備考中考數(shù)學(xué)考點精講精練第7講 二次函數(shù)表達(dá)式的確定（含拋物線的變化）（題型突破+專題精練）（含答案與解析）

第第頁→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一待定系數(shù)法確定二次函數(shù)1．（2022·山東泰安）拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：x-2-106y0461下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線C．拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為 D．函數(shù)的最大值為2．（2022·浙江杭州）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1，0)；命題②：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3，0)；命題③：該函數(shù)的圖像與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖像的對稱軸為直線．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（

）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④3．（2022·四川成都）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度（米）與物體運動的時間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設(shè)表示0秒到秒時的值的“極差”（即0秒到秒時的最大值與最小值的差），則當(dāng)時，的取值范圍是_________；當(dāng)時，的取值范圍是_________．4．（2022·四川自貢）已知二次函數(shù)．(1)若，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與軸交點及頂點的坐標(biāo)；(2)在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值時自變量的取值范圍；(3)若且，一元二次方程兩根之差等于，函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，試比較的大小．5．（2021·廣東中考真題）已知拋物線（1）當(dāng)時，請判斷點（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；（3）已知點、，若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標(biāo)的取值范圍．題型二拋物線的平移6．（2022·浙江嘉興）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．7.（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．（2021·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點和．（1）求拋物線的對稱軸．（2）當(dāng)時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．①求拋物線的解析式．②設(shè)拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連接．點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

9．（2022·浙江舟山）已知拋物線：（）經(jīng)過點．(1)求拋物的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線向上平移m（）個單位得到拋物線．若拋物線的頂點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點在拋物線上，求m的值．(3)把拋物線向右平移n（）個單位得到拋物線．已知點，都在拋物線上，若當(dāng)時，都有，求n的取值范圍．10．（2021·河南中考真題）如圖，拋物線與直線交于點A(2，0)和點．

（1）求和的值；（2）求點的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；（3）點是直線上的一個動點，將點向左平移個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍．題型三拋物線的翻折11．（2022·湖南衡陽）如圖，已知拋物線交軸于、兩點，將該拋物線位于軸下方的部分沿軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象”，圖象交軸于點．(1)寫出圖象位于線段上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線與圖象有三個交點，請結(jié)合圖象，直接寫出的值；(3)為軸正半軸上一動點，過點作軸交直線于點，交圖象于點，是否存在這樣的點，使與相似？若存在，求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一待定系數(shù)法確定二次函數(shù)1．（2022·山東泰安）拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如表：x-2-106y0461下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的開口向下 B．拋物線的對稱軸為直線C．拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為 D．函數(shù)的最大值為【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，由此逐一判斷各選項即可【詳解】解：由題意得，解得，∴拋物線解析式為，∴拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線，該函數(shù)的最大值為，故A、B、D說法正確，不符合題意；令，則，解得或，∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（-2，0），（3，0），故C說法錯誤，符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(1，0)；命題②：該函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3，0)；命題③：該函數(shù)的圖像與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖像的對稱軸為直線．如果這四個命題中只有一個命題是假命題，則這個假命題是（

）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【答案】A【分析】根據(jù)對稱軸為直線，確定a的值，根據(jù)圖像經(jīng)過點（3，0），判斷方程的另一個根為x=-1，位于y軸的兩側(cè)，從而作出判斷即可．【詳解】假設(shè)拋物線的對稱軸為直線，則，解得a=-2，∵函數(shù)的圖像經(jīng)過點(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，故拋物線的解析式為，令y=0，得，解得，故拋物線與x軸的交點為（-1，0）和（3，0），函數(shù)的圖像與x軸的交點位于y軸的兩側(cè)；故命題②，③，④都是正確，命題①錯誤，故選A．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定解析式，拋物線與x軸的交點，對稱軸，熟練掌握待定系數(shù)法，拋物線與x軸的交點問題是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川成都）距離地面有一定高度的某發(fā)射裝置豎直向上發(fā)射物體，物體離地面的高度（米）與物體運動的時間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示，物體運動的最高點離地面20米，物體從發(fā)射到落地的運動時間為3秒．設(shè)表示0秒到秒時的值的“極差”（即0秒到秒時的最大值與最小值的差），則當(dāng)時，的取值范圍是_________；當(dāng)時，的取值范圍是_________．【答案】

【分析】根據(jù)題意，得-45+3m+n=0，，確定m，n的值，從而確定函數(shù)的解析式，根據(jù)定義計算確定即可．【詳解】根據(jù)題意，得-45+3m+n=0，，∴，∴，解得m=50，m=10，當(dāng)m=50時，n=-105；當(dāng)m=10時，n=15；∵拋物線與y軸交于正半軸，∴n＞0，∴，∵對稱軸為t==1，a=-5＜0，∴時，h隨t的增大而增大，當(dāng)t=1時，h最大，且（米）；當(dāng)t=0時，h最最小，且（米）；∴w=，∴w的取值范圍是，故答案為：．當(dāng)時，的取值范圍是∵對稱軸為t==1，a=-5＜0，∴時，h隨t的增大而減小，當(dāng)t=2時，h=15米，且（米）；當(dāng)t=3時，h最最小，且（米）；∴w=，w=，∴w的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法確定拋物線的解析式，函數(shù)的最值，增減性，對稱性，新定義計算，熟練掌握函數(shù)的最值，增減性，理解新定義的意義是解的關(guān)鍵．4．（2022·四川自貢）已知二次函數(shù)．(1)若，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，求此二次函數(shù)的解析式，直接寫出拋物線與軸交點及頂點的坐標(biāo)；(2)在圖①中畫出（1）中函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)值時自變量的取值范圍；(3)若且，一元二次方程兩根之差等于，函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，試比較的大?。敬鸢浮?1)，；；(2)見詳解；；(3)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，可得所求點的坐標(biāo)；（2）由題意畫出圖象，結(jié)合圖象寫出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分別求出，，將點P點Q的坐標(biāo)代入分別求出，利用作差法比較大小即可．(1)解：∵，且函數(shù)圖象經(jīng)過，兩點，∴，∴二次函數(shù)的解析式為，∵當(dāng)時，則，解得，，∴拋物線與軸交點的坐標(biāo)為，，∵，∴拋物線的頂點的坐標(biāo)為．(2)解：函數(shù)的大致圖象，如圖①所示：當(dāng)時，則，解得，，由圖象可知：當(dāng)時，函數(shù)值．(3)解：∵且，∴，，，且一元二次方程必有一根為，∵一元二次方程兩根之差等于，且∴方程的另一個根為，∴拋物線的對稱軸為直線：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴∵，，∴，，∴，∵b＞c,∴-1-c＞c,∴,∴，∴．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，數(shù)形結(jié)合的思想，求出b與c的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2021·廣東中考真題）已知拋物線（1）當(dāng)時，請判斷點（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；（3）已知點、，若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x頂點=或x頂點或x頂點【分析】（1）先求出函數(shù)關(guān)系式，再把（2，4）代入進行判斷即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式求出拋物線頂點縱坐標(biāo)，最大值即為頂點最高點的縱坐標(biāo)，代入求解即可；（3）運用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式，代入二次函數(shù)解析式，求出交點坐標(biāo)，再根據(jù)題意分類討論，求出m的值即可．【詳解】解：（1）把m=0代入得，當(dāng)x=2時，所以，點（2，4）不在該拋物線上；（2）=∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（，）∴縱坐標(biāo)為令∵∴拋物線有最高點，∴當(dāng)m=3時，有最大值，將m=3代入頂點坐標(biāo)得（2，5）；（3）∵E（-1，-1），F(xiàn)（3，7）設(shè)直線EF的解析式為把點E，點F的坐標(biāo)代入得解得，∴直線EF的解析式為將代入得，整理，得：解得則交點為：（2，5）和（m+1，2m+3），

而（2，5）在線段EF上，

∴若該拋物線與線段EF只有一個交點，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，

∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此時2m+3=5），

∴此時拋物線頂點橫坐標(biāo)x頂點=或x頂點=或x頂點=【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解題關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的運用．題型二拋物線的平移6．（2022·浙江嘉興）已知拋物線L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）經(jīng)過點A(1，0)．(1)求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L1向上平移m（m＞0）個單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點在拋物線L1上，求m的值．(3)把拋物線L1向右平移n（n＞0）個單位得到拋物線L3，若點B(1，y1)，C(3，y2)在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)的值為4(3)【分析】（1）把代入即可解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）將拋物線向上平移個單位得到拋物線，頂點為，關(guān)于原點的對稱點為，代入可解得的值為4；（3）把拋物線向右平移個單位得拋物線為，根據(jù)點B(1，y1)，C(3，y2)都在拋物線上，當(dāng)y1＞y2時，可得，即可解得的取值范圍是．(1)解：把代入得：，解得，；答：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)解：拋物線的頂點為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，則拋物線的頂點為，而關(guān)于原點的對稱點為，把代入得：，解得，答：的值為4；(3)解：把拋物線向右平移個單位得到拋物線，拋物線解析式為，點，都在拋物線上，，，y1＞y2，，整理變形得：，，解得，的取值范圍是．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，對稱及平移變換等知識，解題的關(guān)鍵是能得出含字母的式子表達(dá)拋物線平移后的解析式．7.（2022·四川涼山）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過點A（－1，0）和點B（0，3），頂點為C，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點C落在拋物線上的點P處．(1)求拋物線的解析式；(2)求點P的坐標(biāo)；(3)將拋物線平移，使其頂點落在原點O，這時點P落在點E的位置，在y軸上是否存在點M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先求出拋物線的對稱軸，再設(shè)點的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；（3）先根據(jù)點坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，從而可得與軸的交點即為所求的點，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．(1)解：將點代入得：，解得，則拋物線的解析式為．(2)解：拋物線的對稱軸為直線，其頂點的坐標(biāo)為，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，即，將點代入得：，解得或（舍去），當(dāng)時，，所以點的坐標(biāo)為．(3)解：拋物線的頂點的坐標(biāo)為，則將其先向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度恰好落在原點，這時點落在點的位置，且，，即，恰好在對稱軸直線上，如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，由兩點之間線段最短可知，與軸的交點即為所求的點，此時的值最小，即的值最小，由軸對稱的性質(zhì)得：，設(shè)直線的解析式為，將點代入得：，解得，則直線的解析式為，當(dāng)時，，故在軸上存在點，使得的值最小，此時點的坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識點，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2021·湖南中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線：經(jīng)過點和．（1）求拋物線的對稱軸．（2）當(dāng)時，將拋物線向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到拋物線．①求拋物線的解析式．②設(shè)拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側(cè)），與軸交于點，連接．點為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像所過的點的特點結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可知兩點中點橫坐標(biāo)即為對稱軸；（2）①根據(jù)平移可得已知點平移后點的坐標(biāo)，平移過程中a的值不發(fā)生改變，所以利用交點式可以求出函數(shù)解析式；②根據(jù)條件求出A、B、C、D四點的坐標(biāo)，由條件可知三角形相似有兩種情況，分別討論兩種情況，根據(jù)相似的性質(zhì)可求出m的值．【詳解】解：（1）因為拋物線圖像過（1,1）、（4,1）兩點，這兩點的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，對稱軸是x=（1+4）÷2=2.5,；（2）①將點（1,1）、（4,1）向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到（-1,0），（2,0），將點（-1,0），（2,0），a=-1，根據(jù)交點式可求出C1二次函數(shù)表達(dá)式為；②根據(jù)①中的函數(shù)關(guān)系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0由圖像可知∠BOC=∠DEO=90°，則以點，，為頂點的三角形與相似有兩種情況，（i）當(dāng)△ODE∽△BCO時，則，即，解得m=1或-2（舍），（ii）當(dāng)△ODE∽△CBO時，則，即，解得所以滿足條件的m的值為1或．【點睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)圖形的平移、表達(dá)式求法、相似三角形等知識點，熟練運用數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022·浙江舟山）已知拋物線：（）經(jīng)過點．(1)求拋物的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線向上平移m（）個單位得到拋物線．若拋物線的頂點關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點在拋物線上，求m的值．(3)把拋物線向右平移n（）個單位得到拋物線．已知點，都在拋物線上，若當(dāng)時，都有，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解．（2）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解．（3）根據(jù)平移的性質(zhì)對稱軸為直線，，開口向上，進而得到點P在點Q的左側(cè)，分兩種情況討論：①當(dāng)P，Q同在對稱軸左側(cè)時，②當(dāng)P，Q在對稱軸異側(cè)時，③當(dāng)P，Q同在對稱軸右側(cè)時即可求解．(1)解：將代入得：，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式：．(2)∵將拋物線向上平移m個單位得到拋物線，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式：．∴頂點，∴它關(guān)于O的對稱點為，將代入拋物線得：，∴．(3)把向右平移n個單位，得：，對稱軸為直線，，開口向上，∵點，，由得：，∴點P在點Q的左側(cè)，①當(dāng)P，Q同在對稱軸左側(cè)時，，即，∵，∴，②當(dāng)P，Q在對稱軸異側(cè)時，∵，∴，解得：，③當(dāng)P，Q同在對稱軸右側(cè)時，都有（舍去），綜上所述：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象平移變換，熟練掌握待定系數(shù)法及平移的性質(zhì)結(jié)，巧妙運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．10．（2021·河南中考真題）如圖，拋物線與直線交于點A(2，0)和點．

（1）求和的值；（2）求點的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式的解集；（3）點是直線上的一個動點，將點向左平移個單位長度得到點，若線段與拋物線只有一個公共點，直接寫出點的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1），；（2）不等式>的解集為或；（3）點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是：或．【分析】（1）把A(2，0)分別代入兩個解析式，即可求得和的值；（2）解方程求得點B的坐標(biāo)為(-1，3)，數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解即可．【詳解】解：（1）∵點A(2，0)同時在與上，∴，，解得：，；（2）由（1）得拋物線的解析式為，直線的解析式為，解方程，得：．∴點B的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴點B的坐標(biāo)為(-1，3)，觀察圖形知，當(dāng)或時，拋物線在直線的上方，∴不等式>的解集為或；（3）如圖，設(shè)A、B向左移3個單位得到A1、B1，∵點A(2，0)，點B(-1，3)，∴點A1(-1，0)，點B1(-4，3)，∴AA1BB13，且AA1∥BB1，即MN為AA1、BB1相互平行的線段，對于拋物線，∴頂點為(1，-1)，如圖，當(dāng)點M在線段AB上時，線段MN與拋物線