第7講分式方程及其應(yīng)用（講義）（原卷版）-2024年浙江中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第二單元方程（組）與不等式（組）第7講分式方程其應(yīng)用復(fù)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)目標(biāo)1.了解分式方程的概念，了解分式方程增根的定義及產(chǎn)生增根的原因；2.會(huì)解可化為一元一次方程的分式方程，并能對分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷方程的解是不是增根；3.會(huì)列分式方程解決實(shí)際問題.備考指南備考指南考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢考點(diǎn)1分式方程的解法☆☆中考中本考點(diǎn)考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握．考點(diǎn)2分式方程的增根或無解☆考點(diǎn)3分式方程的應(yīng)用☆☆☆知識網(wǎng)絡(luò)知識網(wǎng)絡(luò)知識清單知識清單1．分式方程的概念：的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：(1)基本思路：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．(2)基本方法和步驟：①去分母：在方程兩邊同時(shí)都乘轉(zhuǎn)化為整式方程；②解這個(gè)整式方程；③檢驗(yàn)：把求得的根代入，使的就是原方程的根，使最簡公分母＝0的就是增根，應(yīng)舍去．有時(shí)需要把求得的根代入原分式方程左右兩邊進(jìn)行檢驗(yàn)．（3）分式方程的增根：解分式方程時(shí)，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程這一過程中，產(chǎn)生了使原分式方程的最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，稱為增根．（4）分式方程的無解：分式方程無解有兩種可能的情況：(1)去分母后的整式方程無解；(2)整式方程有解，但整式方程的解使原分式方程的各分式最簡公分母為0，分式方程也無解3．分式方程的應(yīng)用：（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審(審清題意)、設(shè)(設(shè)未知數(shù))、找(找相等關(guān)系)、列(列方程)、解(解出這個(gè)方程)、驗(yàn)(既要檢驗(yàn)所得的根是否是所列分式方程的根，又要檢驗(yàn)這個(gè)根是否符合題意)、答(寫出答案)．（2）常見類型及數(shù)量關(guān)系深度講練深度講練■考點(diǎn)一解分式方程?

典例1：（2023?西湖區(qū)二模）解分式方程：小明同學(xué)是這樣解答的：解：去分母，得：x+4＝3（x﹣2）．去括號，得：x+4＝3x﹣6．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：﹣2x＝﹣10．兩邊同時(shí)除以﹣2，得：x＝5．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝5是原方程的解．小明的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程．【變式訓(xùn)練】1.（2023?海南）分式方程的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣6 C．x＝5 D．x＝﹣52．（2022?余杭區(qū)一模）把分式方程去分母后化為整式方程為（）A．﹣3＝x﹣2﹣1 B．﹣3＝x﹣2+1 C．3＝x﹣2+1 D．3＝x﹣2﹣13．（2022?北侖區(qū)一模）方程的解為．4．（2022?仙居縣二模）解方程：．5．（2022?定海區(qū)一模）閱讀下列解題過程．解方程：．解：方程兩邊同乘以（x+2）（x﹣2），方程兩邊化簡，得（x﹣2）+4x＝2（x+2）去括號，移項(xiàng)，得x﹣2+4x﹣2x﹣4＝0解這個(gè)方程，得x＝2∴x＝2是原方程的解．你認(rèn)為此解法是否正確？若不正確，請寫正確的解題過程．■考點(diǎn)二分式方程的解?

典例2：（2022?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【變式訓(xùn)練】1．（2023?眉山）關(guān)于x的方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是．2．（2021?浙江模擬）已知關(guān)于x的方程無解，則m的值為（）A．4 B．3 C．2 D．1■考點(diǎn)三分式方程的應(yīng)用?

典例3：（2023?鹽城）某校舉行“二十大知識學(xué)習(xí)競賽”活動(dòng)，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．（1）若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．（2）若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長小華打算購買m本硬面筆記本（m為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購買的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．【變式訓(xùn)練】1．（2023?蘭溪市模擬）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動(dòng)．用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時(shí)正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價(jià)格為x元，則符合題意的方程是（）A．﹣＝4B．﹣＝4 C．﹣＝0 D．﹣＝42．（2023?縉云縣二模）“我市為處理污水，需要鋪設(shè)一條長為4000米的管道，為了盡量減少施工對交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天比原計(jì)劃多鋪設(shè)10米，結(jié)果提前20天完成任務(wù)．”根據(jù)題意可得方程，則方程中x表示（）A．實(shí)際每天鋪設(shè)管道的長度 B．實(shí)際施工的天數(shù) C．原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長度 D．原計(jì)劃施工的天數(shù)3．（2022?北侖區(qū)二模）新華書店決定用不多于28000元購進(jìn)甲乙兩種圖書共1200本進(jìn)行銷售，已知甲種圖書進(jìn)價(jià)是乙種圖書每本進(jìn)價(jià)的1.4倍，若用1680元購進(jìn)甲種圖書的數(shù)量比用1400元購進(jìn)的乙種圖書的數(shù)量少10本．（1）甲乙兩種圖書的進(jìn)價(jià)分別為每本多少元？（2）新華書店決定甲種圖書售價(jià)為每本40元，乙種圖書售價(jià)每本30元，問書店應(yīng)如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤？（購進(jìn)的兩種圖書全部銷售完）真題演練真題演練1．（2023?義烏市模擬）若分式的值為1，則x的值是（）A．5 B．4 C．3 D．12．（2021?湖州模擬）解分式方程時(shí)，去分母正確的是（）A．1﹣4（x﹣3）＝﹣2B．1﹣4（x﹣3）＝2 C．1﹣4（3﹣x）＝﹣2 D．1﹣4（3﹣x）＝23．（2022?寧波一模）分式方程的解為（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x1＝1，x2＝34．（2022?麗水一模）在如下解分式方程的4個(gè)步驟中，根據(jù)等式基本性質(zhì)的是（）x﹣（3﹣x）＝x﹣2……①x﹣3+x＝x﹣2……②x+x﹣x＝﹣2+3……③∴x＝1……④A．①② B．①③ C．①④ D．③④5．（2022?麗水）某校購買了一批籃球和足球．已知購買足球的數(shù)量是籃球的2倍，購買足球用了5000元，購買籃球用了4000元，籃球單價(jià)比足球貴30元．根據(jù)題意可列方程，則方程中x表示（）A．足球的單價(jià)B．籃球的單價(jià)C．足球的數(shù)量 D．籃球的數(shù)量6．（2021?舟山）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（）A．B． C． D．7．（2023?溫州二模）《九章算術(shù)》中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件用慢馬送到900里外的城市，能夠剛好在規(guī)定時(shí)間送到，如果用快馬送，所需的時(shí)間比規(guī)定時(shí)間少3天，已知快馬的速度是慢馬的2倍，求兩匹馬的速度．設(shè)慢馬的速度為x里/天，則可列方程為（）A．+3B． C． D．8．（2023?蕭山區(qū)一模）如圖，邊長為a的大正方形剪去4個(gè)邊長為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋紙盒．若無蓋紙盒的底面積與表面積之比為3：5，則根據(jù)題意可知a，x滿足的關(guān)系式為（）A．B．C． D．9．（2022?金華）若分式的值為2，則x的值是．10．（2023?紹興）方程的解是．11．（2023?南湖區(qū)模擬）分式方程：的解是．12．（2023?上城區(qū)二模）現(xiàn)有甲、乙兩種糖混合而成的什錦糖50千克，兩種糖的千克數(shù)和單價(jià)如表．商店以糖果的平均價(jià)格作為什錦糖的單價(jià)，要使什錦糖的單價(jià)每千克提高1元，需加入甲種糖千克．甲種糖果乙種糖果千克數(shù)2030單價(jià)（元/千克）251513．（2023?寧波模擬）定義一種新運(yùn)算：對于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，a?b＝．若（x﹣1）?（x+1）＝，則x的值為．14．（2023?鄞州區(qū)校級一模）如果關(guān)于x的方程無解，則a的值為．15．（2023?慈溪市一模）對于實(shí)數(shù)x，y（x≠y），我們定義運(yùn)算F（x，y）＝，如：F（2，1）＝．則方程F（x，1）＝2的解為．16．（2023?永康市一模）以下是小亮同學(xué)在解分式方程的過程：解：去分母得x（x+2）﹣x+1＝1………………①化簡得x2+x＝0………………②解得x1＝0，x2＝﹣1……………③經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝0，x2＝﹣1是原方程的解………④所以原方程的解為x1＝0，x2＝﹣1根據(jù)小亮的解題過程，回答下列問題：（1）小亮的解題過程中第步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤．（2）請你寫出正確的解答過程．17．（2022?嘉興）解方程：．18．（2022?柯城區(qū)二模）解分式方程：．19．（2022?衢州）金師傅近期準(zhǔn)備換車，看中了價(jià)格相同的兩款國產(chǎn)車．燃油車油箱容積：40升油價(jià)：9元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：元新能源車電池電量：60千瓦時(shí)電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)續(xù)航里程：a千米每千米行駛費(fèi)用：_____元（1）用含a的代數(shù)式表示新能源車的每千米行駛費(fèi)用．（2）若燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.54元．①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用．②若燃油車和新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和7500元．問：每年行駛里程為多少千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用