2022-2023學(xué)年河北省石家莊市因村鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022-2023學(xué)年河北省石家莊市因村鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）（2014秋?鄭州期末）如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是（）A．α，a，bB．α，β，aC．a(chǎn)，b，γD．α，β，b參考答案：A【考點】：解三角形的實際應(yīng)用．【專題】：應(yīng)用題；解三角形．【分析】：給定α，a，b，由正弦定理，β不唯一確定，故不能確定A，B間距離．解：給定α，a，b，由正弦定理，β不唯一確定，故不能確定A，B間距離．故選：A．【點評】：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．2.歐拉公式eix＝cosx＋isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：B【分析】由題意得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點，即可作出解答.【詳解】由題意得，e2i＝cos2＋isin2，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(cos2，sin2)．∵2∈，∴cos2∈(－1，0)，sin2∈(0，1)，∴e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點位于第二象限．故選B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)的表示，其中熟記的復(fù)數(shù)的表示方法和復(fù)數(shù)的基本運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.當(dāng)x>3時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是(

)A.(－∞,3]

B.[3,+∞)

C.[,+∞)

D.(－∞,]參考答案：D4.下列有關(guān)命題的說法正確的是（

）

命題P：“若，則”，命題q是p的否命題.A.是真命題

B．q是假命題C．p是真命題

D．是真命題參考答案：D5.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A.“至少有一個黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C.“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D.“至少有一個黑球”與“都是紅球”參考答案：C略6.如圖,設(shè)P為△ABC內(nèi)一點,且

則

A．

B．

C．

D．

參考答案：A解析:設(shè).

則.所以,解得.于是.7.P是△ABC所在平面上一點，若·＝·＝·，則P是△ABC的()A．外心

B．內(nèi)心

C．重心

D．垂心參考答案：D8.已知橢圓的左、右焦點為F1,F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線與l2的交點的軌跡為曲線C2，若，且是曲線C2上不同的點，滿足，則的取值范圍為(

)A.(－∞,－6]∪[10,+∞)

B.[10,+∞)C.(－∞,－10]∪[6,+∞)

D.[6,+∞)參考答案：A9.下列的判斷錯誤的是(

)A、歸納推理和類比推理是數(shù)學(xué)中常用的合情推理；B、把所有情況都考慮在內(nèi)的演繹推理規(guī)則叫做完全歸納推理；C、“”類推出“”D、“如果”是一個正確命題。參考答案：D10.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一個圓，則m的取值范圍是

．參考答案：（﹣∞，）【考點】二元二次方程表示圓的條件．【專題】直線與圓．【分析】根據(jù)圓的一般方程即可得到結(jié)論．【解答】解：若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示一個圓，則滿足1+1﹣4m＞0，即m＜，故答案為：（﹣∞，）．【點評】本題主要考查圓的一般方程的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是D2+E2﹣4F＞0．12.已知為銳角，向量、滿足，則

．參考答案：13.．若在(一1,+∞)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是_______。參考答案：略14.在△ABC中，AC=1，BC=，以AB為邊作等腰直角三角形ABD（B為直角頂點，C，D兩點在直線AB的兩側(cè)），當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值為

．參考答案：3【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角．【分析】設(shè)∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD2=2+a2+2sinα，cosα=，由此能求出當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值．【解答】解：設(shè)∠ABC=α，AB=BD=a，在△BCD中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2﹣2BD?BC?cos（90°+α）=2+a2+2sinα，在△ABC中，由余弦定理，得cosα=，∴sinα=，∴CD2=，令t=2+a2，則CD2=t+=t+≤+5=9，當(dāng)（t﹣5）2=4時等號成立．∴當(dāng)∠C變化時，線段CD長的最大值為3．故答案為：3．【點評】本題考查線段長的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．15.若復(fù)數(shù)z滿足,則的最小值為

▲

.參考答案：16.設(shè)滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為________。參考答案：417.如圖，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的序號是．參考答案：①②④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)即可得出．【解答】解：①∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC，∵PA⊥⊙O所在平面，∴PA⊥BC．又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．∵AE?平面PAC．∴BC⊥AE．因此①正確．④由①可知：AE⊥BC，又∵AE⊥PC，PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC．因此④正確．②由④可知：AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB．又∵AF⊥PB，AE∩AF=A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．因此②正確．③AF⊥BC不正確；用反證法證明：假設(shè)AF⊥BC，又AF⊥PB，PB∩BC=B．∴AF⊥平面PBC．這與AE⊥平面PBC相矛盾．因此假設(shè)不成立．故③不正確．綜上可知：只有①②④正確．故答案為：①②④．【點評】本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、圓的性質(zhì)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知已知集合,又,求的值。參考答案：略19.已知圓C的圓心在射線3x﹣y=0（x≥0）上，與直線x=4相切，且被直線3x+4y+10=0截得的弦長為．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）點A（1，1），B（﹣2，0），點P在圓C上運動，求|PA|2+|PB|2的最大值．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）依題意設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），圓心在射線3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①．圓與直線x=4相切，所以|a﹣4|=r…②…圓被直線3x+4y+10=0截得的弦長為，所以…③，求出方程的解得到a的值，即可確定出圓C的方程；（Ⅱ）解法1：設(shè)t=x0﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．該直線與圓必有交點，所以，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值．解法2：由可設(shè)x0=4sinα，y0=4cosα，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）…圓心在射線3x﹣y=0（x≥0）上，所以3a﹣b=0…①．…圓與直線x=4相切，所以|a﹣4|=r…②…圓被直線3x+4y+10=0截得的弦長為，所以…③…將①②代入③，可得（3a+2）2+12=（a﹣4）2，化簡得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）…所以b=0，r=4，于是，圓C的方程為x2+y2=16．…（Ⅱ）假設(shè)點P的坐標(biāo)為（x0，y0），則有．…=38+2（x0﹣y0）．下求x0﹣y0的最大值．…解法1：設(shè)t=x0﹣y0，即x0﹣y0﹣t=0．該直線與圓必有交點，所以，解得，等號當(dāng)且僅當(dāng)直線x0﹣y0﹣t=0與圓x2+y2=16相切時成立．于是t的最大值為，所以|PA|2+|PB|2的最大值為．…解法2：由可設(shè)x0=4sinα，y0=4cosα，于是，所以當(dāng)時，x0﹣y0取到最大值，所以|PA|2+|PB|2的最大值為．…【點評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標(biāo)準方程，垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，是一道綜合性較強的題．20.（滿分12分）已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點P1的坐標(biāo)為(1，－1)．(1)求過點P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上．參考答案：解：(1)由P1的坐標(biāo)為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1.∴b2＝＝.

a2＝a1·b2＝.

∴點P2的坐標(biāo)為(，)∴直線l的方程為2x＋y＝1.…………….3分(2)①當(dāng)n＝1時，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立．…………….4分②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時，2ak＋bk＝1成立，…………….6分則2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝(2ak＋1)…………….8分＝＝＝1，∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．

…………….10分由①②知，對n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點Pn在直線l上．

…………….12分

略21.每個星期六早上8點到下午6點之間，鄭魯力同學(xué)隨機抽時間去乒乓球室打一個小時的乒乓球，而艾四忠同學(xué)隨機抽時間去該乒乓球室打兩個小時的乒乓球.求他們在乒乓球室打球相遇的概率.參考答案：早上8時到下午6時總共10個小時，為簡化運算起見，把時間換作0--10令鄭魯力與艾四中進入乒乓球室的時刻依次為x,y,則有（1），而他們二人相遇的條件是，或者（1）確定的可行域為如圖的正方形.而兩人相遇的可行域為陰影部分所以兩相遇的概率為：22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求函數(shù)的最小正周期及最大、小值；（3）若，求的值．參考答案：解：（1）

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2分（2）∵------------------------------4分∴函數(shù)的最小正周期--------------------------------5分函數(shù)的最大值和最小值分別為．--------ks