2023-2024學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（8月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京市六校聯(lián)考高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷

(8月份)

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2i,則|z|等于()

A.1B.yp2C.D.2

2.已知集合力={x|%2+X-2<0},B={x\lgx<1},AC\B={)

A.(-2,10)B.(0,1)C.(-24)D.(-8,10)

3.等差數(shù)列{an}的前ri項和為Sn,且刈=5,04+%=26,則57=()

A.45B.49C.56D.63

4.從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生

入選，則不同安排方法有種()

A.16B.36C.54D.96

5."m=8"是"直線5x+12y4-m=0與圓％2+y2—2%=0相切”的條件.()

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

6.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：，-\=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為0,F?，

過6且垂直于％軸的直線與C交于P，Q兩點，F(xiàn)iQ與y軸的交點為R,FiQ1PR,貝北的離心率

為()

A.y/~2B.y/~3C.2D.y/~5

7.已知tan?+0)=［，則sin(28+=()

A企B,2C.D.-g

25252525

8.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=f(x),若/(2x+1),g(x-1)均

為偶函數(shù)，則下列等式一定正確的是()

A./(-I)=0B./(-3)=/(5)C.g(2)=0D.。(一}=潟)

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.給出下列命題中，其中正確的命題是()

A.隨機變量X?8(44)，則E(X)=1

B.已知P(B|4)=.P(4B)=I，則P(A)=J

C.隨機變量X?N(2,32),若X=gy-2,則E(y)=12,D(K)=81

D.以模型y=(c-l)e2kx擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求回歸方程，設(shè)z=/ny,將其變換后得到線

性方程z=gx+2,貝?。輈,k的值分別是e?-1,和0.2

10.已知函數(shù)f(x)=Asin^x+3)(3>0,⑼<》的圖象如圖所示，貝義)

A.函數(shù)解析式f(x)=2sin(2x+》

B.將函數(shù)y=2sin(2x-9的圖象向左平移2個單位長度可得函數(shù)/CO的圖象

C.直線x=-1|兀是函數(shù)/(為圖象的一條對稱軸

D.函數(shù)/Xx)在區(qū)間［-90］上的最大值為2

11.如果有限數(shù)列｛an｝滿足田=即7+1。=L2，…,n),則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè)｛%｝是項

數(shù)為2k—l(k€N*)的“對稱數(shù)列”，其中玩，尻+1，…，是首項為50,公差為一4的等

差數(shù)列，則()

A.若k=10,則瓦=10B.若k=10,則｛匕｝所有項的和為590

C.當k=13時，｛%｝所有項的和最大D.｛bn｝所有項的和可能為0

12.如圖，在菱形4BCD中，AB=2,44BC=*M為BC的中點，將△力BM沿直線4M翻折

到AABiM的位置，連接&C和B1D,N為的中點，在翻折過程中，則下列結(jié)論中正確的是

()

A.面ZBi"_L面/MC

B.線段CN長度的取值范圍為[1,C]

C.直線力M和CN所成的角始終為*

D.當三棱錐&-4MD的體積最大時，點C在三棱錐品-力MD外接球的外部

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.(亨-勺6的展開式的中間項的系數(shù)是(用數(shù)字作答).

14.已知向量五=(5,2),K=(-1,2)-則向量五在向量方上的投影向量的坐標為.

15.函數(shù)/'(x)=(%2+l)/nx-m(x2-1)為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為

16.如圖C是圓臺母線4B的中點，BO是底面的直徑，上底面半徑

為1,下底面半徑為2,48=2,點M是弧8。的中點，則C、M兩點

在圓臺側(cè)面上連線長最小值的平方等于—.

四、解答題(本大題共6小題，共70.()分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

2

已知數(shù)列｛時｝的前頻項和為S”,且的=3,Sn=an+n-1.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)若“=卷,Tn=b1b2+b2b3+-+bnbn+1,求〃.

18.(本小題12.0分)

請從下面三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.

①(a+c)(sinA-sinC)+(b—d)sinB=0；

(2)2\/-3sinCcosC=1+2cos2C；

③2sinB-sinA=2sinCcosA.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若.

(1)求角C；

(2)若c=4,求△ABC周長的取值范圍.

19.(本小題12.0分)

已知四棱錐P-ABCD中，PD_L平面4BC0,PD=CD=2,AD=AB=1,AB1DA,AB//CD.

(1)求證：平面PA。1平面PCD；

(2)設(shè)M是棱PC上的點，若二面角M-BD的余弦值為-?，試求直線BC與平面BDM所成

角的正弦值.

A

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C：捻+，=l(a>b>0)的左、右頂點分別4,4,上頂點為B,cos乙41B4=-,

C的長軸長比短軸長大4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率存在且不為0的直線，交橢圓C于P,Q兩點(異于點41),且|幣+殺|=|布-布

證明：直線，恒過定點，并求出定點坐標.

21.(本小題12.0分)

2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”.某路橋公司為掌握春

節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費站點記錄了大年初三上午9：20~10：40這

一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有600輛車通過該收費點，它們通過該

收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9：20?9：40記作區(qū)［20,40),9：

40~10：00記作［40,60),10：00~10：20記作［60,80),10：20—10：40記作［80,100),例

如10點04分，記作時刻64.

(1)估計這600輛車在9：20?10：40時間內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用

該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車隨

機抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中，在9：20~10：00之間通過的車輛數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)

學(xué)期望；

(3)由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布N3M),其中A可用

這600輛車在9：20~10：40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，d可用樣本的方

差近似代替(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)，已知大年初五全天共有1000輛車通

過該收費點，估計在9：46?10：40之間通過的車輛數(shù)(結(jié)果保留到整數(shù)).

若丁?N(〃42)則p(〃—。<T<4-cr)=0.6827,P(〃—2a<T<a4-2a)=0.9545,PQu—

3a<T<jU+3a)=0.9973.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=e"+——g(x}=x2+ax+b,a,bER.

(I)當。=1■時,求函數(shù)F(%)=f(x)一g(x)的單調(diào)區(qū)間.

(II)若曲線y=/(x)在點(0,1)處的切線，與曲線y=g(x)切于點(l,c),求a,b,c的值.

(HI)若f(%)>g(%)恒成立，求a+b的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：z(l+i)=2i,

2t_2t(l-i)

1+i—(l+i)(l-t)-01+i,

則|z|=

故選：B.

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式求解.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：集合4={x\x2+x—2<0]=[x\—2<x<1],B={x\lgx<1}={x|0<x<10},

則力CB=(0,1).

故選：B.

先求出集合4B,再結(jié)合交集的定義，即可求解.

本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：,?,等差數(shù)列{斯}的前幾項和為L，且=5,a4+a8=26,

(a1+d=5

”出+3d+ai+7d=26，

解得的=3,d=2,

S7=7%+竽d=7x3+竽X2=63.

故選：D.

利用等差數(shù)列{an}通項公式列方程組，求出由=3,d=2,再由等差數(shù)列前幾項和公式能求出S7.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館做志愿者，每個場館各1人,

則有?心=60種，

若三人全是女生有房=6,

則至少有1位男生入選，則不同安排方法有60-6=54.

故選：c.

根據(jù)題意可計算出安排3人到三個場館做志愿者總的安排數(shù),再計算出全是女生的情況,從而可解.

本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題.

5.【答案】a

【解析】解：圓+y2-2x=0的圓心為C(1,O),半徑r=l.

若直線5x+12y+m=0與圓/+y2-2x=0相切，則圓心C到直線的距離等于1,

|5+0+m|_d

即J22，解得m=8或—18?

J5Z+12Z

因此，“m=8”是“直線5%+12、+仇=0與圓/+丫2-2%=0相切”的充分不必要條件.

故選:A.

求出題中所給圓的圓心和半徑，再利用點到直線的距離公式，算出相切時實數(shù)m的值，最后根據(jù)

充要條件的定義得出答案.

本題主要考查點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系、充要條件的判斷與應(yīng)用等知識，屬于

中檔題.

6.【答案】B

所以直線BQ的方程為：v-W—Q+Q，整理得y=—比X-Q，則R(0,_^),

J

y__Q_CI八十”，2ac2a'2a

因為FiQlPR,故(江1，

cI2ac，

所以，3b2=2ac,即，—a2)=2ac,由e=，

化簡整理得：＜3e2-2e-V-3=01解得e=C，

所以C的離心率為q,

故選：B.

根據(jù)題意可知求得P和Q點坐標，求得直線居Q的方程，即可求得R點坐標，根據(jù)k&Q/pR=-l,

利用斜率公式及雙曲線的離心率公式，即可求得C的離心率.

本題考查雙曲線離心率的求法，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

7.【答案】C

【解析】解：因為tan?+8)=,

所以sin(20+^)=sin(與+26—^)=—cos(^-+20)

-2/71Iax2rna\sin2(3+^)-cos2(g+e)tan2(2+0)-l(1)2-17

=SinG+9)—C0SG+。)=—2(+)+四2(幽)=tan2G+e)+l=翦=一發(fā)

故選：C.

由sin(20+3)=sina+20后)=-cos(y+20),然后再利用余弦的倍角公式以及弦化切化簡

即可求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，涉及到余弦的倍角公式以及弦化切，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：?."(2x+l)為偶函數(shù)，

f(2x+1)=/(I-2x).令t=2x,

則f(t+1)=/(I-t),即“x+1)=/(I-x),

???函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，①

???/'(—3)=f(5),B正確，但/'(—1)不一定為0,A錯誤；

又g(x—l)均偶函數(shù)，

g(x-l)=g(-x-1),

=g(-2-x),②

???函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，

???函數(shù)/'(x)及其導(dǎo)函數(shù)/''(>)的定義域均為R,g(x)=

由①得/Q)=/(2-x)，

???fix')=Lf(2-x)]',即g(x)=-g(2-x),

?1?g(x)+g(2-x)=0，③

；.g(x)的圖象關(guān)于(1,0)成中心對稱，④

在③中，令％=1,可得g(l)=0,不能確定g(2)=0,C錯誤；

由②④可得：g(—2—x)+g(2—%)=0,令￡=一2一%,有g(shù)(t)+g(t+4)=o,

二。(一萬)+g(2)=。，9(-2)與。(分不一定相等,故。錯誤.

故選：B.

依題意，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,g(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，且g(l)=0,

從而可得答案.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷，考查運算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：因為隨機變量X?8(4,手，所以E(X)=4x；=1,選項A正確；

因為P(8⑷=%P(4B)=",選項8錯誤;

因為X?N(2,32),且X=gy—2,所以丫=3X+6,E(Y)=3E(X)+6=3x2+6=12,

D(Y)=32xD(X)=9x9=81,選項C正確；

2kx

因為模型y=(c—l)ef設(shè)z=Iny,則z=ln(c-1)+2kx,且z=|x+2,

則,解得c=e2+l,fc=l,選項。錯誤.

Un(c-1)=24

故選：AC.

根據(jù)題意判斷選項中的命題是否正確即可.

本題考查了隨機變量的期望與方差計算問題，也考查了條件概率和回歸模型應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABC

【解析】解：由圖象知：4=2,/=胡_各則7得一5)=兀，

所以3=—=2>

n

所以函數(shù)/(%)=2sin(2x+(p),

又過點舄,2),則將點臉,2)代入解析式中可得2=2si吒+乎)，

則W+9=]+2kMic6Z),得*=g+2kMicGZ),

因為|0|<7'所以W=*

因此f(x)=2s譏(2x+,故選項A正確.

將函數(shù)y=2sin(2x-勺的圖象向左平移［個單位長度可得函數(shù)/"(x)=2sin(2x+勺的圖象，故選

項8正確.

/(x)=2sin(2x+1),當x=一巖時,/(%)=2,故選項C正確.

當*6［—梟0］時，2%+裊［一等與，所以/(無)€［-2,/司，即最大值為故選項。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)圖象得到解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想以及運算求解能力，屬于中檔題.

11.【答案】BC

【解析】【分析】

本題主要考查數(shù)列的新定義問題，數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，屬于中檔題.

2

確定｛匕｝的和S2K-1=-4k+104k-50,代入數(shù)據(jù)計算得到BC正確，。錯誤,計算瓦=big=14,

A錯誤，得到答案.

【解答】

解：｛與｝的和S2k-i=(50k-x4)x2-50=-4k2+104/c-50=-4(/c-13)2+626,

對選項A：k=10,則4=瓦9=50—4x9=14,錯誤；

對選項B：k=10,則所有項的和為(50x10-^x4)x2-50=590,正確；

對選項C：｛砥｝的和S21=-4(k-13y+626,當口=13時,和最大，正確.

對選項。；52八1=一4肥+10鈍-50=0,方程無正整數(shù)解，錯誤.

故選：BC.

12.【答案】AC

【解析】解：對于選項A,連接4C,如圖所示：

由題意在菱形4BCD中，AB=2,M為BC的中點，

所以當"=BM=｝：BC=｝：AB=1,又/ABC=:

由余弦定理4M2=22+l2-2xlx2cos60。=3,故AM=V_3，AM2+CM2=4=A屏,

所以同理4MJLMC,

又&MnMC=M,BiM,MCu平面B]MC,

故AMI平面B】MC,又AMu面A/M,

故面ABiM，面B]MC,故A選項正確；

對于選項B,如圖所示，取4D中點E,連接EN,EC,

所以EC〃4M,且EC=AM,又因為N為的中點，

所以EN〃AB],且EN=*Bi=l,又由4選項得AMIBC,/.ABC=60°,

所以ZB4M=^AM=30°且4M=C，

所以4NEC=*EC=V-3.

在ACEN中，由余弦定理得：CN2=CE2+NE2-2CE?NE?cos乙NEC=3+1-2x/lxlx

即CN=1,故B選項錯誤；

C選項：由B選項得EN〃4Bi，所以直線4M和CN所成角即為EC與CN所成角力VCE,

又NC=NE=1,故乙NCE=KNEC=^,故C選項正確；

O

。選項：當三棱錐a-AMD的體積最大時，&MJL平面4BCD,

由四邊形4BCC為菱形，且乙4BC=60。，NB4M=30。，

故NMCD=120。，AMLAD,故C在△AMD的外接圓內(nèi)，

又4AMD的外接圓在三棱錐/一AMD外接球的內(nèi)部，

故點C在三棱錐Bi-AMD外接球的內(nèi)部，故。選項錯誤.

故選：AC.

利用線面垂直的判定可得AM，面&MC,可判斷4選項；取4。中點E,連接EN,EC,結(jié)合余弦定

理，求得CN,并判斷B選項；利用幾何法將與CN的夾角轉(zhuǎn)化為EN與CN的夾角，判斷C選項;

將幾何體還原為長方體，求得外接球半徑，進而判斷。選項.

本題主要考查了面面垂直的判定，考查了異面直線所成的角，以及三棱錐的外接球問題，屬于中

檔題.

13.【答案】T

【解析】解：由二項式定理可得：(冬-2)6的展開式的中間項為第四項，

則展開式的中間項的系數(shù)是琮0)3(_2尸=一署.

故答案為：一詈.

(?-|)6的展開式的中間項為第四項，然后結(jié)合二項式展開式的通項公式求解即可.

本題考查了二項式定理，重點考查了二項式展開式項系數(shù)的求法，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】《,-|)

【解析】解：因為3=(5,2),b=(-1,2)，

所以五?石=5x(-l)+2x2=-l，\b\=V(-1)2+22=V5.

所以向量五在向量肚的投影向量為需需=一/=4,一|).

故答案為：

由平面向量的坐標運算求出24和|B|，再由投影向量的概念即可求得.

本題考查平面向量的數(shù)量積和投影向量，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一8,耳

【解析】解：/'(X)=2xlnx+(%2+1)---2mx=2xlnx4-x+--2mx,

因為函數(shù)/'(%)=(%2+l)/nx-m(%2-1)為在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以任意工€(0,+8),((%)N0恒成立，

所以任意％G(0,4-co),2xlnx+x+g-2mx>0恒成立，

所以任意工￡(0,+8),2》x+l+晝之26恒成立，

令g(X)=2)x+1+或，x€(0,4-00),

，/、222X2-2

g㈤丁彳=b，

令g'(%)=。得％=1或一1(舍去)，

所以在(0,1)上g'(x)V0,g(x)單調(diào)遞減，

在(1,+8)上g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以。。筋m=g(D=2,

所以2m<2,

所以m<1,

所以zn的取值范圍為(一8,1].

故答案為：(—8,1].

根據(jù)題意可得任意x6(0,+8),廣(X)20恒成立，即任意x6(0,+8),21nx+l+晝22m恒成

立，令g(x)=2)x+1+爰，xe(0,+oo),只需2mWg(x)min，即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】25-12/7

【解析】解：因為圓臺上底面半徑為1,下底面半徑為2,AB=2,

所以該圓臺是由底面半徑為2,母線長為4的圓錐所截得，

所以圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為4兀，

所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為f=n,即側(cè)面展開圖為一個半圓，

所以圓臺側(cè)面展開圖為一個半圓環(huán)，

沿母線4B展開如圖所示，0M=4,OC=3.NC0M=：,

由余弦定理可得：CM2=0C2+0M2-20C-OMcosz.COM=25-12c..

將圓臺展開為平面圖形，結(jié)合幾何位置關(guān)系在△COM中利用余弦定理求解.

本題主要考查圓臺的結(jié)構(gòu)特征，考查運算求解能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由S"=M-1,得Sn+i=%+1+(n+I/-1=與+1+層+2n,

兩式相減得an+i=an+1-an+2n+l,則即=2n+1；

1111111

,

(2)由(1)可■知bn=-=2n+i則荻工=(2n+l)(2n+3)=2(2n+l-2n+3)，

，「卜ITillii1/I1.11,1]、17I!■、1

^Tn=b1b2+b2b3+-+bnbn+1^-(,--^+---+-+--^)=-(^-^)=~-

]

4n+6*

【解析】(1)由Sn=+/-1,得及+i=C1n+i+(n+1)2-1=c1n+i+/+2n,兩式相減并整

理即可得到｛Q九｝的通項公式；

1111111

⑵由⑴可知與=履=訴P則訴；=有百而筋=5(五期一赤㈤’從而利用裂項相消求和

法即可求出

本題考查數(shù)列的遞推公式與裂項相消求和法,考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)若選①,因為(a+c)(sinA-sinC)+(b—d)sinB=0,

所以(a+C)(Q—c)+b(b—a)=0,

即狂十塊一^二血,

因為0<C<7T,

故角c=全

若選②，因為2/^s譏CcosC=1+2cos2c,

所以2V~~^sbiCcosC=24-cos2C，

所以一cos2c+Cstn2c=2sin(_2C-^)=2,

所以sin(2C—5=l,

因為0VC<71,

所以一弓<2C—?<塔,

ooo

所以2C_\=5

OL

解得c=f；

若選③，因為2sinB-sinA=2sinCcosA,

又因為si?iB=sin[7r—(4+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

所以2(sinCcos/+cosCsinA)—sinA=2sinCcosA,

所以2cosc-sinA=0,

因為0VAV7T,

所以sbt4*0,

所以cos。=I，

因為Ce(0,兀)，

所以C=?

(2)根據(jù)(1)可知：C=p

又因為c=4,

由余弦定理得：c2=a2+b2—2abcosC=(a+b}2-3ab=16,

所以3ab=(a+b)2—16<3(歿與2,

即a+b48,當且僅當a=b=4時取得等號，

又因為根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有：a+b>c=4

所以8<a+c+bW12,

所以△ABC周長的取值范圍為(8,12].

【解析】(1)①利用正弦定理進行邊角互換，得到a?+爐一=ab,然后利用余弦定理求C即可；

②利用二倍角公式和輔助角公式進行化他得到sin(2C=1,然后根據(jù)0<C<兀解方程即可;

③根據(jù)內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式和和差公式得到sinB=sin(4+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入原式

得到cosC=T，即可得到C；

(2)利用余弦定理和基本不等式得到a+b<8,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a+b>c=4,即可得

到周長的范圍.

本題考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的綜合應(yīng)用，

考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：在四棱錐P-4BCD中，

PDJL平面4BC0,PDu平面P4D,

；?平面PAD1平面ABCD,

"ABIDA,CD//AB,

CD1DA；

??,平面P40n平面ABC。=AD,

CDu平面ABC。，

???CD1平面4CD,

而CDu面PC。,

.,?平面PAD_L平面PCD.

(2)由⑴得ZM,DP,DC兩兩垂直，所以以D為原點，以D4,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸,

建立如圖所示空間直角坐標系Oxyz,

則依題意有：￡)(0,0,0),4(100),8(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

PC=(0,2,-2)

由麗=2正(OS4W1)，得點M(0,24,2-24),

因為PO_L平面4BCD,故平面48co的一個法向量為瓦=

(0,0,1),

設(shè)元=(x,y,z)為平面BDM的法向量，

又因為麗=(1,1,0)，兩=(0,24,2-24)，

所以E?曳=。,即通力0，

尿?DM=。(2/ly+(2-2A)z=0

令x=1,則y=-1,z=

.?.元=合)，

???二面角M—BD-4的余弦值為一?，蘇?丘=占,|利=J/+(72+(占)2=J2+(白］,

同=1，

烏=?5五?=?,口

31?同向1?西彳

解得;I=

故有兩=lpc,此時點M為線段PC的中點.

設(shè)直線BC與平面BDM所成的角為。，平面BDM的一個法向量為沆=

又因為近=(-1,1,0).

|沅?畫-2￡6

所以由九。

<3x77亍

I詞畫I

即直線BC與平面BDM所成角的正弦值為?.

【解析】(1)依題意可證明40,而PCD;根據(jù)面面垂直判斷定理即可證明結(jié)論；

(2)建立如圖所示空間直角坐標系，求出平面BDM與平面ABCD的法向量，根據(jù)二面角向量公式求

出點M的位置，從而求出平面BDM的一個法向量，即可求出直線BC與平面BDM所成的角的正弦

值.

本題考查空間立體幾何中的運算性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)由題意知cos乙41B4=

2

cos2/.A1BO=2cosZ.A1BO—1=—

又乙4/。為銳角，cosZ.A1BO=

解得

Q=4

b=2

c=2AA-3

橢圓C的方程為光+巨=1；

164

(2)根據(jù)題意，設(shè)直線［的方程為y=kx+m,k芋0,

將直線方程與橢圓方程差+[=1聯(lián)立可得：(1+4fc2)%2+8kmx+4m2-16=0,

則4=(8km)2—4(4m2—16)(1+4/c2)>0,即161—m24-4>0.

設(shè)P(X1，%)，Q(X2，y2)，則+尤2=言■，

因為|于+碩|=|審一碩I，根據(jù)向量加法與減法的幾何意義可得：&P_LAiQ,

則4戶?ArQ=0,因為&戶=(與+4,yi),&Q=(%2+4,、2),

2

所以4戶?A]0=(4+4)(%2+4)+y1y2=(/+4)(肛+4)+(kx】+m)(kx2+M)=(FC+

2

l)x1%2+(km+4)(%i+x2)4-16+m=0,

即(1+1)x-----+(km+4)x------74-16+m2=0,

1+4/cl+4k

整理可得57n2-32km+48k2=0,

解得?n=詈或m=4k,此時均滿足16k2-m2+4>0,

當血=華時，直線，的方程為y=依+警=k(%+韻，過定點(一差0);

當m=4/c時，直線，的方程為y=kr+4k=/c(x+4),過定點(一4,0),

此時定點與4點重合，舍去，

綜上，直線計亙過定點，定點坐標為(-￡,0).

/b—二

【解析】(1)利用二倍角的余弦公式得出COSZ&B。=?，則有方程組IJ。2+廬"解之即可；

52a-2b=4

'-a2=b2+c2

(2)設(shè)直線1的方程為y=kx+zn,k40與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理，由|不+項|=|審一

寂|得出布?寂=0,寫出向量代入計算可得到m與k的關(guān)系，代回直線方程即可求出定點.

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，向量的線性運算，向量的數(shù)量積的運算，設(shè)而不求法，屬

中檔題.

21.【答案】解：(1)這600輛車在9：20~10：40時間段內(nèi)通過該收費點的時刻的平均值為(30x

0.05+50X0.015+70X0.025+90X0.010)X20=64,即00：04

(2)結(jié)合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知，抽取的10輛車中，在10：00前通過的車輛數(shù)就

是位于時間分組中在［20,60)這一區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)，即(0.005+0.015)x20x10=4,所以X的可

能的取值為0，1,2,3,4.

所以P(X=0)=乎=2，

c10

c\c

P(X=1)=系*

c10c

clc

P(X=2)=系號

C10/

clc

P-3)=新裝

P(X=4)=分擊，

所以X的分布列為：

X01234

P18341

1421735210

所以E(X)=0X^+1X^-+2X1+3X^4-4X^=|.

(3)由(1)得〃=64,

a2=(30-64)2x0.1+(50-64)2x0.3+(50-64)2X0.4+(70-64)2X0.4+(90-64)2X

0.2=324,

所以。=18,估計在9：46~10：40之間通過的車輛數(shù)也就是在［46,100)通過的車輛數(shù),

2

由T?N(64,18),得,P(