2012年上海市寶山區(qū)、嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2012年上海市寶山區(qū)、嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)?a2＝a3 D．（a2）3＝a52．（4分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+c＜b+c B．﹣a+c＜﹣b+c C．a(chǎn)c＜bc D．3．（4分）函數(shù)y＝x﹣2的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（4分）在研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)時，由于計算粗心，小明誤認為（﹣2，3）、（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）、（3，﹣2）、（，4）五個點在同一個反比例函數(shù)的圖象上，后來經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)其中有一個點不在，這個點是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（，4）5．（4分）如圖，在編號為①、②、③、④的四個三角形中，關(guān)于x軸對稱的兩個三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④6．（4分）下列命題中，假命題是（）A．如果一個點到圓心的距離大于這個圓的半徑，那么這個點在圓外 B．如果一個圓的圓心到一條直線的距離小于它的半徑，那么這條直線與這個圓有兩個交點 C．邊數(shù)相同的正多邊形都是相似圖形 D．正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：（a﹣2b）（a+b）＝．8．（4分）計算：＝．9．（4分）如果關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則k＝．10．（4分）已知函數(shù)，若f（a）＝a，則a＝．11．（4分）已知一個二次函數(shù)的圖象在y軸左側(cè)部分是上升的，在y軸右側(cè)部分是下降的，又經(jīng)過點A（1，1）．那么這個二次函數(shù)的解析式可以是（寫出符合要求的一個解析式即可）．12．（4分）在一個不透明的布袋中裝有2個白球和n個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則n＝．13．（4分）半徑為2的圓中，60°的圓心角所對的弦長為．14．（4分）在△ABC中，點D、E分別在邊AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝5，DB＝10，那么S△ADE：S△ABC的值為．15．（4分）在△ABC中，∠A＝90°，設(shè)∠B＝θ，AC＝b，則AB＝（用b和θ的三角比表示）．16．（4分）已知G是△ABC的重心，設(shè)，，那么＝（用、表示）．17．（4分）已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑比⊙O2的2倍還大1，又O1O2＝7，那么⊙O2的半徑長為．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B的坐標為（4，2），若四邊形OABC為菱形，則點C的坐標為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．20．（10分）．21．（10分）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝13，CD＝4，點E在邊AB上，DE∥BC．（1）若CE＝CB，且tan∠B＝3，求△ADE的面積；（2）若∠DEC＝∠A，求邊BC的長度．22．（10分）已知⊙O1、⊙O2外切于點T，經(jīng)過點T的任一直線分別與⊙O1、⊙O2交于點A、B，（1）若⊙O1、⊙O2是等圓（如圖1），求證：AT＝BT；（2）若⊙O1、⊙O2的半徑分別為R、r（如圖2），試寫出線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．23．（12分）結(jié)合“兩綱教育”，某中學(xué)600名學(xué)生參加了“讓青春飛揚”知識競賽．競賽組委會從中隨機抽取了部分學(xué)生的成績（得分都是整數(shù)，最高分98分）作為樣本進行統(tǒng)計分析，并繪制成抽樣分析分類統(tǒng)計表和頻率分布直方圖（如表和圖，部分數(shù)據(jù)缺失）．試根據(jù)所提供的信息解答下列問題：表1：抽樣分析分類統(tǒng)計表成績范圍x＜6060≤x＜80x≥80成績等第不合格合格優(yōu)良人數(shù)40平均成績57ab（1）本次隨機抽樣調(diào)查的樣本容量是；（2）試估計全校所有參賽學(xué)生中成績等第為優(yōu)良的學(xué)生人數(shù)；（3）若本次隨機抽樣的樣本平均數(shù)為76.5，又表1中b比a大15，試求出a、b的值；（4）如果把滿足p≤x≤q的x的取值范圍記為[p，q]，表1中a的取值范圍是．（A）[69.5，79.5]（B）[65，74]（C）[66.5，75.5]（D）[66，75]．24．（12分）如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B落在點C處，直線BC與x軸的交于點D．（1）試求出點D的坐標；（2）試求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的表達式，并寫出其頂點E的坐標；（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點F，使得以點A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似．25．（14分）已知△ABC中，∠ACB＝90°（如圖），點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA＝PB．（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；（2）設(shè)PA＝m，PC＝n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積；（3）設(shè)CP與AB交于點D，試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．

2012年上海市寶山區(qū)、嘉定區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）下列計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．a(chǎn)?a2＝a3 D．（a2）3＝a5【考點】35：合并同類項；46：同底數(shù)冪的乘法；47：冪的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)冪的除法．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；合并同類項，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項計算后利用排除法求解．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故本選項錯誤；B、a6÷a2＝a4，故本選項錯誤；C、a?a2＝a3，故本選項正確；D、（a2）3＝a6，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準法則才能做題．2．（4分）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+c＜b+c B．﹣a+c＜﹣b+c C．a(chǎn)c＜bc D．【考點】C2：不等式的性質(zhì)．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)分析判斷．【解答】解：A、在不等式的兩邊同時加上c不等號方向不變，故本選項正確；B、在不等式的兩邊同時乘以﹣1，加上c后不等號方向改變，故本選項錯誤；C、兩邊同時乘以負數(shù)c，不等號方向改變，故本選項錯誤；D、兩邊同時除以負數(shù)c，不等號方向改變，故本選項錯誤；故選：A．【點評】此題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．3．（4分）函數(shù)y＝x﹣2的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】F5：一次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)k＞0確定一次函數(shù)經(jīng)過第一三象限，根據(jù)b＜0確定與y軸負半軸相交，從而判斷得解．【解答】解：一次函數(shù)y＝x﹣2，∵k＝1＞0，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第一三象限，∵b＝﹣2＜0，∴函數(shù)圖象與y軸負半軸相交，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第一三四象限，不經(jīng)過第二象限．故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，對于一次函數(shù)y＝kx+b，k＞0，函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，k＜0，函數(shù)經(jīng)過第二、四象限．4．（4分）在研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)時，由于計算粗心，小明誤認為（﹣2，3）、（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）、（3，﹣2）、（，4）五個點在同一個反比例函數(shù)的圖象上，后來經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)其中有一個點不在，這個點是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（，4）【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．【分析】在同一反比例函數(shù)的圖象上，k的值就相等．由題意得：k＝xy，橫縱坐標相乘得比例系數(shù)．只需把所給點的橫縱坐標相乘，結(jié)果相等的，就在此函數(shù)圖象上；反之，就不在．【解答】解：A、2×（﹣3）＝﹣6；B、（﹣2）×3＝﹣6；C、（﹣2）×（﹣3）＝6；D、（﹣）×4＝﹣6．故選：C．【點評】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，所有在反比例函數(shù)y＝圖象上的點的橫縱坐標的積都等于其比例系數(shù)k．5．（4分）如圖，在編號為①、②、③、④的四個三角形中，關(guān)于x軸對稱的兩個三角形是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④【考點】P2：軸對稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找出關(guān)于x軸折疊后能夠完全重合的兩個三角形即可．【解答】解：由圖象可知，關(guān)于x軸折疊后，②和③能夠完全重合，所以，關(guān)于x軸對稱的兩個三角形是②和③．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，找出關(guān)于x軸折疊后能夠完全重合的兩個三角形即可，比較簡單．6．（4分）下列命題中，假命題是（）A．如果一個點到圓心的距離大于這個圓的半徑，那么這個點在圓外 B．如果一個圓的圓心到一條直線的距離小于它的半徑，那么這條直線與這個圓有兩個交點 C．邊數(shù)相同的正多邊形都是相似圖形 D．正多邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形【考點】O1：命題與定理．【分析】A、根據(jù)點與直線的位置關(guān)系，可知此命題是真命題；B、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，可知此命題是真命題；C、根據(jù)相似多邊形的定義可知此命題是真命題；D、舉一個反例即可，如：正五邊形．【解答】解：A、當d＞r時，點在圓外，此命題是真命題；B、是真命題；C、是真命題；D、例如：正五邊形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，此命題是假命題．故選：D．【點評】本題考查了命題和定理，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，相似多邊形的定義，中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計算：（a﹣2b）（a+b）＝a2﹣ab﹣2b2．【考點】4B：多項式乘多項式．【分析】利用多項式乘以多項式就是用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式中的每一項，然后將所得的積相加即可．【解答】解：原式＝a2+ab﹣2ab﹣2b2＝a2﹣ab﹣2b2，故答案為：a2﹣ab﹣2b2．【點評】本題考查了多項式乘以多項式的知識，屬于基礎(chǔ)運算，必須掌握．8．（4分）計算：＝．【考點】6B：分式的加減法．【分析】分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．【解答】解：原式＝＝．【點評】本題考查了分式的加減運算．解決本題首先應(yīng)通分，最后要注意將結(jié)果化為最簡分式．9．（4分）如果關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，則k＝±6．【考點】AA：根的判別式．【專題】2B：探究型．【分析】先根據(jù)關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根可得出△＝0，據(jù)此求出k的值即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2+kx+9＝0（k為常數(shù)）有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝k2﹣4×9＝k2﹣36＝0，解得k＝±6．故答案為：±6．【點評】本題考查的是根的判別式，根據(jù)題意得出關(guān)于k的一元二次方程是解答此題的關(guān)鍵．10．（4分）已知函數(shù)，若f（a）＝a，則a＝3．【考點】E5：函數(shù)值．【分析】將a代替函數(shù)解析式中的x，得到有關(guān)a的無理方程求解即可．【解答】解：∵f（a）＝a，∴＝a解得：a＝3或﹣2（舍去）故答案為3．【點評】本題主要考查求函數(shù)值，此題比較簡單，注意（1）當已知函數(shù)解析式時，求函數(shù)值就是求代數(shù)式的值；（2）函數(shù)值是唯一的，而對應(yīng)的自變量可以是多個．11．（4分）已知一個二次函數(shù)的圖象在y軸左側(cè)部分是上升的，在y軸右側(cè)部分是下降的，又經(jīng)過點A（1，1）．那么這個二次函數(shù)的解析式可以是y＝﹣x2+2（答案不唯一）（寫出符合要求的一個解析式即可）．【考點】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】26：開放型．【分析】設(shè)出符合條件的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象在y軸左側(cè)部分是上升的，在y軸右側(cè)部分是下降的可知該函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為y軸，即a＜0，b＝0，再把A（1，1）代入，得出符合條件的函數(shù)解析式即可．【解答】解：設(shè)出符合條件的函數(shù)解析式為：y＝ax2+bx+c（a≠0），∵二次函數(shù)的圖象在y軸左側(cè)部分是上升的，在y軸右側(cè)部分是下降的，∴該函數(shù)圖象的開口向下，對稱軸為y軸，即a＜0，b＝0，∵函數(shù)圖象經(jīng)過A（1，1），∴a+c＝1，∴a＝﹣1時，c＝2，∴符合條件的二次函數(shù)解析式可以為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案為：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，先根據(jù)題意設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷出a的符號及對稱軸是解答此題的關(guān)鍵，此題屬開放性題目，答案不唯一．12．（4分）在一個不透明的布袋中裝有2個白球和n個黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機摸出一個球，它是黃球的概率是，則n＝8．【考點】X4：概率公式．【分析】根據(jù)黃球的概率公式列出方程求解即可．【解答】解：不透明的布袋中的球除顏色不同外，其余均相同，共有n+2個球，其中黃球n個，根據(jù)古典型概率公式知：P（黃球）＝＝．解得n＝8．故答案為：8．【點評】用到的知識點為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．13．（4分）半徑為2的圓中，60°的圓心角所對的弦長為2．【考點】MN：弧長的計算．【專題】17：推理填空題．【分析】如圖，根據(jù)題意可以判定△OAB是等邊三角形，所以弦AB的長度等于⊙O的半徑OA的長度．【解答】解：如圖，OA＝2，∠OAB＝60°．∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2．故答案是：2．【點評】本題考查了圓心角、弦、弧間的關(guān)系．解題時，利用了“有一角是60度的等腰三角形是等邊三角形的判定方法和等邊三角形的性質(zhì)”求解．14．（4分）在△ABC中，點D、E分別在邊AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝5，DB＝10，那么S△ADE：S△ABC的值為．【考點】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】由兩直線平行得到兩對同位角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△ADE∽△ABC，由相似得比例，求出兩三角形的相似比，利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可求出兩三角形的面積之比．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，又∵AD＝5，DB＝10，∴＝＝，則S△ADE：S△ABC的值為（）2＝．故答案為：【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及比例的性質(zhì)，相似三角形的面積之比為相似比的平方；周長之比及對應(yīng)邊之比等于相似比．15．（4分）在△ABC中，∠A＝90°，設(shè)∠B＝θ，AC＝b，則AB＝b?cotθ（用b和θ的三角比表示）．【考點】T7：解直角三角形．【專題】11：計算題．【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解．【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，BC為斜邊，∴AB＝AC?cot∠B＝b?cotθ．【點評】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用．16．（4分）已知G是△ABC的重心，設(shè)，，那么＝（用、表示）．【考點】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)圖，即可求得的值，又由G是△ABC的重心，即可求得的值，繼而求得的值．【解答】解：如圖，∵，，∴＝﹣＝﹣，∵D是BC的中點，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝（+），∵G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故答案為：（+）．【點評】此題考查了平面向量的知識與三角形重心的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握三角形法則的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．17．（4分）已知⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑比⊙O2的2倍還大1，又O1O2＝7，那么⊙O2的半徑長為2或6．【考點】MK：相切兩圓的性質(zhì)．【專題】11：計算題．【分析】設(shè)⊙O2的半徑為r，則⊙O1的半徑R＝2r+1，由⊙O1與⊙O2相切，分為外切與內(nèi)切兩種情況考慮，分別列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值．【解答】解：設(shè)⊙O2的半徑為r，則⊙O1的半徑R＝2r+1，由⊙O1與⊙O2相切，得到r+R＝O1O2＝7或R﹣r＝O1O2＝7，即3r+1＝7或r+1＝7，解得：r＝2或6．故答案為：2或6．【點評】此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，當兩圓相切時有兩種情況：內(nèi)切與外切，當兩圓內(nèi)切時，圓心距d＝R﹣r；當兩圓外切時，圓心距d＝R+r．18．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B的坐標為（4，2），若四邊形OABC為菱形，則點C的坐標為（）．【考點】D5：坐標與圖形性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì)．【分析】首先由四邊形OABC是菱形，可得OC＝OA＝AB＝BC，BC∥OA，然后過點B作BD⊥OA于D，并延長BC交y軸與點E，設(shè)AB＝x，則OA＝x，AD＝4﹣x，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求得BC和OD的長，則可得C點的坐標．【解答】解：過點B作BD⊥OA于D，并延長BC交y軸與點E，∵四邊形OABC是菱形，∴OC＝OA＝AB＝BC，BC∥OA，設(shè)AB＝x，則OA＝x，AD＝4﹣x，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，即x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，∴CE＝BE﹣BC＝OD﹣BC＝4﹣＝，∴C點的坐標為（，2）．故答案為：（，2）．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用，難度一般．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：．【考點】2C：實數(shù)的運算；2F：分數(shù)指數(shù)冪；6E：零指數(shù)冪；6F：負整數(shù)指數(shù)冪．【分析】本題涉及零指數(shù)冪、負指數(shù)冪、二次根式化簡、分數(shù)指數(shù)冪4個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果．【解答】解：原式＝＝＝．【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對值、分數(shù)指數(shù)冪等考點的運算．20．（10分）．【考點】AF：高次方程．【分析】將原方程組變形為：，所以有，，，，然后解4個二元一次方程組就可以求出其值．【解答】解：原方程組變形為：，原方程組變?yōu)樗膫€方程組為：，，，，解這四個方程組為：，，，【點評】本題考查了用分解因式的方式降次的方法解二元二次方程組的運用．21．（10分）如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝13，CD＝4，點E在邊AB上，DE∥BC．（1）若CE＝CB，且tan∠B＝3，求△ADE的面積；（2）若∠DEC＝∠A，求邊BC的長度．【考點】LH：梯形；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)；T7：解直角三角形．【分析】（1）分別過點C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于點F、G，易證得四邊形CDEB是平行四邊形，則可求得AE的長，在Rt△BCF中，由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△ADE的面積；（2）易證得△CDE∽△DEA，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得DE，則可求得邊BC的長度．【解答】解：（1）分別過點C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于點F、G．∵AB∥CD，∴DG＝CF，∵AB∥CD，DE∥BC，∴四邊形CDEB是平行四邊形，∴BE＝CD．∵AB＝13，CD＝4，∴AE＝AB﹣BE＝13﹣4＝9，∵CE＝CB，CF⊥BE，∴BF＝BE＝×4＝2，在Rt△BCF中，由tan∠B＝3，BF＝2，∴tan∠B＝＝3，即＝3，CF＝6，∴DG＝CF＝6．∴S△ADE＝AE?DG＝×9×6＝27；（2）∵AB∥CD，∴∠CDE＝∠DEA，又∵∠DEC＝∠A，∴△CDE∽△DEA，∴，∵AE＝9，CD＝4，∴．∴DE2＝36，DE＝6（負值已舍）．∵四邊形CDEB是平行四邊形，∴BC＝DE＝6．【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（10分）已知⊙O1、⊙O2外切于點T，經(jīng)過點T的任一直線分別與⊙O1、⊙O2交于點A、B，（1）若⊙O1、⊙O2是等圓（如圖1），求證：AT＝BT；（2）若⊙O1、⊙O2的半徑分別為R、r（如圖2），試寫出線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【考點】MR：圓的綜合題．【專題】14：證明題．【分析】（1）連接O1O2，如圖1所示，根據(jù)兩圓外切時，兩圓心連線過切點，得到O1O2過T點，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O1CT與△O2DT，由相似得比例，又兩圓為等圓，半徑相等可得出，可得出CT＝DT，又O1C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT＝BT，得證；（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是＝，理由為：連接O1O2，如圖2所示，根據(jù)兩圓外切時，兩圓心連線過切點，得到O1O2過T點，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到△O1CT與△O2DT，由相似得比例，將O1T＝R，O2T＝r代入，得到CT與DT的比值為R：r，又O1C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT與BT的比值為R：r．【解答】證明：（1）連接O1O2，如圖1所示，∵⊙O1、⊙O2外切于點T，∴點T在O1O2上，過O1、O2分別作O1C⊥AT、O2D⊥BT，垂足為C、D，∴∠O1CT＝∠O2DT＝90°，又∠O1TC＝∠O2TD，∴△O1CT∽△O2DT，∴＝，∵⊙O1、⊙O2是等圓，∴O1T＝O2T，∴＝＝1，∴CT＝DT，在⊙O1中，∵O1C⊥AB，∴AC＝CT＝AT，同理BD＝DT＝BT，∴AT＝BT，即AT＝BT；（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數(shù)量關(guān)系是＝，理由為：證明：（1）連接O1O2，如圖2所示，∵⊙O1、⊙O2外切于點T，∴點T在O1O2上，過O1、O2分別作O1C⊥AT、O2D⊥BT，垂足為C、D，∴∠O1CT＝∠O2DT＝90°，又∠O1TC＝∠O2TD，∴△O1CT∽△O2DT，∴＝，∵O1T＝R，O2T＝r，∴＝＝，在⊙O1中，∵O1C⊥AB，∴AC＝CT＝AT，同理BD＝DT＝BT，∴＝＝＝．【點評】此題屬于圓的綜合性題，涉及的知識有：兩圓相切的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及垂徑定理，利用了等量代換的思想，在探討此類題型時注意各問之間的聯(lián)系與區(qū)別．23．（12分）結(jié)合“兩綱教育”，某中學(xué)600名學(xué)生參加了“讓青春飛揚”知識競賽．競賽組委會從中隨機抽取了部分學(xué)生的成績（得分都是整數(shù)，最高分98分）作為樣本進行統(tǒng)計分析，并繪制成抽樣分析分類統(tǒng)計表和頻率分布直方圖（如表和圖，部分數(shù)據(jù)缺失）．試根據(jù)所提供的信息解答下列問題：表1：抽樣分析分類統(tǒng)計表成績范圍x＜6060≤x＜80x≥80成績等第不合格合格優(yōu)良人數(shù)40平均成績57ab（1）本次隨機抽樣調(diào)查的樣本容量是80；（2）試估計全校所有參賽學(xué)生中成績等第為優(yōu)良的學(xué)生人數(shù)；（3）若本次隨機抽樣的樣本平均數(shù)為76.5，又表1中b比a大15，試求出a、b的值；（4）如果把滿足p≤x≤q的x的取值范圍記為[p，q]，表1中a的取值范圍是D．（A）[69.5，79.5]（B）[65，74]（C）[66.5，75.5]（D）[66，75]．【考點】V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表；V8：頻數(shù)（率）分布直方圖；W2：加權(quán)平均數(shù)．【專題】27：圖表型．【分析】（1）根據(jù)直方圖求出成績合格的頻率，再根據(jù)成績合格的人數(shù)是40，列式計算即可求出樣本容量；（2）根據(jù)頻率之和為1求出成績等第為優(yōu)良的頻率，然后乘以總?cè)藬?shù)600，計算即可得解；（3）先求出不合格與成績優(yōu)良的人數(shù)，然后根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的求解與b比a大15列方程組，然后解方程組即可求出a、b的值；（4）先根據(jù)頻率求出成績合格的兩組的人數(shù)，然后分別取兩組的最低分與最高分，根據(jù)平均數(shù)的求法求出a可能的最小值與最大值，從而得解．【解答】解：（1）成績合格的頻率為：0.2+0.3＝0.5，所以，樣本容量為：40÷0.5＝80；…（3分）（2）成績位于79.5～89.5的頻率為1﹣（0.1+0.2+0.3+0.15）＝0.25．…（1分）成績?yōu)閮?yōu)良的頻率為：0.25+0.15＝0.4，所以，全校所有參賽學(xué)生中成績等第為優(yōu)良的學(xué)生人數(shù)為600×0.4＝240（人）；…（2分）（3）本次隨機抽樣分析成績不合格的人數(shù)為80×0.1＝8（人），成績優(yōu)良的人數(shù)為80×0.4＝32（人），…（1分）依據(jù)題意，可得方程組，…（1分）解得；…（1分）故所求a、b的值分別為72，87；（4）成績位于59.5～69.5的人數(shù)為：80×0.2＝16，成績位于69.5～79.5的人數(shù)為：80×0.3＝24，∵得分都是整數(shù)，∴a≥＝＝66，a≤＝＝75，所以，a的取值范圍是66≤a≤75，即[66，75]．故答案為D．…（3分）【點評】本題考查了對頻數(shù)分布直方圖與頻數(shù)分布表的信息獲取能力，根據(jù)兩個圖表求出成績合格的頻率與頻數(shù)是解題的關(guān)鍵，（4）中考慮利用成績的最低值與最高值分別求出a可能的最小值與最大值進行求解是本問的難點，不容易考慮得到．24．（12分）如圖，平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，3），線段AB垂直于y軸，垂足為B，將線段AB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B落在點C處，直線BC與x軸的交于點D．（1）試求出點D的坐標；（2）試求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的表達式，并寫出其頂點E的坐標；（3）在（2）中所求拋物線的對稱軸上找點F，使得以點A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似．【考點】HF：二次函數(shù)綜合題．【專題】15：綜合題；32：分類討論．【分析】（1）已知A點坐標，根據(jù)AB的長以及線段AB的旋轉(zhuǎn)條件確定點C的坐標，利用待定系數(shù)法即可確定直線BC的解析式，進一步能求出點D的坐標．（2）利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，通過配方能得到頂點E的坐標．（3）首先畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)A、B、C、D四點坐標，能判斷出∠ACD＝135°，結(jié)合A、E的坐標，首先確定點F的大致位置，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出點F的坐標．【解答】解：（1）點C的坐標為（2，1）設(shè)直線BC的表達式為y＝mx+n（m≠0）．易得，解得，所以直線BC的表達式為y＝﹣x+3．當y＝0時，0＝﹣x+3，x＝3．所以點D的坐標為（3，0）．（2）設(shè)經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的表達式為y＝ax2+bx+c（a≠0）易得解得因此，所求的拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3．其頂點E坐標為（1，4）．（3）點F在y＝﹣x2+2x+3的對稱軸（即直線x＝1）上，所以設(shè)點F的坐標為（1，m）．由題意可得AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝135°．所以若以A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似，△AEF必有一個角的度數(shù)為135°，由此可得點F必定在點E的上方，∠AEF＝∠ACD＝135°，EF＝m﹣4所以當＝或＝時，以A、E、F為頂點的三角形與△ACD相似．由點D（3，0）、C（2，1）、A（2，3）、E（1，4）易得AC＝3﹣1＝2，CD＝，AE＝．∴＝或＝．解得m＝6或m＝5．故符合題意的點F有兩個，其坐標為（1，5）或（1，6）．【點評】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識；（3）題在不確定相似三角形的對應(yīng)邊的情況下，要分類討論，以免漏解．25．（14分）已知△ABC中，∠ACB＝90°（如圖），點P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA＝PB．（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由；（2）設(shè)PA＝m，PC＝n，試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長和面積；（3）設(shè)CP與AB交于點D，試探索當邊AC、BC的長度變化時，的值是否發(fā)生變化，若不變，試求出這個不變的值，若變化，試說明理由．【考點】SO：相似形綜合題．【專題】2B：探究型．【分析】（1）先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點，過點P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△ABP是等腰直角三角形；（2）在Rt△PAB中，由∠APB＝90°，PA＝PB，PA＝m，可得出AB＝m，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE＝BF，CE＝CF，故CA+CB＝CE+EA+CB＝CE+CF＝2CE，在Rt△PCE中，∠PEC＝90°，∠PCE＝45°，PC＝n，可知CE＝P