2015年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2015年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）1．（4分）如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣62．（4分）在同一直角坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，則（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞03．（4分）某籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如表所示：年齡（歲）18192021人數(shù)5412則這12名隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．2，19 B．18，19 C．2，19.5 D．18，19.54．（4分）下列命題中，真命題是（）A．周長相等的銳角三角形都全等 B．周長相等的直角三角形都全等 C．周長相等的鈍角三角形都全等 D．周長相等的等腰直角三角形都全等5．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．6．（4分）設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a．下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）因式分解：xy2﹣4x=．8．（4分）不等式5﹣x＜x的解集是．9．（4分）方程的解為．10．（4分）如果關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．11．（4分）如果將拋物線y=x2﹣4平移到拋物線y=x2﹣4x的位置，那么平移的方向和距離分別是．12．（4分）一個不透明盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是．13．（4分）如圖，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，M為AC中點(diǎn)，AD與BM交于點(diǎn)G，那么S△GDM：S△GAB的值為．14．（4分）如圖，在△ABC中，記=，=，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則=（用向量、來表示）15．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙S相內(nèi)切，那么⊙A的半徑為cm．16．（4分）本市某校開展以“倡導(dǎo)綠色出行，關(guān)愛師生健康”為主題的教育活動，為了了解本校師生的出行方式，在本校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分師生，將收集的數(shù)據(jù)給繪制成下列不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖．已知隨機(jī)抽查的教師人數(shù)為學(xué)生人數(shù)的一半，根據(jù)圖中信息，乘私家車出行的教師人數(shù)是．17．（4分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”，例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為P′（1+，2×1+4），則P′（3，6）．若點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（3，3），請寫出一個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．18．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC=，BC=4，將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在直線AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．若C、B、B′恰好在一直線上，則AB的長為．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：（﹣1）0﹣．20．（10分）解方程組：．21．（10分）如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．（1）求點(diǎn)P到海岸線l的距離；（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）22．（10分）現(xiàn)有甲、乙兩個空調(diào)安裝隊(duì)分別為A、B兩個公司安裝空調(diào)，甲安裝隊(duì)為A公司安裝66臺空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B公司安裝80臺空調(diào)，乙安裝隊(duì)提前一天開工，最后與甲安裝隊(duì)恰好同時完成安裝任務(wù)．已知甲隊(duì)比乙隊(duì)平均每天多安裝2臺空調(diào)，求甲、乙兩個安裝隊(duì)平均每天各安裝多少臺空調(diào)．23．（12分）已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H（1）求證：MB=MD；（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時，求證：四邊形MGCH為矩形．24．（12分）已知：在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)D在直線AB上，與y軸的交點(diǎn)為C（1）若點(diǎn)C（非頂點(diǎn)）與點(diǎn)B重合，求拋物線的表達(dá)式；（2）若拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；（3）在（2）的條件下，在∠ACD的內(nèi)部作射線CP交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，使得∠DCP=∠CAD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，點(diǎn)O是AB邊上動點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作AB的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE、AE（1）當(dāng)AE∥BC（如圖（1））時，求⊙O的半徑長；（2）設(shè)BO=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點(diǎn)D、E，當(dāng)⊙A恰好也過點(diǎn)C時，求DE的長．

2015年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共6小題，每小題4分，滿分24分）1．（4分）如果x=2是方程x+a=﹣1的根，那么a的值是（）A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6【考點(diǎn)】85：一元一次方程的解．【分析】把x═2代入方程x+a=﹣1得出一個關(guān)于a的方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵x=2是方程x+a=﹣1的根，∴代入得：×2+a=﹣1，∴a=﹣2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解此題的關(guān)鍵是得出一個關(guān)于a的方程．2．（4分）在同一直角坐標(biāo)系中，若正比例函數(shù)y=k1x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，則（）A．k1+k2＜0 B．k1+k2＞0 C．k1k2＜0 D．k1k2＞0【考點(diǎn)】G8：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題．【專題】2B：探究型．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵正比例函數(shù)y=k1x的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象沒有公共點(diǎn)，∴k1與k2異號，即k1?k2＜0．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（4分）某籃球隊(duì)12名隊(duì)員的年齡如表所示：年齡（歲）18192021人數(shù)5412則這12名隊(duì)員年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．2，19 B．18，19 C．2，19.5 D．18，19.5【考點(diǎn)】W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù)．【分析】眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，而中位數(shù)就是大小處于中間位置的數(shù)，根據(jù)定義即可求解．【解答】解：18歲出現(xiàn)了5次，次數(shù)最多，因而眾數(shù)是：18；12個數(shù)，處于中間位置的都是19，因而中位數(shù)是：19．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．4．（4分）下列命題中，真命題是（）A．周長相等的銳角三角形都全等 B．周長相等的直角三角形都全等 C．周長相等的鈍角三角形都全等 D．周長相等的等腰直角三角形都全等【考點(diǎn)】KB：全等三角形的判定；O1：命題與定理．【專題】14：證明題．【分析】全等三角形必須是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一檢驗(yàn)．【解答】解：A、周長相等的銳角三角形的對應(yīng)角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；B、周長相等的直角三角形對應(yīng)銳角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；C、周長相等的鈍角三角形對應(yīng)鈍角不一定相等，對應(yīng)邊也不一定相等，假命題；D、由于等腰直角三角形三邊之比為1：1：，故周長相等時，等腰直角三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，故全等，真命題．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定定理的運(yùn)用，命題與定理的概念．關(guān)鍵是明確全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．5．（4分）下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故此選項(xiàng)正確；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故此選項(xiàng)錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項(xiàng)錯誤；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故此選項(xiàng)錯誤．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．6．（4分）設(shè)邊長為3的正方形的對角線長為a．下列關(guān)于a的四種說法：①a是無理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【考點(diǎn)】22：算術(shù)平方根；26：無理數(shù)；29：實(shí)數(shù)與數(shù)軸；2B：估算無理數(shù)的大??；LE：正方形的性質(zhì)．【分析】先利用勾股定理求出a=3，再根據(jù)無理數(shù)的定義判斷①；根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系判斷②；利用估算無理數(shù)大小的方法判斷③；利用算術(shù)平方根的定義判斷④．【解答】解：∵邊長為3的正方形的對角線長為a，∴a===3．①a=3是無理數(shù)，說法正確；②a可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示，說法正確；③∵16＜18＜25，4＜＜5，即4＜a＜5，說法錯誤；④a是18的算術(shù)平方根，說法正確．所以說法正確的有①②④．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，實(shí)數(shù)中無理數(shù)的概念，算術(shù)平方根的概念，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，估算無理數(shù)大小，有一定的綜合性．二、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）7．（4分）因式分解：xy2﹣4x=x（y+2）（y﹣2）．【考點(diǎn)】55：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】先提取公因式x，再對余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：xy2﹣4x，=x（y2﹣4），=x（y+2）（y﹣2）．【點(diǎn)評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于要進(jìn)行二次因式分解．8．（4分）不等式5﹣x＜x的解集是x＞．【考點(diǎn)】C6：解一元一次不等式．【分析】先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，把x的系數(shù)化為1即可．【解答】解：移項(xiàng)得，﹣x﹣x＜﹣5，合并同類項(xiàng)得，﹣2x＜﹣5，把x的系數(shù)化為1得，x＞．故答案為：x＞．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此題的關(guān)鍵．9．（4分）方程的解為3．【考點(diǎn)】AG：無理方程．【分析】首先將方程兩邊平方，去掉根號；然后解一元二次方程；根據(jù)題意確定方程解的范圍，即可解決問題．【解答】解：∵，∴x2﹣x﹣6=0，解得：x=3或x=﹣2；由題意得：x＞0，且x≥﹣6，∴x=3，故答案為3．【點(diǎn)評】該題主要考查了無理方程的解法問題；解題的一般思路是將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程；常用方法是平方法或換元法；最后應(yīng)注意未知數(shù)的取值范圍．10．（4分）如果關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m＞0．【考點(diǎn)】A5：解一元二次方程﹣直接開平方法．【分析】直接利用直接開平方法的定義得出m的取值范圍即可．【解答】解：∵關(guān)于x的方程mx2=3有兩個實(shí)數(shù)根，∴m＞0．故答案為：m＞0．【點(diǎn)評】此題主要考查了直接開平方法解方程的意義，正確把握開平方法解方程的定義是解題關(guān)鍵．11．（4分）如果將拋物線y=x2﹣4平移到拋物線y=x2﹣4x的位置，那么平移的方向和距離分別是向右平移2個單位．【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4），平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4），由此確定平移規(guī)律．【解答】解：∵拋物線y=x2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣4），拋物線y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣4），∴把（0，﹣4）向右平移2個單位得到（2，﹣4），∴平移方法是：向右平移2個單位．故答案是：向右平移2個單位．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．關(guān)鍵是將拋物線的平移問題轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)的平移，尋找平移方法．12．（4分）一個不透明盒子內(nèi)裝有大小、形狀相同的四個球，其中紅球1個、綠球1個、白球2個，小明摸出一個球不放回，再摸出一個球，則兩次都摸到白球的概率是．【考點(diǎn)】X6：列表法與樹狀圖法．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩次都摸到白球的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，兩次都摸到白球的有2種情況，∴兩次都摸到白球的概率是：=故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．（4分）如圖，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，M為AC中點(diǎn)，AD與BM交于點(diǎn)G，那么S△GDM：S△GAB的值為1：4．【考點(diǎn)】KX：三角形中位線定理；S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由已知條件易證DM是△ABC的中位線，所以DM∥AB，進(jìn)而可證明△GMD∽△GAB，由相似三角形的性質(zhì)即可求出S△GDM：S△GAB的值．【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=CD，∵M(jìn)為AC中點(diǎn)，∴DM是△ABC的中位線，∴DM∥AB，DM=AB，∴△GMD∽△GAB，∴S△GDM：S△GAB，=1：4．故答案為1：4．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線性質(zhì)定理，熟悉相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比是相似比的平方是解題關(guān)鍵．14．（4分）如圖，在△ABC中，記=，=，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，則=+（用向量、來表示）【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】由三角形法則可求得的長，又由點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，即可求得，再利用三角形法則求解即可求得答案．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴==﹣，∴=+=+﹣=+．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC為直徑的圓，如果⊙O與⊙S相內(nèi)切，那么⊙A的半徑為cm．【考點(diǎn)】MK：相切兩圓的性質(zhì)．【分析】連接A0并延長交⊙A于D，則OD=BC=2，根據(jù)勾股定理求出OA，即可得出AD=OA+OD=．【解答】解：連接A0并延長交⊙A于D，如圖所示：∵⊙O與⊙A相內(nèi)切，∴D為切點(diǎn)，∴OD=BC=2，∵∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理得：OA===，∴AD=OA+OD=；故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理；通過作輔助線得出AD是⊙A的半徑是解決問題的關(guān)鍵．16．（4分）本市某校開展以“倡導(dǎo)綠色出行，關(guān)愛師生健康”為主題的教育活動，為了了解本校師生的出行方式，在本校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查了部分師生，將收集的數(shù)據(jù)給繪制成下列不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖．已知隨機(jī)抽查的教師人數(shù)為學(xué)生人數(shù)的一半，根據(jù)圖中信息，乘私家車出行的教師人數(shù)是15．【考點(diǎn)】VB：扇形統(tǒng)計(jì)圖；VC：條形統(tǒng)計(jì)圖．【分析】根據(jù)騎自行車的學(xué)生人數(shù)和所占的百分比求出調(diào)查的總學(xué)生數(shù)，再根據(jù)隨機(jī)抽查的教師人數(shù)為學(xué)生人數(shù)的一半，得出教師人數(shù)，再用教師人數(shù)減去步行、乘公交車和騎自行車的教師數(shù)，即可得出乘私家車出行的教師人數(shù)．【解答】解：調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是：15÷25%=60（人），則教師人數(shù)為30人，教師乘私家車出行的人數(shù)為30﹣（3+9+3）=15（人）．故答案為：15．【點(diǎn)評】此題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計(jì)圖直接反映部分占總體的百分比大?。?7．（4分）對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（a+，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點(diǎn)P′為點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”，例如：P（1，4）的“2屬派生點(diǎn)”為P′（1+，2×1+4），則P′（3，6）．若點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（3，3），請寫出一個符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)（1，2）．【考點(diǎn)】D1：點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】23：新定義；26：開放型．【分析】根據(jù)“k屬派生點(diǎn)”的定義可知縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的k倍，然后根據(jù)點(diǎn)P′的坐標(biāo)求出k=1，然后求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，再求解即可．【解答】解：∵k（a+）=ka+b，∴“k屬派生點(diǎn)”的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的k倍，∵點(diǎn)P的“k屬派生點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（3，3），∴3k=3，解得k=1，∴a+b=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)可以是（1，2）．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，開放型題目，讀懂題目信息，理解“k屬派生點(diǎn)”的定義并判斷出縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的k倍是解題的關(guān)鍵．18．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC=，BC=4，將三角形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在直線AB上的點(diǎn)C′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．若C、B、B′恰好在一直線上，則AB的長為．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】作B'M⊥AC于點(diǎn)M，作CN⊥AC于點(diǎn)N．則△BMB'∽△BNC，設(shè)B'M=3x，CN=3y，則AM=4x，AN=4y，即可利用y表示出BN的長，在直角△BNC中利用勾股定理求得y的值，進(jìn)而求得x，得到AB的長．【解答】解：作B'M⊥AC于點(diǎn)M，作CN⊥AC于點(diǎn)N．則△BMB'∽△BNC．∵∠B'AC=∠BAC，∴tan∠B'AC=tan∠BAC===．∴設(shè)B'M=3x，CN=3y，則AM=4x，AN=4y，∴在直角△AB'M中，AB'==5x，則AB=AB'=5x，∴BM=x，∵△BMB'∽△BNC，∴===3，∴BN===y．則5x+y=4y，解得：x=y．又∵直角△BCN中，BN2+CN2=BC2即y2+（3y）2=16，解得：y=，則x=，AB=5x=．故答案是：．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作出輔助線，得到x和y的關(guān)系是關(guān)鍵．三、解答題（共7小題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：（﹣1）0﹣．【考點(diǎn)】2C：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；6E：零指數(shù)冪；6F：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；T5：特殊角的三角函數(shù)值．【專題】11：計(jì)算題．【分析】原式第一項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，第二項(xiàng)化為最簡二次根式，第三項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第四項(xiàng)利用負(fù)指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=1﹣5+2×+2+﹣1=2﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）解方程組：．【考點(diǎn)】AF：高次方程．【分析】運(yùn)用因式分解法把x2﹣2xy+y2﹣4=0化為x﹣y=2和x﹣y=﹣2兩個方程，把這兩個方程與xy=3組成方程組，解方程組得到答案．【解答】解：由②得，x﹣y=±2③③分別與①組成方程組得，，解得，，，【點(diǎn)評】本題考查的是二元二次方程組的解法，解題的關(guān)鍵是把其中一個二元二次方程，通過因式分解化為兩個二元一次方程，與另一個方程組成一個簡單的方程組，解這兩個方程組，得到原方程組的解．21．（10分）如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．（1）求點(diǎn)P到海岸線l的距離；（2）小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處，此時，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號）【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題．【分析】（1）過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代數(shù)式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD=AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．設(shè)PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=﹣1，∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為（﹣1）km；（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．根據(jù)題意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為km．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題，難度適中．通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（10分）現(xiàn)有甲、乙兩個空調(diào)安裝隊(duì)分別為A、B兩個公司安裝空調(diào)，甲安裝隊(duì)為A公司安裝66臺空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B公司安裝80臺空調(diào)，乙安裝隊(duì)提前一天開工，最后與甲安裝隊(duì)恰好同時完成安裝任務(wù)．已知甲隊(duì)比乙隊(duì)平均每天多安裝2臺空調(diào)，求甲、乙兩個安裝隊(duì)平均每天各安裝多少臺空調(diào)．【考點(diǎn)】B7：分式方程的應(yīng)用．【分析】設(shè)甲安裝隊(duì)每天安裝x臺空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝（x﹣2）臺空調(diào)，根據(jù)乙隊(duì)比甲隊(duì)多用時間一天為等量關(guān)系建立方程求出其解即可．【解答】解：設(shè)甲安裝隊(duì)每天安裝x臺空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝（x﹣2）臺空調(diào)，由題意，得，解得：x1=22，x2=﹣6．經(jīng)檢驗(yàn)，x1=22，x2=﹣6都是原方程的根，x=﹣6不符合題意，舍去．∴x=22，∴乙安裝隊(duì)每天安裝22﹣2=20臺．答：甲安裝隊(duì)每天安裝22臺空調(diào)，則乙安裝隊(duì)每天安裝20臺空調(diào)．【點(diǎn)評】本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，分式方程的解法的運(yùn)用，過程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，解答時根據(jù)乙隊(duì)比甲隊(duì)多用時間一天為等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．23．（12分）已知：如圖，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC與CD共線，聯(lián)結(jié)AE，點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BM，交AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)MD，交CE于點(diǎn)H（1）求證：MB=MD；（2）當(dāng)AB=BC，DC=DE時，求證：四邊形MGCH為矩形．【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定與性質(zhì)；LC：矩形的判定；S4：平行線分線段成比例．【專題】14：證明題．【分析】（1）延長BM交DE的延長線于N，如圖，根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥DN得到=，加上AM=ME，則BM=MN，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到MB=MD；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，由AB∥NE得到==1，即AB=NE，再利用AB=BC，DC=DE可得BD=DN，則△BDN為等腰直角三角形，所以DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接著由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形得到∠CED=∠ACB=∠45°，則可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判斷四邊形MGCH為平行四邊形，加上∠GMH=90°，則可判斷四邊形MGCH為矩形．【解答】證明：（1）延長BM交DE的延長線于N，如圖，∵∠ABC=∠CDE=90°，∴AB∥DN，∴=，而點(diǎn)M為AE中點(diǎn)，∴AM=ME，∴BM=MN，∴DM為Rt△BDN的斜邊上的中線，∴MB=MD；（2）∵AB∥NE，∴==1，即AB=NE，∵AB=BC，DC=DE，∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，∵AB=BC，DC=DE，∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，∴∠CED=∠ACB=∠45°，∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，∴CE∥BN，AC∥DM，∴四邊形MGCH為平行四邊形，而∠GMH=90°，∴四邊形MGCH為矩形．【點(diǎn)評】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．也考查了矩形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)．24．（12分）已知：在直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=（x﹣m）2+n的頂點(diǎn)D在直線AB上，與y軸的交點(diǎn)為C（1）若點(diǎn)C（非頂點(diǎn)）與點(diǎn)B重合，求拋物線的表達(dá)式；（2）若拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；（3）在（2）的條件下，在∠ACD的內(nèi)部作射線CP交拋物線的對稱軸于點(diǎn)P，使得∠DCP=∠CAD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）利用直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，求得點(diǎn)A、B坐標(biāo)，頂點(diǎn)D在直線AB上，由拋物線頂點(diǎn)式得出y=（x﹣m）2+m+1，進(jìn)一步代入B點(diǎn)求得答案即可；（2）由題意表示出點(diǎn)D和點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)一步利用等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的意義求得答案即可；（3）由（2）的圖形延長AC交對稱軸于點(diǎn)F，求得直線AC，進(jìn)一步證得△ADF∽△CDP，利用相似的性質(zhì)求得DP，進(jìn)一步確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）∵直線y=x+1與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（0，1），∵頂點(diǎn)D在直線AB上，∴y=（x﹣m）2+m+1，把點(diǎn)B（0，1）代入得1=m2+m+1，解得：m=﹣2或m=0（不合題意舍去），∴y=（x+2）2﹣1；（2）如圖，由題意可知：點(diǎn)D（m，m+1），C（0，m2+m+1），∵在Rt△ABO中，AO=BO=1，CD⊥AB，∴△CDB為等腰直角三角形，作DH⊥BC，則DH=BC，∴m=（m2+m+1﹣1），解得m=2，∴C（0，5），D（2，3），CD=2，AD=3，∴tan∠CAD==．（3）延長AC交對稱軸于點(diǎn)F，直線AC：y=5x+5，則F（2，15），∵∠DCP=∠CAD，∠APF=∠CDP=135°，∴△ADF∽△CDP，∴=，=解得DP=8，又∵點(diǎn)D（2，3）∴P（2，﹣5）．【點(diǎn)評】此題考查二次函數(shù)綜合題，綜合考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)的意義，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．25．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，點(diǎn)O是AB邊上動點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點(diǎn)為D，過點(diǎn)D作AB的垂線，交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)BE、AE（1）當(dāng)AE∥BC（如圖（1））時，求⊙O的半徑長；（2）設(shè)BO=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點(diǎn)D、E，當(dāng)⊙A恰好也過點(diǎn)C時，求DE的長．【考點(diǎn)】KD：全等三角形的判定