2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三年級下冊開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題

2023屆黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校高三下學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.記集合M=國乂>2},N=[x\y=42^},貝I低N=()

A.1x|-2<x<2}B.{x|x>2}C.1x|0<x<21D.1x|x<-2}

【答案】A

【分析】解集合M中的不等式，求集合N中函數(shù)的定義域，得到這兩個集合，再進行補集和交集的

運算.

【詳解】不等式國>2解得》>2或x<—2,則知={1%>2或x<—2},

函數(shù)丫=房7有意義，則有x<2,N={X|X42},

/.(^M)={x|-2<x<2};得(aM)cN={x|—24x42}.

故選：A

2.下列命題中，真命題是()

4

A.3x0eR,<o

B.Vx>0,lgx>0

C.是"x>l”的必要不充分條件

M

D.命題“VxtO,tanxNsinx"的否定為o<0,tanx0>sinx0

【答案】C

【分析】運用指數(shù)幕與根式互化分析選項A即可，舉反例可分析選項B,解指數(shù)不等式可分析選項

C,運用含有一個量詞的命題的否定可分析選項D.

4___4

【詳解】對于選項A,因為?=#F，當xeR時，恒成立，所以故A項錯誤;

對于選項B,當x=l時，lgl=0,故B項錯誤；

對于選項C,因為3*>lnx>0,x>0是x>l的必要不充分條件，故C項正確；

對于選項D,命題“VxN0,tanx2sinx”的否定為“玉°WO,tanx(,〈sin%”，故D項錯誤.

故選：C.

3.已知函數(shù)y=/("的定義域是[-2,3],則函數(shù)y=〃2x-l)的定義域是()

A.[—5,5]B.——.2C.[—2,3]D.—,2

【答案】B

【分析】已知函數(shù)y=f(x)的定義域，利用整體代入法求函數(shù)y=/(2x-i)的定義域.

【詳解】函數(shù)尸〃力的定義域是[-2,3],

由一2<2x—143,解得—4x42,

2

所以函數(shù)y=/(2x—l)的定義域是一；,2.

故選：B

4.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、

育文化”暨“喜迎黨的二十大”黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績(滿分100分，成績?nèi)≌?/p>

數(shù))整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是()

①。的值為0.005；

②估計成績低于60分的有25人；

③估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75；

④估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③

【答案】C

【分析】由所有組頻率之和為1求得m再根據(jù)頻率直方圖中頻數(shù)、眾數(shù)及百分位數(shù)的求法可得結(jié)

果.

【詳解】對于①，由(a+2a+3a+3a+5a+6a)xl0=l,得a=0.005.故①正確；

對于②，估計成績低于60分的有1000x(2"+3a)x10=50000?=250人.故②錯誤；

對于③，由眾數(shù)的定義知，估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75.故③正確；

對于④，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為也則(90—Mx5x0.005+0.005xl0=l-85%=0.15,解得:

機=86,故④正確.

故選：C.

5.已知(3x-l)(x+l)"的展開式中所有項的系數(shù)之和為64,則展開式中含X?的項的系數(shù)為()

A.25B.3C.5D.33

【答案】C

【分析】令x=l可得展開式中所有項的系數(shù)之和求出〃，再利用展開式的通項公式即可求解.

【詳解】令x=l可得展開式中所有項的系數(shù)之和為2向=64,故〃=5,

又(x+If,即(x+1)，展開式的通項為=GT-,

則展開式中含有一的系數(shù)為3C；-C；=5.

故選：c.

6.如圖，已知四邊形ABC。為圓柱的軸截面，尸為AB的中點，E為母線BC的中點，異面直線AC

與EF所成角的余弦值為如，BC=4,則該圓柱的體積為()

3

A.87tB.167tC.24KD.32兀

【答案】B

【分析】運用平行線尋找異面直線所成角，再運用線面垂直判定定理及線面垂直性質(zhì)定理證得

OFVOE,進而求得半徑r,代入圓柱體積公式計算即可.

【詳解】如圖所示，

取AB的中點0,連接0E、0F,因為E為母線3C的中點，所以O(shè)E//AC,所以NOEF為異面直線AC、

所所成的角或其補角，則|cosNOEF|=〉f,

設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,則OE=V7rM，

又因為尸為A2的中點，所以BF=6r，

又因為OFL3C,ABcBC=B,AB,BC^ABCD,所以。F_L面A8CO,

又因為OEu面ABC。，所以O(shè)戶_LOE,

在RtAEBF中，EF=-JBE2+BF2=J2r2+4，

r+At

所以在RtZXEOF中，cosZOEF=—=^.'=,解得：r=2.

EF42戶+43

所以圓柱的體積為丫=322*4=16兀.

故選：B.

7.K，鳥是橢圓C的兩個焦點，尸是橢圓C上異于頂點的一點，/是片外的內(nèi)切圓圓心，若耳巴

的面積等于△/耳6的面積的4倍，則橢圓C的離心率為()

A.-B.；C.—D.更

3222

【答案】A

【分析】設(shè)花的周長為/,由橢圓的定義可得為+2c=/,根據(jù)面積法求得△尸66的

內(nèi)切圓半徑『，又△尸大鳥的面積等于△/￡用的面積的4倍，列出方程可得a，c的關(guān)系，從而可得離

心率.

【詳解】設(shè)橢圓方程為：4+4=1-耳，尸2是橢圓c的兩個焦點，「是橢圓c上異于頂點的一

點,

設(shè)P(〃4〃)，耳(-c,0),鳥(c,0),△尸￡鳥的周長為/,由橢圓的定義可得2a+2c=/,

△PF低的內(nèi)切圓半徑r=竺噠=包包=生"，S4g=4s以，

I2a+2ca+c

所以《x2cx|〃|=4x1x也1x2c,解得：￡=2,即離心率e=《.

22a+ca33

故選：A

8.設(shè)數(shù)列｛〃.｝的前〃項和為S“，%+i+%=2"+3,且S,,=1450,若外＜4,則〃的最大值為()

A.50B.51C.52D.53

【答案】B

【分析】已知式變形后得出｛4-5+1)｝是以一1為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項公式應(yīng),然后

由分組求和法求得S,,,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得結(jié)論.

【詳解】：a”+i+?！?2〃+3,4“+1—(〃+2)=-(a“—(〃+1)),

???｛%-(〃+1)｝是以一1為公比的等比數(shù)列，可一(〃+1)=(4—2)?(—1產(chǎn)，

a,=(〃+I)+d)"T,

??.S“=[2+3++(n+l)]+(?,-2)[l+(-l)+(-l)2++(-1)”T]=+(卬―2),

當〃為偶數(shù)時，S,,="2=1450無解，當〃為奇數(shù)時，S,,=*』+4-2=1450,

4=1452_〃(〃；3),又卬+的=5,.?.%=5-4<4,即q>1,

即〃(〃+3)<2902,y=〃(〃+3)在N*上是增函數(shù)，又〃為奇數(shù)，51x54=2754<2902,

53x56=2968>2902,

故〃的最大值為51.

故選：B.

二、多選題

9.下列命題為真命題的是()

A.復(fù)數(shù)-2-i的虛部為-i

B.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)-2-i的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限

C.若i為虛數(shù)單位,n為正整數(shù)，則=1

D.若|z|Vl,則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z的集合確定的圖形面積為兀

【答案】CD

【分析】求得復(fù)數(shù)-2-i的虛部判斷選項A；

求得復(fù)數(shù)-2-i的共短復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限判斷選項B；

求得(旨，的值判斷選項C；

由|z|41求得z對應(yīng)的點的軌跡判斷選項D.

【詳解】選項A：復(fù)數(shù)-2-i的虛部為-1,故A錯誤；

選項B：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)-2-i的共規(guī)復(fù)數(shù)為-2+i,

-2+i對應(yīng)的點的坐標為(-2,1),(-2,1)位于第二象限，故B判斷錯誤；

,,1+i1+i>

選項C：fi±iY=f()()|=(即I』』，故C判斷正確；

選項D：設(shè)2=彳+",x,yeR,對應(yīng)的點的坐標為Z(x,y),由忖=+y?4［得/十丁41,所以

Z(x,y)在以原點為圓心1為半徑的圓內(nèi)(含圓周)，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點Z的集合確定的圖形面積

為冗，故D判斷正確.

故選：CD

10.下列說法中正確的是()

A.已知數(shù)據(jù)X：外,》2,數(shù)據(jù)y：4.r,-l,4x,-l,4x?-l,則數(shù)據(jù)y的方差是數(shù)據(jù)X方

差的4倍

B.若隨機變量J~N(3,〃)，且。(4>7)=0.21,則P(-l<J<7)=0.58

A表示“第一次抽到的是紅球”，事件8表示“摸得的兩球同色”，則P(B|4)=g

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量其線性回歸方程為y=3x-4,若一個樣本點為(m,2),則實數(shù)

m=2

【答案】BC

【分析】選項A利用方差的性質(zhì)計算即可，利用標準正態(tài)分布對稱性求解即可，選項C利用條件概

率公式計算即可，選項D由變量相關(guān)性即線性回歸方程性質(zhì)可知，樣本點不一定在線性回歸直線方

程上判斷即可.

【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)X：4占，…，毛，的方差為o(x),

由方程的性質(zhì)可得：

數(shù)據(jù)y：4X,-1,4X2-1,4x?-l,的方差為：D(y)=D(4X-l)=16D(X),

所以數(shù)據(jù)y的方差是數(shù)據(jù)X方差的16倍，

故選項A不正確；

由尸（-1<“7）=1-P（"-1）-P4>7）,

又因為隨機變量滿足4~N（3Q2）,由對稱性及P（4>7）=0.21可得:

P（^<-l）=P（^>7）=0.21,

所以P（-1<“7）=1-0.21-0.21=0.58,

故選項B正確，

由題意得：「⑷咯弓尸（陰=第二

y/c7c6/

故C正確；

由變量相關(guān)性即線性回歸方程性質(zhì)可知，

樣本點不一定在線性回歸直線方程上，有可能分布在回歸直線的附近，

所以y=2時，m不一定是2,

故D選項不正確，

故選：BC.

11.在邊長為2正六邊形ABQ9EF中，G是線段A8上一點，AG=X48,則下列說法正確的有（）

A.若4=1,則EG=-LAB-2AF

22

B.若向量CO在向量48上的投影向量是則〃=g

C.若P為正六邊形A8CDE廠內(nèi)一點（包含端點），則ARAB的取值范圍是[-2,6]

D.若CGC后=1，則2的值為:

【答案】AC

UUUI

【分析】由向量線性運算可利用AB,AF表示出EG，知A正確；由投影向量定義可求得向量CQ在AB

上的投影向量為-JAB,知B錯誤；以A為坐標原點建立平面直角坐標系，設(shè)尸（〃?,〃）（-14加43）,

利用向量數(shù)量積的坐標運算可知C正確；設(shè)G（/,0）（0"<2）,根據(jù)CG-CE=1可求得，的值，進而

得到AG=?AB,知D錯誤.

6

【詳解】對于A,若X=則G為A3中點，

EG-EF+FA+AG=EB+BF-AF+-AB=2FA+AF-AB-AF+-AB=--AB-2AF,A正確；

222

乃

對于B,由正六邊形的性質(zhì)知向量C。與AB的夾角為2胃，

ICDICOS—.1

則向量CQ在AB上的投影向量為?,3，〃=-：，B錯誤；

網(wǎng)22

對于C,以A為坐標原點，正方向為兌卜軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，

UIU

則4(0,0),8(2,0),設(shè)加43),AP=(見〃)，AB=(2,0),

:.AP-AB=2me[-2,6],C正確；

對于D,由題意知：網(wǎng)0,26)，C(3,⑹，罰=(2,0),

設(shè)G(f,0)(04142),；,CE=b3,G),CG=("3,-G),

5/5、uuu

；.CGCE=—3("3)—3=1,解得：t=~,.-.AG=I-,0l,AB=(2,0),

AG=-AB,即;1=3,D錯誤.

66

故選：AC.

12.設(shè)定義在R上的函數(shù)〃x)與g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為尸(x)和g，(x),若g(x)-〃3-x)=2,

r(x)=/(x_l),且g(x+2)為奇函數(shù)，g(l)=l,則()

A.g(—l)=g(3)B.〃2)+〃4)=Y

2022

C.g(2022)=lD.￡/(%)=-4043

k=\

【答案】ABD

【分析】根據(jù)r(x)=g'(x-l)逆向思維得到f(x)+a=g(x-\)+b,代入析x)=g(3—力+2推出g(x)

的對稱軸x=\,即可判斷A選項；根據(jù)g(x+2)為奇函數(shù)推出對稱中心(2,0),進一步得出

g(x+2)=-g(x),即g(x)的周期為4,即可判斷C選項；由〃x)=g(3-力-2是由g(x)的圖像變

換而來，所以/(x)的周期也為4,進而判斷B選項；再算出x=l,2,3,4時的函數(shù)值以及一個周期內(nèi)

的值即可求解，判斷D選項.

【詳解】因為，'(x)=g'(x-l),所以“x)+a=g(x-l)+).

因為g(x)—"3—x)=2,所以g(x)=〃3-x)+2,

用3—x去替x,所以/(x)=g(3—x)—2,所以g(3-x)-2+a=g(x-l)+6.

因為g(l)=l，取*=2代入得到g(l)—2+a=g(l)+b,得a-2=b,

所以g(3-x)=g(x-l),所以g(2-x)=g(x),

所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，所以g(-l)=g(3),故A正確；

因為g(x+2)為奇函數(shù)，則g(x+2)過(0,0),圖像向右移動兩個單位得到g(x)過(2,0),故g(x)圖像

關(guān)于(2,0)對稱，g(2)=0,所以g(x+2)=-g(—x+2),且g(2)=0.

因為g(2—x)=g(x),所以g(x+2)=—g(x),則g(x)的周期T=4,

所以g(2022)=g(2)=0,故C錯誤;

因為〃x)=g(3-x)-2,〃x+4)=g(3—x—4)-2=g(3-力一2=〃力，所以〃x)的周期也為4,

所以〃2)=g⑴-2=7,/(4)=g(-l)-2=.?(3)-2=-g(l)-2=-3,

所以〃2)+〃4)=Y,故B正確；

因為f(l)=g(2)-2=-2,〃2)=g⑴一2=-1,/(3)=g(0)-2=-2,/(4)=-3,

2020

所以￡/任)=/(1)+/(2)+…+/(2022)=505x(-8)+/⑴+〃2)=-4043,故D正確.

k=l

故選：ABD.

三、填空題

13?點在拋物線看，加(機*0)上，則拋物線的準線方程是.

【答案】y=-i

【分析】將點(-；，機2)的坐標代入拋物線方程，求出實數(shù)，〃的值，可求得該拋物線的準線方程.

【詳解】因為點在拋物線＞=蛆2(“K。)上，則〃加wO,故膽=；,

所以，拋物線標準方程為f=4＞，故該拋物線的準線方程為y=-L

故答案為：》=-1.

14.函數(shù)y=cos(2x-1)在0卷上的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】.

0

【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

7T717r

【詳解】由題意知，—TC+2EW2X—42klt,kwZ,解得：---fEWxW:+E,k￡Z,

336

TTIT

又因為xe[O，m，所以04x42.

2o

所以y=cos（2x-三）在[0百上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,3.

326

故答案為:[0百7T.

O

15.共有6名志愿者要到A3,C三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少

安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社區(qū)，則不同的安排方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】210

【分析】先選出2名志愿者去A社區(qū)，再把剩下的4名志愿者分成兩組，分配到其他兩個社區(qū)，根

據(jù)排列組合的方法計算即可.

【詳解】先選出2名志愿者去A社區(qū)，有。：=笠=15種方法，

再把剩下的4名志愿者分成兩組，可以按照1、3和2、2來分，并分配到其他兩個社區(qū)，

有卜：《+霎金

4+gx2=14種方法,

\八27

所以共有15x14=210種方法,

故答案為：210.

16.已知..ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊a,b,c依次成等比數(shù)列，且b=2,cos（A-C）=g+cosB,

點T為線段AB（含端點）上的動點，若滿足T81C+產(chǎn)t=0的點T恰好有2個，則實數(shù)r的取值

范圍

l，oU1.1+&、

【答案】

F，

【分析】由三角恒等變換與等比中項的性質(zhì)可得.ABC為等邊三角形，設(shè)3C中點用，則

TB-TC=TM、l'由題意若滿足TB-TC+/-r=0的點T恰好有2個，即需要曰<|7例|41,故

3）

-<-/2+r+l<l,求解即可

4

【詳解】由cos（A-C）=；-cos（A+C）=>cosAcosC=；,

又由/=QC=sin2B=sinAsinC,

所以cosAcosC-sinAsinC=；-sin?B=^>cos（A+C）=--sin2B,

??-cosB=一-cos2B）,

4

13

cosB=_,cosB=——（舍）

22

?MV

從而cos（A—C）=l,

A=C,

即為等邊三角形.

設(shè)BC中點M,則rB=rM+MB,TC=7M-M8,

TBTC=（TM+MB）（TM-MB）=TM?-1,

由題意若滿足7B.TC+/T=0的點T恰好有2個，即需要曰

實數(shù)f的取值范圍為

故答案為:

【點睛】

四、解答題

17.已知橢圓氏*/1（〃＞匕＞0）的離心率為冬且過點叩的.

（1）求橢圓E的方程;

（2）若直線〃，過橢圓E的右焦點和上頂點，直線/過點加（2,1）且與直線加與橢圓E交于A,B兩點,

求的長度.

Y22

【答案】⑴j+夫V=1

168

⑵嶇

3

【分析】（1）由待定系數(shù)法求橢圓方程.

(2)運用韋達定理及弦長公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)由題意知，e=手，所以。=岳，b=c,設(shè)橢圓E的方程為￡+￡=1.

將點尸(2,逐)的坐標代入得：尸=8,a2=16,所以橢圓E的方程為二+.=1.

168

(2)由(1)知，橢圓E的右焦點為(2&,0),上頂點為(0,2&),所以直線〃7斜率為4=義］=

-2V2

由因為直線/與直線機平行，所以直線/的斜率為-1,

所以直線/的方程為y_l=_(x_2),即x+y—3=0,

聯(lián)立J168,可得3f-12x+2=0,

y=r+3

2

A=120>0,A+々=4,%|X2=—,

所以I=>/1+&21(5+*2)2_4占了=Jl+(-l)2X

18.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為s,，且$6=853，%,=2q+3,“wN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若仇=3",令￡,=%也,求數(shù)列｛%｝的前〃項和乙

【答案】(lM=2〃-3(〃eN*)

(2)￡=(“_2>3向+6

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為“，根據(jù)條件列方程組求解4，",寫出通項公式;

(2)使用錯位相減求和.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為“，則由$6=8&,%,=24+3,〃eN*,

,J6q+15d=8(3q+3d)

可行jq+(2n-l)</=2q+2(〃-1)4+3'

因此4,=2"-3(〃eN*).

(2)由(1)知c.=(2〃-3>3",

7；=-1X3+1X32+3X33+.+(2〃-3>3”①,

37；=-1X32+1X33+3X34++(2〃-3>3川②,

①一②得-27；=—1x3+202+33+3，++3")-(2n-3)-3n+l

=-12-(2n-4)-31,+l,

.?.7；=（〃—2>3”"+6.

222

19.已知ABC中的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S^ABC=^-（a-b-c）.

（1）求角A的大小；

（2）若b=2,。為BC邊上一點，DAA.BA,且8。=4￡心，求cosC.

2

【答案】（1）A=§兀

⑵短

7

【分析】（1）運用三角形面積公式及余弦定理化簡求解即可.

（2）運用正弦定理求得c的值，運用余弦定理可求得a的值，進而求得cosC的值.

【詳解】（1）因為S&JBC=中（“2,所以g〃csin4=—乎（26。8$A）,BPsinA=_73cosA,

2

所以tanA=-6,又4?0,兀），所以4=§兀.

（2）由（1）可知4=2兀，所以/C4￡>=2兀-四=2,

3326

XZADB+ZADC=n,所以sin/4￡>B=sin/4OC,

CD_2BD_c

根據(jù)正弦定理，在4CAD中，.71-sinZADC，在^BAD中，?兀-sinZADB,

sin—sin—

62

又BD=4DC,???c=4,

所以在△ABC中，由余弦定理可得/=b2+c2-2bccosA=4+16-2x2x4x1-g)=28,則〃=2嶼,

所以c°sC=*28+4-162手

2x277x2-7

20.我市為了解學(xué)生體育運動的時間長度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機調(diào)查了男、女

生各100名的平均每天體育運動時間，得到如下數(shù)據(jù)：

分鐘

(0,40](40,60](60,90](90,120]

性別

女生10404010

男生5254030

根據(jù)學(xué)生課余體育運動要求，平均每天體育運動時間在(60,120]內(nèi)認定為“合格”，否則被認定為“不

合格”，其中，平均每天體育運動時間在(90,120]內(nèi)認定為“良好”.

(1)完成下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，分析學(xué)生體育運動時間與性別因

素有無關(guān)聯(lián)；

不合格合格合計

女生

男生

合計

(2)從女生平均每天體育運動時間在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的100人中用分層抽樣的方

法抽取20人，再從這20人中隨機抽取2人，記X為2人中平均每天體育運動時間為“良好”的人數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)從全市學(xué)生中隨機抽取100人，其中平均每天體育運動時間為“良好”的人數(shù)設(shè)為記“平均每天

體育運動時間為‘良好’的人數(shù)為k”的概率為P(4=k),視頻率為概率，用樣本估計總體，求P(D

的表達式.

附：z2=-7~~_其中〃=a+6+c+”.

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有關(guān)聯(lián)

(2)分布列見解析，1

⑶PC=%)=Cfoox0.2?x0.8"g(04%4100/eN)

【分析】(1)由題意完成2x2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算/的值，與臨界值比較得到結(jié)論;

(2)抽取的20人中，女生平均每天運動時間在(0,40],(40,60]、(60,90],(90,120]的人數(shù)

分別為2人、8人、8人、2人，由題意知X的所有可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由

此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)平均每天運動時間在(90,120]的頻率為0.2,由題意可知】云(100,02),由此能求出尸&=左)

的表達式.

【詳解】(1)由題意可知，2x2列聯(lián)表如下表

不合格介格合計

女生5050100

男生3070100

合計80120200

零假設(shè)為性別與學(xué)生體育運動時間無關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到

22

2n(ad-bc)200(50x70-30x50)25

X=---------------------------------------=-----------------------------------=—?0333>/.o/9,

“(〃+8)(c+d)(〃+c)S+d)80x120x100x1003

根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，我們推斷“。不成立，即認為性別因素與學(xué)生體育運動時間有

關(guān)聯(lián).

(2)抽取的20人中,女生平均每天運動時間在(0,40],(40,60],(60,90],(90,120]的人數(shù)分別為

2人，8人，8人，2人，

X的所有可能取值為0,1,2,

騏=。)=警嚙，Pg)=警嗤2X3警=看

所以X的分布列為

X012

153181

P

19095190

所以數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x需[54+lx言1R+2x麗=不i

(3)平均每天運動時間在(90,120]的頻率為嚕2=0.2,

2XJ\J

由題意可知4~8(100,0.2),

所以P?=幻=x0.2*xo.8l(x)-*(O<A:<100,)1eN).

21.已知在長方形ABC。中，AD=2AB=2yf2,點E是A。的中點，沿BE折起平面ABE,使平面

平面58E.

（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，ABJ.AC；

（2）若在線段AC上存在點尸，使二面角A-BE-尸的余弦值為叵，求黑的值;

10AC

（3）在（2）的條件下，求點C到平面跳尸的距離.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）連接CE,根據(jù)結(jié)合幾何關(guān)系證明CEJ_BE,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明CEL平面

ABE,進而證明A3工平面A￡C即可；

（2）過A點作底邊8E的高，交8E于。點，取中點G,連接OG,再根據(jù)（1）得。G,平面ABE,

進而以。為原點，OB、OG、Q4為人》z軸正方向建立空間直角坐標系，利用坐標法求解即可；

（3）利用坐標法求解空間點到面的距離即可.

【詳解】（1）證明：連接CE.因為E是AO的中點，AD=2AB=2a,

所以AB=AE=VL

因為四邊形ABC。為長方形，

所以AD=BC=2血.

所以，在直角三角形4BE中，BE=4AB?+爪爐=J（75）2+（揚2=2,同理CE=2.

又BC=2&,

BE2+CE2=BC2,所以CE_L8E.

因為平面A8E1平面88E,平面A8EC平面BQ）E=BE,CEu平面8C0E,

所以CE_L平面AfiE,

因為45u平面ABE,所以ABACE.

又且AEICE=E,AE,CEu平面血，

所以平面A￡C,

因為4Cu平面4EC,所以A82AC.

（2）解：由（1）知一/腔和8EC均為等腰直角三角形，

過A點作底邊8E的高，交8E于。點，則。為5E中點，

取8c中點G,連接OG,則OG〃CE

由（1）CE_L平面ABE可知。G_L平面ABE,

所以，以。為原點，OB、OG、QA為"外z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

則A(O,O,1),8(1,0,0),C(-1,2,0),E(-l,0,0),

￡4=(1,0,1),AC=(-1,2,-1),

顯然平面AfiE的一個法向量為加=(0,1,0),

設(shè)AF=/IAC，則EF=E4+/lAC=(l-2,2；l,l-/l),又E8=(2,0,0),設(shè)平面BE尸的法向

量為〃=(x,y,z),

n?EF=0(1川+2仙+