2024年九年級數(shù)學下學期期末測試北師大版

Page2期末測試(時間：100分鐘滿分：120分)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(4,5)，BC＝12，則AC＝(B)A．3B．9C．10D．15eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))2．拋物線y＝x2－6x＋3的頂點坐標為(A)A．(3，－6)B．(3，12)C．(－3，－9)D．(－3，－6)3．(2023·廣東)如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝(B)A．20°B．40°C．50°D．80°4．已知α為銳角，sin(α－20°)＝eq\f(\r(3),2)，則α＝(D)A．20°B．40°C．60°D．80°5．將拋物線y＝－x2－2x＋3的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位得到的拋物線必定經(jīng)過(B)A．(－2，2)B．(－1，1)C．(0，6)D．(1，－3)6．如圖，斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1∶2，AC＝3eq\r(5)米，坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連，若AB＝10米，則旗桿BC的高度為(A)A．5米B．6米C．8米D．(3＋eq\r(5))米7．(瀘州中考)在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結(jié)論：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R為△ABC的外接圓半徑)成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，則△ABC的外接圓面積為(A)A．eq\f(16π,3)B．eq\f(64π,3)C．16πD．64π8．在同一平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)y＝bx＋c的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(D)9．(2023·武漢)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D為圓心，AD長為半徑的弧恰好與BC相切，切點為E，若eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,3)，則sinC的值是(B)A．eq\f(2,3)B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(\r(7),4)eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))10．如圖，已知OA＝6，OB＝8，BC＝2，⊙P與OB，AB均相切，點P是線段AC與拋物線y＝ax2的交點，則a的值為(D)A．4B．eq\f(9,2)C．eq\f(11,2)D．5二、填空題(每小題3分，共15分)11．計算：2sin60°＝__eq\r(3)__．12．二次函數(shù)y＝x2的圖象開口方向是__向上__(填“向上”或“向下”).13．如果將拋物線y＝x2＋2x－1向上平移，使它經(jīng)過點A(0，3)，那么所得新拋物線的表達式是__y＝x2＋2x＋3__．14．(2023·成都)為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿AB的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納__184__名觀眾同時觀看演出．(π取3.14，eq\r(3)取1.73)15．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的正半軸交于點A，對稱軸為直線x＝1.下面結(jié)論：①abc＜0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一個根大于－1且小于0.其中正確的是__①②④__．(只填序號)三、解答題(共75分)16．(8分)如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝3.求tanB的值．解：過A作AD⊥BC于D，則∠ADC＝∠ADB＝90°.∵∠C＝60°，AC＝2，∴CD＝AC·cos60°＝1，AD＝AC·sin60°＝eq\r(3).∵BC＝3，∴BD＝3－1＝2.∴tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(\r(3),2)17．(9分)如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點M，且點M是半徑OB的中點，CD＝6cm，求直徑AB的長．解：連接OC，∵直徑AB⊥CD，∴CM＝DM＝eq\f(1,2)CD＝3cm.∵M是OB的中點，∴OM＝eq\f(1,2)OB＝eq\f(1,2)OC.由勾股定理，得OC2＝OM2＋CM2，∴OC2＝eq\f(1,4)OC2＋32.解得OC＝2eq\r(3).∴直徑AB的長為4eq\r(3)cm18．(9分)已知二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的圖象經(jīng)過原點，當x＝1時，函數(shù)有最小值為－1.(1)求這個二次函數(shù)的表達式，并畫出圖象；(2)利用圖象填空：這條拋物線的開口向__上__，頂點坐標為__(1，－1)__，對稱軸是直線__x＝1__，當__0≤x≤2__時，y≤0.解：(1)∵當x＝1時，函數(shù)有最小值為－1，∴二次函數(shù)的表達式為y＝a(x－1)2－1.∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴(0－1)2·a－1＝0，∴a＝1.∴二次函數(shù)的表達式為y＝(x－1)2－1.函數(shù)圖象如圖所示19．(9分)(南通中考)如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AE的延長線與過點C的切線互相垂直，垂足為D，∠CAD＝35°，連接BC.(1)求∠B的度數(shù)；(2)若AB＝2，求eq\x\to(EC)的長．解：(1)連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC＝35°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC＋∠B＝90°，∴∠B＝90°－∠OAC＝90°－35°＝55°(2)連接OE，∵⊙O的直徑AB＝2，∴OA＝1，∵∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，∴eq\x\to(EC)的長為：eq\f(70π×1,180)＝eq\f(7π,18)20．(9分)(2023·內(nèi)江)某中學依山而建，校門A處有一坡角α＝30°的斜坡AB，長度為30米，在坡頂B處測得教學樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠的E處有一個花臺，在E處測得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延長線交水平線AM于點D，求DC的長(結(jié)果保留根號).解：設(shè)點B到AD的距離為BG，在Rt△ABG中，BG＝ABsin∠BAG＝30×eq\f(1,2)＝15(米)，設(shè)BF＝x米，則CF＝x米，EF＝(x－4)米，在Rt△CEF中，sin∠CEF＝eq\f(CF,EF)＝eq\f(x,x－4)，即eq\f(x,x－4)＝eq\r(3)，∴x＝6＋2eq\r(3)，∴CD＝DF＋CF＝15＋6＋2eq\r(3)＝(21＋2eq\r(3))米21．(10分)(2023·隨州)如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是eq\x\to(BE)的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE＝2，sin∠AFD＝eq\f(1,3)，①求⊙O的半徑；②求線段DE的長．解：(1)連接OC，∵AD⊥DF，∴∠D＝90°，∵點C是eq\x\to(BE)的中點，∴eq\x\to(CE)＝eq\x\to(CB)，∴∠DAC＝∠CAB，∴OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∴∠OCF＝∠D＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線(2)①過點O作OG⊥AE，垂足為G，∴AG＝EG＝eq\f(1,2)AE＝1，∵OG⊥AD，∴∠AGO＝∠DGO＝90°，∵∠D＝∠AGO＝90°，∴OG∥DF，∴∠AFD＝∠AOG，∵sin∠AFD＝eq\f(1,3)，∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝eq\f(1,3)，在Rt△AGO中，AO＝eq\f(AG,sin∠AOG)＝eq\f(1,\f(1,3))＝3，∴⊙O的半徑為3②∵∠OCF＝90°，∴∠OCD＝180°－∠OCF＝90°，∵∠OGE＝∠D＝90°，∴四邊形OGDC是矩形，∴OC＝DG＝3，∵GE＝1，∴DE＝DG－GE＝3－1＝2，∴線段DE的長為222．(10分)(2023·臨沂)綜合與實踐：問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：售價(元/盆)日銷售量(盆)A2050B3030C1854D2246E2638數(shù)據(jù)整理：(1)請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價(元/盆)1820222630日銷售量(盆)5450463830模型建立(2)分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價之間的關(guān)系；拓廣應(yīng)用(3)根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，①要想每天獲得400元的利潤，應(yīng)如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？解：(2)觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)．設(shè)銷售量為y盆，售價為x元，y＝kx＋b，把(18，54)，(20，50)代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18k＋b＝54，,20k＋b＝50，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝90，))∴y＝－2x＋90(3)①∵每天獲得400元的利潤，∴(x－15)(－2x＋90)＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天獲得400元的利潤，定價為25元或35元②設(shè)每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得w＝(x－15)(－2x＋90)＝－2x2＋120x－1350＝－2(x－30)2＋450，∵－2<0，∴當x＝30時，w取最大值450，∴售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元23．(11分)(2023·株洲)已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0).(1)若a＝1，c＝－1，且該二次函數(shù)的圖象過點(2，0)，求b的值；(2)如圖所示，在平面直角坐標系Oxy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜0＜x2，點D在⊙O上且在第二象限內(nèi)，點E在x軸正半軸上，連接DE，且線段DE交y軸正半軸于點F，∠DOF＝∠DEO，OF＝eq\f(3,2)DF.①求證：eq\f(DO,EO)＝eq\f(2,3)；②當點E在線段OB上，且BE＝1.⊙O的半徑長為線段OA的長度的2倍，若4ac＝－a2－b2，求2a＋b的值．解：(1)∵a＝1，c＝－1，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2＋bx－1，∵該二次函數(shù)的圖象過點(2，0)，∴4＋2b－1＝0，解得b＝－eq\f(3,2)(2)①∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，∴△DOF∽△DEO，∴eq\f(DF,DO)＝eq\f(OF,EO)，∴eq\f(DO,EO)＝eq\f(DF,OF)，∵OF＝eq\f(3,2)DF，∴eq\f(DO,EO)＝eq\f(2,3)②∵該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜0＜x2，∴OA＝－x1，OB＝x2，∵BE＝1.∴OE＝x2－1，∵⊙O的半徑長為線段OA的長度的2倍，∴OD＝－2x1，∵eq\f(DO,EO)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(－2x1,x2－1)＝eq\f(2,3)，∴3x1＋x2－1＝0，即x2＝1－3x1①，∵該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A(x1，0)，B(x2，0)，∴x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個根，∴x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)，∵4ac＝－a2－b2，a≠0，∴4·eq\