2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選擇題、填空題）（理）

專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選擇題、填空題）（理）

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：切線問題

知識(shí)點(diǎn)2:單調(diào)性、極最值問題

知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：切線問題

1.（2021?新高考I）若過點(diǎn)32）可以作曲線y=e*的兩條切線，貝U（）

A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea

2.（2022?新高考I）若曲線y=（x+a）e，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則〃的取值范圍是.

3.（2022?新高考H）曲線y=/〃|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為.

4.（2021?新高考H）已知函數(shù)/（x）=|e'-l|,占<0,馬>0,函數(shù)/（力的圖象在點(diǎn)A（十,f（西））和點(diǎn)3（々，

））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則喘^的取值范圍是.

5.（2021?甲卷（理））曲線>=生］在點(diǎn)（-1,-3）處的切線方程為.

x+2

知識(shí)點(diǎn)2:單調(diào)性'極最值問題

6.（2022*乙卷（理））已知4=%和x=%分別是函數(shù)f（x）=2a*-ex2（a>0的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若

玉<玉，則a的取值范圍是.

7.（2023?新高考II）已知函數(shù)/（工）=。"-/依在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞增，則〃的最小值為（）

A.3B.eC./D.e1

8.（多選題）（2023?新高考H）若函數(shù)/（x）=Hnr+9+=（aw0）既有極大值也有極小值，貝1］（）

XX

A.be>0B.ab>0C.Z?2+Sac>0D.ac<0

9.（多選題）（2022?新高考I）已知函數(shù)/（工）=丁-x+1,則（）

A./（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C?點(diǎn)（0,1）是曲線y=/（x）的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/（x）的切線

10.（2023?乙卷（理））設(shè)?！辏?,1）,若函數(shù)/。）=優(yōu)+（1+々廠在（0,+oo）上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是

知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問題

11.（2021?乙卷（理））設(shè)a=2/〃l.（）l,b=lril.02,c=VL04-l,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

12.（2022?新高考I）設(shè)〃=0.1e°Lb=-c=-ln0.9,則（）

9

A.a<h<cB.c<h<aC.c<a<hD.a<c<h

13.（2022年全國甲卷）已知a=|1,b=則（）

cos-,4c=4si4n-,

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

14.（2021?天津）設(shè)n=log2（）.3,ft=log,0.4,c=0.4°\則三者大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

cj則下列判斷正確的是（

15.（2021?新高考H）已知a=log52,b=log83,）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(選擇題、填空題)(理)

知識(shí)點(diǎn)目錄

知識(shí)點(diǎn)1：切線問題

知識(shí)點(diǎn)2：單調(diào)性'極最值問題

知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問題

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：切線問題

1.(2021?新高考I)若過點(diǎn)他,份可以作曲線y=的兩條切線，則()

A.eb<aB.e"<bC.0<a<ebD.0<b<e"

【答案】D

【解析】法一：函數(shù)y=，是增函數(shù)，9=，>0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，y>0，即切點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上方，

如果色力)在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點(diǎn)(4,。)在X軸或下方時(shí)，只有一條切線.

如果(a,6)在曲線上,只有一條切線;

①力)在曲線上側(cè)，沒有切線；

由圖象可知3力)在圖象的下方，并且在x軸上方時(shí)，有兩條切線，可知0<b<e".

故選：D.

法二：設(shè)過點(diǎn)3,力的切線橫坐標(biāo)為f,

則切線方程為y=d(x-r)+d,可得6=d(a+l-f),

設(shè)/(f)=(a+lT)，可得f'(f)=d(aT)，Ze(-00,a),廣&)>0，/⑴是增函數(shù),

re(a,-Ko),f'(t)<0,/(f)是減函數(shù)，

因此當(dāng)且僅當(dāng)0<6<e"時(shí)，上述關(guān)于，的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，對(duì)應(yīng)兩條切線.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查曲線與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及切線的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

2.(2022?新高考I)若曲線y=(x+a)，有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則”的取值范圍是.

【答案】(—＜??—4)U(0,+00).

【解析】yf=ex4-(x4-a)ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(不，(玉)+〃)*),

??.切線的斜率k=泮+(x0+,

.,.切線方程為y-(/+a)e"=(e而+(x0+d)e^)(x-x0),

又?切線過原點(diǎn)，二.一(小+=3。+(/+a)e")(-x0),

整理得：,

??切線存在兩條，，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

/.△=/+4。＞0,解得々＜-4或。＞0,

即。的取值范圍是(-8,-4)U(0,+oo),

故答案為：(-co,-4)U(0,”).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題.

3.(2022?新高考II)曲線y=/〃|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為.

【答案】x-ey=0.x+ey=0.

【解析】當(dāng)x＞0時(shí)，y=lnx,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(不，/叫))，

y'=L,.,.切線的斜率4=」",

x/

,切線方程為y-/g)=-!"(人一式0),

玉)

又?切線過原點(diǎn)，.,.-/%)=-1,

切線方程為y-\=-(x-e)，即x-ey=0,

當(dāng)x<0時(shí)，y=ln{-x),與了=/心的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

切線方程也關(guān)于y軸對(duì)稱，

切線方程為x+ey=O,

綜上所述，曲線y=/〃|x|經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線方程分別為x-ey=O,x+ey=O,

故答案為：x-ey=O,x+ey=O.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，屬于中檔題.

4.(2021?新高考II)已知函數(shù)/(x)=|/-l|,占<0,々>0,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(x「f(西))和點(diǎn)5(々，

/(%))的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則的取值范圍是.

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=\-ex,導(dǎo)數(shù)為f，(x)=-e*,

可得在點(diǎn)4(西，1-/」)處的斜率為K=-爐」，

切線AM的方程為,_(1_//)=_0*」0_司)，

令x=0,可得y=1-e*,+玉6*,，即M(0,l-e'」+玉e"」)，

當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=ex-\,導(dǎo)數(shù)為廣(x)=e，，

x2

可得在點(diǎn)B(x2,e--\)處的斜率為k2=e*-2,

x2x2

令x=(),M得丫=，-2-1-尤20,-2，BpN(o,e--]-x2e-),

由f(x)的圖象在A,8處的切線相互垂直，可得匕&=-e*」-e*-2=—l,

即為占+W=0，玉<0，x2>0,

故答案為：(0,1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：切線的方程，以及兩直線垂直的條件，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

5.(2021?甲卷(理))曲線丫=生」在點(diǎn)(-1,-3)處的切線方程為.

x+2

【答案】5x-y+2=0.

【解析】因?yàn)閥=竺二，(—1,—3)在曲線上，

x+2

所以y=2(X+2)-(2X-1)=,

(x+2)2(X+2)2

所以川I=5,

則曲線y=2在點(diǎn)(-1-3)處的切線方程為：

x+2

y—(-3)=5[x-(-1)]，即5x—y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

知識(shí)點(diǎn)2：單調(diào)性'極最值問題

6.(2022?乙卷(理))已知x=x和x=z分別是函數(shù)/(x)=2罐-夕2(。〉0且。工1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若

演<々,則。的取值范圍是.

【答案】d,i).

e

【解析】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo):(x)=2(“'7〃a-ex),分析可知：/'(x)在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

對(duì)其再求導(dǎo)可得：f"(x)=2a'(lna)2-2e,

當(dāng)a>l時(shí)，易知/”(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在/使得/"(%)=0,

則r(X)在(-8,%)單調(diào)遞減，(%,+8)單調(diào)遞增，

此時(shí)若函數(shù)/(X)在X=和X=X2分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足再>多，不滿足題意；

當(dāng)()<a<l時(shí)，易知〃(幻在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在與使得廣(%)=0,

則r(X)在(-00,X。)單調(diào)遞增，(/，+8)單調(diào)遞減，且X。=loga彳扁，

此時(shí)若函數(shù)/(X)在x=%和x=N分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且占<々，

故僅需滿足f\x0)>0,

ee—e—ei

即：——>elog----7n小<----7=>lnalna<In---=>——Ina<1-In(lnaf,

Inaa(Ina)(Ina)"(Ina)7"Ina

解得：—<a<e^又因?yàn)?<Q<1,故

ee

綜上所述：。的取值范圍是d/).

e

7.(2023?新高考H)已知函數(shù)/加在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則〃的最小值為()

A.e2B.eC.e~lD.e~2

【答案】C

【解析】對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)可得，f\x)=aex--,

x

依題意，a"-Lo在(1,2)上恒成立，

X

即a.」-在(1,2)上恒成立，

xex

設(shè)g(x)=±，xe(l，2)，%'(》)=—(ex+xex)ev(x+1)

(xe*)2(xe*)2

易知當(dāng)xe(l,2)時(shí)、g，(x)<0,

則函數(shù)g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,

則a..g(x)3=g(l)=」=eT

e

故選：C.

8.(多選題)(2023?新高考H)若函數(shù)/(x)=〃以+?+三("0)既有極大值也有極小值，貝心)

xx

A.bc>0B.ab>0C.b2+Sac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】函數(shù)定義域?yàn)?0,xo),

2

且rdh2cax-hx-2c

X

由題意，方程((%)=0即ax2-版-2c=0有兩個(gè)正根，設(shè)為王，

2

則有Xy4-^2=—>0，X]X2=—^>0,△=Z?+Sac>0,

/.ab>0,ac<0,

ab-ac=a2be<0,即be<0.

故選：BCD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)極值的基礎(chǔ)知識(shí)，屬簡單題.

9.(多選題)(2022?新高考I)已知函數(shù)/(x)=V—x+1,則()

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B./(%)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心

D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【解析】f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,解得x<~~或x>令ra)<o,解得

3

，/(X)在(—00,—,”)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且

.,./(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)3錯(cuò)誤;

又/W+f(-x)=x3-x+l-x3+x+l=2,則/(x)關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；

假設(shè)y=2x是曲線y=/(x)的切線，設(shè)切點(diǎn)為他，力，則卜2T=2,解得；或［：=二，

\2a=h［b=2［b=-2

顯然(1,2)和(-1,-2)均不在曲線y=f(x)上,故選項(xiàng)2錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值以及曲線在某點(diǎn)的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

10(2023?乙卷(理))設(shè)“€(0,1),若函數(shù)/(幻=優(yōu)+(1+”在(0,+00)上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是.

【答案】。的取值范圍是［叵」，1).

2

［解析］,函數(shù)/(X)=ax+(1+a)x在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

/.f\x)=axlna+(1+a)xln(l+a)..。在(0,+oo)上恒成立,

即(1++4)…一優(yōu)7”。，化簡可得(上吆『…—一蛆一在(0,+oo)上恒成立，

a//?(!+a)

而在(0,+oo)k(r>1

故有1…...-一，由。￡(0,1),化簡可得/〃(1+a)..ln—,

ln(\+a)a

即1+a.—,tz2+—1..0,

a

解答或二

2

故〃的取值范圍是［與’D.

故答案為:.1).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題的求解，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題.

知識(shí)點(diǎn)3：比較大小問題

11.(2021?乙卷)設(shè)a=2/〃1.01,b=lnl.02,C=VLO4-1,貝i」()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【解析】va=2Znl.01=Znl.0201,b=lnl.G2,

:.a>b,

/(x)=2/?(1+x)-(.y/1+4x-1),0cx<1,

令Jl+4x=t.則1<t<石

t2-l

/.X=-----

4

r+3、

gQ)=2//2(----)-r+l=21n(尸+3)-r+1—2//74,

4

4t-t2-3(/-1)(/-3)

>0,

r+3*+3

:.g⑺在（1,斯）上單調(diào)遞增,

g(t)>g(1)=2/n4-l+l-2//?4=0,

.?"(x)>0,

:.a>c,

同理令h(x)=ln[\+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=/,則l<f<石

t2-\

x=-----

4

t2+1,

(p3-ln(——)-，+1=1〃(r9+1)-f+1-ln2,

/.e⑺在（1,石）上單調(diào)遞減,

/.(p(t)<(p(1)=歷2—1+1—優(yōu)2=(),

h(x)<0，

.\c>b,

:.a>c>b.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的大小比較，導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

12.（2022?新高考I）設(shè)。=0.1*,b=L,c=TM）.9,則（）

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】構(gòu)造函數(shù)，X>0,

X

x>0，

當(dāng)_f(x)=O時(shí)，x=l,

0<x<l時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減;

x>i時(shí),r(x)>o,/(*)單調(diào)遞增,

.?./(X)在x=l處取最小值/(1)=1,

?**Ittx>1—，(x〉0」I.xw1),

X

加0.9>1-----——，:.—//10.9<—>/.cv/?；

0.999

ice,1°?9110

—ln0.9=In->1-----=—>??一>e01，

910109

O.le01<-?:.a<b；

9

設(shè)g(x)=xex+ln(\-x)(0<x<1),

則g，(x)=(x+l)/+-^=QJ)：+],

x-1X-1

令h(x)=ex(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-1),

當(dāng)0cx<0-1時(shí),〃(x)<0,函數(shù)/i(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)0—1<X<1時(shí)，〃(x)>0,函數(shù)力(x)單調(diào)遞增，

?力(0)=0,.?.當(dāng)0cxe夜一1時(shí)，h{x)<0,

當(dāng)0cxea-1時(shí)，g'(x)>0,g(x)=xe*+/〃(1-x)單調(diào)遞增，

.1g(0.1)>g(0)=0,.-.O.le01>-Zn0.9,:.a>c,

:.c<a<b.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題.

13.(2022年全國甲卷)已知a=%,b=cosZ,c=4sin3則(