9.4.3 正方形 蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)素養(yǎng)綜合檢測(cè)(含解析)

第9章中心對(duì)稱圖形——平行四邊形9.4矩形、菱形、正方形第3課時(shí)正方形基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)6正方形的定義與性質(zhì)1.(2023江蘇無(wú)錫梁溪期中)正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.對(duì)角線互相垂直B.對(duì)角線互相平分C.對(duì)角線相等D.四個(gè)角都是直角2.(2023四川自貢中考)如圖,邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD的兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,3)D.(-3,-3)3.【教材變式·P94T19】如圖,已知點(diǎn)E、F分別是正方形ABCD的邊AD、CD上的點(diǎn),且AE=DF,連接BE、AF,交點(diǎn)為G,則BE與AF的數(shù)量與位置關(guān)系是.

知識(shí)點(diǎn)7正方形的判定4.【新考向·開(kāi)放型試題】(2023黑龍江鶴崗中考)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,試添加一個(gè)條件:,使得矩形ABCD為正方形.

5.如圖,在四邊形紙片ABCD中,∠B=∠D=90°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,將AB,AD分別沿AE,AF折疊,使得點(diǎn)B,D恰好都和EF上的點(diǎn)G重合,其中∠EAF=45°.求證:四邊形ABCD是正方形.能力提升全練6.(2023上海實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末,19,★☆☆)如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,那么添加下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是()A.AB=AD且AC⊥BDB.AC⊥BD且AC和BD互相平分C.∠BAD=∠ABC且AC=BDD.AC=BD且AB=AD7.【半角模型】(2023江蘇徐州鼓樓月考,8,★★☆)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,將等腰直角三角板的45°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)B處,BF與AD交于點(diǎn)G,BH與CD交于點(diǎn)E,若CE=1,則DG的長(zhǎng)為()A.12B.32C.208.【一線三等角模型】(2023江蘇揚(yáng)州廣陵期中,15,★☆☆)如圖,四邊形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角,且E,A,B三點(diǎn)共線,AB=4,則陰影部分的面積是.

9.(2023湖南懷化中考,15,★☆☆)如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的一點(diǎn),PE⊥AD于點(diǎn)E,PE=3,則點(diǎn)P到直線AB的距離為.

10.【對(duì)角互補(bǔ)模型】(2023江蘇無(wú)錫江陰期中,18,★★☆)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB為邊向外作正方形ABDE,且兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,連接OC.若AC=3,OC=32,則BC的長(zhǎng)為.

11.(2023浙江紹興中考,22,★★☆)如圖,在正方形ABCD中,G是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)(與點(diǎn)B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分別為垂足.連接EF,AG,并延長(zhǎng)AG交EF于點(diǎn)H.(1)求證:∠DAG=∠EGH;(2)判斷AH與EF是否垂直,并說(shuō)明理由.12.【新考向·實(shí)踐探究題】(2023內(nèi)蒙古通遼中考,22,★★☆)綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng),有一位同學(xué)的操作過(guò)程如下:操作一:對(duì)折正方形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平;操作二:在AD上選一點(diǎn)P,沿BP折疊,使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部點(diǎn)M處,把紙片展平,連接PM、BM,延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q,連接BQ.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí),∠EMB=度;

(2)改變點(diǎn)P在AD上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合),如圖2,判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖1圖2素養(yǎng)探究全練13.【推理能力】(2023江蘇揚(yáng)州廣陵月考)如圖,正方形OABC的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,4).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng),規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)P、Q都停止運(yùn)動(dòng).連接BP,過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線,與過(guò)點(diǎn)Q且平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.BD與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)∠PBD的度數(shù)為,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(用含t的式子表示);

(2)在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,直線OD的解析式發(fā)生變化嗎?如果不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出直線OD的解析式;(3)探索△POE的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化,若變化,說(shuō)明理由;若不變,試求這個(gè)定值.答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.AA.正方形的對(duì)角線互相垂直平分,矩形的對(duì)角線互相平分但不一定互相垂直,故本選項(xiàng)符合題意;B.正方形和矩形的對(duì)角線都互相平分,故本選項(xiàng)不符合題意;C.正方形和矩形的對(duì)角線都相等,故本選項(xiàng)不符合題意;D.正方形和矩形的四個(gè)角都是直角,故本選項(xiàng)不符合題意.故選A.2.C∵邊長(zhǎng)為3的正方形OBCD的兩邊與坐標(biāo)軸正半軸重合,∴∠OBC=∠ODC=90°,OB=BC=3,∴C(3,3),故選C.3.答案BE=AF,BE⊥AF解析∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAE=∠D=90°,在△BAE和△ADF中,AB=∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF,∠BEA=∠AFD,∵∠AFD+∠FAD=90°,∴∠BEA+∠FAD=90°,∴∠AGE=90°,∴BE⊥AF.故答案為BE=AF,BE⊥AF.4.答案AB=AD(答案不唯一)解析四邊形ABCD是矩形,當(dāng)一組鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直時(shí),該矩形是正方形,故可填A(yù)B=AD(答案不唯一).5.證明由題意得,∠BAE=∠EAG,∠DAF=∠FAG,∴∠BAD=2∠EAF=90°,又∵∠B=∠D=90°,∴四邊形ABCD是矩形,∵AB=AG,AD=AG,∴AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形.能力提升全練6.DA.只能判定四邊形是菱形,不符合題意;B.只能判定四邊形是菱形,不符合題意;C.只能判定四邊形是矩形,不符合題意;D.∵AC=BD,∴平行四邊形ABCD是矩形,又AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形,符合題意.故選D.7.B如圖,將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAM.連接EG.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△BCE≌△BAM,∴BE=BM,∠CBE=∠ABM,∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=3,∠ABC=90°,∵∠GBE=45°,∴∠CBE+∠GBA=∠ABM+∠GBA=∠GBM=45°,∵BG=BG,∠GBM=∠GBE,BM=BE,∴△BGM≌△BGE,∴EG=GM=AM+AG=AG+CE,設(shè)AG=x,則DG=3-x,GE=1+x,在Rt△DGE中,∵GE2=DG2+DE2,∴(3-x)2+22=(x+1)2,∴x=32,∴DG=32.方法解讀半角模型:由一個(gè)大角和它的一半小角組成共面點(diǎn)且大角兩邊相等的基本幾何模型.常見(jiàn)的半角模型有“45°半角模型”“60°半角模型”,基本圖形如下:解半角模型的一般步驟:①找旋轉(zhuǎn)點(diǎn)(含半角的角的頂點(diǎn)),構(gòu)造旋轉(zhuǎn);②證全等;③利用全等得到邊角關(guān)系.8.答案8解析∵四邊形ACDF是正方形,∴AC=FA,∠CAF=90°,∴∠CAE+∠FAB=90°,∵∠CEA=90°,∴∠CAE+∠ACE=90°,∴∠ACE=∠FAB,又∵∠AEC=∠FBA=90°,∴△AEC≌△FBA,∴CE=AB=4,∴S陰影=12AB·故答案為8.方法解讀當(dāng)在一條線段上,存在三個(gè)相等的角(銳角或直角或鈍角),且有一組邊相等時(shí),考慮用“一線三等角模型”.如圖,點(diǎn)P在線段AB上,∠1=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD),則△APC≌△BDP.9.答案3解析如圖,過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F,∵四邊形ABCD為正方形,∴AC平分∠DAB,∵PE⊥AD,PF⊥AB,∴PF=PE=3,∴點(diǎn)P到直線AB的距離為3.故答案為3.10.答案5解析如圖,過(guò)O作OF⊥BC于F,過(guò)A作AM⊥OF于M,∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°,∴四邊形ACFM是矩形,∴AM=CF,MF=AC=3,∵四邊形ABDE為正方形,∴∠AOB=90°,OA=OB,∴∠AOM+∠BOF=90°,∵∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°,∴∠OAM=∠BOF,又∵∠AMO=∠OFB=90°,∴△AOM≌△OBF(AAS),∴AM=OF,OM=FB,∴OF=CF,∵∠CFO=90°,∴△CFO是等腰直角三角形,∴OC=OF2+CF2=2CF2=2OF2,∵方法解讀對(duì)角互補(bǔ)模型通常包括:兩個(gè)對(duì)角是90°和90°、60°和120°,其中BD平分∠ABC.通常過(guò)D點(diǎn)作垂線,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.11.解析(1)證明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.(2)AH⊥EF,理由如下:連接GC交EF于點(diǎn)O,如圖,∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線,∴∠ADG=∠CDG=45°,又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG(SAS),∴∠DAG=∠DCG.在正方形ABCD中,∠ECF=90°,GE⊥CD,GF⊥BC,∴四邊形FCEG為矩形,∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC,又由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.12.解析(1)如圖,連接AM,由操作可知,BM=AB,EF垂直平分AB,∴AM=BM,∴AM=BM=AB,∴△ABM是等邊三角形,∴∠AMB=60°,∵EM⊥AB,∴ME平分∠AMB,∴∠EMB=12∠故答案為30.(2)∠MBQ=∠CBQ,理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠BAD=∠C=90°.由折疊可得AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°,∴BM=BC,∠BMQ=∠C=90°.又∵BQ=BQ,∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL),∴∠MBQ=∠CBQ.素養(yǎng)探究全練13.解析(1)45°;(t,t).詳解:由題可得AP=OQ=1×t=t.∴AO=PQ.∵四邊形OABC是正方形,∴AO=AB=BC=OC,∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.∵DP⊥BP,∴∠BPD=90°,∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ.∵AO=PQ,AO=AB,∴AB=PQ.在△BAP和△PQD中,∠BAP=∠PQD,∠∴AP=QD,BP=PD,∴∠PBD=∠PDB=45°.∵AP=t,∴DQ=t.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t,t).(2)不變化,∵D(t,t),∴點(diǎn)D在直線y=x上,即直線OD的解析式為