2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型總結(jié)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)模型（精練：基礎(chǔ)+重難點）

2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)

第13練函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)模型（精練）

【A組在基礎(chǔ)中考查功底】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=log3（x-l）-2的零點為（）

A.10B.9C.（10,0）D.（9,0）

【答案】A

【分析】令〃”=0,解對數(shù)方程，求出x=10.

2

【詳解】令〃尤）=1鳴（％-1）-2=0,gpiog3（^-l）=2=log33,所以“1=32,因此x=10,所以函數(shù)

/（x）=log3（x-l）—2的零點為10,

故選：A.

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=的零點所在區(qū)間是（）

x

A.（3,4）B.（2,3）C.（1,2）D.（0,1）

【答案】B

【分析】根據(jù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性，再應(yīng)用零點存在性定理確定所在區(qū)間即可.

3

【詳解】由y=Iy=—in「在（。,+8）上遞減,

x

.3?

所以y=--In%在（0,+8）上遞減，

X/（2）=--ln2=ln￡>0,/（3）=l-ln3=ln1<0,

223

所以零點所在區(qū)間為（2,3）.

故選：B

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年

x2+10%,0<元440

的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品，需另投入成本0（x）萬元.其中0（x）=410000，若該

7U+----------945,%>40

.x

公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

【分析】先求得該企業(yè)每年利潤的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤的最大值.

70x-^x2+10x+25),0<x<40

【詳解】該企業(yè)每年利潤為/（x）=<

70x-(71x+^^-945+25j,x>40

當0<%K40時9f(%)=—%2+60x—25=—(x—30)2+875

在x=30時，取得最大值875；

當x>40時，/（^）=920-^+12222^<920-2^%.12222=720

（當且僅當x=100時等號成立），即在x=100時，〃x）取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.

故選：C

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2*+x-4,g（x）=e*+尤-4,〃（x）=lnx+x-4的零點分別是“，b,

c,則a,b,c的大小順序是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】將/（x）,g（元），版X）的零點看成函數(shù)y=4-X分別與y=2"y=e\y=Inx的交點的橫坐標，分別畫出

這些函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解.

【詳解】由已知條件得

于的零點可以看成y=2'與y=4-x的交點的橫坐標，g（x）的零點可以看成y=e，與y=4-x的交點的橫坐標，

心）的零點可以看成y=ln無與y=4-x的交點的橫坐標，

在同一坐標系分別畫出y=2'y=e\y=lnx,y=4-x的函數(shù)圖象，如下圖所示，

可知

故選：C.

5.（2023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）凈水機通過分級過濾的方式使自來水逐步達到純凈水的標準，其中的核心

零件是多層式結(jié)構(gòu)的PP棉濾芯（聚丙烯熔噴濾芯），主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì).假設(shè)每一

2

層尸P棉濾芯可以過濾掉彳的大顆粒雜質(zhì)，過濾前水中大顆粒雜質(zhì)含量為60mg/L,若要滿足過濾后水中大顆粒雜

質(zhì)含量不超過2mg/L,則PP棉濾芯層數(shù)最少為（）（參考數(shù)據(jù)：也2r0.30,坨3。0.48）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運算直接求解.

【詳解】由題意得，經(jīng)〃層濾芯過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量為60(l-|J=60x]gj,neN,

則60x1|]<2,得30x]|)<1,所以lg30+lgg)<0,

gplglO+lg3+?i(lg2+lg3-lgl0)<0,所以1+0.48+(0.78-l)n<0,

74

解得"“打，〃*N,

所以”的最小值為7,

故選：C.

l,x>0

6.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考三模)定義符號函數(shù)sgnx=0,x=0,則方程Vsgnx=5x-6的解是()

-1,x<0

A.2或一6B.3或一6C.2或3D.2或3或一6

【答案】D

【分析】根據(jù)符號函數(shù)的意義，分段解方程作答.

2

【詳解】依題意，當1>0時，方程x2sgiix=5x-6為：X=5X-69解得X=2或X=3,因此x=2或％=3,

當％=0時，方程x2sgnA：=5x-6為：0=5%-6,解得x=于是無解，

當％<0時，方程x2sgnx=5x-6為：一f=5x-6,解得x=-6或x=l,因此x=-6,

所以方程％2sgnx=5%-6的解是1=2或x=3或x=-6.

故選：D

Inx%>0

7.(2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(》)=；,g(x)=/(x)+/(-%),,則函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為

IJC十JL,X&U

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】先求x>0時，函數(shù)g(x)的零點，再根據(jù)g(x)為偶函數(shù)，可得x<0時，函數(shù)g(?還有一個零點尸-1,由

此可得答案.

【詳解】當x=0時，g(0)=f(0)+/(0)=2/(0)=2,所以x=0不是函數(shù)g(x)的零點，

因為g(x)=/(尤)+/(-x),所以g(-x)=/(-x)+/'(?=&翩,所以g(x)為偶函數(shù),

I1—Y

當x>0時，-x<0,g(x)=lnx-x+l,g'(x)=——1=-----,

xx

令g'(x)>0,得0<x<l,令g，(x)<0,得x>l,

所以g(無)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,位)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在x=1時取得最大值g⑴=。，

所以當x>0時，g(x)有唯一零點尤=1,

又函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，所以g。)在x<0時，還有一個零點A-1,

綜上所述：函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為2.

故選：A

8.(2023?全國,高三專題練習(xí))設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，如[1]=1,[0.5]=0,已知函數(shù)=?-k(x>0),

若方程/(x)=0有且僅有3個實根，則實數(shù)上的取值范圍是()

(121(23]<341「45-

A.B.—C.—D.—?―

(23」(34J(45j(56」

【答案】C

【分析】由〃制=0可得國="，則問題轉(zhuǎn)化為y=[司與y=自在(。,+8)上恰有3個交點，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】由/(x)=o可得國=履，依題意y=國與丁=辰在(0,+8)上恰有3個交點,

如圖所示，點(5,4)和點(4,3)為臨界點，

所以實數(shù)上的取值范圍是

故選：C

二、多選題

2x+1-2,0<x<l

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=1,若關(guān)于x的方程“x)=-：x+a恰有兩個互異的實

—,%>14

數(shù)解，則實數(shù)〃的值可以是()

A.0B.1C.-D.2

4

【答案】BCD

【分析】首先根據(jù)題意畫出函數(shù)，(x)的圖象，結(jié)合圖象可知：當;WaV：時，直線y=-；x+a與y=/(x)的圖象有

2個交點，當直線與曲線丫=」相切在第一象限時，有2個交點，即可得到答案.

X

【詳解】函數(shù)〃%)的圖象，如圖所示：

Hx)

~O1X

由題意知，直線y=+a與＞=/(無)的圖象有2個交點.

4

當直線y=-^x+a過點(1,2)時，〃=',

當直線y=-，+。過點(U)時，Q=:.

結(jié)合圖象如圖可知，當=59時，直線y=-1%+〃與＞=/(%)的圖象有2個交點，

444

如圖所示：

又當直線y=-；x+a與曲線相切在第一象限時，

4x

直線y=-：x+a與y=/(x)的圖象也有2個交點，如圖所示:

4

—=-^-x+a,化簡可得了2.4奴+4=0,由△=(4〃)2-16=0,得〃=±1,

x4

又由圖可知。＞0,所以，=1,此時切點的橫坐標為2符合.

"59~

綜上，實數(shù)a的取值范圍是{1}.

故選：BCD.

10.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義域為氏的函數(shù)〃%)滿足了(%)不恒為零,且/(%+6)=/5),/(3+%)+/(3-%)=0,

/(2)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=0B./(%)是奇函數(shù)

C./(x)的圖像關(guān)于直線X=12對稱D.7⑴在［0,10］上有6個零點

【答案】AB

【分析】通過給題中恒成立的等式賦值，求函數(shù)值，判斷奇偶性、對稱性和零點.

【詳解】選項A：對于/(x+6)=f(x)，令x=0,得/(6)=/(0),對于/(3+x)+/(3—x)=。,令Q3,得”6)=-/(0),

所以7(0)=-/(0),則〃。)=。,A正確;

選項B：由〃x+6)=/(x)得/(6-x)=/(-x),由/(3+X)+/(3-X)=0得"6-X)=-/(X),所以〃T)=-/(X),/(X)

是奇函數(shù)，B正確；

選項C：由/(x+6)=/(x),#/(x+12)=/(x+6)=/(x),所以12是/(x)的一個周期，又/⑴是奇函數(shù),所以/⑺

的圖像關(guān)于點(12,0)對稱，因為不恒為零，所以Ax)的圖像不關(guān)于直線尤=12對稱，C錯誤；

選項D：由A知/(6)=/(0)=0,對于/(3+x)+/(3-x)=0,令％=0,得/(3)=0,所以〃9)=/(3)=0,由/⑵=0,

得/(8)=〃2)=0,"-2)=-"2)=0,所以/(4)=/(10)=0,所以人元)在［0,10］上的零點為0,2,3,4,6,8,9,

10,共8個，D錯誤.

故選:AB.

三、填空題

11.(2023春?北京大興?高三?？奸_學(xué)考試)己知函數(shù)/(尤),則函數(shù)的零點個數(shù)為.

【答案】3

【分析】當x<0時直接求解函數(shù)零點，當尤20時，轉(zhuǎn)化為y=e'與y=2/的圖象的交點個數(shù)求解即可.

【詳解】解：當x<0時，〃x)=(x+l)e*=0,解得尸—1；

當尤N0時，/(x)=e「2x2=0得e，=2Y,

易得/⑵=/-8<0,

作出函數(shù)，=二，y=2/的圖象，如圖，

所以，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與募函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)y=ely=21在(0,+8)有兩個交點，

所以當xNO時，/(x)=e，-2/=0有兩個實數(shù)根,

所以，函數(shù)“X）的零點個數(shù)為3

故答案為：3

12.（2023秋?廣東潮州?高三統(tǒng)考期末）定義在R上的奇函數(shù)“尤）滿足〃力=〃2-尤），且當xe［0,l］時，〃x）=2，l,

則函數(shù)g（x）=/（x）-［若［的所有零點之和為.

【答案】18

【分析】判斷出了⑴的對稱性、周期性，畫出y=〃x）與y1平［的圖象，結(jié)合圖象求得g（x）的所有零點之和.

【詳解】???“X）滿足〃x）=/（2—x）,則無）關(guān)于直線x=l對稱，

又?；f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則，（無）=/（2—%）=-f（尤一2）,

即〃%+2）=-/（力，貝!|〃x+4）=_〃x+2）=-［-=

.??是以4為周期的周期函數(shù)，

Xe/（x）=f（2-x）=-/（x-2）,可得/■（2—可+/（尤-2）=0,貝！］/（2—x）+/（x+2）=0,

關(guān)于點（2,0）對稱，

令g（x）=〃x）-］\m=o,則,

可知：丁=〃力與〉=（、，，均關(guān)于點（2,0）對稱，如圖所示：

設(shè)y="X）與y=［平］的交點橫坐標依次為百，X?，&，%4，2、毛，X6，Xq，Xg，

貝［|玉+/=%+工7=工3+%6=%4+%5=4,

故函數(shù)g（x）=〃x）-［若；的所有零點之和為4x4+2=18.

故答案為：18.

13.(2023春?江蘇南京?高三江蘇省南京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=無若方程/(x)

Iinx+1,x>u

=m(m^R)恰有三個不同的實數(shù)解〃，b,c(a<b<c),貝!J(〃+/?)c的取值范圍是.

【答案】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式畫出圖象，即可得出a+b=-2,-<c<l,進而可求(a+b)c的范圍.

e

【詳解】依題意，

方程f(x)=m(m￡R)恰有三個不同的實數(shù)解a,b,c(a<b<c),

可得a+b=—2,f(0)=l=f(1),-<c<l,

e

貝(Q+0)c——2cG—2,—1,

故答案為：-2,-^.

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=--2依+匕的兩個零點一個大于2,一個小于2,M0</?-2a<2,

則3b-8a的取值范圍為

【答案】(-8,0)

【分析】由已知得出〃2)<0,即設(shè)m—8。=加?！?。)+〃0—2a),利用待定系數(shù)法求解得出結(jié)

果.

【詳解】由"X)的兩個零點一個大于2,一個小于2可得"2)=4—4。+6<0,即b—4a<Y,

X0<Z?-2A<2,

設(shè)3/?—8a=zn（/?-4a）+幾（人一2々）,

3=m+nm=l

,解得

—8=—4m—2nn—2

BP3b-^a=（b-^a）+2（b-2a）,且042（/?—2〃）44,

故3b—8a的取值范圍為(-8,0).

故答案為：(-8,0).

四、解答題

15.(2023春?云南昆明?高三云南省昆明市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=/(尤)(*?&是偶函數(shù).當xNO時,

f(x)=x2-4x.

⑴求函數(shù)/(x)在xeR上的解析式；

⑵若函數(shù)/(無)在區(qū)間3,“+引上單調(diào)，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)已知/7(x)=|/(x)|一加，試討論/7(x)的零點個數(shù)，并求對應(yīng)的機的取值范圍.

尤2+4x,x<0

【答案】(l)/(x)=

尤2-4x,尤20

(2)aW-5或a22

(3)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.

(2)根據(jù)(1)做出Ax)圖像，數(shù)形結(jié)合.

(3)根據(jù)⑴做出)(x)1圖像,數(shù)形結(jié)合.

【詳解】(1)設(shè)x<0,則T>0

/(-%)=x2+4x

???/(x)為偶函數(shù)

/(X)=f(-x)=x2+4x

x2+4x,x<0

綜上,有了(X)=

尤2-4x,尤20

(2)由(1)作出Ax)的圖像如圖:

因為函數(shù)f（x）在區(qū)間團,。+3］上具有單調(diào)性，

由圖可得a+3V-2或。22,解得aW-5或。22；

故實數(shù)。的取值范圍是a<-5或。22.

（3）由⑴作出"（尤）1的圖像如圖：

由圖像可知：

當m>4時，M龍）有兩個零點;

當加=4時，M尤）有四個零點；

當。（根<4時，力（無）有六個零點;

當m=0時，飄尤）有三個零點;

當機<。時，Mx）沒有零點.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)一種電子設(shè)備，通過市場分析，每臺設(shè)備的成本與產(chǎn)量滿足一定的關(guān)系

式.設(shè)年產(chǎn)量為尤（0<x<200,尤eN）（單位：臺），若年產(chǎn)量不超過70臺，則每臺設(shè)備的成本為％=Jx+40（單

位：萬元）；若年產(chǎn)量超過70臺不超過200臺，則每臺設(shè)備的成本為必=101+坐-墊（單位：萬元），每臺設(shè)

XX

備售價為100萬元，假設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的電子設(shè)備能全部售完.

（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的關(guān)系式;

（2）當年產(chǎn)量為多少臺時，年利潤最大，最大值為多少萬元?

1

——x29+60x,0<x<70,xeN

2

【答案】⑴y=<

2080-卜+竺g,70<xW200”N

（2）當年產(chǎn)量80臺時，年利潤最大，最大值為1920萬元

【分析】（1）分0<xK70,XEN和70VxW200,尤wN兩種情況分別求出函數(shù)解析式;

（2）根據(jù)二次函數(shù)與基本不等式求出各段函數(shù)的最大值，再比較即可得解.

【詳解】⑴解：當0<xK70,XEN時，》=100X一1；%+40卜=一；%2+60冗,

、b一…小八人?64002080、…°C(6400、

當70VxW200,xwN時，y=100x-l101+--------—lx=2080-lA:+--,

12

——x+60x,0<X<70,XGN

所以^=1(6400、.

2080-x+^—1,70<x<200,XGN

(2)解：當0<x?70,xcN時，y=-萬%2+60x=-5(x-60)+18009

所以當x=60時，y取得最大值，最大值為1800.

當70cxW200,xeN時，y=2080一+卜2080一2卜^^=1920,

當且僅當苫=幽，即x=80時，，取得最大值1920,

X

因為1920>1800,所以當年產(chǎn)量80臺時，年利潤最大，最大值為1920萬元.

【B組在綜合中考查能力】

一、單選題

1.（2023春?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）“打水漂”是一種游戲，通過一定方式投擲石片，使石片在水面上實現(xiàn)多次彈跳,

彈跳次數(shù)越多越好.小趙同學(xué)在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石片第一次接觸水面時的速度為

20m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素,假設(shè)石片每一次接觸水面時的速度均為上一次的

85%，若石片接觸水面時的速度低于6m/s，石片就不再彈跳，沉入水底，則小趙同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為

（）（參考數(shù)據(jù):Ig2。0.3』g3b0.48,Igl7aL23）.

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為x,根據(jù)題意得20x0.85,<6,即0.85,<0.3,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)

換底公式求解即可.

【詳解】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為3

由題意得20、0.85工<6,

即0.85*<0.3,

得X>log().85°，3.

lg0.3_lg3_l_lg3-l_lg3-l

因為1暇,850?3=土7.4,

lg0.85-lg85-2-lgl7+lg5-2-Igl7-lg2-l

所以x>7.4,

即x=8.

故選：C.

Ie"x<0

2.(2023?四川成都?校考三模)已知函數(shù)〃x)=,'.Zg(x)=f(x)+x+2a,若g(x)存在2個零點，則實數(shù)。的

Inx,x>0

取值范圍是()

A.B.[0,+8)C.-g,。[D.-)'+[

【答案】D

【分析】題目轉(zhuǎn)化為函數(shù)>=/(無)的圖像與直線y=r-2a有2個交點，畫出圖像，根據(jù)圖像知QW1,解得答案.

【詳解】g(x)=〃x)+x+2”存在2個零點，故函數(shù)>=/(x)的圖像與直線y=r-2a有2個交點，

畫出函數(shù)圖像，如圖，平移直線丁=-%可以看出當且僅當-2心1,即心-：時，

直線y=T-2”與函數(shù)y=/(x)的圖像有2個交點.

—x+1xW2

3.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)〃尤)=2'一’與函數(shù)g(x)=log“(x+3)(a>0且awl)的圖像有且

/(x-2),x>2,

僅有一個交點，貝U。的范圍為()

A.{a|(7>5}B.{a|aN5}

C.^a|0<a<5j=La7tljD.{40<。<5且。聲1}

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分分別撤出分段函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像即可得到結(jié)果.

【詳解】當x>2時，由=2),得當x>2時，/(X)的周期7=2.

設(shè)xe(2,4],貝廿_2e(0,2],/(x)=/(x-2)=-^-(x-2)+l=-^-x+2

做出分段函數(shù)“元)的圖像，如圖

由圖可知，0<“<1顯然成立.

當。>1時，則g⑵21,loga5>l,B?l<a<5.

綜上所述，0<a45且"1.

故選:C.

4.(2023?全國凍北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測)定義在R上的奇函數(shù);'(X)滿足/(1+力=/。-力，且在［0川上單調(diào)

遞減，若方程〃x)+l=0在［0,1)有實數(shù)根，則方程/(力=1在區(qū)間［T11)上所有實數(shù)根之和是()

A.6B.12C.30D.56

【答案】C

【分析】利用函數(shù)〃尤)是R上奇函數(shù)且滿足〃l+x)=〃l-x),得出函數(shù)〃元)是周期為4的周期函數(shù)，且關(guān)于直

線x=l對稱，利用周期性和對稱性，討論出函數(shù)/(x)在一個周期內(nèi)的單調(diào)性，從而判斷出方程〃x)+l=0在一個

周期內(nèi)的根的個數(shù)，并利用對稱性求出兩根之和，從而求出方程/(力=1在區(qū)間［-1,11)上所有實數(shù)根之和.

【詳解】因為函數(shù)滿足/(l+x)=/(l-x),所以函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，故〃2+x)=〃-x),

又是R上奇函數(shù)，所以f(2+*)=/(-尤)=—/(尤)，所以/(4+尤)=/(尤)，故函數(shù)的周期為4,

考慮一個周期［T3］,由函數(shù)尤)在區(qū)間［0』上單調(diào)遞減，又由/(尤)是R上奇函數(shù)，且關(guān)于直線x=l對稱，

知/'(x)在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2,3］上單調(diào)遞增，

因為7(。)=。，〃2)=0

故當xe(O,l］時,/(x)</(0)=0,當xe［l,2),/(x)</(2)=0,

當xe［-l,0)時,/(x)>/(0)=0,當xe(2,3］時，/(x)>/(2)=0,

因為方程y(x)+i=o在區(qū)間［o,i)有實數(shù)根，則這實根是唯一的，

又因為函數(shù)“X)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，則方程“X)+1=0在區(qū)間(1,2］有唯一實數(shù)根，方程/(力+1=0在區(qū)間

［-1,0)和區(qū)間(2,3］上沒有實根，

所以方程/'(力+1=。在一個周期內(nèi)有且只有2個實數(shù)根，根據(jù)對稱性，知這兩根之和為2,

因為函數(shù)〃力在區(qū)間卜1/1)上恰好3個周期，所以根據(jù)函數(shù)周期性和對稱性知，方程〃力=1在區(qū)間［T11)

上所有實數(shù)根之和為2+10+18=30,

故選：c.

二、多選題

5.(2023?全國?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃力=35+2,對于任意的。，b,ceR,關(guān)于％的方程

[+”(x)+c=0的解集可能的是()

A.{0,4}B.{0,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,2,3}

【答案】BD

【分析】令r=/(尤)，探討一元二次方程初+c=0根的情況，再結(jié)合函數(shù)/a)的性質(zhì)，即可判斷作答.

【詳解】令t=f3,貝！I方程a[/(x)了+妙(x)+c=0化為初+c=0,

由給定的選項知，方程成?+初+c=0有實根，設(shè)其根為小小^4幻，

函數(shù)〃元)=3用+2定義域為R,

x+12r<1

，在(-8,2)上遞減，在(2,+oo)上遞增，

且fM的圖象關(guān)于直線x=l對稱，/(x)1nhi=/'⑴=3,

當r<3時，方程F(x)=，無解，

當r=3時，方程/(x)=f有一解X=1,

當f>3時，方程〃x)=f有兩解且和為2,

對于A,當4<3,“3時,方程[+妙(元)+c=0有兩解且和為4,

與題意矛盾，故A不符合要求；

對于B,當。<3,“3時，方程a"(x)T+妙⑺+c=0有兩解且和為2,又0,2關(guān)于％=1對稱，故B符合要求；

對于C,當％=3,L>3時，方程“〃月于+/(x)+c=0有三個解，其中一個為1,另兩個的和為2,故C不符合要

求；

對于D,當“乙>3時，方程7+"(x)+c=0有四個解，必滿足其中兩根和與另兩根和都為2,又。,2關(guān)于

x=l對稱，-1,3關(guān)于x=l對稱，故D符合要求，

故選：BD.

6.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=—7To，(尤>1),g(元)=」\一地(尤>1)的零點分別為4，々，則

X—LX—1

()

111

A.Xi=lg%2B.一+—=1C.玉+/<4D.10<x1x2<200

【答案】ABD

【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、y=±（尤＞1）的對稱性知4（41。為）與鞏孫1監(jiān)）關(guān)于直線y=x對稱，利用指數(shù)

塞、對數(shù)運算的性質(zhì)計算依次判斷選項即可.

【詳解】因為函數(shù)v=l。'與y=la的圖象關(guān)于直線丫=X對稱，、=」7（%＞1）圖象也關(guān)于直線丁=X對稱，

x-1

X

設(shè)＞=—7（X＞1）與y=10"圖象的交點為A,

x-1

X

y=—與y=igx圖象的交點為8,

x-1

x

則4（孫103）與3（々』地）關(guān)于直線產(chǎn)無對稱，則再=lg%,x2=10'.

XJQ]]

因為一一1。"=。，所以f=%，則%+%=占無2，即一+—=1,

因為＞=上7。＞1）的圖象與直線，=》的交點為（2,2）,

所以占+無2>4,-10X1,占e(l,2),貝!|10<網(wǎng)尤2<200.

故選：ABD.

三、填空題

7.（2023?北京?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃司=卜+產(chǎn)"'"‘

?x,x＞m

①函數(shù)/（尤）的零點個數(shù)為.

②若存在實數(shù)6,使得關(guān)于x的方程/（無）=6有三個不同的根，則實數(shù)機的取值范圍是

【答案】1（O,2）"y）,-2）

【分析】第一空，分類討論加，無論，"?R,函數(shù)都一個零點；

第二空，由第一空討論機＞0,機=0,加＜。值的情況，從而可得滿足題意的，"的范圍.

【詳解】第一空：當機＞0時，可知/（x）有一個零點x=-〃z；

當m=0時，/（x）有一個零點x=0；

當加＜0時，可知/（X）有一個零點X=TW；

綜上函數(shù)/（X）的零點個數(shù)為1個.

第二空：

如圖所示，當機＞0時，若要滿足題意需2m＞相2,得加式0,2）；

當m=0時，不符題意；

如圖所示，當，w<0時，若要滿足題意需/>-2加，得7〃<-2；

綜上m的取值范圍是：(0,2)5-a>,-2)

故答案為：1;(O,2)u(e2)

8.(2023.全國.模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=3nx-x(aeR)在定義域內(nèi)有兩個零點，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(e,+8)

【分析】與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往需要對參數(shù)分類討論，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值情況,

進而確定參數(shù)的取值范圍；或通過變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

【詳解】解法一第一步：求導(dǎo)

由/(x)=alnx-x,得/(x)的定義域為(0,+功，-⑺=,1=*.

第二步：對a分類，討論函數(shù)f(x)的零點情況

①當4W0時，/(%)<0,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

f(x)不可能有兩個零點，不符合題意.

②當a>0時，令/(x)=0,得x=。，

則當0<x<a時，/^x)>0,〃力單調(diào)遞增，

當尤>〃時，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減.

要使/(X)有兩個零點，必有,/'(a)=alna-a>0,得a>e.

當a>e時，/(1)=-1<0,f^a2^-alna2-a2=a(2\na-aj,

令/z(a)=21na-4(a>e),貝//(a)=2-1=^―-<0,

aa

所以Ma)在(e,+8)上單調(diào)遞減,所以〃(a)<2—e<0,

所以/(儲)<0,所以在(La)和上各有一個零點，符合題意.

(注意：/(a)=alna-。>0與函數(shù)/(元)有兩個零點不等價，故求出a的取值范圍后需要進一步檢驗"可是否有

兩個零點)

第三步：整合結(jié)論

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(e,+s).

解法二顯然”1)=〃ln1-1=-1?0,(點撥：當x=1時，山—0,分離參數(shù)后Inx會在分母上，故需要單獨討論x=1

的情況，要避免此種情況，也可將參數(shù)分離為1=也)

ax

當冗wl時，由/(x)=alnx—x=。，得〃

Inx

lnx-1

令g(x)=戶(尤>O,xwl),貝！Jg'(無)=

Inx

當xe(O,l)u(l,e)時，g'(x)<0,當xe(e,y)時，g[x)>0,

所以g(x)在(0,1),(l,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增,

當x.0時，g(x)f0,

當xe(O,l)且x-1時,g(x)TYo,

當xe(l,+co)且x―1時，g(x)f+oo,

當尤f+oo時，g(x)f+8,g(e)=^-=e,

故可作出函數(shù)g⑺的大致圖象如圖所示.

(點拔：作圖時要研究當xfO,1,+的時函數(shù)圖象的趨勢，做到草圖不草)

數(shù)形結(jié)合可知，當?！?位)時，直線y與函數(shù)g(x)的圖象有兩個不同的交點,

即函數(shù)/■(X)有兩個不同的零點，故實數(shù)a的取值范圍為(e,+8).

四、解答題

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))某公園的賞花園區(qū)投資了30萬元種植鮮花供市民游賞，據(jù)調(diào)查，花期為30天，園

Q

區(qū)從某月1號至30號開放，每天的旅游人數(shù)Ax)與第x天近似地滿足/(X)=8+9(千人)，游客人均消費g(x)與第

X

X天近似地滿足g(x)=143-1尤-22|(元)，1<X<30M%GN.

(1)求該園區(qū)第X天的旅游收入0(x)(單位：千元)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)記(1)中0。)的最小值為(千元)，若最終總利潤為03〃(千元)，試問該園區(qū)能否收回投資成本？

8x+^^+976,1WxW22,尤eN

【答案】⑴P(x)=:

-8x+-^+1312,23<x<30,xeN

、尤

(2)能收回投資成本.

【分析】⑴根據(jù)0(x)=〃x>g(x)化簡即可;

⑵當14尤422且xeN時，利用基本不等式求得最小值；當23WxV3O且xeN時，利用單調(diào)性求得最小值，最終

得到P(x)的最小值機=1116千元，因此0.3m=33.48萬元即可判斷.

Q

【詳解】(Qp(x)=f(x)-g(x)=(8+-)(143-1X-221)

X

8x+—+976,1<x<22,xeN

_X

1320;

—8x+——+1312,23W30”N

Ix

(2)當1W22且尤eN時，p(x)=8x+—+976>2J8x?—+976=1152,

xVx

當且僅當8x=2更，即x=11時取等號，此時O(x)的最小值為1152千元；

X

1370

當234尤430且xeN時，P(x)=-8x+^^+1312為單調(diào)遞減函數(shù)，

x

所以當戶30時取到最小值，最小值為1116千元.

綜上，0。)的最小值機=1116千元，因此0.3〃?=33.48萬元>30萬元,

能收回投資成本.

10.(2023春?湖南長沙?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)g(x)=^-2依+1+6(。片08>0)在區(qū)間［1,2］上有最大值2和最

小值1.

⑴求6的值；

⑵不等式g(x)-履20在xe［l,2］上恒成立，求實數(shù)上的取值范圍；

⑶若“另=四，二且方程川2*-力+/T^-3=0有三個不同的實數(shù)解，求實數(shù)f的取值范圍.

III7

*.田.[Q=1

【答案】⑴〃

[b=1l；

⑵(F,2/一2]；

⑶(0,+動.

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程組，即可得出；

(2)由已知可轉(zhuǎn)化為k+2<g出=x+工在x?1,2]上恒成立.根據(jù)基本不等式即可求出實數(shù)上的取值范圍；

XX

(3)由已知可推得忙-『-(2+3。,-1|+(1+2/)=0有三個不同的實數(shù)解.令機作出機=忙-1|的函數(shù)圖

象，可得〃，-(2+3/)〃?+。+2。=0.結(jié)合函數(shù)圖象，該方程一個根大于0小于1,一個根大于等于1.令

，(咐=〃-(2+3少w+(l+2f),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，即可得出不等關(guān)系，進而求出實數(shù)，的取值范圍.

【詳解】(1)由已知可得g(x)=“(無一iy+i+6—

當“>。時，g(/x\)在[L2]上為增函數(shù),所以[，g(；12)=%l++b1—+aj=1=2'解得[ta=l1；

當"。時,g(x)在[L2]上為減函數(shù),所以UL+1+6-1，解得，。?

[a=1

由于6>0,所以，.

[b=l

(2)由(1)知8(%)=爐-2了+2,

所以V-2x+2-依“在上恒成立，即仕+2)xWd+2,

因為xe[l,2],所以k+2W上^在xe[l,2]上恒成立，

X

即％+24二^=x+2在xe[l,2]上恒成立，

XX

X.r+->2^,當且僅當》=也時取等號.

所以％+2W2后，即左W2夜一2.

所以求實數(shù)k的范圍為(f,2A/2-2].

(3)方程.2-l|)+r|^-3=0化為|2:1|+^^一(2+")=0,

化為|2，-l『_(2+3f)[2'-l|+(l+2f)=0,且2-1卜0.

令m=|2x-l|,則方程化為m2-(2+3t)m+(l+2?)=0.

所以M-(2+3r)〃?+(l+2r)=0有兩個根班,啊,

且一個根大于0小于1,一個根大于等于1.

設(shè)0(g<1W7%,

］己=〃廣一(2+3。〃2+(1+2。,

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得

/?(0)=1+2?>0

/?(0)=1+2/>0

或，/?)=_/=0

/z(l)=l-(2+3f)+l+2?=-r<0

?2+3，

0<-------<11

2

解得/>0.

所以實數(shù)r的取值范圍為(0,+8).

【C組在創(chuàng)新中考查思維】

一、單選題

xx,x>0

1.(2023?河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知/(x)=.若函數(shù)*x)=〃力-網(wǎng)的零點個

x2+26x+4,x<0

數(shù)與方程/(x)=l的不等實根個數(shù)相等，貝必的取值范圍為()

A.(2A/3-4,0)U(0,4-2A/3)

B.卜2,2石-4M4-2后2)

C.(-<%>,-2)u(2,+<%>)

D.(-1,2A/3-4)U(4-2>^,1)

【答案】D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出其圖象，利用函數(shù)與方程的思想可知，函數(shù)Ax)的圖象與，=1有兩個交

點，即函數(shù)p(x)=/(x)-網(wǎng)有兩個零點，利用對稱性對函數(shù)y=|辰I進行分類討論即可求得上的取值范圍.

【詳解】由題意可知，當x>0時，/

erlnx,x>0

所以函數(shù)/(X)=

x2+2括x+4,x<0

當x>0時，/(%)=exlnx,則7?'(x)=(e*':)'=e*ln*(lnx+l),

當r(x)=0時，x=J因此函數(shù)Ax)在xe］。,：上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

當xV0時，函數(shù)f(x)是開口向上且關(guān)于x=--對稱的拋物線;

畫出函數(shù)Ax