2021-2022學年貴州省黔東南州凱里市第一中學高一下學期期中數學試題（解析版）

2021-2022學年貴州省黔東南州凱里市第一中學高一下學期期中數學試題一、單選題1．已知且，若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用集合的含義解答.【詳解】解：由題得.故選：B2．若（i是虛數單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出即得解.【詳解】解：，∴．故選：C3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，得，求出的值，從而可求出的坐標【詳解】解：由得，解得，∴．故選：D4．將函數的圖像向右平移個單位得到的圖像，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】由題得,即得解.【詳解】解：由題得，所以．故選：B5．某品牌計算器在計算對數時需按“l(fā)og（a，b）”．某生在計算時（其中且）順序弄錯，誤按“l(fā)og（b，a）”，所得結果為正確值的4倍，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，然后利用換底公式化簡可求得結果【詳解】解：由題，∴，即，由于且，∴，即．故選：C6．若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方關系和商數關系求解.【詳解】解：由得，∴或，因為，，所以.由及得，∴，所以．故選：A7．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【答案】A【分析】如圖所示，設水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．代入即可得出．【詳解】如圖所示，設水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．∴（）2=h2+1002﹣，化為h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故選A．【點睛】解三角形應用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關系．(2)根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關單位問題、近似計算的要求等.8．在△ABC中，，AC邊的中線長，則△ABC周長的最大值為（

）A． B．6 C． D．9【答案】B【分析】由題意得，平方化簡結合余弦定理可得，設，，由可求出的最大值，從而可求出△ABC周長的最大值【詳解】解：由題，∵，∴，即，即，設，，由得，則，（當且僅當，即，是取等），∴周長的最大值為6．故選：B二、多選題9．已知函數是定義在上的偶函數，當時，的圖象如圖所示，則滿足不等式的x可能是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】由題得，畫出兩個函數的圖象即得解.【詳解】解：由題得，在同一坐標系中畫出和的圖象，結合圖象可知B，C正確．故選：BC10．關于平面向量，，，下列說法中錯誤的是（

）A．若，，則存在，使得B．若，為非零向量且，則，的夾角為鈍角C．若，則D．若，，則【答案】BCD【分析】根據共線向量的性質即可判斷A；舉例說明即可判斷B；根據平面向量數量積的定義和運算律即可判斷C；當時結論不成立，進而判斷D.【詳解】A：當時，向量與共線，由向量共線定理可知存在使得，故A正確；B：當，夾角為時，，故B錯誤；C：，則，得，無法判斷與的關系，故C錯誤；D：當時，結論成立，當時，結論不成立，故D錯誤.故選：BCD11．下列說法正確的是（

）A．若復數（i為虛數單位），則B．若復數z滿足，則C．若復數（a，），則z為純虛數的必要不充分條件是D．若復數z滿足，則【答案】ACD【分析】根據復數的乘、除法運算和復數的乘方即可判斷A；舉例即可判斷B；根據復數的概念即可判斷C；根據復數的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：∵，∴，故A正確；B：若，則，但，故B錯誤；C：若z為純虛數，必然有；若，則z為實數，∴“”是“z為純虛數”的必要不充分條件，故C正確；D：根據復數加法的幾何意義可知，設，則，所以，所以復數對應的點的集合為圓心為、半徑為1的圓，所以，故D正確．故選：ACD12．在△ABC中，，，，則（

）A．△ABC外接圓面積為定值，且定值為 B．△ABC的面積有最大值，最大值為C．若，則 D．當且僅當或時，△ABC有一解【答案】ABD【分析】對于A：利用正弦定理求半徑；對于B：利用余弦定理建立邊之間的關系，再利用基本不等式求得；對于C：利用正弦定理求得，再利用大邊對大角進行判斷；對于D：利用余弦定理得，結合二次函數零點分布理解計算．【詳解】由容易得到，由得，，A正確；由得，解得，∴，B正確．若，由得，∴或（均符合題意），C錯誤．由得，，此方程有唯一正解等價于或，又由于，∴或，D正確．故選：ABD．三、填空題13．表面積為24的正方體的頂點都在一個球面上，則該球的體積為____________．【答案】【分析】設正方體的棱長為a，求出的值，設球的半徑為R，求出R即得解.【詳解】解：設正方體的棱長為a，則，得．設球的半徑為R，則，即．所以球的體積．故答案為：14．歐拉公式把自然對數的底數e，虛數單位i，三角函數和聯系在一起，充分體現了數學的和諧美，被譽為“數學的天橋”若復數滿足，則=________．【答案】【分析】利用歐拉公式可得：．代入，化簡可得，再利用模的運算性質即可得出．【詳解】解：．，，，則．故答案為：．【點睛】本題考查了歐拉公式、復數的運算性質、模的計算公式及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．15．函數，若，則實數m的取值范圍是____________．【答案】【分析】作出函數的圖象，根據圖象可得，從而可求出實數m的取值范圍【詳解】因為所以是偶函數，作出的圖象如下：由得，，∴．故答案為：16．已知△ABC中，，，，則____________．【答案】【分析】根據三角形重心的定義可得，結合題意和平面向量的線性運算即可得出結果.【詳解】由知，點O是△ABC的重心，∵，∴，，∴．故答案為：.四、解答題17．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E，F分別是邊BC，CD的中點，，．(1)用，表示，；(2)若向量與的夾角為，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）直接利用平面向量的三角形法則求解；（2）求出，即得解.【詳解】(1)解：，．(2)解：．，同理，∴．18．在復平面內，復數，，對應的點分別為，，．(1)計算，并求的模；(2)求向量在向量上的投影向量，其中O為復平面的原點．【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據復數的幾何意義求出，結合復數的乘、除法運算即可求出，根據復數的幾何意義即可求出；(2)根據平面向量的坐標運算求得、，進而求出、，結合投影向量的計算公式即可求解.【詳解】(1)由復數的幾何意義，得，，∴．∴．(2)，，∴，，設為，∵，∴向量在向量上的投影向量是．19．已知向量，．(1)若，且，求；(2)若，且存在使得，求實數a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標表示得出，結合倍角公式求解即可；（2）由數量積公式、三角函數的性質結合得出實數a的取值范圍．【詳解】(1)由得，由知，∴，即，∴．(2)由題，其中．，當時，，∴當時，取得最小值，最小值為，∴，即實數a的取值范圍是．20．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．在①；②；③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答．(1)若，求A；(2)在第（1）問的前提下，若，求△ABC的周長的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式，結合三角恒等變換得出；（2）由余弦定理結合基本不等式得出，再由，得出△ABC的周長的取值范圍．【詳解】(1)選①．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．選②．由及正弦定理得，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．選③．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．(2)由將，代入余弦定理得，∴，即，由于得，∴，解得，（當且僅當時取等）又，∴，即，∴求△ABC的周長的取值范圍是．21．如圖，在長方體中，，，點E，F分別是棱AB，BC的中點．(1)求三棱錐的體積；(2)點E，F，確定的平面為，試作出平面截長方體的截面圖，并計算該截面的面積（不必寫出畫法和理由）．【答案】(1)(2)作圖見解析，【分析】（1）由直接求解，（2）延長DC交EF于點，延長DA交EF于點，交與點M，交于點N，則五邊形為求的截面，【詳解】(1)，∴三棱錐是體積為．(2)延長DC交EF于點，延長DA交EF于點，交與點M，交于點N，平面截正方體的截面圖為五邊形（如圖所示）．由相似三角形的知識可知，，，同理，，易求得，，∴，∴該截面的面積為．22．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是線段BC上一點（不包括端點），且AD⊥AC，求△ABD的面