數(shù)學(xué)歸納法的再認(rèn)識(shí)

關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的再認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)自然數(shù)的基數(shù)理論如何定義自然數(shù)及其運(yùn)算？序數(shù)理論呢？算術(shù)系統(tǒng)：定義了加法和乘法的自然數(shù)系統(tǒng)，它是數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的一個(gè)公理系統(tǒng)。但已證明“算術(shù)系統(tǒng)的相容性不可能用自身的公理加以證明”。第2頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明與自然數(shù)有關(guān)的命題上節(jié)課用序數(shù)理論數(shù)學(xué)歸納法的再認(rèn)識(shí)設(shè)使……成立的所有a組成的集合為M，為證M＝N，證（1）1εM；（2）假定aεM，要證a+εM歸納公理可證第一數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的其他6種形式第3頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理：第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若（1）(奠基)P(n)在n＝1時(shí)成立；（2）（歸納)在P(k)(k是任意自然數(shù))成立的假定下可以推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立．移動(dòng)起點(diǎn)的第一數(shù)學(xué)歸納法n=n0

第4頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法的再認(rèn)識(shí)邏輯推理方法分演繹和歸納數(shù)學(xué)歸納法是完全歸納法嗎？數(shù)學(xué)歸納法是一種演繹方法數(shù)學(xué)歸納法是一種遞推法前面有限個(gè)我們可以逐個(gè)去驗(yàn)證，但是為了使判定的工作可以一個(gè)接一個(gè)地自動(dòng)進(jìn)行，需要設(shè)計(jì)一種方案：假定當(dāng)自然數(shù)n取某一個(gè)值k時(shí)，命題已被判為真，那么若能證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也是真的，就做好了自動(dòng)傳遞推證的準(zhǔn)備工作。兩步：奠基，啟動(dòng)遞推裝置；遞推兩步缺一不可第5頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天防止貌合神離用數(shù)學(xué)歸納法證明n3+5n能被6整除錯(cuò)證：（1）當(dāng)n=1時(shí)，13+5×1=6，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，k3+5k能被6整除，當(dāng)n=k+1時(shí)，(k+1)3+5(k+1)=(k+1)[(k+1)2+5]=k(k+1)(k+2)+6(k+1)因?yàn)槿齻€(gè)連續(xù)自然數(shù)的積能被6整除，第2項(xiàng)也能被6整除，所以n=k+1時(shí)命題也成立。由（1）、（2），原命題成立。5=-1+6未用數(shù)學(xué)歸納法第6頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法的幾種其他形式第二數(shù)學(xué)歸納法（串值歸納法）設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若P(n)在n=1時(shí)成立假設(shè)P(m)對(duì)于所有適合m<k的自然數(shù)m成立，則P(k)成立則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立增多起點(diǎn)的第二數(shù)學(xué)歸納法P(1)、P(2)真P(k)、P(k+1)真→P(k+2)真與第一數(shù)學(xué)歸納法的區(qū)別？若用“第一”不行，用“第二”是否有可能行？第7頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法的幾種其他形式（續(xù)）跳躍式歸納法（加大跨度）設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若P(1)、P(2)、…、P(m)真在P(k)(k是任意自然數(shù)）成立的假定下可以推出P(k+m)成立則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立第8頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法的其他幾種形式反向歸納法設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若有無(wú)限多個(gè)值使P(n)成立P(k)真可以推出P(k－1)真則P(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立螺旋歸納法設(shè)A(n)、B(n)是兩個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，若A(1)是成立的假設(shè)A(k)成立，能導(dǎo)出B(k)成立，假設(shè)B(k)成立，你導(dǎo)出A(k+1)成立則A(n)、B(n)對(duì)一切自然數(shù)n都成立第9頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天數(shù)學(xué)歸納法的其他幾種形式參變歸納法（對(duì)其中的一個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法，另一個(gè)看作參數(shù)）二重歸納法（對(duì)一個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)同時(shí)再對(duì)另一個(gè)用數(shù)學(xué)歸納法）第10頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：已知f(x)是定義在N上，又在N上取值的函數(shù)，并且(1)f(2)=2(2)對(duì)任何自然數(shù)m,n,有f(mn)=f(m)f(n)(3)當(dāng)m>n時(shí)，f(m)>f(n)求證f(x)=x在N上恒成立例：設(shè)n>5,證明每一個(gè)正方形可以分為n個(gè)正方形。反向歸納法串值歸納法跳躍式歸納法第11頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天用反向歸納法證明易證有無(wú)限多個(gè)自然數(shù)2n,使命題成立若f(x)=x,(x>1),可證f(x-1)<f(x)≤x-1再證f(x-1)≥x-1f(x-1)>f(x-2),∴f(x-1)≥f(x-2)+1≥f(x-3)+2≥…≥f(1)+x-2=x-1第12頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天用串值歸納法證明由串值歸納法第13頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天用跳躍式歸納法證明先證可以分成6、7、8個(gè)正方形再假設(shè)命題對(duì)于n（n>8)成立，先將其分成n個(gè)正方形，再將其中一個(gè)正方形分為4個(gè)相等的正方形，原來(lái)的正方形就被分為n+3個(gè)第14頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天例：已知大小可能不一的幾個(gè)正方形，證明可以把它們剪拼成有限塊，再重新拼成一個(gè)大正方形。勾股定理的割補(bǔ)證明趙爽對(duì)勾股定理的證明

ab第15頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天劉徽對(duì)勾股定理的證明

第16頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天觀察、歸納與證明觀察異同歸納猜想不完全歸納完全歸納（由每一對(duì)象都具有某種性質(zhì)得到的）證明或推翻猜想第17頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天探索一個(gè)整數(shù)是3、9、11的倍數(shù)的特征各是什么？一個(gè)整數(shù)是3的倍數(shù)，則各位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)一個(gè)整數(shù)是9的倍數(shù)，則各位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)一個(gè)整數(shù)是11的倍數(shù)，則其奇數(shù)位上數(shù)字的和減去偶數(shù)位上數(shù)字的和是11的倍數(shù)第18頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天觀察猜想要小心數(shù)列：1，2，4，8，16，？32√熟悉這個(gè)模式31

√1，2，4，8，16，31，An1，2，4，8，15，Bn1，2，4，7，

Cn1，2，3，

Dn4112657第19頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天1，2，4，8，16，31，？Dn:1，2，3，4，……Cn:1，2，4，7，11，……Cn+1－Cn=Dn=nCn－Cn-1=n-1C2－C1=1所以Cn+1=1+(1+…+n)Cn=1+(1+…+n-1)=……同理求出Bn、An第20頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天連接圓上所有點(diǎn)圓上的點(diǎn)數(shù)圓被分割成的區(qū)域數(shù)11223448516631757第21頁(yè),共23頁(yè)，2024年2月25日，星期天平面上凸n邊形內(nèi)部最多被分為m塊，m+n即為所求圓上每4個(gè)點(diǎn)，連線后多1個(gè)點(diǎn),于是一共增加C(n,