},8={xGN[-l<x<2},則AUB等于（）

A.{川一l<x<2}B.{x\x<2}

C.{0,1}D.{1}

答案c

解析由2*<4可得x<2,

則A={xCN*12y4}={1},

B={xWN|-la<2}={0』},

所以AUB={0,l}.

3.（2022?婁底質(zhì)檢）集合M={（x,y）|2x-y=0},N={（x,y）|x+y—3=0},則MCN等于（）

A.{（2,-1）}B.{2,-1）

C.{（1,2）}D.{1,2}

答案C

2x—y=0,

解析聯(lián)立

,x+y-3=0,

[x=l,

解得則MCN={(1,2)}.

3=2,

4.(2023?南京模擬)已知集合A={x|f-6x-7<0},B={y\y=3x,x<\},則AC&B)等于()

A.f3,7)B.(-1,01U[3,7)

C.[7,+0°)D.(一8,-1)U[7,+°0)

答案B

解析A={X|X2-6X-7<0}=(-1,7),

B=3y=3‘，x<1}=(0,3),

所以1RB=(-8,0]U[3,+°0),

所以4n([RB)=(-l,0]U[3,7).

5.(2022?海南模擬)已知集合A={R『W1},集合B={x|xWZ且x+lWA},則B等于()

A.(-1,0,1)B.{-2,-1,0)

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

答案B

解析因為集合A=1},

所以A=M—IWXWI},

在集合B中，由x+lCA,得一即一2WxW0,又xGZ,所以x=-2,-1,0,

即8={-2,-1,0}.

6.(2022?懷仁模擬)已知集合4={x|la<2},B={x[x>〃?},若AC([R8)=0,則實數(shù)”的取

值范圍為()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.[1,+8)D.(1,+8)

答案A

解析由題知4。（鼠8）=0,得則,〃W1.

7.（多選）已知集合4={1,3,，"},8={1,,〃}.若AUB=A,則實數(shù)，"的值為（）

A.0B.1C.2D.3

答案AD

解析因為AUB=A,所以BUA.

因為A={1,3,m2},2={1,m},

所以加2=根或，〃=3,解得機=0或m=1或切=3.

當m=0時，A={l,3,0},B={l,0},符合題意；

當帆=1時，集合A、集合8均不滿足集合元素的互異性，不符合題意;

當m=3時，A={1,3,9},B={1,3},符合題意.

綜上，m=0或3.

8.(多選)已知全集。的兩個非空真子集A,B滿足([uA)UB=B,則下列關(guān)系一定正確的是

()

A.AHB=0B.AHB=B

C.AUB=UD.&B)UA=A

答案CD

解析令U={1,2,3,4},A={2,3,4},B={1,2},滿足([uA)UB=8,但AC8W0,

故A,B均不正確；

由(1uA)UB=B,知[:=

.,.U=AUQA)U(AUB),：.AUB=U,

由知[uBQA,

...(CUB)UA=A,故C,D均正確.

9.(2023?金華模擬)已知集合U={123,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},則SC(CuQ=,

集合S共有個子集.

答案{1,5}8

解析由題意可得CuT={1,4,5},

則50([6(7)={1,5}.

集合S的子集有23個，即8個.

10.(2023?石家莊模擬)已知全集U=R,集合M={xGZ||x-l|<3},N={-4,一2,0,1,5},則

Venn圖中陰影部分的集合為.

答案{-1,2,3}

解析集合{xGZ||x-1|<3}={XGZ|-3<x-1<3}={x￡Z|-2<r<4}={-l,0,l,2,3},

則Venn圖中陰影部分表示的集合是MCI([RN)={-1,2,3}.

11.已知集合4={》*+》-6=0},8={必必+1=0},且4口8=4,則m的值可能是

答案0,—|

解析由d+x—6=0,得工=2或》=—3,

所以A={X|JT+X—6=0}={—3,2),

因為AUB=A,所以

當8=0時，BGA成立,此時方程mx+l=0無解，得,〃=0；

當8W0時，得，"WO,則集合2=國〃a+1=0}=1一而，，

因為8=A,所以一\=-3或一《=2,

解得或%=一；,

綜上，m=O,機=；或m=一；.

12.已知集合4=*|。+3)。-3)忘0},B={x|2機一3WXW/M+1}.當膽=一1時，貝ijAU8=

;若ACB=8,則，"的取值范圍為.

答案[-5,3][0,2]U(4,+8)

解析A={x|-3WxW3},

當機=-1時，B={x|-5WxW0},

此時AUB=[-5,3].

由AC18=B可知BQA.

若B=0,則2m—3>m+1解得"?>4；

2m—3^m+1,

若8#0,貝/機+1W3,解得0W機W2,

2m—32—3,

綜上所述，實數(shù)〃2的取值范圍為[0,2]U(4,+8).

應(yīng)綜合提升練

13.(多選)已知全集U={xGN|log2X<3},A={1,2,3},CMACB)={1,2,4,5,6,7},則集合B可

能為()

A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

答案BD

解析由10g2X<3得0<X<23,即oa<8,于是得全集U={123,4,5,6,7},

因為[MACB)={1,2,4,5,6,7},則有Ar)B={3},3GB,C不正確；

若8={2,3,4},則ACB={2,3},Cu(ACB)={l,4,5,6,7},矛盾，A不正確;

若8={3,4,5},則ACB={3},仇(4=8)=524,5,6,7},B正確；

若3={3,5,6},則ACB={3},1°(AC8)={1,2,4,56,7},D正確.

14.某小區(qū)連續(xù)三天舉辦公益活動，第一天有190人參加，第二天有130人參加，第三天有

180人參加，其中，前兩天都參加的有30人，后兩天都參加的有40人.第一天參加但第二

天沒參加活動的有人，這三天參加活動的最少有人.

答案160290

解析根據(jù)題意畫出Venn圖，如圖所示,

190

\bV）CA80

130

。表示只參加第一天的人，

6表示只參加第二天的人，

C表示只參加第三天的人，

”表示只參加第一天與第二天的人，

e表示只參加第一天與第三天的人，

/表示只參加第二天與第三天的人，

g表示三天都參加的人，

要使總?cè)藬?shù)最少，則令g最大，其次d,e,/也盡量大，d+g=30,/+g=40,

，〃+e=160,即第一天參加但第二天沒參加的有160人，

，gmax=30,d=0,/=10,a+d+g+e=190,

；.c+e=140,

^max140,C=0,a=20,

則這三天參加活動的最少有a+b+c-\---Fg=20+90+0+0+140+10+30=290（人）.

必拓展沖刺練

15.（多選）1872年德國數(shù)學家戴德金