2023-2024學(xué)年浙江省寧波市江北實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市江北實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)第一學(xué)期開(kāi)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=x2B.y=x+1C.y——D.y=2x

.x

2.若4m=5〃（加#0）,則下列等式成立的是（）

Am_n口m_5rm_4nm_5

454nn5n4

3.己知△ABCs^OEF,AB：DE=\：2,則AABC與的周長(zhǎng)比等于（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

4.將拋物線y=3/先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為（）

A.y=3（x-1）2+2B.y=3（x+1）2-2

C.y=3（x+1）2+2D.y=3（x-1）2-2

5.如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（4CVBC）,AB=8,則8c的長(zhǎng)度是（）

ACB

A.2B.475-4C.12-4而D.4+475

6.下列關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+3,下列說(shuō)法正確的是（）

A.它的開(kāi)口方向向下

B.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2,3）

C.當(dāng)xV-1時(shí)，y隨x的增大而增大

D.當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值是3

7.下列圖象中，函數(shù)（〃#0）與丁=以+”的圖象大致是（）

厘

8.如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，若△ABC的面積為12,則△BPC的面積為（）

9.設(shè)一元二次方程(x-1)(x-2)—m(nz>0)的兩實(shí)根分別為a,B，且a〈B，則a,

B滿足()

A.l<a<p<2B.l<a<2<pC.a<l<p<2D.a<l且0>2

av+bx+c(Y0)

10.對(duì)于二次函數(shù)y=ar2+fer+c,規(guī)定函數(shù)丫=2是它的相關(guān)函數(shù).已

-ax^-bx-c(x<0)

知點(diǎn)何，N的坐標(biāo)分別為（-￡,1）,（"I，1），連接MN,若線段MN與二次函數(shù)y

=-9+4Y+〃的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則〃的取值范圍為（）

A.-3<〃W-1或l<n<?c

B.-3<n<-1或l<n4：

44

C.-1或1<D.-3<〃<-1或心1

4

二.填空題(每題3分，共18分)

11.已知線段a=2,8=18,則a,6的比例中項(xiàng)為.

12.如圖，已知AB//CD//EF,AD=6,DF=3,BC=7,那么線段CE的長(zhǎng)度等

于____________________

13.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。為邊AC上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①N2=NA；②N1=N

CBA-,③器=黒；④器=黑=當(dāng)中的一個(gè)，不能得出△ABC和△BCD相似的是:

ACABACBCAB

（填序號(hào)）.

14.已知點(diǎn)A(-1,yi),B(-0.5,”)，C(4,p)都在二次函數(shù)y=-ax2+2ax-1(a

>0)的圖象上，則)2,的大小關(guān)系是.

15.如圖所示矩形ABC。中，AB=4,BC=3,P是線段8c上一點(diǎn)(P不與8重合)，M

是08上一點(diǎn)，且設(shè)BP=x,△MBP的面積為y,則)，與x之間的函數(shù)關(guān)系式

16.如圖，在直角△ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,P、。分別為邊BC、AB上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若要使△APQ是等腰三角形且△是直角三角形，則AQ

三、簡(jiǎn)答題(第17,18,19,題各6分，第20,21,22題8分，第，23題10分，共52

分)

17.已知線段“、b、。，且

345

(1)求史？的值；

b

(2)若線段〃、b、。滿足。+8+。=60,求a、b、c的值.

18.如圖所示，△A8C的各頂點(diǎn)都在8義8網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,△

48C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A3G.

r-n~~r-n—r-n—r-n—ir-n—r-n-T-n—r~n

圖l圖2

（1）在圖1中畫(huà)出△ABG；

（2）在圖2中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△力EF,使△OE/S/VIBC,且相似比為泥：1.

19.已知二次函數(shù)y=/-2x-3.

（1）求圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？

20.如圖，在Rt^ABC中，/C=90°，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，DE//BC,BE丄AB.

（1）求證：XDEBsXBAC：

（2）若BE=2,AC=3,厶臺(tái)力后的面積為1,求△ABC的面積.

21.某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且

獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)，所

調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

銷售單價(jià)X（元）657080

銷售量y（件）555040

（1）求出y與尤之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫(xiě)出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)

定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

（3）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)恰為500元？

22.如圖，拋物線y=-N+bx+c交x軸于4,B兩點(diǎn)，交），軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)動(dòng)點(diǎn)。在直線BC上方的二次函數(shù)圖象上，連接。C,設(shè)△BCO的面積為5,

求S的最大值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,。為頂點(diǎn)的

三角形與aBCE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

23.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上(不與點(diǎn)8、C重合)，連接AE、8。交于點(diǎn)

G.

(1)若AG=8G,A8=4,BD=6,求線段OG的長(zhǎng)；

(2)設(shè)BC=kBE,ASGE的面積為S,AAGO和四邊形COGE的面積分別為Si和

把5,和52分別用k、S的代數(shù)式表示：

s

(3)求三■2的最大值.

S1

備用圖

參考答案

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）

A.y=x1B.y=x+lC.>?=—D.y=2x

x

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如），="2+灰+。（“、b、C是常數(shù)，"W0）的

函數(shù)，叫做二次函數(shù)可得答案.

解：A、y=N是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

B、>'=x+l是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、）=丄是反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

x

D、y=2x是正比例函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，關(guān)鍵是掌握判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是

要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)

的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件.

2.若4機(jī)=5”（mWO）,則下列等式成立的是（）

*m_nRm_5rm_4nm_5

454nn5n4

【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把每一個(gè)選項(xiàng)中的比例式轉(zhuǎn)化成等積式即可解答.

解：A.因嵋愛(ài)，所以5〃.〃，故此選項(xiàng)不符合題意;

B.因?yàn)樘?hào)=9，所以mn=20故此選項(xiàng)不符合題意；

4n9

C.因?yàn)榈?看,

所以5m=4n故此選項(xiàng)不符合題意；

n59

D.因?yàn)榈?今,

所以4m=5n,故此選項(xiàng)符合題意.

n4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.已知△ABCs4DE凡AB：DE=l：2,則△ABC與△￡>￡：尸的周長(zhǎng)比等于（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：,:△ABCs/\DEF,AB：DE=1：2,

.二△ABC與尸的周長(zhǎng)比=1：2.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長(zhǎng)的比等于相似比，對(duì)應(yīng)

中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高的比也等于相似比是解答此題的關(guān)鍵.

4.將拋物線y=3/先向左平移|個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的解析式為()

A.y=3(x-1)2+2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x-1)2-2

【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可.

解：將拋物線y=3N先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式

為：y=3(x+1)2-2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此

題的關(guān)鍵.

5.如圖，點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)(AC<BC),AB=8,則8C的長(zhǎng)度是()

ACB

A.2B.4-75-4C.12-4西D.4+4V5

【分析】根據(jù)黃金分割的定義，利用黃金比計(jì)算即可.

解：：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC<BC,

.BC_V5-1

??_1-------,

AB2

VAB=8,

.?.BC=2^^zlx8=4后-4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金比=專3是解題關(guān)鍵.

6.下列關(guān)于二次函數(shù)y=2F+3,下列說(shuō)法正確的是()

A.它的開(kāi)口方向向下

B.它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2,3)

C.當(dāng)X<-1時(shí)，y隨X的增大而增大

D.當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值是3

【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否

正確.

解：?.?二次函數(shù)），=2N+3,

,該函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是y軸，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,3）,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值3,當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，

故選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤，選項(xiàng)。正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利

用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

7.下列圖象中，函數(shù)〉=以2-“（〃/0）與y=nx+a的圖象大致是（）

【分析】可先根據(jù)a的符號(hào)判斷一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象所經(jīng)過(guò)的象限，然后作出選

擇.

解：當(dāng)〃>0時(shí)，由二次函數(shù)y=ax2-a可知開(kāi)，口向上，頂點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，與x軸

的交點(diǎn)為（7,0）,（1,0）,

由一次函數(shù)y=ax+a可知過(guò)一，二，三象限，交x軸于（-1,0）；

當(dāng)a<0時(shí)，由二次函數(shù)y=ar2-a可知，開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在y軸正半軸上，與x軸的交

點(diǎn)為（-1,0）,（1,0）,由一次函數(shù)y=ar+4可知過(guò)二，三，四象限，交x軸于（-

\,0）；

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟記二次函

數(shù)的圖象及一次函數(shù)的圖象的特征.

8.如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，若aABC的面積為12,則△BPC的面積為（)

C.5D.6

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍，再結(jié)合三角形

的面積公式即可求解.

解：如圖所示，連接AP并延長(zhǎng)交8c于力,

:點(diǎn)P是aABC的重心，

：.AP：PD=2：1,

SAABP=2SAB/>O,SACAP=2SACPD，

.?.△BPC的面積的面積==X12=4,

33

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心的性質(zhì)，結(jié)合重心性質(zhì)得出三角形的面積公式找到三

角形的面積比是解題的關(guān)鍵.

9.設(shè)一元二次方程（x-1）（%-2）=m（n?>0）的兩實(shí)根分別為a,0,且a<B，則a,

B滿足（）

A.l<a<p<2B.l<a<2<pC.a<l<p<2D.aVl且0>2

【分析】先令根=0求出函數(shù)卜=a-1）（x-2）的圖象與x軸的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象,

利用數(shù)形結(jié)合即可求出a,B的取值范圍.

解：令機(jī)=0,

則函數(shù)尸（尤-1）（X-2）的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為（1,0）,（2,0）,

故此函數(shù)的圖象為：

'：m>0,

???原頂點(diǎn)沿拋物線對(duì)稱軸向下移動(dòng)，兩個(gè)根沿對(duì)稱軸向兩邊逐步增大，

：.a<\,p>2.

故選D.

代數(shù)法：（x-1）（x-2）—m,m>0,兩者乘積>0,只能同正或同負(fù)，即x-l>0且

x-2>0或x-lVO,x-2<0,同大取大，同小取小.

解得x<l或x>2,即a<l,p>2.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，能根據(jù)x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出函數(shù)），=（X

-1）（x-2）與x軸的交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解答是解答此題的關(guān)鍵.

3Y丫nJ

10.對(duì)于二次函數(shù)y=〃x2+bx+c,規(guī)定函數(shù)丁='k'是它的相關(guān)函數(shù).已

-ax'-bx-c（x<0）

知點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為（-￡,1）,弓，1），連接MN,若線段與二次函數(shù)y

=-N+4x+〃的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則〃的取值范圍為（）

A.-3<〃W-1或l<n（=B.-3<〃<-1或l<n（片

44

C.”忘-1或1<1^<9D.-3<〃<-1或〃）1

4

【分析】首先確定出二次函數(shù)y=-X2+4X+”的相關(guān)函數(shù)與線段MN恰好有1個(gè)交點(diǎn)、2

個(gè)交點(diǎn)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)〃的值，然后結(jié)合函數(shù)圖象可確定出〃的取值范圍.

解：如圖1所示：線段MN與二次函數(shù)），=-。+4/〃的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有1個(gè)公共點(diǎn).

所以當(dāng)x=2時(shí)，y=l,即-4+8+"=l,解得"=-3.

如圖2所示：線段MN與二次函數(shù)y=-x2+4x+〃的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn).

,拋物線y=N-4x-〃與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為1,

?*.-n=1>解得：n=-1.

...當(dāng)-3<"<-1時(shí)，線段與二次函數(shù)y=-尤2+?+”的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公

共點(diǎn).

'.n=1.

如圖4所示：線段A/N與二次函數(shù)y=-x2+4x+〃的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn).

,拋物線y—x2-4x-?經(jīng)過(guò)點(diǎn)Af（-1）,

.,.—+2-n=1,解得：n——.

44

Al金時(shí)，線段MN與二次函數(shù)y=-N+4X+〃的相關(guān)函數(shù)的圖象恰有2個(gè)公共點(diǎn).

4

綜上所述，”的取值范圍是-3<〃W-1或1<n^—,

4

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，求得二次函數(shù)y=-x2+4x+〃的相關(guān)

函數(shù)與線段恰好有1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn)、3個(gè)交點(diǎn)時(shí)〃的值是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（每題3分，共18分）

11.已知線段“=2,b=18,則a,I的比例中項(xiàng)為6.

【分析】設(shè)線段a,b的比例中項(xiàng)為c,根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可知，小=〃從代入數(shù)據(jù)可

直接求得c的值，注意兩條線段的比例中項(xiàng)為正數(shù).

解：設(shè)線段”，。的比例中項(xiàng)為c,

Vc是長(zhǎng)度分別為2、8的兩條線段的比例中項(xiàng)，

.\c2=ab=2X18,

即/=36,

，c=6（負(fù)數(shù)舍去）.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的比，根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可.解題的關(guān)鍵是掌

握比例中項(xiàng)的定義，如果。：h=h：c,即Z?2=〃c,那么h叫做。與c的比例中項(xiàng).

7

12.如圖，己知AD=6,DF=3,BC=1,那么線段CE的長(zhǎng)度等于3.

-2-

AB,

%\

【分析】根據(jù)平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例解答即可.

解：'：AB//CD//EF,AD=(>,DF=3,BC=7,

.ADBC

??_—J

DFCE

解得:CE=三,

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是

解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在AABC中，點(diǎn)。為邊AC上的一點(diǎn)，選擇下列條件：①N2=NA；②N1=N

CBA-,③器=黒；④器=祟=11"中的一個(gè)，不能得岀和△BCD相似的是：

ACABACBCAB

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得出答案.

解：①當(dāng)/2=NA,NC=NC時(shí)，△ABCs/\BOC,故①不符合題意；

②當(dāng)/1=NCBA,NC=/C時(shí)，XABCsMBDC,故②不符合題意；

③當(dāng)?shù)?,/c=NC時(shí)，不能推出△ABCSABDC,故③符合題意：

ACAB

④當(dāng)區(qū)=型=理，/C=/C時(shí)，XABCSXBDC、故④不符合題意；

ACBCAB

故答案為：③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三

角形相似；有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

14.已知點(diǎn)A(-1,yi),B(-0.5,”)，C(4,”)都在二次函數(shù)y=-a^+lax-1(a

>0)的圖象上，則V，>2,V3的大小關(guān)系是Y3<yi<y2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=l,根據(jù)x<l

時(shí)，y隨x的增大而增大，即可得出答案.

解：*.*y=-ax2+2ax-1(?>0),

.??圖象的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線x=-2x?_a)=l'

/?A(4,ya)關(guān)于直線x=l的對(duì)稱點(diǎn)是(-2,>3),

V-2<-1<-0.5,

.,.y3<yi<y2,

故答案為y3<yi

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理

解和掌握，能熟練地運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

15.如圖所示矩形ABC。中，A8=4,8c=3,P是線段BC上一點(diǎn)(P不與8重合)，M

是DB上一點(diǎn),且BP=QM,設(shè)的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

9

為y=-三聲〃(0<XW3).

—5-

【分析】過(guò)點(diǎn)M作ME丄AO,垂足為點(diǎn)E,延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F,由矩形的性質(zhì)可得

出AO=BC=3,NA=90°,在RlZVlB。中，利用勾股定理可求岀8。的長(zhǎng)，由ME丄

AD,可得出N￡>EM=NA=90°,結(jié)合可得出利用

相似三角形的性質(zhì)可用含x的代數(shù)式表示出EM,進(jìn)而可得岀MF的長(zhǎng)，再利用三角形的

面積公式即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

解：過(guò)點(diǎn)M作MELA。，垂足為點(diǎn)E,延長(zhǎng)EM交BC于點(diǎn)F,如圖所示.

???四邊形A8CD為矩形，

：.AD=BC^3,ZA=90".

在RtZVLBO中，AB=4,AD=3,

ABD=VAB2+AD2=5-

MEA.AD,

：.ZDEM=ZA=90°.

又；NEDM=NADB，

:.△DEMS[\DAB,

?EM=DM

"AB-DB'

4

\MF=AB-EM=(4-—x)，

5

1o

,.y=±BP，MF=--x2+2x.

-25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、由實(shí)際問(wèn)題抽

象出二次函數(shù)關(guān)系式以及三角形的面積，利用矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)找出MF

是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，在直角aABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、。分別為邊8C、A8上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)"若要使△APQ是等腰三角形且aBPO是直角三角形'則AQ=—竽或平—.

【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當(dāng)AQ=PQ,/QP8=90°時(shí)，②當(dāng)AQ=

PQ,NPQB=90°時(shí)；

解：①如圖1中，當(dāng)4。=。。，ZQPB=90Q時(shí)，設(shè)AQ=PQ=x,

?.,PQ〃AC,

:?△BPQS^BCA,

.BQ=PQ

**BAAC'

.10~xx

106

?.?冗-_--1-5-,

4

?MQ時(shí)

②當(dāng)AQ=PQ,NPQB=90°時(shí)，設(shè)AQ=PQ=y.

?:△BQPS^BCA,

.PQ=BQ

,,ACBC‘

.y_i°-y

?退一_8~

...y=30.

7

綜上所述，滿足條件的AQ的值為華或平

圖1圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

三、簡(jiǎn)答題(第17,18,19,題各6分，第20,21,22題8分，第，23題10分，共52

分)

17.已知線段a、b、c,且且

345

(1)求史込的值；

b

(2)若線段〃、b、c滿足〃+〃+c=60,求a、b、c的值.

【分析】設(shè)〃=3匕b=4k,c=5k.

(1)代入計(jì)算即可；

(2)構(gòu)建方程求出％即可.

解：設(shè)則a=3k,b=4k,c=5k

345f

(/［八丿a+b._.3.k.+..4.k.._—7；

b4k4

(2)Va+b+c=60,

，3k+4k+5仁60,

'.a—15,b=20,c—25.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a=3k,b=4k,c=5k進(jìn)而得出k

的值是解題關(guān)鍵.

18.如圖所示，△4BC的各頂點(diǎn)都在8X8網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,△

ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A5G.

(1)在圖1中畫(huà)出△A3G；

(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)△力EF,使△OEFS/VIBC,且相似比為正：1.

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得圖形；

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得圖形.

解：(1)如圖，△A5G即為所求；

圖I圖2

(2)如圖，△OEF即為所求.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，相似變換，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

19.已知二次函數(shù)y=/-2x-3.

(1)求圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？

【分析】(1)把一般式化成頂點(diǎn)式即可確定二次函數(shù)y=N-2x-3的圖象的開(kāi)口方向、

對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)圖象與y軸和x軸的相交的特點(diǎn)可求岀坐標(biāo)；

(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)。>0時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大.

解：(1)：a=l>0,

...圖象開(kāi)口向上，

'."y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

對(duì)稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,-4)；

(2)由圖象與y軸相交則x=0,代入得：y=-3,

...與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-3)；

由圖象與x軸相交則y=0,代入得：X2-2x-3=0,

解得XI=3,X2--1

二與x軸的交點(diǎn)為(3,0)和(-1,0)；

(3)?對(duì)稱軸x=l,圖象開(kāi)口向上，

.?.當(dāng)x>l時(shí)，y隨x增大而增大.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查了通過(guò)配方法求頂點(diǎn)式，求頂點(diǎn)坐標(biāo),

對(duì)稱軸，開(kāi)口方向；還考查了根據(jù)對(duì)稱軸了解二次函數(shù)的增減性及觀察圖象回答問(wèn)題的

能力.

20.如圖，在RtZXABC中，/C=90°,點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，DE//BC,BELAB.

(1)求證：△QEBs^SAC；

(2)若BE=2,AC=3,的面積為1,求AABC的面積.

A

【分析】（1）根據(jù)。石〃8c可得NEO8=NC8A,即可求證絲△8AC；

（2）先求出相似比，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解.

【解答】（1）證明：???QE〃8C,

:?/EDB=/CBA,

VZC=90°,BE丄AB,

：.4C=/EBD,

（2）解：由（1）可得△OE8絲△BAG

，，（）-（）

SAABC'AC3一9'

?SABDE=1f

1二4

'S^ABCa'

解得：SAABC^4'

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：有兩個(gè)角相等

的兩個(gè)三角形相似，相似三角形的面積比等于相似比的平方.

21.某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且

獲利不得高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)，所

調(diào)查的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

銷售單價(jià)X（元）657080

銷售量y（件）555040

（1）求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫(xiě)岀利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)

定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

（3）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)恰為500元？

【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可：

(2)依題意求出W與x的函數(shù)表達(dá)式.將二次函數(shù)的解析式配方后即可確定最值：

(3)由叩=500推出/-60x-7200=0,解出x的值即可.

解：(1)設(shè)一次函數(shù)的解析式為了=履+方，

根據(jù)題意可得：［65k+b=55,

I70k+b=50

解得：4二T,

lb=120

，解析式為：y=-JC+120,

(2)由題意知:

W=(x-60)?(-x+120)

=-x2+180x-7200

=-(x-90)2+900,

?.?拋物線的開(kāi)口向下，

.?.當(dāng)xV90時(shí)，W隨x的增大而增大，而銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%,

即x-60W60X45%,

；.60?87,

.?.當(dāng)x=87時(shí)，屮=-(87-90)2+900=891.

答：當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是891元；

(2)如果在試銷期間該服裝部想要獲得500元的利潤(rùn)，.丿。。二-x2+180x-7200,

解為xi=70,X2=110(不合題意舍去).

.?.銷售單價(jià)應(yīng)定為70元.

答：銷售單價(jià)定為70元時(shí)，該商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)恰為500元.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題是初中階段重點(diǎn)

題型，同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握.

22.如圖，拋物線y=-N+bx+c交x軸于A,8兩點(diǎn)，交)，軸于點(diǎn)C,直線8c的表達(dá)式為

備用圖1備用圖2

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)動(dòng)點(diǎn)。在直線BC上方的二次函數(shù)圖象上，連接。C,DB,設(shè)△BCD的面積為S,

求S的最大值；

(3)當(dāng)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A,C,。為頂點(diǎn)的

三角形與ABCE相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)由S=S松般COFO+SAOFB+SAAOC,口卩可求解；

(3)分△AQCSAECB、XQACSXECB、△ACQ's^ECB三種情況，分別求解即可.

解：(1)扌巴x=0代入y=-x+3得：y=3,

：.C(0,3).

把y=0代入y=-x+3得：x—3,

：.B(3,0),

將C(0,3),B(3,0)代入y=-N+6x+c得：

-+=

f93b+c04sfb=2

拋物線的表達(dá)式為y=-/+2x+3；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。/丄x軸于點(diǎn)凡如圖1,

圖1

設(shè)。(x,-X2+2JC+3),則F(x,0),OF=x,BF=3-x,

貝!]DF=-N+2x+3,

S=SCOFD+S^DFB+S&AOC

Xx(3-/+2_^+3)+—(3-x)(-/+2x+3)+—X1X3=-—(x——,)^+—―■,

222228

...當(dāng)x=^時(shí)，S有最大值，最大值為之.

28

(3)存在，理由:

y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

：.E(1,4).

又,：C(0,3),B(3,0),

：.CE=y[2<BC=3&,EB=2遙,

r.CE^+CB^BE2,

:.NECB=90°.

.,.OA—1,CO—3.

.AQ_CE_1

**C0"BC

又：N