2023-2024學(xué)年福建省福州市高二年級上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題(二)(含解析)

2023-2024學(xué)年福建省福州市高二上冊期末聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.過點(diǎn)（—1'3）且平行于直線x—+3=°的直線方程為（）

A.x—2y+7=0B.2x+y—1=0C,x——5=0D.

2x+y—5—0

【正確答案】A

【分析】首先根據(jù)平行關(guān)系設(shè)直線方程x-2y+c=0（cH3）,再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線方

程.

【詳解】設(shè)與直線x—2夕+3=0平行的直線是x—2y+c=0（c#3）,代入點(diǎn)（—1,3）得

-l-6+c=0,得c=7,所以直線方程是x—2y+7=0.

故選：A

2.若圓￡:/+產(chǎn)一4》+3=0與圓C2：（x+2）2+（y+3）2=/〃有且僅有一條公切線，則

m=（）

A.16B.25C.36D.16或36

【正確答案】C

【分析】將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，由題可判斷兩圓內(nèi)切，結(jié)合圓心距等于半徑

差可求"?.

【詳解】根據(jù)題意，圓C:/+丁2-4工+3=0,BP（x-2）2+/=l,其圓心為（2,0）,半

徑為1,

圓。2：（》+2）2+（夕+3）2=加，圓心為（一2,-3）,半徑為日，

兩圓的圓心距d=716+9=5，

若兩圓有且僅有一條公切線，則兩圓內(nèi)切，則有|礪-1|=5，

又由加＞0,解可得加二36,

故選：C.

3.已知點(diǎn)/（〃?,”）在橢圓土+匕=1上，則2―+〃2的最大值是（）

42

A.6B.8C.3D.2

【正確答案】B

【分析】由已知條件得出加2=4-2/,利用橢圓的有界性得出0?〃2?2，由此可求得

2M2+"2的取值范圍，即可得解.

22

【詳解】由題意可得里-+上=1,則優(yōu)2=4一2/,故2/+〃2=8—3〃2.

42

因?yàn)橐患啊丁ǎ佳?，所?4〃242,所以2K8—3〃248，即242〃/+〃248.

因此，加？+〃2的最大值g.

故選：B.

4.已知4(0,4),雙曲線?一(1=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥，點(diǎn)尸是雙曲線左支上一

點(diǎn)，則附|+|所|的最小值為()

A.5B.7C.9D.11

【正確答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，由雙曲線的性質(zhì)，整理|04|+|嗨|,利用三

角形三邊關(guān)系，可得答案.

22

【詳解】由雙曲線二一匕=1,則/=4萬=5,即。2=42+/=9，且耳(-3,0),巴(3,0),

45

由題意，|P八|—|P￡|=2a

|乃|+|"耳|=|PZ|+2a+|尸用2|/月+2°=，32+42+4=9，

當(dāng)且僅當(dāng)4P,￡共線時，等號成立.

故選：C.

5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難,

次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔仔細(xì)算相還”.其大意為：“有

一人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6

天后到達(dá)目的地則下列說法正確的是()

A.該人第五天走的路程為14里

B.該人第三天走的路程為42里

C.該人前三天共走的路程為330里

D.該人最后三天共走的路程為42里

【正確答案】D

【分析】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為■的等比數(shù)列{%},由題意求出首

項(xiàng)，可得其通項(xiàng)公式，即可求出43M5,判斷A,B;求出53，S6—S3可判斷C,D.

【詳解】由題意可知該人每天走的路程構(gòu)成了公比為q=；的等比數(shù)列｛%｝，

設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為S“，則￡=378,

故$6=-------------=378,解得％=192,

1--

2

則a“=192x擊，

故4=192x3=12,該人第五天走的路程為12里，A錯誤；

%=192**=48,該人第三天走的路程為48里，B錯誤；

192(1-；)

$3=---------------7^-=336,該人前三天共走的路程為336里，C錯誤；

2

由56-5=378-336=42(里)，可知該人最后三天共走的路程為42里，D正確，

故選：D

6.已知兩個等差數(shù)列｛凡｝和〃｝的前〃項(xiàng)和分別為S,,和7；,且竦=—二，則管的值為

T?〃+1%

()

71315

A.—B.—C.—D.2

467

【正確答案】A

【分析】由題，可設(shè)S”=布(2〃+3),1,=妙(〃+1),則魯=含二

b(,16T5

Sn2n+3

【詳解】因等差數(shù)列前〃項(xiàng)和為關(guān)于"的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)，又^=-I，

T?〃+1

c,小、aS-S65k-44k21k7

則可設(shè)S“=研2〃+3),…(〃+l),則5廠5不4廠礦荻=市=子

故選：A

22

7.己知雙曲線。:，-彳=1(〃>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，居，過6的直線與C的

ab~

兩條漸近線分別交于43兩點(diǎn)，若4為線段8瓦的中點(diǎn)，且3耳13與，則。的離心率為

()

A.6B.2C.73+1D.3

【正確答案】B

【分析】由題意可得△36"為直角三角形，再結(jié)合4為線段8K的中點(diǎn)，可得/0垂直平

分BF、,可表示出直線86，BF2,再聯(lián)立漸近線方程可以得到。，b,。的關(guān)系，進(jìn)而得

到雙曲線離心率

【詳解】由題意可知，過￡的直線與C的兩條漸近線分別交于48兩點(diǎn)，當(dāng)兩個交點(diǎn)分

別在第二和第三象限時不符合，

/為線段86的中點(diǎn)，當(dāng)交點(diǎn)在x軸上方或x軸下方時，根據(jù)對稱性結(jié)果是一樣的，選擇一

根據(jù)雙曲線可得，片(-c,0),瑪(c,0),兩條漸近線方程y=±2'，

a

BF4BF2,。為百心的中點(diǎn)，

8。=。片=。工=。，又/為線段BQ的中點(diǎn)，.1。4垂直平分8月，

AA

可設(shè)直線3月為y=f(x+c)①，直線88為丁=——(x—c)②，直線80為歹=一工③，

baa

cheheac

由②③得，交點(diǎn)坐標(biāo)3(一點(diǎn)8還在直線8月上，.?.——=7(;;+c),可得/=3/,

22a2ab2

°?=/+〃=4/,所以雙曲線C的離心率6=￡=2,

a

故選：B

8.曲線c：X=J—y2+i6y—15上存在兩點(diǎn)48到直線y=T距離等于到尸(0,1)的距離,

則上尸|+忸F|=()

A.12B.13C.14D.15

【正確答案】C

【分析】由題可知4,8為半圓C與拋物線V=4y的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義

即求.

【詳解】由曲線C：x=yj-y2+16^—15，可得犬+y2-16y+15=0,

即，+(>一8)2=49,》20,為圓心為C(0,8),半徑為7的半圓，

又直線歹=一1為拋物線/=4歹的準(zhǔn)線，點(diǎn)尸(0,1)為拋物線/=4y的焦點(diǎn)，

依題意可知48為半圓C與拋物線f=2y的交點(diǎn)，

2

,[x+(y-8)'=49,x>0z2

由《，V)，得^2一12^+15=0,

x=4y

設(shè)4(X，必),3(々,y2)，則△=(一12)2—4xlxl5=84>0,yt+y2=12,

.?.|4周+忸可=凹+1+為+1=14.

故選:C.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.)

9.已知正方體力BCD-44CQ,棱長為1,E,尸分別為棱/8,CG的中點(diǎn)，則()

A.直線與直線EP共面B.A.EVAF

C.直線4E與直線3/的所成角為60°D,三棱錐的體積為七

【正確答案】BD

【分析】如圖，以。為原點(diǎn)，以。所在直線分別為x，V，z建立空間直角坐標(biāo)系,

對于A,利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對于B,通過計(jì)算《EM尸進(jìn)行判斷,

對于C,利用向量的夾角公式求解，對于D,利用=。力一GDF求解.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，以。所在直線分別為x,%z建立空間直角坐標(biāo)系,

則

。(0,0,0),A(l,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),D,(0,0,1),A,(1,0,1),5,(l,l,l),C,(0,l,l),

EK，。)](。詞,

對于A,假設(shè)直線AD,與直線EF共面，因?yàn)槠矫鍭BB.A,〃平面DCCR,平面AEFD}

平面4544=/E,平面。CCQi平面尸，

所以AE〃RF,

因?yàn)?E〃所以GA〃。尸，矛盾，所以直線與直線EE不共面，所以A錯

誤；

對于B,因?yàn)楦郏?,；,-1）,二〔（一1,1,￡|,

所以4E?/尸=0+g—5=0,所以4Wiz片，所以4E_L/R,所以B正確，

對于c,設(shè)直線4E與直線8尸的所成角為6,因?yàn)樗{(lán)=（0，；，-",藍(lán)

21

T

52

所以ew6o。，所以c錯誤,

對于D,因?yàn)槠矫?。eq。，

所以&的=%CQF=；SG*/°=；xgxgxlxl=J所以D正確,

故選：BD.

22

10.已知橢圓上+匕=1的左、右焦點(diǎn)為片，Q,點(diǎn)P在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂

42

點(diǎn)重合，則下列關(guān)于耳馬的說法正確的有（）

A.△產(chǎn)片月的周長為4+2應(yīng)

B.當(dāng)NPFH=90°時，△尸片片的邊產(chǎn)片=2

C.當(dāng)N耳環(huán)=60。時，△尸片工的面積為述

3

D.橢圓上有且僅有6個點(diǎn)尸，使得△。耳￡為直角三角形

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求得a=2,c=0,進(jìn)而求得|「耳|+|尸用=4,|百聞=2五;

Q

根據(jù)NP月8=90。，可求得|產(chǎn)用=1；根據(jù)余弦定理可求得歸耳“尸與卜］,進(jìn)而求得面

積；根據(jù)△尸片乙為直角三角形分情況求得滿足題意的點(diǎn)P的個數(shù)即可.

【詳解】解：由工+匕=1易得a=2,c=&，

42

△尸耳耳的周長為4+2&，故A對:

令工二一④得歹=±1，

，|P￡|=1,故B錯；

設(shè)|P6|=G|P閭=々，

由余弦定理得(2血了=1+片一2｛弓cos60°，

?'?(4+弓曠_3飛=8，

8

?小，

SAPFF=-S-x-.sin60°=^?故C對;

△PF抵233

當(dāng)NPg=90°,由選項(xiàng)B的分析知滿足題意的點(diǎn)尸有2個;

同理當(dāng)NPQG=90°,滿足的點(diǎn)尸也有2個;

當(dāng)ZF2PF}=90°,

/：+與=4

有《

片+1=g，

解得4=2,

所以滿足題意的點(diǎn)尸為橢圓的上下兩頂點(diǎn),

綜上滿足的點(diǎn)尸共6個，故D對.

故選：ACD.

11.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1,2,

3,5.8,L.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前

面兩個數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛片｝稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛4｝中的各項(xiàng)

除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛河“｝，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.M2022=1

B.%巴一4+

C.k+怎+月；++^2021=^2021^^2022

D.+F2+F3++/021=g022-1

【正確答案】BC

【分析】寫出｛〃“｝的前幾項(xiàng)，通過觀察可得數(shù)列的周期，進(jìn)而結(jié)合數(shù)列｛尺｝的性質(zhì)以及

｛河"｝的定義，可判斷A、B項(xiàng)；因?yàn)?2=丹5，可推得

=AB+&=工（耳+F2^-F2Fi,逐項(xiàng)代入即可得到C項(xiàng)；由居+2=￡,+i+￡，

可得F“=Fn+2-Fn+l,逐項(xiàng)代入即可得到

F｝+F2+FJ++瑪021=用023-工=旦023-1，從而得到D項(xiàng)錯誤.

【詳解】因?yàn)镸=i,必=i，M=2,M=3,M=I,〃6=o,根據(jù)數(shù)列｛工｝的

性質(zhì)以及｛〃“｝的定義可得，Mi=l,加8=1，〃9=2,加1。=3,〃”=1,“12=0.

同理可推得，當(dāng)左eN*時，有M6k_s=1,M6k_4=1，朋6*-3=2，M6k_2=3，M）J=1,

M6k=0,所以｛M,｝是以6為周期的周期數(shù)列，所以弧022=/6.337=此=0,所以A

項(xiàng)錯誤；

由周期性可知此廣2=3，此..4=1，2M=2x1=2,故B正確；

因?yàn)?2=片鳥，可推得耳2+62=耳6+62=鳥（耳+8）=巴用，逐項(xiàng)代入，可得

開+仔+廳++庫—向+可+#++K

=6（耳+「2）+6++相12=KK+8++^2021=

=^2021（^2020***^2021）=^2021^2022,所以C正確;

因?yàn)槎?7^+K++用021

=（6—鳥）+（片i￡）+（月i/）++（a21—602（））+（鳥022-&021）+（8023—8022）

=瑪023-6=^2023~1-所以D錯誤，

故選：BC.

12.拋物線的光學(xué)性質(zhì)為：從焦點(diǎn)/發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)P反射后，反射光線平行

于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點(diǎn)尸處的切線.已知拋物線/=2pMp>0）上任

意一點(diǎn)尸（須，兒）處的切線為％y=〃（x（）+x）,直線/交拋物線于“（%],必），B（x2,y2）,

拋物線在A,8兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)。.下列說法正確的是（）

A.直線/方程為2px-3+%）歹一巧力=0

B.記弦43中點(diǎn)為"，則平行x軸或與x軸重合

C.切線。工與》軸的交點(diǎn)恰在以尸。為直徑的圓上

D.N4FQ=NQFB

【正確答案】BCD

【分析】設(shè)/為》=叩+6,與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理用必，必表示出〃?/,即可判斷

A項(xiàng)；根據(jù)已知可推出火王,必），8（乙,必）是一元二次方程處°=p（x+x°）的兩組解，

又直線/方程為2℃一（乂+%）V+=°，兩式比較可得坨="區(qū)=yM，

=畢=—6,即可判斷B項(xiàng)；通過求出C、D點(diǎn)坐標(biāo)，推導(dǎo)FC1QA以及FD1QB,

2P

即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合已知條件，可推出△NPQsZX。必，進(jìn)而

推得乙4P0=/。尸8.

【詳解】設(shè)/為1=沖+6,b>0,與拋物線聯(lián)立得y2一2P%,_2Pb=0,必有A>0,

yy+y2=2pm,乂%=-2pb,.?.加=匕4，6=學(xué)，代回/方程整理得：

2p-2p

2px-（yx+y2）y+y[y2=0,A項(xiàng)錯誤；

由已知，拋物線在A點(diǎn)處的切線切線/a：MV=P（X1+X）,在8兩點(diǎn)處的切線

,/、/、[乂72=?（司+》2）

楊：為片夕仁+力，設(shè)點(diǎn)。（品,%）,則滿足方程組《、，

3。=小+和）

則可知4（國,弘），8（》2，無）是一元二次方程小°=P（x+xJ的兩組解，由經(jīng)過兩點(diǎn)A,

B的直線/有且僅有一條，故/方程為抄°=p（x+xj,變形為+=0,

又直線/方程為2Px—（乂+8）^+乂為=0，

兩式對應(yīng)系數(shù)得

^=A+A=Zw>q=竽=-6,所以QM平行x軸或與x軸重合，B項(xiàng)正確；

如圖，記切線。4：乂y="x+x）與夕軸的交點(diǎn)0（0,處］,

ky\）

k—生k-E

KFC->KQA~，

一必M

kFC-kQA=0}=-1,FC_LQA,

同理切線08與y軸的交點(diǎn)。，亦有FDtQB,故/"。+/尸。。=180°,

所以R,C.Q，。四點(diǎn)共圓，且尸。為直徑，C項(xiàng)正確；

如圖，記切線。/與x軸的交點(diǎn)為S,過A作x軸平行線ZN,由拋物線光學(xué)性質(zhì)，

ZFSA=ZFAS,由等腰SFA、直角△SCE、F,C,Q,。四點(diǎn)共圓（對同弦圓周

角相等），可得如圖五個角。相等；同理，五個角夕相等.

則AAFQsAQFB,：.乙4FQ=/QFB,D項(xiàng)正確.

故選：BCD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知空間向量a=（1,2,3）,b=（也-1,〃）,若?！?，則加+〃=

【正確答案】-2

【分析】利用向量平行可知然后計(jì)算即可.

1

m=—

m=42

3

【詳解】由題可知「二4小，所以有，-1二2A,解得,n=---,所以〃z+〃=-2

Z

n=3/1

1

A=——

2

故-2

14.過點(diǎn)Z（-l,4）作圓（x-2p+（廠31=1的切線/,則切線/的方程為

【正確答案】y=4或3x+4y—13=0

【分析】討論切線/的斜率是否存在.當(dāng)斜率存在時，設(shè)斜率為左，得到直線方程

"一丁+%+4=0,根據(jù)圓心到直線的距離"=廠，得到4尸+3左=0,解出左，代入直線

方程即可.

【詳解】由已知圓心（2,3）,半徑廠=1.

又（T-2）2+（4-37=10>l,所以，點(diǎn)4（-1,4）在圓外.

當(dāng)直線/斜率不存在時，直線/的方程為x=-1.

此時，圓心到直線/的距離1=|2-（-1）|=3〉尸，所以直線％=-1不是圓的切線;

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)斜率為左，則直線/的方程為>-4=左（》+1）,

整理可得，kx-y+k+4^0.

因?yàn)橹本€/與圓相切，所以圓心到直線的距離d=r=l,

\2k-3+4+k\

=1,整理得，4尸+3左=0,

J-+i

,3

解得，4=0或左=—.

4

當(dāng)左=0時，直線方程為丁=4；

當(dāng)左=—士時，直線方程為y—4=-2（x+l）,化為一般式方程為3x+4y—13=0.

44V

所以切線/的方程為y=4或3x+4y—13=0.

故歹=4或3x+4y-13=0.

15.已知耳、耳分別是雙曲線C:?-/=1的左、右焦點(diǎn)，動點(diǎn)尸在雙曲線的左支上,

點(diǎn)。為圓G：￡+。+2）2=1上一動點(diǎn)，則?尸。?+1PF2\的最小值為.

【正確答案】6

【分析】結(jié)合雙曲線的定義以及圓的幾何性質(zhì)求得正確答案.

2

【詳解】雙曲線~—y2=1,a=2,b=l,c=V5>￡卜"7^,0),6(6\o),

圓Gd+&+2)2=i的圓心為G(0,-2),半徑r=1,

P在雙曲線的左支上，|叫|一忙6|=24=4,|。8|=4+|「青|,

所以|PQ|+|P段=|PQ|+|PG|+4,

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，|PQ|+1尸耳|的最小值是口耳|―尸=后口一1=2,

所以|「。+|巡|的最小值是2+4=6.

故6

16.己知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，滿足S“=ha”—31是常數(shù).左>1)，/2=4,且

1111

%+&+見++=2048,則---1----1----hH------.

44%02022---------------------------

【正確答案】128

【分析】先由S“與可的關(guān)系式得到數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，并設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,同

時可證數(shù)列也是等比數(shù)列，并且公比為再把《012=4，

UJq

1111

。2+%+。4++々2022=2048,—+—+—++----三個式子全部表示為外國的形

ai4344”2022

式，進(jìn)一步運(yùn)算得到答案.

【詳解】因?yàn)镾〃=h4—3(左是常數(shù)，左>1),所以當(dāng)〃22時有S,i=ha,i-3,

Qk

兩式相減得a”=ha“一,即一-->1(/?>2),

a

n-\k-i

n

所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為an=acq-'.

數(shù)列J’■，是公比為，的等比數(shù)列.

IAJq

又因?yàn)榧础?=4,則①；

、、…癡-產(chǎn))

因?yàn)椤?+。3+〃4++。2022=2048,則------------=2048，即

1一q

浮上2048(H)②

%q

產(chǎn)-1

■僅-1)產(chǎn)’'

把①②分別代入上式，得

±+1+±+,=2048_2048=2048^2g

a24%?2022qq9產(chǎn)^

故128.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.)

17.已知從圓外一點(diǎn)尸(4,6)作圓。：f+y2=i的兩條切線，切點(diǎn)分別為工，B.

(1)求以。尸為直徑的圓的方程；

(2)求直線的方程.

【正確答案】⑴(x—2『+(y—3『=13；

(2)4x+6y-l=0.

【分析】(1)由己知求得圓心和半徑可得所求的圓的方程；

(2)聯(lián)立兩圓的方程即得直線N5的方程.

【小問1詳解】

:所求圓的圓心為線段OP的中點(diǎn)(2,3),

半徑為||OP|=gj(4-0y+(6-0/=V13,

以O(shè)尸為直徑的圓的方程為(x—2『+(夕一3)2=13；

【小問2詳解】

；PA、尸8是圓0:/+爐=i的兩條切線，

/.OAVPA,OBA.PB,

：.A,8兩點(diǎn)都在以O(shè)P為直徑的圓上，

由收-21+("3)=13,可得直線的方程為4x+6尸1=0.

I%-+y=1

18.己知S“是等差數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和，且與+4=40,$5=70.

⑴求S.；

,13

(2)若"=不，數(shù)歹nbn｝的前"項(xiàng)和7；.求證.Tn<-

3〃8

【正確答案】(1)S?=2n2+4n

(2)證明見解析

【分析】(1)利用基本量列方程求解即可；

(2)由裂項(xiàng)相消法求和得出7；,再證明即可.

【小問1詳解】

｛《,｝為等差數(shù)列，則%+。6=%+。5=40，$5=5%=70=>。3=14,

3a,=a]+a2+a3=反—(&+%)=70—40=30=>%=10.

d=%一七=4,a1=a2-d=6,故a“=6+-1)-4=4〃+2,

上，(6+4〃+2)〃，

故S?=---------=2〃2+4?.

"2

【小問2詳解】

1

b"__=If1,O

"Sn2〃(”+2)n+2J

412〃+1〃+2j

19.如圖，在底面為矩形的四棱錐P—中，平面尸/0_L平面Z3C。，尸/。為等腰

直角三角形，PA=PD=AB=2,PO=J5,0、。分別為4。、P8的中點(diǎn).

(1)證明：ABLPD：

(2)求直線與平面P8c所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

⑵當(dāng)

【分析】(1)由平面P4O_L平面Z8C。，18_1/?？傻?8人平面以。，再由線面垂直的

性質(zhì)定理可得答案；

(2)由已知可得尸。[平面平面/BCD,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，04所在直線為x軸，過點(diǎn)。

且平行于的直線為y軸，。尸所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

求出/g、平面PBC的法向量，由線面角的向量求法可得答案.

【小問1詳解】

,.?平面產(chǎn)/。，平面/8?！?，平面產(chǎn)/。門平面48。。=4。，ABLAD,Z8u平面/8CA

.?.451平面以。，又尸0U平面為。，

【小問2詳解】

因?yàn)镻Z=PO,。為/。的中點(diǎn)，

所以PO_L4D,又平面P4D_L平面力88,平面P/Dc平面48cz)=，

產(chǎn)。匚平面以￡>,所以產(chǎn)。工平面平面/8CD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0/所在直線為x軸，過點(diǎn)。且平行于的直線為y軸，。尸所在直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0詞，6(后,2,0),C(-V2,2,0),Z(板,0,0),Q芋,1,芋,

\/

，-八一八??頭(6歷、

:.PB=1&2,—也),5C=(-272,0,0),AQ=一事/，]J

設(shè)平面P8C的法向量為〃=(x,y,z),

n?PB0\[o.x+2y—y[^2,z-0八//—、

則《XT，即《，取y=l,可得/?=0,l,j2,

n-BC=0[-2yl2x=0''

設(shè)直線AQ與平面PBC所成的角為6,

z

1

（1）證明:是等比數(shù)列.

a2

n

（2）求數(shù)列,一的前”項(xiàng)和S”.

【正確答案】（1）證明見解析

393+n(n+V)

(2)一一+—+—n

4424

【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；

（2）利用分組求和和錯位相減求解即可.

【小問1詳解】

由題意可得40+1（?！?1）=3。“，因?yàn)椋?6,所以%>0,

?3??[、]?1^11'

所以Id----=-----,所以-------=3----------,即---------=-------

a

n%an21%2Jan+,23"2J

111

又-----=—wn0,

ax23

所以，口--，〔是以-L為首項(xiàng)，，為公比的等比數(shù)列.

匕2J33

【小問2詳解】

所以2=_〃［工］+-

a,⑶2

設(shè)數(shù)列,一〃?(g)"前〃項(xiàng)和為T?,數(shù)列前n項(xiàng)和為，

貝凡=①，

(3323"J

*+2x?+…+(〃—l)$+〃x

-7；,=-lx

3

1-J-

①-②得/=一(二+..+113"1

+n---r=-------Fn---：-

3"3323T23n+l

所以7＞丁3(導(dǎo)93對A尹1

l+2d---I-H_〃(〃+1)

又S

24

3f931n{n+1)

所以S,=一^+—+—n

(42?訶+4

已知雙曲線C:1-4

21.=l(?＞0,6＞0)的焦距為20且經(jīng)過點(diǎn)M(3,4).

ab

(1)求雙曲線C的方程：

(2)若直線/不經(jīng)過M點(diǎn)，與雙曲線C交于2、8兩點(diǎn)，且直線M4,A"的斜率之和為1,

求證：直線/恒過定點(diǎn).

【正確答案】(1)f—2L=i

2

(2)證明見解析

【分析】(1)先由雙曲線的焦距求得0=仃，從而得到/=3—〃，再將點(diǎn)收(3,4)代入

雙曲線方程C即可得到關(guān)于〃的方程，解之即可得解；

(2)先假設(shè)直線/斜率存在，聯(lián)立直線/與雙曲線。的方程，利用直線肱4,的斜率之

和為1求得〃?=-3左+4或加=5左+8,從而得到直線/經(jīng)過定點(diǎn)(-5,8),再檢驗(yàn)得直線/斜

率不存在時，也經(jīng)過點(diǎn)(-5,8),由此得證.

【小問1詳解】

22

因?yàn)殡p曲線。：夕-￡=1伍＞0力＞0)的焦距為25

所以2c=2石，即c=,所以。2+/?2=/=3，即/=3—

x2y2

又雙曲線C:一1經(jīng)過點(diǎn)”（3,4）,

a

916916

所以《一9=1，則h7一9二1，解得從=2或〃=一24（舍去），則片=1，

ab3—b0

所以雙曲線C的方程為犬一己=1.

2

【小問2詳解】

依題意，可知直線M4,A四的斜率左，左2必然存在，且勺+&=1，

當(dāng)直線/（即直線Z8）斜率存在時，設(shè)直線/方程為"質(zhì)+”,A（x?y,）,B（x2,y2）,

y=kx+m

聯(lián)立《）j729消去丁，得（2—%“）x?—2ZTHX—加~—2=0,

X-1

2

由題意可知A=4k2m2+4（2—〃2）（加2+2）=8（加？一左？+2）>0,

2kmm2+2

則Xj+x=—-/匹=―：---

2左2—2'2左2一2

y1-4y2-4_kxi+m-4^kx2+“-4

而左i+攵2=1,

%1—3%2—3玉一3彳2-3

所以（煙+加一4）（%2—3）+（AX2+〃2-4）（須一3）=（玉-3）（4-3），

整理得（2左一1）為工2+（加一3左一1）（玉+工2）—6根+15=0,

%t1一（加一3左一l）x猾…5=0,

所以（2左一l）x

k-2

整理得_用2+4k+2km+\5k2+I2m-32=O>即（5左一加）（3左+a）+4左+12根—32=0,

所以（5左一/〃+8）（3左+加一4）=0,解得加=-3左+4或加=5-+8,

當(dāng)加=-3左+4時，直線/方程為y=Mx—3）+4,則直線/經(jīng)過點(diǎn)/（3,4）,矛盾，舍去;

當(dāng)機(jī)=5左+8時，直線/方程為歹=左（％+5）+8,則直線/經(jīng)過定點(diǎn)（一5,8）,

此時由A=8（*一〃+2）>o,