2022年福建省福州市連江縣官頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析

2022年福建省福州市連江縣官頭中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.方程所表示的曲線為

A．焦點在軸上的橢圓

B．焦點在軸上的橢圓

C．焦點在軸上的雙曲線

D．焦點在軸上的雙曲線參考答案：D略2.已知A，B，P是雙曲線上不同的三點，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點，若直線PA，PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A，B，P三點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），（x2，y2），由可得=，①又，，可得②，由①②可得

=，故e2===，從而得到離心率e=．【解答】解：設(shè)A，B，P三點的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），（x2，y2），由可得，?==

①．又，，∴，②，由①②可得

=，∴e2====，故離心率e==，故選

D．3.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，第6幅圖的蜂巢總數(shù)為（

）A．61

B．90

C．91

D．127參考答案：C4.設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f(x)的圖象如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象可能為()參考答案：D5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()．A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π參考答案：A略6.雙曲線的實軸長是A．2

B．2

C．4

D．4

參考答案：C略7.已知變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，測得（x，y）的一組數(shù)據(jù)如下：（0，1）、（1，2）、（2，4）、（3，5），其回歸方程為=bx+0.9，則b的值等于（） A．1.3 B． ﹣1.3 C． 1.4 D． ﹣1.4參考答案：C略8.在同一直角坐標(biāo)系中，直線=1與圓x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的位置關(guān)系是（）A．直線經(jīng)過圓心 B．相交但不經(jīng)過圓心C．相切 D．相離參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】求出圓心到直線的距離大于零且小于半徑，可得直線和圓相交但不經(jīng)過圓心．【解答】解：圓x2+y2+2x﹣4y﹣4=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=9，表示以（﹣1，2）為圓心、半徑等于3的圓．由于圓心到直線=1的距離為=2＜3，故直線和圓相交但不經(jīng)過圓心，故選：B．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為(

)A．90° B．45° C．60° D．30°參考答案：D【考點】異面直線及其所成的角．【專題】空間角．【分析】設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，利用三角形中位線定理，可證出EF⊥GF且∠FEG或其補角即為EF與CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定義算出∠GEF=30°，即得EF與CD所成的角的度數(shù)．【解答】解：設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線．由此可得，GF∥AB且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，∴∠FEG或其補角即為EF與CD所成角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，由正弦的定義，得sin∠GEF==，可得∠GEF=30°．∴EF與CD所成的角的度數(shù)為30°故選：D【點評】本題給出空間四邊形相對的棱長，在已知對角線的中點連線與一條棱垂直的情況下求異面直線所成的角，著重考查了是異面直線所成的定義及其求法等知識，屬于中檔題．本題利用三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10.已知，分別在軸和軸上滑動，為坐標(biāo)原點，，

則動點的軌跡方程是

A.

B.

C.D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知四面體，，，，，則

.參考答案：512.從一個有88條棱的凸多面體P，切去以其每個頂點為頂點的各一個棱錐，得到一個新的凸多面體Q.這些被切去的棱錐的底面所在的平面在P上或內(nèi)部互不相交，則凸多面體Q的棱數(shù)是

.參考答案：264

解析：P的所有棱仍是Q的棱中新的棱由切去的棱錐的底面形成，每個棱錐新增加棱的條數(shù)，等于從頂點出發(fā)的棱的條數(shù).所以Q的棱有88+2×88=264條13.的展開式的常數(shù)項是__________.參考答案：-2014.一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，則此直角三角形的斜邊長是． 參考答案：4【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】設(shè)DF長為x，則DE=EF=x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，從而用x表示出EG，F(xiàn)I，F(xiàn)H，從而將問題轉(zhuǎn)化到Rt△DHF中，有DF2=DH2+FH2求解． 【解答】解：如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC為正三角形， 邊長為4，△DEF為等腰直角三角形， DF為斜邊，設(shè)DF長為x，則DE=EF=， 作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1， 則EG==，F(xiàn)I==， FH=FI+HI=FI+EG=2， 在Rt△DHF中，DF2=DH2+FH2， 即x2=16+（2）2，解得x=4． 即該三角形的斜邊長為4． 故答案為：4． 【點評】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，主要涉及了正棱柱，一是底面是正多邊形，二是側(cè)棱與底面垂直，還考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題． 15.用數(shù)學(xué)歸納法證明，在驗證n=1成立時，等式左邊是

參考答案：略16.研究問題：“已知關(guān)于x的不等式的解集為（1，2），解關(guān)于x的不等式”.有如下解法：解：由且，所以，得，設(shè),得,由已知得：,即，所以不等式的解集是.參考上述解法，解決如下問題：已知關(guān)于x的不等式的解集是:，則不等式的解集是_______________.參考答案：略17.在數(shù)列{an}中，其前n項和Sn＝，若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則常數(shù)a的值為

．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集為[﹣2，3]，求實數(shù)a的值；（2）在（1）的條件下，若存在實數(shù)n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（1）原不等式可化為|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，從而求得a的值；（2）由題意可得|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，將函數(shù)y=|2n﹣1|+|2n+1|+2，寫成分段形式，求得y的最小值，從而求得m的范圍．【解答】解：（1）原不等式可化為|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根據(jù)不等式f（x）≤6的解集為[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|2n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m，∵y=|2n﹣1|+|2n+1|+2=，∴ymin=4，由存在實數(shù)n，使得f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，∴m≥4，即m的范圍是[4，+∞）．19.將兩塊三角板按圖甲方式拼好，其中，，，，現(xiàn)將三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如圖乙．（1）求證：；（2）求證：為線段中點；（3）求二面角的大小的正弦值．

參考答案：(I)證明：由已知D在平面ABC上的射影O恰好在AB上,∴DO⊥平面ABC，∴AO是AD在平面ABC上的射影．

又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．

………………4分

(II)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC

又∵BDì平面ADB，∴AD⊥BD，

在RT⊿ABD中，由已知AC=2，得，AD=1，∴BD=1,∴BD=AD,

∴O是AB的中點.

………………8分(III)解：過D作DE⊥AC于E，連結(jié)OE，∵DO⊥平面ABC，∴OE是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC

∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，

且即二面角D－AC－B的正弦值為．

………………12分20.如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=90°，∠EAC=60°，AB=AC．（1）在直線AE上是否存在一點P，使得CP⊥平面ABE？請證明你的結(jié)論；（2）求直線BC與平面ABE所成角θ的余弦值．參考答案：【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）存在滿足條件的點P．在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE，垂足為P，則垂足P即為滿足條件的點．由已知推導(dǎo)出BA⊥CP，CP⊥AB，由此能證明CP⊥平面ABE．（2）連接BP，則∠CBP為BC與平面ABE所成角，由此能求出直線BC與平面BAE所成角的余弦值．【解答】解：（1）存在滿足條件的點P．在梯形ACDE內(nèi)過C作CP⊥AE，垂足為P，則垂足P即為滿足條件的點．證明如下：∵∠BAC=90°，即BA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE，又∵CP?平面ACDE，∴BA⊥CP．由CP⊥AE，CP⊥AB，AB∩AE=A，可知CP⊥平面ABE．（2）連接BP，由（1）可知CP⊥平面ABE，P為垂足，∴∠CBP為BC與平面ABE所成角θ．在RT△APC中，∠PAC=60°，∠APC=90°，∴PC=ACsin60°=．在RT△BAC中，AB=AC，∠BAC=90°，∴BC===，∴在RT△BPC中，∠BPC=90°，BC=，PC=，即sinθ=sin∠CBP===，且0＜θ＜，∴cosθ===，故直線BC與平面BAE所成角的余弦值為．【點評】本題考查使得線面垂直的點是否存在的判斷與證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．21.已知三棱錐的所有頂點都在球的球

面上，為的中點，且，，，則此棱錐的體積為A．

B．

C．

D．參考答案：D22.某工廠隨機抽取部分工人調(diào)查其上班路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），若上班路上所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方圖中a的值；（2）如果上班路上所需時間不少于1小時的工人可申請在工廠住宿，若招工2400人，請估計所招工人中有多少名工人可以申請住宿；（3）該工廠工人上班路上所需的平均時間大約是多少分鐘．參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【專題】對應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，列出方程求出a的值；（2）計算工人上班所需時間不少于1小時的頻率，求出對應(yīng)的頻數(shù)即可；（3）利用各小組底邊中點坐標(biāo)×對應(yīng)頻率，再求和，即可得出平均時間．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可