2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)市北中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市靜安區(qū)市北中學(xué)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（本大題共6小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.指的相反數(shù)是（）

A.<3B.-<3C.號D.一殍

2.下列方程中，有實數(shù)解的是（）

A.%2—x+1=0B.Vx—2=1—xC.\x=0D.\x=1

xL—xx￡-x

3.已知點D、E分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上，且ED//BC,如果AD：DB=1：

4,ED=2,那么邊BC的長是（）

A.8B.10C.6D.4

4.如果點4（2,m）在拋物線y=%2上，將拋物線向右平移3個單位后，點4同時平移到點

那么4'坐標(biāo)為（）

A.(2,1)B.(2,7)C.(5,4)D.(-1,4)

5.在RtZkABC中，ZC=90°,CD是高，如果40=m,NA=a,那么BC的長為（）

._mtanamtana

A.m-tana?cosaB.m?cota?cosaC.--------D.-：---

cosasina

6.下列命題是真命題的是（）

A.有一個角相等的兩個等腰三角形相似

B.兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

C.四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形相似

D,斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似

二、填空題（本大題共12小題，共48.0分）

7.化簡：（-2a2）3=.

9.上海與杭州的實際距離約200千米，在比例尺為1：5000000的地圖上，上海與杭州的圖

上距離約厘米.

10.某滑雪運(yùn)動員沿著坡比為1：C的斜坡滑行了200米，則他身體下降的高度為米

11.拋物線y=(x-1)2+3與y軸的交點坐標(biāo)是

12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,對稱軸為直線

x=2,若此拋物線與x軸的一個交點為(6,0),則拋物線與％軸

的另一個交點坐標(biāo)是.

13.如圖，在△ABC中，點。是8c邊上的點，且CO=28。，如果

AB=a.AD=b>那么瓦t=(用含日、B的式子表示).

如果鐵=?,

14.如圖，直線AA\〃BB["CC'AA1=2,

那么線段的長是.

15.已知，點P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，若AB=8,則PQ的長是.

16.在UBC中，ABAC=90。，點G是△ABC的重心，連接4G.若AG=6,則BC長為.

17.若拋物線丫=。/+(:與％軸交于點/1(6,0)、B(n,0),與y軸交于點C(0,c),則稱△ABC為

“拋物三角線”.特別地，當(dāng)mnc<0時，稱△ABC為“正拋物三角形"；當(dāng)nmc>0時，稱

△ABC為“倒拋物三角形”.那么，當(dāng)△力BC為“倒拋物三角形"時，a、c應(yīng)分別滿足條件

18.如圖，已知A/IBC沿角平分線BE所在的直線翻折，點4恰好

落在邊BC的中點M處，且AM=BE,那么/EBC的正切值是

三、解答題(本大題共7小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

19.(本小題10.0分)

計算：＜-245。一箭+的23。。.

20.(本小題10.0分)

拋物線y=x2-2x+c經(jīng)過點(2,1).

(1)求拋物線的頂點坐標(biāo)；

(2)將拋物線y=X2-2X+c沿y軸向下平移后，所得新拋物線與x軸交于4、B兩點，如果4B=

2,求新拋物線的表達(dá)式.

21.(本小題10.0分)

如圖，在△ABC中，點0、E分別在邊力B、AC上，空=?,AE=3,CE=1,BC=6.

AB4

(1)求。E的長；

(2)過點。作。尸〃4:交8c于心設(shè)荏=出前=石,求向量而(用向量,、族表示)

22.(本小題10.0分)

某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至當(dāng)層之間安裝電梯，截面圖如圖所示，

底層與反層平行，層高4。為9米，4、B間的距離為6米，AACD=20°.

(1)請問身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在B處會不會碰到頭？請說明理由.

(2)若采取中段平臺設(shè)計(如圖虛線所示).已知平臺EF〃DC,且4E段和FC段的坡度i=l：2,

求平臺EF的長度.

【參考數(shù)據(jù)：sin20°x0.34,cos20°?0.94,tan200?0.36]

D

23.(本小題10.0分)

已知如圖，。是△力BC的邊AB上一點，DE//BC,交邊4C于點E,延長CE至點F,使EF=CE,

聯(lián)結(jié)BF,交邊4c于點G,聯(lián)結(jié)CF

〃、一「、丁AEEG

⑴求證:而=而;

(2)如果OX=FG-FB,求證：CGCE=BCDE.

24.(本小題14.0分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=+bx+c與x軸交于點4、B,與y軸交于點C,

直線y=x+4經(jīng)過點4、C,點P為拋物線上位于直線4c上方的一個動點.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖(1),當(dāng)CP〃A。時，求NP4C的正切值；

(3)4當(dāng)以4P、40為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上時，求出此時點P的坐標(biāo).

25.(本小題14.0分)

如圖，矩形4BC。中，AB=，下，點E是BC邊上的一個動點，連接4E,過點。作OF1AE,

垂足為點F.

(1)設(shè)BE=%，乙4DF的余切值為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;

(2)若存在點E,使得AABE、AADF與四邊形CDFE的面積比是3：4：5,試求矩形4BC。的

面積;

(3)對(2)中求出的矩形4BCD,連接CF,當(dāng)BE的長為多少時，ACDF是等腰三角形？

BE

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：人=殍，

則盍的相反數(shù)是-?.

故選：D.

先分母有理化，再根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

本題主要考查分母有理化，相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互

為相反數(shù).

2.【答案】D

【解析】解：4、???△=1-4=—3<0,

???原方程無實數(shù)根，

B、當(dāng)1一%<0,即％>1時，原方程無實數(shù)根，

C、當(dāng)%2一%=0,即％=1,或％=0時，原方程無實數(shù)根，

。八、ITj1

:.%=—1.

故選。.

A、根據(jù)△的值判斷即可，

B、根據(jù)二次根式的意義判斷即可；

C、根據(jù)分式方程的解的定義判斷即可；

。、根據(jù)分式方程的解的定義判斷即可.

本題考查了一元二次方程的根得判別式，無理方程的解，分式方程的解，正確的解方程是解題的

關(guān)鍵.

A1

-=

D4-

D1

,

7-1-=,

力D

-o3

DF21

-=-

-點-

Bc3

=6

故選：c.

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能推出△EADfCAB是解此題的關(guān)鍵.

根據(jù)相似三角形的判定定理，得出?△C48,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可.

4.【答案】C

【解析】解：把A(2,m)代入y=/得m=4,則4點坐標(biāo)為(2,4),把點4(2,4)向右平移3個單位后

所得對應(yīng)點4的坐標(biāo)為(5,4).

故選C.

先把A(2,m)代入y=/得m=4,于是得到4點坐標(biāo)為(2,4),由于拋物線向右平移3個單位，則拋

物線上所有點都右平移3個單位，然后根據(jù)點平移的規(guī)律可確定點A'坐標(biāo).

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故Q不變，所以求平移后的

拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)

法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式.

5.【答案】C

【解析】解：???在RtA/BC中，4c=90。，CD是高，如果=/,A=a,

CDCD

:，tana=—=—,

ADm

???CD=m-tana,

V乙ACB=44+=90°,乙BDC=NB+乙BCD=90°,LA=a,

???乙BCD=a,

CD_mtana

???cos乙BCD~BC=BC

mtana

即cosa=

BC

mtana

BC=--------

cosa

故選c.

根據(jù)在RtzxABC中，/C=90。，CO是高，如果4D=m,NA=a,可以用含m和a的三角函數(shù)值

表示出CD,通過角相等，它們的三角函數(shù)值也相等，可以解答本題.

本題考查解直角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確各個三角函數(shù)值的意義，利用轉(zhuǎn)化的思想找到所求

問題需要的條件.

6.【答案】D

【解析】解：4、有一個頂角(或底角)相等的兩個等腰三角形相似，所以4選項錯誤；

8、兩邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等的兩個三角形相似，所以B選項錯誤：

C、四個內(nèi)角都對應(yīng)相等的兩個四邊形不一定相似，所以C選項錯誤；

。、斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，所以。選項正確.

故選。.

根據(jù)相等的角可能為頂角或底角可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)相似三角形的判定方法對B、。進(jìn)行判斷；

利用矩形和正方形不相似可對C進(jìn)行判斷.

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組

成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有

些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.

7.【答案】-8a6

【解析】【分析】

根據(jù)積的乘方與鞋的乘方的運(yùn)算法則計算即可.

本題主要考查積的乘方與寨的乘方，掌握積的乘方與塞的乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解:(-2a2)3=(-2)3?3)3=-8a6.

故答案為:-8a6.

8.【答案】2

【解析】解：名

a+3a+3

6+2a

a+3

_2(3+a)

a+3

=2,

故答案為：2.

根據(jù)同分母分式加減法法則計算.

本題考查的是分式的加減法，同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子

相加減.

9.【答案】4

【解析】解：設(shè)上海與杭州的圖上距離為x厘米.

200千米=20000000厘米，

%：20000000=1：5000000,

解得x=4.

故答案為4.

設(shè)上海與杭州的圖上距離為x厘米，根據(jù)比例尺的意義列出方程X：20000000=1：5000000,解

方程即可.

本題考查了比例線段，掌握比例尺的定義是解題的關(guān)鍵.注意單位要統(tǒng)一.

10.【答案】100

【解析】解：設(shè)垂直高度下降了x米，則水平前進(jìn)了Cx米.

根據(jù)勾股定理可得：X2+?^X）2=2002.

解得x=100,

即它距離地面的垂直高度下降了100米.

故答案為:100.

設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，難度不大，此題的關(guān)鍵是熟悉且會靈活應(yīng)用公式：tana（坡度）=垂

直高度+水平寬度，綜合利用了勾股定理.

11.【答案】（0,4）

【解析】解：令％=0,得y=4,

故與y軸的交點坐標(biāo)是：（0,4）.

故答案為：（0,4）.

根據(jù)題意得出尤=0,然后求出y的值，即可以得到與y軸的交點坐標(biāo).

本題主要考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點的知識，正確把握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵,

此題較容易.

12.【答案】（—2,0）

【解析】解：（6,0）關(guān)于x=2的對稱點是（一2,0）.

故答案是（-2,0）.

求出點(6,0)關(guān)于％=2的對稱點即可.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱是關(guān)鍵.

13.【答案】3b-3a

【解析】解：AB=a>AD=b,

BD=AD—AB=b—a'

???在AABC中，點。是BC邊上的點，且CD=2BD,

.-.BC=3^D=3b-3a-

故答案為：3b-3a-

由荏=肉AD=b，直接利用三角形法則即可求得說，再由CO=2BO,即可求得答案.

此題考查了平面向量的知識.注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

14.【答案】3

過41作4E〃/1C,交BBi于。，交CQ于E,

???直線4AJ/BBJ/CC1，

.??四邊形ABZMi和四邊形BCEC是平行四邊形，

???AAX=2,"1=6,

???AA=BD=CE=2,EC[=6—2=4,37=77^=

1X1BCEA13

??????BB1//CC1,

.DA1=DB1

?'EAr-ECj

?二_=%!

"1+34'

:.DBi=1,

:.BB1=2+1=3,

故答案為：3.

過必作AE〃/C,交B81于D,交CCi于E,得出四邊形4804和四邊形BCED是平行四邊形，求出

AA=BD=CE=2,EC[=6—2=4,=普1=根據(jù)8B1/CC1得出魯1=器■,代入求出

rDCC/11DC/ilCCi

DB]=1即可.

本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵.

15.【答案】8n-16

【解析】解：如圖，???點P、Q是線段4B的黃金分割點，AB=8,

BP=AQ==4/T-4-

???PQ=AQ+BP-AB=2(4V~5-4)-8=8c-16，

故答案為：8\/~5-16.

?---------■-----------??

APQB

先由黃金分割的比值求出BP=AQ=4c—4，再由PQ=AQ+BP-AB進(jìn)行計算即可.

本題考查了黃金分割：把線段48分成兩條線段AC和8CQ4C>BC),且使4c是48和BC的比例中項

(BP/1B：AC=AC：BC),叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段4B的黃金分割點，熟記黃金比是

解題的關(guān)鍵.

16.【答案】18

【解析】解：如圖，延長4G交BC于點。，

???點G是△ABC的重心，AG=6,

???0為BC的中點，且AG=2OG=6,

???DG=3,

???AD=AG+DG—9,

v/-BAC=90°,

???BC=2AD=18；

故答案為：18.

延長4G交BC于點。，根據(jù)點G是△ABC的重心，得到。為BC的中點，以及4G=2DG,進(jìn)而求出AD

的長度，根據(jù)4。是直角三角形斜邊上的中線，從而求出8C的長.

本題考查重心的性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線.熟練掌握重心到頂點的距離與重心到對邊

中點的距離之比為2：1,以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】a>0,c<0

【解析】解：?.?拋物線丫=。/+<；的對稱軸是y軸，

4(m,0)、B(n,0)關(guān)于y軸對稱，

mn<0>

又：mnc>0,

.??c<0,即拋物線與y軸的負(fù)半軸相交，

又?.,拋物線y=ax2+c與x軸交于點4(m,0)、B(n,0),

二函數(shù)開口向上，

???a>0.

故答案是：a>0,c<0.

根據(jù)m7i關(guān)于y軸對稱，則nm<0,則c的符號即可確定，然后根據(jù)拋物線與x軸有交點，則可以

確定開口方向，從而確定a的符號.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確確定二次函數(shù)的開口方向是本題的關(guān)鍵.

18.【答案】|

【解析】解：設(shè)AM與BE交點為D,過M作MF〃BE交4c于F,如圖所

示:

???M為BC的中點,

???F為CE的中點,

MF為ABCE的中位線,

...MF=?BE,

由翻折變換的性質(zhì)得：AM1BE,AD=MD,

同理：DE是△力MF的中位線，

DE=^MF,

設(shè)DE=a,則MF=2a,AM=BE=4a,

...BD-3a,MD=^AM=2a,

乙BDM=90°,

2a2

tanzFBC=黑

DD3a3

故答案為：|

設(shè)AM與BE交點為D,過M作MF//BE交AC于尸，證出MF為△BCE的中位線，由三角形中位線定理

得出MF=^BE,由翻折變換的性質(zhì)得出：AM1BE,AD=MD,同理由三角形中位線定理得出

DE=^MF,設(shè)DE=a,則MF=2a,AM=BE=4a,得出8。=3a,MD=^AM=2a,即可

得出結(jié)果.

本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換

的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出MF=：BE,是解決問題的關(guān)鍵.

efl

19.【答案】解：原式=(乎尸--若+(，3)2

12X詈

泊+3

19

~6

【解析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得實數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算，可得答案.

本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)把(2,1)代入y=x2-2x4-c得4—4+c=1,解得c=1,

所以拋物線解析式為y=/一2%+1=Q-1產(chǎn),

所以，拋物線的頂點坐標(biāo)為(L0)；

(2)y=/-2x+1=(x-1)2,拋物線的對稱軸為直線x=1,

而新拋物線的對稱軸不變，其與x軸交于4、B兩點，AB=2,不妨設(shè)點4在點B左邊,

所以4(0,0),8(2,0),

所以新拋物線的解析式為y=-2),即y=/—2x.

【解析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函

數(shù)解析式.

(1)把(2,1)代入y=%2-2x+c中求出c的值即可得到拋物線解析式，進(jìn)而求得頂點坐標(biāo)；

(2)先確定拋物線丫=/-2》+1的對稱軸，再利用拋物線的對稱性得到4(0,0),B(2,0),然后利

用交點式可寫出新拋物線的表達(dá)式.

21.【答案】解：(1)：AE=3,CE=1,

AAC=AE+CE=4,

tAD_AE_3

：，~AB=AC=4f

???DE〃BC,

DEAD3

...,

BCAB4

339

???DE=BCx-=6x-=-；

442

(2)???DF//AC,

?DF__B__D——1

??AC~BA~4

1

=

4-=；懣+硝=扣+頡.

【解析】⑴由*='，4E=3,CE=1,可得*=*=',即可證得DE〃BC,然后由平行線分

T,/1CT,

線段成比例定理，即可求得DE的長;

(2)由。F//AC,可得整=穿=；,再由三角形法則，即可求得答案.

/1CD/I4

此題考查了平行向量的知識以及平行線分線段成比例定理.注意掌握三角形法則以及平行四邊形

的法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)過點8作

交AC于點、G,

vZ-ACD=20°,AB//CD,

:.Z.BAG=20°,

??.BG=tan200X6=0.36X6=

2.16>1.9

???不會碰到頭部;

(2)vAD=9,

9

"CD=^20？=25)

過點尸作尸加上。。，垂足為點M,過點E作EN14D,垂足為點N,

設(shè)FM=x,則ZN=9一%,

???/1￡段和尸。段的坡度》=1：2,

ACM=2x,NE=2(9-%)=18-2%,

：?CM+NE=2%+18—2%=18,

:.EF=CD-（CM-NE）?25-18=7（米）.

【解析】（1）先過點B作GB1AB,交AC于點G,根據(jù)NACD=20。，AB//CD,得出NB4G=20。,

再根據(jù)正切定理求出BG的長，然后與人的身高進(jìn)行比較，即可得出答案；

（2）根據(jù)4D的長求出CD,再過點F作FMJ.CD,垂足為點M,過點E作EN14D,垂足為點N,設(shè)

FM=x,則AN=9-x,根據(jù)4E段和FC段的坡度i=1：2,求出CM和WE的長，最后根據(jù)EF=

CD-（CM-NE）,即可求出答案.

此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用到的知識點是坡度角，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造直

角三角形.

23.【答案】證明：(1)-DE//BC,

ABCfAEFG~ACBG,

tAE_D￡EF__EG^

AAC='BCf~BC=~CG"

又「DE=EF,

DEEF

BCBC

tAE_EG

'AC~CG；

(2)?:CF2=FG,FB,

tCF__FB

***FG='CFf

又???乙CFG=乙CFB,

CFG~ABFC,

.4=等，4FCE=LCBF,

BCFC

又???DF//BC,

??Z-EFG=乙CBF,

???Z-FCE=Z-EFG,

又???乙FEG=乙CEF,

EFG~AECF,

.EF__FG__DE^

''~EC~~FC~~EC'

.?.線=段，即CG-CE=BC-OE.

BCEC

【解析1(1)首先證明△ADE-△力BC,△EFGfCBG,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，以及

DE=EF即可證得：

(2)首先證明△CFGs^BFC,證得藍(lán)=裝，乙FCE=4CBF,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證明NFEG=

oCrC

乙CEF,即可證得△EFG^ECF,則族=2=需即可證得點=需則所證結(jié)論即可得到.

ECFCECFGEC

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解相似三角形的判定方法，證明NFEG=/CEF,證

得小EFGfEC尸是解決本題的關(guān)鍵.

24.【答案】解：(1)當(dāng)x=0時，y=x+4=4,則C(0,4),

當(dāng)y=0時，%+4=0,解得％=—4,則4(一4,0),

把Z(-4,0),C(0,4)代入y=-#+bx+c得｛[±；劭+?！?,解得‘二1，

???拋物線解析式為y=-jx2-x+4；

(2)拋物線的對稱軸為直線％=一云含=一味

lfaPC//OA,

???點P與點C關(guān)于直線x=-1對稱，

P(-2,4),PC=2,

作PHI.AC于H,如圖1,

vOA=OC=4,

CMC為等腰直角三角形，

/.OAC=45°,AC=4/2，

vPC//OA,

???^PCA=AOAC=45°,

.?.△PCH為等腰直角三角形，

：.PH=CH=3乂2=C，

???AH=AC-CH=4v2-V-7=3/7,

在Rt△P4H中，tanZ_PAH=Z=^-2==

An3vL3

即NP4C的正切值為g;

(3)以4P、力。為鄰邊的平行四邊形第四個頂點為點Q,如圖2,

??,四邊形4PQ。為平行四邊形，

/.PQ//OA,PQ=OA=4,

設(shè)P(t,-?/一亡+4),則Q(t+4,-g—亡+4),

把(t+4,—g1+4)代入y=-—%+4得-g(t+4產(chǎn)—(t4-4)+4=-^t2—t4-4?解得

t=-3,

???此時P點坐標(biāo)為(一3,|).

【解析】(1)利用一次函數(shù)解析式確定C(0,4),4(-4,0),然后根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線解析式；

(2)先確定拋物線的對稱軸為直線x=-1,再利用對稱性得到P(—2,4),作PH14C于//,如圖1,

證明△。力C和△PC〃為等腰直角三角形得到4C=4/7，PH=CH=4,則4"=3「，然后

根據(jù)正切的定義求解；

(3)以4P、4。為鄰邊的平行四邊形第四個頂點為點Q,如圖2,利用平行四邊形的性質(zhì)得PQ〃。4

PQ=