銳角三角函數(shù)函數(shù)：2021-2023中考數(shù)學(xué)真題分項匯編（解析版）

三年（2021-2023）中考數(shù)學(xué)真題分項匯編【全國通用】

專題33銳角三角函數(shù)函數(shù)（優(yōu)選真題60道）

選擇題（共20小題）

1.(2022?天津)tan45°的值等于()

V3

A.2B.1C.這D.一

23

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值,進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：tan45°的值等于1,

故選：B.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?日照）日照燈塔是日照海濱港口城市的標(biāo)志性建筑之一，主要為日照近海及進(jìn)出日照港的船舶提

供導(dǎo)航服務(wù).數(shù)學(xué)小組的同學(xué)要測量燈塔的高度，如圖所示，在點8處測得燈塔最高點A的仰角

=45°,再沿3。方向前進(jìn)至C處測得最高點A的仰角NACD=60°,BC=15.3m,則燈塔的高度A。

大約是（）（結(jié)果精確到參考數(shù)據(jù)：V2-1.41,V3-1.73）

A.31mB.D.53m

【分析】根據(jù)題意可得：AD±BD,然后設(shè)CD=x/,貝l|8￡>=（x+15.3）m,在中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出AO的長，再在Rt^AC。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，從而列出關(guān)

于x的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：ADLBD,

設(shè)CD=xm,

'：BC=l5.3m,

.,.BD=BC+CD=(x+15.3)m,

在RtZXAB。中，ZABD=45°,

AD=BD?tan45°=(x+15.3)m,

在RtZkACO中，ZACZ)=60°,

/.AD=CD,tan60°=V3x（m）,

V3x=（x+15.3）,

解得：x^21.0,

/.AD=x+15.3^36（m）,

.??燈塔的高度AD大約是36m,

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?威海）常言道：失之毫厘，謬以千里.當(dāng)人們向太空發(fā)射火箭或者描述星際位置時，需要非常準(zhǔn)

確的數(shù)據(jù).1"的角真的很小.把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度數(shù)是1°?1°

=60,=3600".若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數(shù)就是1〃.太

陽到地球的平均距離大約為1.5X108千米.若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為1"的等腰三

角形底邊長為（）

A.24.24千米B.72.72千米C.242.4千米D.727.2千米

【分析】根據(jù)題意列方程求解即可.

【解答】解：設(shè)等腰三角形底邊長為尤毫米，由題意得，

11.5X108

4.848X'

解得X=7.272X1（）8,

7.272X108毫米=727.2千米，

故選：D.

【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，理解題意是正確解答的前提.

4.（2023?長春）學(xué)校開放日即將來臨，負(fù)責(zé)布置的林老師打算從學(xué)校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩A8到

地面，如圖所示.己知彩旗繩與地面形成25°角（即NA4C=25°）,彩旗繩固定在地面的位置與圖書

館相距32米（即AC=32米），則彩旗繩的長度為（

3232,

A.32sin25°米B.32cos25°米C.---------米D-G米

sm25°

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【解答】解：如圖，由題意得，AC=32"z,NA=25°,

在Rt^ABC中，

AC

AB'

._AC_=32

(%),

-cosA-cos2E>°

故選：D.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

5.（2023?深圳）爬坡時坡面與水平面夾角為a,則每爬1%耗能（1.025-cosa）J,若某人爬了lOOOw,該

坡角為30°,則他耗能（)(參考數(shù)據(jù)：V3?1.732,V2?1.414)

A.58JB.159JC.1025/D.1732J

【分析】根據(jù)題意可得：他耗能=1000X（1.025-COS300）,進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得:

某人爬了1000//7,該坡角為30°,則他耗能=1000X(1.025-cos30°)=1000X(1.025-空0-159

(J),

故選:B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成

的一個大正方形.若小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為a,則cosa

的值為（）

【分析】首先根據(jù)兩個正方形的面積分別求出兩個正方形的邊長，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形較

短的直角邊為則較長的直角邊為a+1,再利用勾股定理得到關(guān)于。的方程，解方程可求出直角三角形

的兩個個直角邊的邊長，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出cosa的值.

【解答】解：?.?小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,

.?.小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,

設(shè)直角三角形中較短的直角邊為a,則較長的直角邊是。+1,其中。＞0,

由勾股定理得：/+（a+i）2=52,

整理得：cr'+a-12=0

解得：ai=3,°2=-4（不合題意，舍去）.

。+1=4,

??COSOC=

故選：D.

【點評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握銳角三角

函數(shù)的定義，難點是設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊.

7.（2023?十堰）如圖所示，有一天橋高為5米，8C是通向天橋的斜坡，/ACB=45°,市政部門啟動

“陡改緩”工程，決定將斜坡的底端C延伸到。處，使/。=30。，則8的長度約為（）（參考數(shù)

據(jù)：V2?1.414,百~1.732）

C.3.55米D.3.66米

【分析】由NBAC=90°,ZACB=45°，得NACB=45°，則AC=A2=5米，由/胡。=90°，

ZD=30°，得/A8O=60°,則一=tan60°=V3,所以AD=V3AB,貝UCD=AD-AC=V3AB-AC

AB

心3.66米，于是得到問題的答案.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZBAC=90°,ZACB=45°,

ZABC=ZACB=45°,

：.AC^AB=5米，

在中，ZBAD=90°,ZD=30°,

/.ZAB￡>=60°,

AD「

—=tanXABD—tan60°=遮,

AB

：.AD=收AB,

：.CD=AD-AC=V3AB-AC?1.732X5-5P3.66(米)，

CO的長度約為3.66米，

故選：D.

【點評】此題重點考查直角三角形的兩個銳角互余、等腰直角三角形的判定、銳角三角函數(shù)與解直角三

角形等知識，推導(dǎo)出AD=WAB是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?杭州)第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如

圖，在由四個全等的直角三角形(△ZME,AABF,ABCG,△CDH)和中間一個小正方形EFG”拼成

的大正方形ABC。中，ZABF>ZBAF,連接8E.設(shè)NBAP=a,/BEF=0,若正方形跖GW與正方形

ABC。的面積之比為1：n,tana=tan2p,則〃=()

nA.5By.4C.3D.)

a(廣-)化簡可得

【分析】設(shè)A-，。/,貝！AF=b,解直角三角形可得12,(b-a)2=

b-a

ab,cr+b2=3ab,結(jié)合勾股定理及正方形的面積公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABC￡>=1:3,進(jìn)而可求解

w的值.

【解答】解：設(shè)DE=b,則AF=b,

tana=tan0=tana=tan2p,

CLCLn

［宣)，

(Z?-〃)2=〃/?,

a2+b2=3ab,

Q2+/72=AQ2=S正方形ABC7),(/?—a)2=S正方形EFGH,

S正方形EFG"：S正方形A3CD=4Z?：3〃8=1:3,

S正方形EFGH:S正方形A3C￡)=1:"，

n=3.

故選：C.

【點評】本題主要考查勾股定理的證明，解直角三角形的應(yīng)用，利用解直角三角形求得（…）2=ab,

cr+b^—iab是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從A處出發(fā)向正東方向走尤米到達(dá)8處，再向正北方向走到C處，已知/

BAC=a,則A,C兩處相距（）

xX

A.------米B.------米C.x?sina米D.尤?cosa米

sinacosa

【分析】根據(jù)題意可得：BC±AB,然后在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，即可解

答.

【解答】解：由題意得：BC.LAB,

在Rt"8C中，ZCAB=a,A8=x米，

???心堞=康（米

X

：.A,C兩處相距——米,

cosa

故選：B.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?自貢）如圖，分別經(jīng)過原點。和點A（4,0）的動直線a,b夾角NOBA=30°,點M是。8中

點，連接AM,則sinN。4M的最大值是（）

b

【分析】作△AOB的外接圓。7,連接OT,TA,TB,取。7的中點K,連接KM.證明長/=3^=2,

推出點〃在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)AM與OK相切時，4M的值最大，此時sin/。4M

的值最大.

【解答】解：作△AO8的外接圓OT,連接。7,TA,TB,取。7的中點K,連接KM.

VZATO=2ZABO=60°,TO=TA,

.?.△OAT是等邊三角形，

VA(4,0),

：.TO^TA=TB=4,

,：0K=KT,OM^MB,

1

：.KM=^TB=2,

???點M在以K為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，

當(dāng)AM與OK相切時，NO4M的值最大，此時sinNOAM的值最大,

窗是等邊三角形，OK=KT,

：.AK±OTf

：.AK=y/OA2-OK2=V42-22=2A/3,

「AM是切線，KM是半徑，

：.AM±KMf

：.AM=y/AK2-MK2=J(2V3)2-22=2也

過點M作八〃_LOA于點LKRLOA于點R,MP_LRK于點尸.

*：ZPML=ZAMK=90°,

：.ZPMK=ZLMA,

VZP=ZMLA=90°,

:?△MPKsXMLA,

tMPPKMK___2_____1_

ML~AL~AM~2V2—V2?

設(shè)PK=x,PM=y,則有刈=何，AL=岳,

y/2y=V3+x①，y=3—yj2x,

&ZJ4S3y/2—3+^/6

解傳，x=----3—，y=—1

3V2+2V3

ML=y[2y=

3'

3^+2門

3+乃

-^OAM=AM=-^T~6~

故選:A.

【點評】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外接圓，三角形中位線定理等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

11.（2022?金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱圖形.已知8c=6加，ZABC=a,則房頂A

離地面EF的高度為（）

R3

C

A.(4+3sina)mB.(4+3tana)m-(4+痂)加D.(4+』)m

【分析】過點A作A。_LBC于點。，利用直角三角形的邊角關(guān)系定理求得A。,.用AO+BE即可表示出

房頂A離地面EE的高度.

【解答】解：過點A作AOL8C于點。，如圖,

EF

.它是一個軸對稱圖形，

：.AB=AC,

\'AD1BC,

1

:,BD=/C=3根，

在Rt/XAOB中，

An

；tan/ABC=第，

/.AD=BD?tana=3tana機(jī).

；?房頂A離地面EP的高度=AD+2E=（4+3tana）m,

故選：B.

【點評】本題主要考查了解直角三角形的意義，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，利用直角三角

形的邊角關(guān)系定理求得4。的長是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB

與CD相交于點P,則cosZAPC的值為（）

【分析】把AB向上平移一個單位到連接“，則由勾股定理逆定理可以證明△OCE為

直角三角形，所以sin/APC=sin/EZ）C即可得答案.

【解答】解：把AB向上平移一個單位到?！?連接CE,如圖.

貝ijDE//AB,

：./APC=NEDC.

在△DCE中，有EC=02+1=而,DC=V42+22=2A/5,DE=V32+42=5,

,.?EC2+r>C2=D￡2,

故△DCE為直角三角形，ZDCE=9Q°.

DC_275

cosZAPC=cosZEDC=DE=~'

【點評】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵.

13.（2022?隨州）如圖，已知點8D,C在同一直線的水平地面上，在點。處測得建筑物A3的頂端A的

仰角為a，在點。處測得建筑物A3的頂端A的仰角為0,若CD=a,則建筑物A5的高度為（）

aa

tana-tan^tanp-tana

atanatan^atanatan0

tana-tan^tan^-tana

【分析】設(shè)A8=x,在Rt/XABD中，tan0=第=焉，可得^貝九BC=BQ+CO=a+雋在

RtAABC中，tana=禁=—與二，求解無即可.

BC。+砌

【解答】解：設(shè)

在中，tan0=第=焉,

品，

Y

：.BC=BD+CD=a+^^,

在Rt&WC中，tana=￡=工

BCa+砌

內(nèi)刀彳曰_atanatanp

牛寸tanp—tana

故選：D.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關(guān)

鍵.

14.（2022?黔東南州）如圖，PA.尸3分別與OO相切于點A、B,連接尸。并延長與交于點C、D,若

CD=12,陰=8,貝!JsinNAOB的值為()

4334

A.-B.-C.一D.-

5543

【分析】連接AO,BO,根據(jù)切線長定理,圓周角定理，銳角三角函數(shù)解答即可.

【解答】解連接AO,BO,

尸5分別與。0相切于點A、B,

：.ZPAO=ZPBO=90°,B4=PB=8,

VDC=12,

：.AO=6,

：.OP=10,

在RtAB4O和RtAPBO中,

PA=PB

PO=PO'

.,.RtAB4O^RtAPBO(HL),

ZAOP=ZBOP9

：.AC=BC,

???NADC=/BDC,

ZA0C=2ZADC,

：.ZADB=ZAOC,

ADA

???sinZADB=sinZAOC=法=￡

【點評】本題主要考查了切線長定理，圓周角定理，三角函數(shù)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

15.（2022?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形Q48C的頂點8的坐標(biāo)為（10,4）,四邊形A8EF

是菱形，且tanZABE=若直線/把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，

315

A.y=3xB.y=—彳式+2C.y=-21+11D.y=-2x+12

【分析】分別求出矩形042C和菱形AB斯的中心的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求經(jīng)過兩中心的直線即可得

出結(jié)論.

【解答】解：連接08,AC,它們交于點M,連接AE,BF,它們交于點N,

則直線MN為符合條件的直線I,如圖，

y

?..四邊形0ABe是矩形，

：8的坐標(biāo)為(10,4),

：.M(5,2),AB=10,BC=4.

?.?四邊形43所為菱形，

BE=AB=10.

過點E作EGLA8于點G,

在RtABEG中，

4

VtanZABE=寸

.EG_4

??—―,

BG3

設(shè)EG=4左，則8G=3%,

：.BE=yjEG2+BG2=5k,

：.5k=W,

：.k=2,

:.EG=8,BG=6,

：.AG=4.

：.E(4,12).

的坐標(biāo)為(10,4),AB〃x軸,

/.A(0,4).

;點N為AE的中點，

：.N(2,8).

設(shè)直線/的解析式為y=G+b,

.f5a+b=2

??(2。+b=8

解得：=

lb-12

直線l的解析式為y=-2x+12,

故選：D.

【點評】本題主要考查了矩形和菱形的性質(zhì)，中點坐標(biāo)的特征，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用待定

系數(shù)法確定函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

16.（2022?樂山）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=遮，點。是AC上一點，連結(jié)BD若tan/A=±,

1

tanZABD=j,則CD的長為（）

【分析】過。點作。ELAB于E,由銳角三角函數(shù)的定義可得5￡>E=AB,再解直角三角形可求得AC的

長，利用勾股定理可求解AB的長，進(jìn)而求解的長.

【解答】解：過。點作DELAB于E,

2DE+3DE=5DE=AB,

-1

在Rt"BC中，tanZA=BC=V5,

.BCV51

"AC~AC~2

解得AC=2V5,

：.AB=yjAC2+BC2=5,

：.DE^1,

：.AE=2,

.".AD=y/AE2+DE2—Vl2+22=V5,

CD=AC-AD=V5,

故選：C.

【點評】本題主要考查解直角三角形，勾股定理，構(gòu)造適當(dāng)?shù)闹苯侨切问墙忸}的關(guān)鍵.

17.（2022?濟(jì)南）數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑的高度.如圖，他們在地面上C點測得最高點

A的仰角為22°,再向前70機(jī)至。點，又測得最高點A的仰角為58°,點C,D,B在同一直線上，則

該建筑物AB的高度約為（）

（精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin22°七0.37,tan22°-0.40,sin58°心0.85,tan58°^1.60）

【分析】根據(jù)題意得到A2LBC,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】解:由題意可知：AB±BC,

在中，ZB=90°,ZADB=58°,

*.*tanNADS=tan58°=前,

.小八ABAB..

??但說而“而（M，

在RtZkAC5中，ZB=90°,ZC=22°,

?：CD=70m,

：.BC=CD+BD=（70+^）m,

Af>

：.AB=BCXtanC^（70+黑）X0.40（m）,

解得:ABWIm,

答：該建筑物AB的高度約為37〃z.

故選：C.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是借助仰角關(guān)系結(jié)合圖形利用三

角函數(shù)解直角三角形.

18.（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=5,BC=3,將沿3。折疊到△BED位置，DE

交A8于點F,則cosZADF的值為（）

【分析】利用矩形和折疊的性質(zhì)可得8歹=OR設(shè)BF=x,則。尸=x,AF=5-x,在尸中利用勾

股定理列方程，即可求出x的值，進(jìn)而可得cos/ADF.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

；.NA=90°,AB//CD,4O=BC=3,AB=CD=5,

；./BDC=/DBF,

由折疊的性質(zhì)可得NBOC=NBDF,

:./BDF=NDBF,

：.BF=DF,

設(shè)BF—x,貝UDF—x,AF—5-尤，

在RtZXADA中,32+（5-x）2=xi,

?..x—_虧17，

315

cosXADF=F=F，

T

故選：C.

【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)、解直角三角形、折疊的性質(zhì)、勾股定理等，解題關(guān)鍵是利用矩形和

折疊的性質(zhì)得到DF=BF.

19.（2022?貴港）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°,在

點B處測得樹頂C的仰角為60°,且A,8,。三點在同一直線上，若48=16",則這棵樹CD的高度

是（)

c

A.8(3-V3)mB.8(3+V3)mC.6(3-V3)mD.6(3+V3)m

【分析】設(shè)AO=x米，貝1」8。=(16-x)米，在Rt^AOC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CO的長,

然后在RtZ\C￡>B中，利用銳角三角函數(shù)列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：設(shè)AO=x米，

：AB=16米,

J.BD^AB-AD^（16-尤）米，

在Rt^AOC中，ZA=45°,

CD=A￡>>tan45o—x（米），

在RtZXCDB中，ZB=60°,

.?.tan60。=器=備=遍'

?\x=24-8V3,

經(jīng)檢驗：％=24-88是原方程的根，

.,.CZ)=24-8V3=8(3-V3))米，

???這棵樹CQ的高度是8(3-V3)米，

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

20.(2022?荊州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,8分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點。在03上，

OC：BC=1：2,連接AC,過點。作。尸〃AB交AC的延長線于P.若尸(1,1),則tanNOAP的值是

1

C.D.3

3

【分析】根據(jù)。尸〃AB,證明出△OCPS^BCA,得到CP：AC=OC：BC=1：2,過點P作PQJ_x軸于

點Q,根據(jù)/AOC=NA。尸=90°,得到CO//PQ,根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO=CP

AC=1：2,根據(jù)尸（1,1）,得到PQ=OQ=1,得到AO=2,根據(jù)正切的定義即可得到tan/OAP的值.

【解答】解：如圖，過點尸作軸于點。，

'JOP//AB,

:.△OCPsXBCb,

：.CP-.AC^OC：BC=1：2,

VZAOC=ZAQP=90°,

J.CO//PQ,

：.OQ-.AO^CP：AC=1：2,

,：P（1,1）,

：.PQ=OQ=\,

；.AO=2,

=

?e?tanNOAP05.

■Z1QZi-L3

故選：c.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)平行線分線段成比例定理得

至[]0。：AO=CP：AC=1：2是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共25小題）

21.（2023?泰安）在一次綜合實踐活動中，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組對一電視發(fā)射塔的高度進(jìn)行了測量.如圖，

在塔前C處，測得該塔頂端8的仰角為50°,后退60根（CD=60優(yōu)）到。處有一平臺，在高2機(jī)（DE

=2優(yōu)）的平臺上的E處，測得B的仰角為26.6°.則該電視發(fā)射塔的高度A8為55m.（精確到1m.參

考數(shù)據(jù)：tan50°^1.2,tan26.6°仁0.5）

B

【分析】過點E作EPLAB,垂足為R根據(jù)題意可得：AF=DE=2m,EF=AD,BA±DA,然后設(shè)AC

=xm,貝i]EF=A￡)=(x+60)m,在RtZXABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，再在RtZ\FBE

中，利用銳角二角函數(shù)的定義求出8斤的長，從而求出AB的長，最后列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可

解答.

【解答】解：過點E作EFLAB,垂足為尸,

由題意得：AF=DE=2m,EF=AD,BA±DA,

設(shè)AC=xm,

；CD=60m,

：.EF^AD=AC+CD^(尤+60)m,

在Rt^ABC中，ZBCA=50°,

.■.AB=AC,tan50°^1.2x(m),

在Rt△產(chǎn)BE中，NBEF=266°,

.,.BF=￡F?tan26.6°^0.5(x+60)m,

：.AB=BF+AF^[2+0.5(x+60)]m,

.*.1.2x=2+0.5(x+60),

解得：x=等，

.\AB=1.2x^55(m),

該電視發(fā)射塔的圖度AB約為55m,

故答案為：55.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

22.(2023?牡丹江)如圖，將45°的NAOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點。與尺下沿的端點重

合，OA與尺下沿重合，OB與尺上沿的交點B在尺上的讀數(shù)恰為2cm,若按相同的方式將22.5°的/AOC

放置在該刻度尺上，則0C與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為(2V2+2)—cm.

0A

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到夜5，由平行線的性質(zhì)推出3c=08,即可求出

C。長，得到OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù).

【解答】解：VZAOB=45°,NAOC=22.5°,

：.ZBOC=ZAOC,

'：BC//OA,

J.ZBCO^ZAOC,

：.ZBCO=ZBOC,

:.BC=0B,

???△ODB是等腰直角三角形，

0B='JlBD—l'Jl.cm,

/.CD—BC+BD—(2>/2+2)cm.

；.OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)為(2V2+2)cm.

故答案為：(2V2+2).

0A

【點評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)，推出8c

=OB,即可解決問題

23.(2023?赤峰)為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某鄉(xiāng)對A地和B地之間的一處垃圾填埋場進(jìn)行改造，

把原來A地去往8地需要繞行到C地的路線，改造成可以直線通行的公路A8.如圖，經(jīng)勘測，AC=6

千米，ZCAB=60°,NCBA=37°,則改造后公路AB的長是9.9千米（精確到0.1千米；參考數(shù)

據(jù)：sin37°^0.60,cos37°仁0.80,tan37°心0.75,g=1.73）.

【分析】過點C作C￡），A8于點D,在RtAADC中利用/CA8的余弦函數(shù)求出AD,利用ZCAB的正弦

函數(shù)求出CD,然后再RtABCZ）中利用ZCBA正切函數(shù)求出DB,進(jìn)而可得出答案.

【解答】解：過點C作COLAB于點D,

Anrn

在RtZXAOC中，AC=6,ZCAB=60°,cosZCAB=s譏/CAB=%，

/.AD^AC-cosZCAB=6cos60°=3（千米），CD-ACsin^CAB=6sin60°=3百（千米），

rr\

在RtACDB中，/CBA=31°,CD=3A/3,tanBA=第，

：.DB=7=-3^-?=4V3（千米），

tanZ-CBAtan370.75

：.AB=AD+DB=3+4433+4X1.73?9.9（千米）.

答:改造后公路AB的長是9.9千米.

故答案為：9.9.

【點評】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難

點是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形.

24.（2023?武漢）如圖，將45°的N49B按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點。與尺下沿的端點重合，

與尺下沿重合，0B與尺上沿的交點8在尺上的讀數(shù)為2c7",若按相同的方式將37°的/AOC放置

在該刻度尺上，則。C與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是2.7cm（結(jié)果精確到0.1c〃z,參考數(shù)據(jù)sin37°

心0.60,cos37°-0.80,tan37°心0.75)

【分析】過點8作BDLOA于。，過點C作CELOA于E,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CE=2,再

通過解直角三角形可求得?！甑拈L，進(jìn)而可求解.

【解答】解:過點B作BDLOA于D,過點C作CE±OA于E,

CE=BD=2cm,

在△OCE中，/COE=31°,NCEO=90°,

CF

.\tan37°=浣;=0.75,

OE—2.1cm,

即OC與尺上沿的交點C在尺上的讀數(shù)是2.7cm.

故答案為：2.7cm.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

25.（2023?濟(jì)寧）某數(shù)學(xué)活動小組要測量一建筑物的高度，如圖，他們在建筑物前的平地上選擇一點A,在

點A和建筑物之間選擇一點3,測得AB=30"z,用高l〃z（AC=l相）的測角儀在A處測得建筑物頂部E

的仰角為30°,在8處測得仰角為60°,則該建筑物的高是（154+1）%.

【分析】延長C￡）交所與點G,根據(jù)題意可得：DB=AC=FG=lm,CGLEF,DC=AB^3Qm,ZEDG

=60°,NECG=30°,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得/。石。=/￡8=30°,從而可得ED=CD=

30%，最后在RtA￡GZ）中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EG的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算,

即可解答.

【解答】解：如圖：延長CD交所于點G,

由題意得：DB=AC=FG=\m,CGLEF,DC=AB=30m,/EDG=60°,ZECG=30°,

ZEDG是△即C的一個外角，

/DEC=ZEDG-NECG=30°,

:.NDEC=/ECD=30°,

ED=CD-30m,

F5

在RtAEGO中，EG=￡￡）?sin60°=30x^=158（m）,

：.EF=EG+FG=（15V3+1）m,

.??該建筑物的高是（15V3+1）m,

故答案為：（15W+1）m.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?廣西）如圖，焊接一個鋼架，包括底角為37。的等腰三角形外框和3m高的支柱，則共需鋼材

約21m（結(jié)果取整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°"0.60,cos37°仁0.80,tan37°仁0.75）

c

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得然后在Rt^AC。中，利用銳角三角函數(shù)

的定義求出AC,A。的長，從而求出A8的長，最后進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：：CA=CB,CD1AB,

：.AD^BD=

在RtZ\ACO中，ZCA￡)=37°,CD=3m,

cn3CD3

???AC=^^"旃=5(M,AD=T^^^=4(M,

CA—CB^5m,AB=2A￡)=8(m),

.?.共需鋼材約=&。+。2+42+0)=5+5+8+3=21(m),

故答案為：21.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及等

腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

27.(2023?岳陽)2023年岳陽舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事.如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在A處

用儀器測得賽場一宣傳氣球頂部E處的仰角為21.8°,儀器與氣球的水平距離BC為20米，且距地面高

度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度EC是9.5米(結(jié)果精確到0.1米,sin21面^0.3714,cos21.8°

"0.9285,tan21.8°心0.4000).

【分析】由題意得，四邊形ABC。是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到8=15”，AD=BC^2Qm,解直

角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：由題意得，四邊形ABC。是矩形,

.'.AB^CD—1.5m,AD—BC—20m,

在Rt^AQE中，

VAD=BC=20m,ZEA￡>=21.8°,

?,.DE=AZ)?tan21.8o^20X0.4000=8(m),

；.CE=Cr）+r）E=1.5+8=9.5（m）,

答：氣球頂部離地面的高度EC是95”.

故答案為：9.5.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，矩形的性質(zhì)，正確地仰角的定義是解題的關(guān)

鍵.

28.（2023?荊州）如圖，無人機(jī)在空中A處測得某校旗桿頂部B的仰角為30°,底部C的俯角為60°,無

人機(jī)與旗桿的水平距離為6加，則該校的旗桿高約為13.8m.（V3?1.73,結(jié)果精確到0.1）

【分析】分別利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出2。，0c的長，進(jìn)而求出該旗桿的高度.

【解答】解：由題意可得：tan30。=器=半=字，

解得：BD=2W（米），

oCDCD后

tan6A0n=而=-g-=V3,

解得：DC=6陋（米），

故該校的旗桿高約為：BC=BD+DC=SV3?13.8（米），

故答案為：13.8.

【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

29.（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點4（1,0）,點8（0,-3）,點C在x軸上，且點C

在點4右方，連接AS,BC,若tan/ABC=j則點C的坐標(biāo)為（一,0）.

J

【分析】設(shè)C(a,O),結(jié)合A,8兩點的坐標(biāo)利用兩點間的距離可得。4=1，AC=a-1,0B=3,BC=y/a2+9,

通過解直角三角形可得NOBA=/ABC,過C點作CO〃y軸交BA的延長線于點D,利用平行線的性質(zhì)

可得4。晟4s△CD4,/ABC=/D,列比例式再代入計算可求解a值，進(jìn)而可求解.

【解答】解：設(shè)C(a,0),

***OC=ci9

???點A(1,0),點5(0,-3),

/.OA=1,AC=a-1,03=3,BC=V32+a2=Va2+9,

(IAii

在RtZ\O43中，tanN08A=gg=芯tanZABC=

：.ZOBA=ZABC,

過C點作CD//y軸交BA的延長線于點D,

：.ZOBA=ZD,ZAOB=ZACD,

.,.△OBA^ACDA,ZABC=ZD,

OBOA

CD=BC,

CDCA

OBOA

BC~AC

31

Va2+9a-1

解得〃=0(舍去)或〃=

9

：.C(-,0),

4

9

故答案為：(：，0).

4

D

【點評】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性

質(zhì)，兩點間的距離等知識的綜合運(yùn)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

30.（2023?湖北）綜合實踐課上，航模小組用航拍無人機(jī)進(jìn)行測高實踐.如圖，無人機(jī)從地面C。的中點A

處豎直上升30米到達(dá)2處，測得博雅樓頂部E的俯角為45°,尚美樓頂部尸的俯角為30°,已知博雅

樓高度CE為15米，則尚美樓高度￡＞尸為（30-5百）米.（結(jié)果保留根號）

B

45°30°

尚

美

樓

【分析】過點E作EM,過點8的水平線于過點F作FN,過點8的水平線于N,先求出EN的長,

在中求出的長，然后求出BN的長，在RtZkFBN中求出WV的長，即可求出OF的長.

【解答】解：如圖，過點E作過點B的水平線于M,過點F作可，過點B的水平線于N,

B

-;N

M：45°30°

尚

博

美

雅

樓

樓

CAD

由題意可知CM=DN=AB=30米,

又；CE=15米，

：.EM=15米，

在RtZiEBM中，ZEBM=45°,

：.BM=EM=15米，

又是CD的中點,

?.BN=AD=AC=BM=15米，

在RtZkBFN中，tan/FBN=需,

，：/FBN=30°,8N=15米，

.FNV3

??=,

153

:.FN=5b米，

；.DF=（30-5V3）米.

故答案為：（30-5舊）.

【點評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，深入理解題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問

題是解決問題的關(guān)鍵.

31.（2023?棗莊）如圖所示，桔棒是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，

末端懸掛一重物，前端懸掛水桶.當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕

易把水提升至所需處，若已知：杠桿A8=6米，AO：OB=2：1,支架。M_LEROM=3米，A8可以

繞著點0自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置時NAOM=45°,此時點B到水平