2022年遼寧省沈陽市第九十九高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年遼寧省沈陽市第九十九高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)f′(x)的圖象是參考答案：A2.“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由﹣1＜x＜0?x＜0；反之不成立．即可判斷出關(guān)系．【解答】解：由﹣1＜x＜0?x＜0；反之不成立．∴“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的必要不充分條件．故選：B．3.某車間加工零件的數(shù)量x與加工時(shí)間y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：零件數(shù)x（個(gè)）102030加工時(shí)間y（分鐘）213039現(xiàn)已求得上表數(shù)據(jù)的回歸方程中的值為0.9，則據(jù)此回歸模型可以預(yù)測，加工100個(gè)零件所需要的加工時(shí)間約為

（）A、84分鐘

B、94分鐘

C、102分鐘

D、112分鐘參考答案：C略4.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第2016個(gè)圖案中的白色地面磚有（）A．8064塊 B．8066塊 C．8068塊 D．8070塊參考答案： B【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】通過已知的幾個(gè)圖案找出規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問題即可．【解答】解：第1個(gè)圖案中有白色地面磚6塊；第2個(gè)圖案中有白色地面磚10塊；第3個(gè)圖案中有白色地面磚14塊；…設(shè)第n個(gè)圖案中有白色地面磚n塊，用數(shù)列{an}表示，則a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知數(shù)列{an}是以6為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2，n=2016時(shí)，a2016=8066．故選：B．5.下列各函數(shù)中，最小值為2的是(

)A．y=x+ B．y=sinx+，x∈（0，）C．y= D．y=x+﹣1參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【專題】綜合題．【分析】對于選項(xiàng)A中的x來說，因?yàn)閤不等于0，所以x大于0小于0不確定，所以最小值不一定為2；對于選項(xiàng)B和C中的函數(shù)來說，sinx大于0，而也大于0，但是基本不等式不滿足取等號的條件；所以只有選項(xiàng)D滿足最小值為2．【解答】解：對于A：不能保證x＞0，對于B：不能保證sinx=，對于C：不能保證=，對于D：y=x++﹣1≥3﹣1=2．故選D【點(diǎn)評】此題考查學(xué)生掌握基本不等式求函數(shù)最小值所滿足的條件，是一道綜合題．6.已知一組數(shù)據(jù)…的平均數(shù)，方差，則數(shù)據(jù)，，…的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（

）A.15，36

B.22，6

C.15，6

D.22，36參考答案：B7.從1，2，3，4中任取兩個(gè)數(shù)，記作a，b，則兩數(shù)之和a+b小于5的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先同基本事件總數(shù)n=，再求出兩數(shù)之和a+b小于5包含的基本事件，由此能求出兩數(shù)之和a+b小于5的概率．【解答】解：從1，2，3，4中任取兩個(gè)數(shù)，記作a，b，基本事件總數(shù)n=，兩數(shù)之和a+b小于5包含的基本事件有：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共有m=4個(gè)，故兩數(shù)之和a+b小于5的概率p=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．8.已知函數(shù)f(x)=,那么函數(shù)f(x)(

).A.是奇函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)

B.是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在(0，+∞)上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上是減函數(shù)參考答案：B略9.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，若=，則c的值是（

）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：C略10.若點(diǎn)（2，﹣3）不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，﹣1）參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】直接利用已知條件判斷點(diǎn)與不等式的關(guān)系，然后求解即可．【解答】解：點(diǎn)（2，﹣3）不在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，可知（2，﹣3）滿足x﹣y≥0，滿足x+y﹣2≤0，所以不滿足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則__________；__________．參考答案：可知周期為，，為奇函數(shù)，，∴答案為，．12.設(shè)f（x）是（x2+）6展開式的中間項(xiàng)，若f（x）≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是． 參考答案：[5，+∞）【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理． 【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；二項(xiàng)式定理． 【分析】由題意可得f（x）=x3，再由條件可得m≥x2在區(qū)間[，]上恒成立，求得x2在區(qū)間[，]上的最大值，可得m的范圍． 【解答】解：由題意可得f（x）=x6=x3． 由f（x）≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，可得m≥x2在區(qū)間[，]上恒成立， 由于x2在區(qū)間[，]上的最大值為5，故m≥5， 即m的范圍為[5，+∞）， 故答案為：[5，+∞）． 【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題． 13.已知點(diǎn)是雙曲線E：上的一點(diǎn)，M、N分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線PM、PN的斜率之積為，則該雙曲線的漸近線方程為___________________。參考答案：14.已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=．參考答案：﹣2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】本題由于是求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)之和，故可以令二項(xiàng)式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二項(xiàng)式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1，令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1∴a1+a2+…+a7=﹣2故答案為：﹣2【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，一般再求解有二項(xiàng)式關(guān)系數(shù)的和等問題時(shí)通常會將二項(xiàng)式展開式中的未知數(shù)x賦值為1或0或者是﹣1進(jìn)行求解．本題屬于基礎(chǔ)題型．15.已知向量a,b滿足，，，則夾角的大小是

參考答案：16.設(shè)為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則a＋b＝

．參考答案：2略17.下圖中橢圓內(nèi)的圓的方程為，現(xiàn)借助計(jì)算機(jī)利用如下程序框圖來估計(jì)該橢圓的面積，已知隨機(jī)輸入該橢圓區(qū)域內(nèi)的個(gè)點(diǎn)時(shí)，輸出的，則由此可估計(jì)該橢圓的面積為

▲

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=．已知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x﹣y=0平行．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min{p，q}表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a=1；（Ⅱ）求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點(diǎn)存在定理，即可判斷存在k=1；（Ⅲ）由（Ⅱ）求得m（x）的解析式，通過g（x）的最大值，即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=（x+a）lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+1+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=1+a，由切線與直線2x﹣y=0平行，則a+1=2，解得a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=（x+1）lnx，f′（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h′（x）=﹣=，當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）在（0，1）遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）遞增．當(dāng)x=1時(shí)，h（x）min=h（1）=2＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，即有f（x）在（k，k+1）遞增，g（x）=的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=，當(dāng)x∈（0，2），g′（x）＞0，g（x）在（0，2）遞增，當(dāng)x＞2時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）遞減．則x=2取得最大值，令T（x）=f（x）﹣g（x）=（x+1）lnx﹣，T（1）=﹣＜0，T（2）=3ln2﹣＞0，T（x）的導(dǎo)數(shù)為T′（x）=lnx+1+﹣，由1＜x＜2，通過導(dǎo)數(shù)可得lnx＞1﹣，即有l(wèi)nx+1+＞2；ex＞1+x，可得﹣＞，可得lnx+1+﹣＞2+=＞0，即為T′（x）＞0在（1，2）成立，則T（x）在（1，2）遞增，由零點(diǎn)存在定理可得，存在自然數(shù)k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，m（x）=，其中x0∈（1，2），且x=2時(shí)，g（x）取得最大值，且為g（2）=，則有m（x）的最大值為m（2）=．19.如圖，已知中，，斜邊上的高，以為折痕，將折起，使為直角。（1）求證：平面平面；（2）求證：（3）求點(diǎn)到平面的距離；（4）求點(diǎn)到平面的距離；

參考答案：（1）證明：

……2分

又

………………4分

為等腰…………………6分

………………8分

（3）在中，易得由（1）知

平面ADE…………12分

過D點(diǎn)作則

平面ABC

D點(diǎn)到平面ABC的距離為?！?4分略20.已知函數(shù)f（x）=blnx．（1）當(dāng)b=1時(shí)，求函數(shù)G（x）=x2﹣x﹣f（x）在區(qū)間上的最大值與最小值；（2）若在[1，e]上存在x0，使得x0﹣f（x0）＜﹣成立，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出函數(shù)G（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間的最大值和最小值即可；（2）設(shè)．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，則只需要函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零，通過討論b的范圍，求出h（x）的單調(diào)區(qū)間，從而進(jìn)一步確定b的范圍即可．【解答】解：（1）當(dāng)b=1時(shí)，G（x）=x2﹣x﹣f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0），，令G'（x）=0，得x=1，當(dāng)x變化時(shí)，G（x），G'（x）的變化情況如下表：x（0，1）1（1，+∞）g'（x）﹣0+G（x）

極小值

因?yàn)?，G（1）=0，G（e）=e2﹣e﹣1=e（e﹣1）﹣1＞1，所以G（x）=x2﹣x﹣f（x）在區(qū)間上的最大值與最小值分別為：，G（x）min=G（1）=0．（2）設(shè)．若在[1，e]上存在x0，使得，即成立，則只需要函數(shù)在[1，e]上的最小值小于零．又=，令h'（x）=0，得x=﹣1（舍去）或x=1+b．①當(dāng)1+b≥e，即b≥e﹣1時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，故h（x）在[1，e]上的最小值為h（e），由，可得．因?yàn)椋裕诋?dāng)1+b≤1，即b≤0時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，故h（x）在[1，e]上的最小值為h（1），由h（1）=1+1+b＜0，可得b＜﹣2（滿足b≤0）．③當(dāng)1＜1+b＜e，即0＜b＜e﹣1時(shí)，h（x）在（1，1+b）上單調(diào)遞減，在（1+b，e）上單調(diào)遞增，故h（x）在[1，e]上的最小值為h（1+b）=2+b﹣bln（1+b）．因?yàn)?＜ln（1+b）＜1，所以0＜bln（1+b）＜b，所以2+b﹣bln（1+b）＞2，即h（1+b）＞2，不滿足題意，舍去．綜上可得b＜﹣2或，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為．21.如圖所示，AC為⊙O的直徑，D為的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE∥AB；（Ⅱ）求證：AC?BC=2AD?CD．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段．【分析】（I）欲證DE∥AB，連接BD，因?yàn)镈為的中點(diǎn)及E為BC的中點(diǎn)，可得DE⊥BC，因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即可證得結(jié)論；（II）欲證AC?BC=2AD?CD，轉(zhuǎn)化為AD?CD=AC?CE，再轉(zhuǎn)化成比例式=．最后只須證明△DAC∽△ECD即可．【解答】證明：（Ⅰ）連接BD，因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以BD=DC．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE⊥BC．因?yàn)锳C為圓的直徑，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，則∠DAC=∠DCB．又因?yàn)锳D⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD?CD=AC?CE，2AD?CD=AC?2CE，因此2AD?CD=AC?BC．…22.（1）已知圓（x+2）2+y2=1過橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知橢圓的離心率為，求k的值．參考答案：