2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章《三角形》第五節(jié)：相似三角形（附答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章《三角形》第五節(jié)：相似三角

形

★解讀課標(biāo)★--------------熟悉課標(biāo)要求，精準(zhǔn)把握考點(diǎn)

1.了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割；

2.掌握基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；

3.了解相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理；

4.通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；

5.會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

★中考預(yù)測(cè)★--------------統(tǒng)計(jì)考題頻次，把握中考方向

該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2024年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中

單獨(dú)考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一

部分，在解決求線段長問題時(shí)和勾股定理、三角函數(shù)一起運(yùn)用，此時(shí)解答題的難度變大，綜

合性就較強(qiáng)了，分值在15分左右，為避免丟分，應(yīng)扎實(shí)掌握，靈活應(yīng)用。

★聚焦考點(diǎn)★--------------直擊中考考點(diǎn)，落實(shí)核心素養(yǎng)

考點(diǎn)講解

線段的比1.定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

2.判定四條線段是否成比例：只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前

兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一

線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系.

比例中項(xiàng)如果占一，即b?二ac,我們就把b叫做a,c的比例中項(xiàng).

bc

ac

比例的性質(zhì)性質(zhì)1:一二一<=>ad=bc(a,b,c,dWO).

hd

一一，b"cF-a±bc±d

性質(zhì)2:如果一=一,那么----=-----.

bdbd

性質(zhì)3:如果-一…一(b+d+…，貝ij-(不

bdnb+d+,,?+?n

唯一).

平行線分線段1.三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

成比例定理2.推論：

(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的

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對(duì)應(yīng)線段成比例。

逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線

段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

(2)平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與

原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例。

黃金分割把線段AB分成兩條線段AC,BC(AOBC),并且使AC是AB和BC的

比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其

?V5-1

中AC=-----AB?O.618AB

2

相似三角形的1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相

似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

判定及性質(zhì)

2.性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例；

(3)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：

(1)有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似：

(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的兒條思路：

(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定(1);

(2)條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角［用判定(1)］或再找夾邊成

比例［用判定(2)］；

(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；

(4)條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)

應(yīng)成比例；

(5)條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找

底和腰對(duì)應(yīng)成比例.

相似多邊形1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相

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似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比.

2.性質(zhì)：

(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；

(2)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；

(3)相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比

的平方.

A字型及其變1.如圖1,公共角所對(duì)的邊平行(DE〃BC),則△ADEs^ABC；

2.如圖2,公共角的對(duì)邊不平行，且有另一組角相等(NAED=NABC或N

形

ADE=/ACB),則△AEDSZ\ABC.

AA

BCB

圖】圖2

8字型及其變1.如圖1,對(duì)頂角的對(duì)邊平行(AB〃CD),則△ABOS/\DCO；

2.如圖2,對(duì)頂角的對(duì)邊不平行，且有另一對(duì)角相等(NB=ND或/A=N

形

C),則△ABOs^CDO.

nA

CDC

圖1圖2

共邊共角型

已知：N1=N2,結(jié)論：AACDc^MBC

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一線三等角型

/L\1Kzi

B(DBcBC

圖①ffl@圖③

已知，如圖①②③中：ZB=ZACE=ZD.

結(jié)論：ZkABCs^CDE

旋轉(zhuǎn)型

A興

p^—IE饒點(diǎn)、WWA\DE/ll^E

BZJC.一△

如圖①，已知DE〃BC,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)?定的角度，連接BD、

如圖②，結(jié)論：△ABDsaACE。

垂直型

上

ADB

如圖，在Rt三角形ABC中，Z090°,CD為斜邊AB上的高

結(jié)論：AAC￡>coAABCCZ,ABCD

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互

定義

相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)

點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

1.在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k,那

性質(zhì)

么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k；

2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似

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比.

將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點(diǎn)，

找位似中心的

則該點(diǎn)即是位似中心.

方法

畫位似圖形的1.確定位似中心；

步驟2.確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

3.確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；

4.作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；

5.按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

相似三角形的1.利用影長測(cè)量物體的高度.

應(yīng)用①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等和“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等”

的原理解決.

②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長來，再計(jì)算出

被測(cè)量物的長度.

2.利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）.

①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”

型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡(jiǎn)

便，盡量構(gòu)造直角三角形.

②測(cè)量方法：通過測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例

可求出河的寬度.

3.借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度.利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利

用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似

三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

★方法導(dǎo)引★--------------總結(jié)思想方法，提升解題效率

1.比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中

間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng).

2.對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的

比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

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3.判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與

后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所

選取的單位無關(guān)系.

4.如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形是相似多邊形.

5.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

6.多邊形的相似比為1的相似多邊形是全等形.

7.相似多邊形的性質(zhì)為：①對(duì)應(yīng)角相等；②對(duì)應(yīng)邊的比相等.

8.相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周

長的比等于相似比；相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的

比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似

三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.

9.相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成

的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；③兩邊及其

夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；④兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形相似.

10.相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

11.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

12.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那

么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

13.位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為

k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點(diǎn)01比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m=5n（mWO）,則下列等式成立的是（）

Am1HznBm=5Qm_4pm一5

454nn5n4

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個(gè)選項(xiàng)中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答.

【解答】解：A.因?yàn)槭?【，所以5m=4n,故此選項(xiàng)不符合題意；

45

第6頁共117頁

B.因?yàn)镽=±，所以mn=20,故此選項(xiàng)不符合題意；

4n

C.因?yàn)?=匹，所以5m=4n,故此選項(xiàng)不符合題意；

n5

D.因?yàn)閍=互，所以4m=5n,故此選項(xiàng)符合題意.

n4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?亳州一模）若5x-6y=0,且xyWO,則且的值等于（）

10x-4y

A.3B.1C.2D.-1

23

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】分式；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)已知可得5x=6y,然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：5x-6y=0,

5x=6y,

.5x+6y=6y+6y=12y=3

10x-4y12y-4y8y2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出5x=6y,然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

3.（2022?寶山區(qū)模擬）在比例尺為1：50的圖紙上，長度為10cm的線段實(shí)際長為（）

A.50cmB.500cmC.工5D.

50500

【考點(diǎn)】比例線段.

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，列比例式，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求得

結(jié)果.

【解答】解：設(shè)長度為10cm的線段實(shí)際長為xcm,則：

改=工

~501

解得，x=500.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺定義列出方程是解題的關(guān)鍵.

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4.（2022?錦江區(qū)模擬）如圖，a〃b〃c,若AC=5,CE=10,DF=12,則BD的長為（)

【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.

【解答】解：.；a〃b〃c,

?AC_BDpp5_BD

?存而‘元一五，

解得，BD=6,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題

的關(guān)鍵.

5.（2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在AABC中，D,E,F分別是AB,AC,BC上的點(diǎn)，且DE

〃BC,EF〃AB,若BF：FC=2：3,AB=15,則BD=（）

A.6B.9C.10D.12

【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.

【專題】線段、角、相交線與平行線：運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得電=旭=2,從而可得空?=金,再利用平行線

FCEC3EC3

分線段成比例得出笆■=挺，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

BDEC

【解答】解：；EF〃AB,BF：FC=2：3,

.BF=AE=2

??而ECT

第8頁共117頁

.AC_5

??--------，

EC3

VDE/7BC,

.AB=AC

*'BD而，

.15_5

??--------，

BD3

???BD=9,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?南海區(qū)一模）四條線段a,b,c,d成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=8cm,則a

的長為3cm.

-4-

【考點(diǎn)】比例線段.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【分析】由四條線段a、b、c、d成比例，根據(jù)比例線段的定義，即可得旦=￡,又由b

bd

=3cm,c=2cm,d=8cm,即可求得a的值.

【解答】解：??,四條線段a、b、c、d成比例，

?

??—a_-c,

bd

Vb=3cm,c=2cm,d=8cm,

,2=2

??后F

解得：a=3.

4

故答案為：—cm.

4

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段的定義.此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是熟記比例線段的定

義.

7.（2022?市中區(qū)校級(jí)一模）已知?=電=￡,且a+b-2c=6,則a的值為12.

654-----

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】常規(guī)題型.

【分析】直接利用已知比例式假設(shè)出a,b,c的值，進(jìn)而利用a+b-2c=6,得出答案.

【解答】解：?.?曳=上=￡,

654

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J設(shè)a=6x,b=5x,c=4x,

???a+b-2c=6,

；?6x+5x-8x=6,

解得：x=2,

故a=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵.

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)

1.（2022?泉州模擬）若3a=4b,則曳的值為（）

b

A.AB.2C.3D.A

3343

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】分式；運(yùn)算能力.

【分析】利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：：3a=4b,

?

?石一3，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?安慶模擬）若工々，則立的值為（）

23y

A.旦B.2C.旦D.5

2323

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】分式；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：T工工

23

...三=2,

y3,

.?.紀(jì)工=三+1=上，

yy3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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3.（2022?香坊區(qū)一模）如圖,AB〃CD〃EF,AF交BE于點(diǎn)G,若AC=CG,AG=FG,則下列

CD1

EF"2

【考點(diǎn)】平行線分線段成比例.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.

【解答】解：AB〃CD,

.DGCG

?.------f

BGAG

VAC=CG,

.DG-

>*BG'AG萬，

故A正確，不符合題意;

???AB〃CD〃EF,

?BGAG

VAG=FG,

ABG=EG,

ABE=2BG,

??DGJG_1

*BG"AGT

ABG=2DG,

VBE=4DG,

?DG1

?.----------i

BE4

故B錯(cuò)誤，符合題意；

；CD〃EF,

第11頁共117頁

.CG__DG

*'CF=DE'

VBG=2DG,BE=4DG,

；.DE=3DG,

.CGDG1

?于而而，

故C正確，不符合題意；

VCD/7EF,

?.?-C-D=-D-G-,

EFEG

VDE=3DG,

；.EG=2DG,

,CDDG_1

*'EF=EG~2

故D正確，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理逐一分析

四個(gè)結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為AAOB的0A邊上一點(diǎn)，AC：0C=l：2,

過C作CD〃OB交AB于點(diǎn)D,C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3,則B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）

【考點(diǎn)】平行線分線段成比例；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)CD〃OB得出￡0,根據(jù)AC：0C=l：2,得出22」，根據(jù)C、D兩點(diǎn)

AOOBAO3

縱坐標(biāo)分別為1、3,得出0B=6,即可得出答案.

【解答】解：；CD〃OB,

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.ACCD

AO=OB

VAC：OC=1：2,

?.?AC=■1一,

AO3

VC.D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為1、3,

；.CD=3-1=2,

.21

??-f

OB3

解得：0B=6,

；.B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出

￡0」，是解題的關(guān)鍵.

AO0B3

5.(2022?射陽縣校級(jí)一模)在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測(cè)得大縱湖東晉水

城與楊侍生態(tài)園的距離約為31cm,則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為31

km.

【考點(diǎn)】比例線段.

【專題】實(shí)數(shù)；應(yīng)用意識(shí).

【分析】圖上距離除以比例尺，算出實(shí)際距離，進(jìn)而把厘米換算成千米即可.

【解答】解：大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為314--1—=3100000(cm)

100000

=31(km),

故答案為：31.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查有關(guān)比例線段的計(jì)算；注意厘米換算成千米應(yīng)縮小100000倍.

6.(2022?龍崗區(qū)一模)四條線段a、b、c、d成比例，其中a=lcm、b=3cm、c=3cm,則

線段d=9cm.

【考點(diǎn)】比例線段.

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線

段.根據(jù)定義ad=cb,將a,b及c的值代入即可求得d.

【解答】解：；a,b,c,d是成比例線段，

第13頁共117頁

/.ad=cb,

Va=lcm,b=3cm、c=3cm,

???d=9,

貝！Jd=9cm.

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識(shí)

點(diǎn)是比例的基本性質(zhì).

7.（2022?商城縣一模）若三J上，則二了2=5.

357x+y-z

【考點(diǎn)】比例的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答：設(shè)三J」=t,則x、y、z分別用t表示，然后將其

357

代入所求的代數(shù)式，消去t,從而解得代數(shù)式的值.

【解答】解：設(shè)三J上=t,貝ij

357

x=3t,y=5t,z=7t.

...x-y+z=3t-5t+7t=5.

x+y-z3t+5t-7t

故答案是：5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的基本性質(zhì)：兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)之積等于兩個(gè)外項(xiàng)之積.解答此題時(shí)，

采用了代入法.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點(diǎn)02相似三角形的判定及性質(zhì)

AS

1.（2022?黑龍江哈爾濱）如圖，〃C￡>,AC,3Z）相交于點(diǎn)E,AE=l,EC=2,DE=3t

則8。的長為（）

第14頁共117頁

9

B.4C.D.6

2

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊長成比例可求得BE的長，即可求得BD的長.

RF

【詳解】?/AB//CD:._ABEs-CDE—

3

VAE=l,EC=2,DE=3,：.BE=-

2

9

VBD=BE+ED：.HD=-故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊長成比例，解題的關(guān)鍵在于找到對(duì)應(yīng)邊長.

2.（2022?廣西賀州）如圖，在一A3C中，DE//BC,DE=2,BC=5,則S小：S48c的值

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到..ABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相

似比的平方計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：DE//BC,DE=2,BC=5：.^ADE^ABC,

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是

解題的關(guān)鍵.

3.（2022?淮安區(qū)模擬）兩個(gè)相似多邊形的相似比是2：3,則這兩個(gè)多邊形的周長比是（）

A.4：9B.V2：V3C.2：5D.2：3

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；幾何直觀.

第15頁共117頁

【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：???兩個(gè)相似多邊形的相似比是2：3,

.?.這兩個(gè)多邊形的周長為2：3.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？?/p>

題型.

4.（2022?利辛縣校級(jí)二模）如圖，E,F分別為矩形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn)，若矩形ABCD

s矩形EABF,AB=1.求矩形ABCD的面積為（）

A.1B.返■C.V2D.2&

2

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)：矩形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；幾何直觀.

【分析】要求矩形的面積只要求出BC的長就可以，可以依據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相

等，可以求出BC,進(jìn)而得出面積即可.

【解答】解：由矩形ABCDs矩形EABF可得色

ABBC

設(shè)AE=x,則AD=BC=2x,又AB=L

?.?-x-n]--，

12x

可得：2小，

x2

矩形的長不能是負(fù)數(shù)，

解得：“2,

x2

.?.BC=2x=2X亞=&,

2

**?S矩形ABCD=BCXAB=V^X1=.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等.

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5.（2022?立山區(qū)一模）如圖，AD為AABC的角平分線，AD的垂直平分線交BC的延長線于

E,交AB于F,連接AE.求證：△BAES/\ACE.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到/BAD=/CAD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=

DE,由等腰三角形的性質(zhì)得到/EAD=/EDA,根據(jù)三角形的外角的即可得到結(jié)論

【解答】證明：...AD是NBAC的平分線，

.".ZBAD=ZCAD,

?.?EF是AD的垂直平分線，

；.AE=DE,

.*.ZEAD=ZEDA,

,/ZEAC=ZEAD-ZCAD,ZB=ZADE-ZBAD,

ZCAE=ZB,

.,.△BAE^AACE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的判定，三角形的外角性質(zhì)，角平分線定義，線段垂直平分

線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，關(guān)鍵是推出NFAD=NFDA,培養(yǎng)了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理

的能力.

6.（2022?東西湖區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BD_LAC于點(diǎn)D,DE_LAB于點(diǎn)E,BI"1）E=BE?

CD.求證：△BCDS^BDE.

【考點(diǎn)】相似三角形的判定.

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【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】由BD?DE=BE?CD得到毀0,由NBDC=NBED=90°可得到結(jié)論

BEDE

【解答】證明：,??點(diǎn)BDLAC于點(diǎn)D,DELAB于點(diǎn)E,

；.NBDC=NBED=90°,

VBD?DE=BE*CD,

?BDCD

??----------，

BEDE

.,.△BCD^ABDE.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

★變式訓(xùn)練★-------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)

1.（2022?汝陽縣一模）形狀相同的圖形是相似圖形.下列哪組圖形不一定是相似圖形（）

A.關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形

B.兩個(gè)正三角形

C.兩個(gè)等腰三角形

D.兩個(gè)半徑不等的圓

【考點(diǎn)】相似圖形；軸對(duì)稱的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)相似圖形的概念判斷即可.

【解答】解：A、關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，

,它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

B、兩個(gè)正三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，

它們是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

C、兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，

它們不一定是相似圖形，本選項(xiàng)符合題意；

D、兩個(gè)半徑不等的圓是相似圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)

鍵.

2.（2022?蘭州）已知△ABCS/\DEF,竺?=」，若BC=2,貝ijEF=（）

DE2

A.4B.6C.8D.16

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【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；運(yùn)算能力.

【分析】利用相似三角形的性質(zhì)可得坐革，代入即可得出EF的長.

DEEF

【解答】解：*.'△ABCs/iDEF,

?.?-A-Bzz-B-C-,

DEEF

???一A—S,_DXI/n乙p,_9

DE2

???—2——1,

EF2

；.EF=4,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解

題的關(guān)鍵.

AQ2

3.（2022?四川涼山）如圖，在aABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE〃BC,—

DE=6cm,則BC的長為（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm

【答案】C

【分析】根據(jù)平行得到@AABC,根據(jù)相似的性質(zhì)得出第An=蕓DF，再結(jié)合AD黑=?：,

ABBCDB3

DE=6cm,利用相似比即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在aABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，若DE〃BC,.?."）《=N8,

ADDE

ZA=ZA，DADE—DABC,「.=，

ABBC

AD2.DEADAD2

~DB~3'AD+DB~~5，

DE=6cm,BC=池、="6=15cm,故選：C.

22

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【點(diǎn)睛】本題考查利用相似求線段長，涉及到平行線的性質(zhì)、兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022?南川區(qū)模擬）若兩個(gè)相似多邊形的面積比為4：9,則它們的對(duì)應(yīng)邊的比是（）

A.3：2B.2：3C.9：4D.4：94

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì).

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，解決問題即可.

【解答】解：?..兩個(gè)相似多邊形的面積比為4：9,

它們的對(duì)應(yīng)邊的比2：3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解相似多邊形的面積比等于相似

比的平方.

5.（2022?周村區(qū)二模）如圖，將一張矩形紙片沿兩長邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折，如果得到的

【考點(diǎn)】相似多邊形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）.

【專題】圖形的相似；應(yīng)用意識(shí).

【分析】表示出對(duì)折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然

后求解.

【解答】解：設(shè)原來矩形的長為x,寬為y,

則對(duì)折后的矩形的長為y,寬為三，

2

?.?得到的兩個(gè)矩形都和原矩形相似，

?'.X：y=y：—,

2

解得x：y=J5：1.

故選:I）.

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【點(diǎn)評(píng)】本題主要利用相似多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握.

6.（2022?湖南婁底）如圖，已知等腰的頂角ZBAC的大小為。，點(diǎn)D為邊BC■上的

動(dòng)點(diǎn)（與8、C不重合），將AD繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角度時(shí)點(diǎn)。落在W處，連接

BD'.給出下列結(jié)論：①AACO三ZW?Q'；②AACBAADD'；③當(dāng)5￡>=C￡>時(shí)，ADD'

的面積取得最小值.其中正確的結(jié)論有（填結(jié)論對(duì)應(yīng)的序號(hào)）.

【分析】依題意知，ABC和二皿7是頂角相等的等腰三角形，可判斷②；利用SAS證明

/\ADC^/\AD'B,可判斷①；利用面積比等于相似比的平方，相似比為普，故最小時(shí)

40。面積最小，即4）_L8C,等腰三角形三線合一，D為中點(diǎn)時(shí).

【詳解】?；A。繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6角度得到AD'

：.ADAD'=6,AD=AD'^CAB=ZDAEf

即ACAD+ZDAB=NDAB+NBAD：.ZCAD=ABAD'

ZCAD=ABAD'

V-AC=AB得：△ADC四△4。'8（SAS）故①對(duì)

AD=AD'

：ABC和A￡”是頂角相等的等腰三角形.??△ACBAADD故②對(duì)

...今g=（要『即人口最小時(shí)$△麗最小當(dāng)4）,8C時(shí)，AD最小

由等腰三角形三線合一，此時(shí)D點(diǎn)是BC中點(diǎn)故③對(duì)故答案為：①②③

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【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，手拉手模型，選項(xiàng)

③中將面積與相似比結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬)如圖，點(diǎn)D為AABC邊AB上一點(diǎn)，AD=2,BD=6,AC=4.求

【考點(diǎn)】相似三角形的判定.

【專題】圖形的相似；推理能力.

【分析】直接利用：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似去證明即可.

【解答】解：；AD=2,BD=6,

；.AB=8,

?.?—AD21,-AC41,

AC42AB82

?.?-A-D-AC,

ACAB

又,：/卜=NA,

.,.△ACD^AABC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?吉林長春)如圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長

均為1,其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，MC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，

按下列要求作圖，保留作圖痕跡.

(1)網(wǎng)格中qABC的形狀是

(2)在圖①中確定一點(diǎn)D,連結(jié)。8、DC,使△D3C與A8C全等:

第22頁共117頁

(3)在圖②中..ABC的邊8c上確定一點(diǎn)E,連結(jié)AE,使△ABES/\CBA：

(4)在圖③中“MC的邊AB上確定一點(diǎn)P,在邊BC上確定一點(diǎn)Q,連結(jié)尸。，使△PBQSAABC,

且相似比為1：2.

【答案】(1)直角三角形

(2)見解析(答案不唯一)

(3)見解析

(4)翔解析

【分析】(1)運(yùn)用勾股定理分別計(jì)算出AB,AC,BC的長，再運(yùn)用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷

即可得到結(jié)論；

(2)作出點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D,連接BD,CD即可得出△08C與,.ABC全等：

(3)過點(diǎn)A作AELBC于點(diǎn)E,則可知

(4)作出以AB為斜邊的等腰直角三角形，作出斜邊上的高，交AB于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,

則點(diǎn)P,Q即為所求.

(1)VAB2=42+22=20,AC2=22+l2=5,BC1=52=25

二AB2+AC2=BC\

是直角三角形，

故答案為：直角三角形；

(2)如圖，點(diǎn)D即為所求作，使△￡>3c與全等:

(3)如圖所示，點(diǎn)E即為所作，且使△ABES^CBA：

第23頁共117頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形

的判定，相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇揚(yáng)州）如圖1,在A/U3C中，N8AC=9（）o,NC=60。，點(diǎn)。在邊上由點(diǎn)C

向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)3、C重合），過點(diǎn)。作DE_LA。，交射線AB于點(diǎn)E.

（D分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段AE與席的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

①點(diǎn)E在線段AB的延長線上且BE=BD；②點(diǎn)E在線段AB上且EB=ED.

（2）若AB=6.①當(dāng)匹=且時(shí)，求AE的長；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段AE長度的最小

AD2

值.

21

【答案】⑴①AE=23E②AE=23E⑵①二②4

【分析】（1）①算出△9各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出

②算出》磔各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出

第24頁共117頁

(2)①分別過點(diǎn)A,E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似,即叢EGDs叢DHA，設(shè)DE二?

AD=2a9利用30°直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出互＞,AD,EG,DH,列等式

求解a即可

②當(dāng)NE4D=3O。，AE最小，計(jì)算思路與(2)的①相同

⑴①如圖：

???在AABC中，NR4c=90。，ZC=60°

JZABC=30°

,:BE=BD

：.ZBDE=-ZABC=\50

2

NBDA=90。-NBDE=90。-15。=75。

在△43。中：

/BAD=180°-ZABD-ZBDA=180°-30°-75°=75°

:.ZBAD=ZBDA=15°

AB=BD=BE

：.AE=2BE

②如圖：

A

■:BE=DE

：.ZEBD=Z.EDB=30°,ZAED=60。

第25頁共117頁

，在放ZXAOE中，ZEAD=30°

二AE=2ED

：.AE=2BE

(2)①分別過點(diǎn)A,E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G,H

A

易知：AEGDsADHA（一線三垂直）

設(shè)DE=氐,AD=2a

則AE=JM+AD?=幣（1，BE=6-y/7a,

在町ABC中，ZABC=30°,AB=6

ABr~

則m=京=26BC=2AC=46

在RlABEG中,ZEBG=30。,BE=6-。

mn”BEA幣

則EG=----=3-------a

22

在RfA//C中，ZC=60°,AC=2y/3

CAC.

AH=--------=3

2

DH=yjAD2+AH2=yl4a2+9

由△EGQSADHA

EDEG

2+9

解得：%=三幣,4=—3幣（舍）