銳角三角函數（第二課時）（導學案）-九年級數學下冊同步備課系列（人教版）

學習目標1.通過探究使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的鄰邊與斜邊的比，對邊與鄰邊的比都是一個固定值，引出余弦、正切的概念；2.理解余弦、正切的概念并能根據概念正確進行計算；3.經歷余弦、正切概念的發(fā)現與學習過程，培養(yǎng)學生由特殊到一般的歸納推理能力.引導學生體驗數學活動，探索與發(fā)現新知識，使學生會用數學的思維方式去思考、發(fā)現、總結、驗證.重點難點突破★知識點1：余弦的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=∠A所鄰的邊斜邊=b★知識點2：正切的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠A所對的邊鄰邊★知識點3：銳角三角函數的概念：在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的確定的值與它對應，所以把銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數.核心知識一、余弦的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的_________與_________的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=()()=二、正切的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的______與_________的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=()()=三、銳角三角函數的概念：在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有__________________________與它對應，所以把銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數.復習鞏固【提問】簡述正弦的概念？新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時∠A的對邊與斜邊的比是否也隨之確定呢？【探索一】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么ACAB與A'C'A'B'【探索二】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能夠證明ACAB與【問題一】你發(fā)現了什么？余弦的概念：【問題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA與cosB之間有什么關系？典例分析例1在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.【針對訓練】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.2．（2021·湖北宜昌·中考）如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則cos∠ABC的值為（

）A．23 B．22 C．43例2如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32，AC=43A．4 B．8 C．83 【針對訓練】1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝352.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=45新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比就隨之確定，此時對邊與鄰邊的比是否也隨之確定呢？【探索三】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，則BCAC【問題三】你發(fā)現了什么？余弦的概念：銳角三角函數的概念：在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有__________________________與它對應，所以把銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數.∠A的正弦值：∠A的余弦值：∠A的正切值：典例分析例3在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.【針對訓練】1．（2020·浙江杭州中考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB2.如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（

）A．55 B．105 C．2 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____，sinB=_____，cosB=_____，tanB=_____.4．（2022·內蒙古通遼·中考）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點，AE=AB，BE=DE，則tan∠BDE=．例4如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，則BC=【針對訓練】1.如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=32(1)CD的長(2)cosB的值感受中考1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠B=60°，AB=4，若△ABC是銳角三角形，則滿足條件的BC長可以是(

A．1 B．2 C．6 D．82．（2023·四川南充·中考）如圖，小兵同學從A處出發(fā)向正東方向走x米到達B處，再向正北方向走到C處，已知∠BAC=α，則A，C兩處相距（

）A．xsinα米 B．xcosα米 C．x?sin課堂小結1.通過本節(jié)課的學習,你學會了哪些知識？2.簡述余弦、正切的概念？3.簡述銳角三角函數的概念？【參考答案】新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時∠A的對邊與斜邊的比是否也隨之確定呢？確定【探索一】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，那么ACAB與A'C'A'B'ACAB=證明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'∴ACA'∴ACAB=【探索二】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，你有其它方法能夠證明ACAB與證明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A’∴∠B=∠B’∴sinB=sinB’則

ACAB【問題一】你發(fā)現了什么？在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，它的鄰邊與斜邊的比是一個固定值，且比值的大小與直角三角形大小無關.余弦的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA=∠A所鄰的邊斜邊=bc【問題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA與cosB之間有什么關系？sinA=cosB典例分析例1在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求cosA的值.解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2∴AB=4,由勾股定理得AC=AB2?∴cosA=ACAB=2【針對訓練】1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°且BC=2，求cosA的值.解：∵∠C=90°，∠A=45°，BC=2∴AC=2由勾股定理得AB=AC2+∴cosA=ACAB=22．（2021·湖北宜昌·中考）如圖，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則cos∠ABC的值為（

B

）A．23 B．22 C．43例2如圖，在△ABC中，∠C=90°,cosA=32,AC=4A．4 B．8 C．83 【針對訓練】1.Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝352.如圖，已知Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=4，cosB=45新知探究【猜想】在Rt△ABC中，∠C=90°°，當銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比就隨之確定，此時對邊與鄰邊的比是否也隨之確定呢？確定【探索三】任意畫Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，則BCAC證明：∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'∴ACA'∴BCAC【問題三】你發(fā)現了什么？在直角三角形中，當銳角A的度數一定時，它的對邊與鄰邊的比是一個固定值，且比值的大小與直角三角形大小無關.余弦的概念：如圖，在直角三角形中，我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA=∠A所對的邊鄰邊=ab銳角三角函數的概念：在直角三角形中，對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有____唯一的確定的值____與它對應，所以把銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數.∠A的正弦值：sinA=∠A所對的邊斜邊=ac∠A的余弦值：cosA=∠A所鄰的邊斜邊=b∠A的正切值：tanA=∠A所對的邊鄰邊=a典例分析例3在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°且BC=2，求tanA的值.解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2∴AB=4,由勾股定理得AC=AB2?∴tanA=BCAC=2【針對訓練】1．（2020·浙江杭州中考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（B）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB2.如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（

D

）A．55 B．105 C．2 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3.sinA=__31313___，cosA=__213sinB=___21313__，cosB=____3134．（2022·內蒙古通遼·中考）如圖，在矩形ABCD中，E為AD上的點，AE=AB，BE=DE，則tan∠BDE=2?1例4如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，則BC=9【針對訓練】1.如圖，在△ABC中，AD上BC于點D，若AD=6，BC=12，tanC=32(1)CD的長(2)cosB的值（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵在Rt△ADC中，tanC