2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)章節(jié)真題匯編 相似（拔高卷）教師版

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)章節(jié)真題匯編檢測卷（拔高）

第27章相似

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度：較難

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（本題2分）（2023怏西榆林校考三模）如圖,在等邊一ABC中，點(diǎn)9E分別在邊BC,AC上，ZADE=60°,

若40=4,畀=],則DE的長度為（）

C七2

48

A.1B.—C.2D.—

33

【答案】D

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論.

【詳解】解：..ABC為等邊三角形，

.\ZB=ZC=60°.

/.ZADB+ZBAD=180°-ZB=120°.

ZADE=60°,

:.ZADB^ZEDC=1SO°-ZADE=12O°,

ZADB+ZBAD=ZADB+ZEDC,

:./BAD=NEDC,

.?.ABAD^ACDE,

.BDAD

一~CE~~DE"

?4_3

,,一，

DE2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的判定與性質(zhì).

2.（本題2分）（2023春?吉林長春?八年級(jí)校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形ABC的

底邊8C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y」（x>0）的圖象上，延長A3交》軸于點(diǎn)。，若OC=5C?,

X

BOD的面積為g,則k的值為（）

【答案】C

【分析】過/作丄x軸于〃，連接。4,根據(jù)OC=5OB,可得①f=2C?,證明ABH^^DBO,得出

*=1券"1=4,求出SABH=4SDB0=2,根據(jù)=求出SVA°B=〈SV旗^=1,得出

3DBOvOBJ2

s,曲=S3+S的=1+2=3,求出網(wǎng)=2SA.=6,根據(jù)反比例函數(shù)的圖象在第一象限，即可求出A的值.

【詳解】解：過/作AH丄x軸于〃連接。4,如圖所示：

：_ABC是等腰三角形，AH丄x軸于〃,

BH=CH,

；OC=5OB,

：.BH=2OB,

VZABH=ZDBOfZAHB=ZDOB=90°9

?ABHS.DBO,

???.5OD的面積為

SABH=4SDBO=2，

,:BH=2OB,

=

?,Sy/AOB]S7ABH=1，

SAOH=SAOB+SABH=1+2=3，

k

9?A在反比例函數(shù)y=((%>0)的圖象上，

，k|=2S,AOH=6，

..?反比例函數(shù)的圖象在第一象限，

k=6,故C正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握反比例函數(shù)的

圖像與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

3.(本題2分)(2023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，是。。的弦，半徑OC與弦A3交于點(diǎn)〃，若

OD=BD=4,CD=2,貝!|AD=()

A.714B.4C.>/23D.5

【答案】D

【分析】

作OE丄A?于點(diǎn)￡,。尸丄。8于點(diǎn)凡根據(jù)垂徑定理得AE=3E,由已知得OC=O3=6,所以

。尸=8f=3。8=3,再證明，改辦?比屮，得與=，，即臺(tái)。；：，所以AB=28D=9,即可求出

AD=9-4=5.

【詳解】

解：如圖，作。石丄AB于點(diǎn)區(qū)DF丄OB于點(diǎn)居

,：OD=BD=4,CD=2,

OC=OB=6,

OF=BF=-OB=3,

2

VZB=ZB,ZOEB=ZDFB=90°,

BOEs二BDF,

.BEBO

??茄一茄’

?BE_6

??=一,

34

??.BE=~,

2

/.AB=2BE=9,

AD=9-4=5.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明.BOEs二瓦萬是解題的關(guān)鍵.

4.（本題2分）（2023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點(diǎn)￡在邊AD上，

且OE=1.2XBEF是以￡為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF,即分別交CD于點(diǎn)弘N,過點(diǎn)尸作AD的

垂線交AD的延長線于點(diǎn)G.連接。尸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

35

A.EF=屈B.DF=2A/2C.CN=《D.MN=~

【答案】D

【分析】根據(jù)AB=3,AE=2,由勾股定理得3E=JA￡2+4g2=j3?+22=而,BE=EF=&^;證明

BAE￡.EGF(AAS),得到AB=EG=3,AE=GF=2,于是DG=EG—DE=3-1=2,根據(jù)勾股定理

DF=yjDG2+GF2=722+22=20；過點(diǎn)尸作FH丄CD于點(diǎn)〃，證明四邊形DGFH是正方形，得到DH=2,

CH=1,證明厶加Ns.CBN,DEMS,HFM,計(jì)算CN,HN,HM,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：A、：邊長為3的正方形A3CD,DE=1,

：.AB=BC=CD=ZM=3,AEF,ZBAD=ZADC=ZBCD=90。,

BE=\lAE2+AB2=,3?+2?=V13-

,/△BEF是以￡為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

，BE=EF=屈,

故該項(xiàng)正確，不符合題意；

B、：邊長為3的正方形ABC。，F(xiàn)G1DG,

：.NBAE=NEGF=90。,

,：是以￡為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

:.BE=EF,ZAEB+ZGEF^90°,

,：ZAEB+ZABE^90°,

：.ZABE=ZGEF,

.BAE^EGF(AAS),

AB=EG=3,AE=GF=2,

???DG=EG-DE=3-1=2,

DF=yjDG2+GF2=,2?+2?=2A/2，

故該項(xiàng)正確，不符合題意；

C、過點(diǎn)尸作丄CD于點(diǎn)〃,

?:/FHD=/HDG=/DGF=9伊,DG=FG=2,

???四邊形DGFH是正方形，

:.DH=DG=2,CH=CD-DH=3-2=1,

VZBCN=ZFHN,ZBNC=ZFNH,ZEDM=ZFHM,ZEMD=ZFMH,

:?LHFNS-CBN,jDEMs厶HFM,

.CNCB3HMFH2

??麗―麗-5，~DM~~DE~\"

?CN_3HM2

**CH-5*~HD~3J

.C7V_3HM2

??=—，=-，

1523

34

：.CN=~,HM=—,

53

故該項(xiàng)正確，不符合題意；

34

D、?:CN=—,HM=—,

53

24

：.HN=~,HM=~,

53

MN=HN+HM=—+—=,

5315

故該項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性

質(zhì)，熟練掌握正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

5.（本題2分）（2023春?安徽?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABC。的邊長為2,延長CB至點(diǎn)￡,BE=1,

連接。石交AB于點(diǎn)G,連接A石，并取A石的中點(diǎn)孔連接尸G并延長交于點(diǎn)〃，則FH=（）

AD

EBHC

A.2B.巫c.巫D.叵

3234

【答案】B

【分析】先作輔助線構(gòu)造全等三角形，然后利用AAG4ABGE,從而求出EH的長，再過分作瓦（的垂線,

構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：延長ZM、HF相交于點(diǎn)弘如圖：

“/D

■:

ENBHC

,?7是中點(diǎn)，

,AF=EF,

又,.?ZMAF=NHEF,ZAFM=ZHFE,

.??_A?￡EFH（ASA）,

：.AM=EH,

■:AD//EC,

???AGDsBGE,DMGsEHG,

.GDADDMGD

9,~GE~~BE,~EH~~GE'

DMAD2、

：.——=——=—=2,

EHBE1

：.DM=2EH,

又「DM=AM+AD=EH+AD=2EH,AD=2,

：.EH=2,

過尸作RV丄3E于點(diǎn)兒

二廠是中點(diǎn),

FN=-AB=\,EN^-EB=~,

222

3

NH=EH-NE=-,

2

在RtAFNH中，F(xiàn)H=^FN2+NH2=—,

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形的性質(zhì)，解答過程中作輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.（本題2分）（2023?江蘇宿遷??？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，長方形0LBC,點(diǎn)4C分別在y

軸，x軸的正半軸上，OA=6,0c=4,NDOE=45°,OD、OE分別交BC,AB于點(diǎn)以E,且8=2,

C.2D.2.5

【答案】C

【分析】如圖，過點(diǎn)￡作EF丄OE交OD延長線于點(diǎn)石過點(diǎn)尸作尸G1AB交AB延長線于點(diǎn)G,作FH丄BC

HFHD

于H,由“AAS”可證—AEO四_GEF,可得AE=GR,EG=AO=6,通過證明AODC^^FDH，可得發(fā)=五，

即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)6作EF丄OE交。。延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作FG丄交AB延長線于點(diǎn)G,作

FH丄BC于■H,

QNEOF=45°,EF丄EO,

\?EOF?EFO45?,

:.OE=EF,

?AOE?AEO90?,?AEO?GEF90?,

\?GEF2AOE,

在△AEO和△GEF中，

ZGEF=ZAOE

<ZOAE=ZG=90°,

OE=EF

\AEOWGE廠（AAS）,

:.AE=GFf石G=AO=6,

\BG=EG-BE=6-（4-AE\=2+AEf

HF八BC,?G?CBG90?,

???四邊形5GF"是矩形，

\BH=GF=AE,BG=HF=2+AE,HF//BG//OC,

\HD=BD-BH=4-AE,

HF//OC,

\ODCsFDH,

.HFHD

,,加一百'

.2+AE_4-AE

??―，

42

:.AE^2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵.

7.（本題2分）（2022秋?廣西桂林?九年級(jí)桂林市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形A3CD中，公BPC

是等邊三角形，BP,CP的延長線分別交于點(diǎn)E,F,連接30,DP,3D與CF相交于點(diǎn)H,給出下

列結(jié)論：①BE=2AE；②△DFPs^BPH；③△PFQs△尸￡岀；④。戸=p”.pc.其中正確的是（）

BA

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】由正方形ABCD,與△BPC是等邊三角形的性質(zhì)求解，求解/EBA=30。，從而可判斷①；證明

NPFE=NBPC=60。,ZPBH=ZPDF=15°,可判斷②；由

ZPBD=15°,ZBDP=30°,ZPDF=15°,ZPFD=60°,可判斷③；證明/尸￡汨=30°=再證明

DPPH

一PDHs-PCD,可得樂=器，從而可判斷④.

【詳解】解：正方形ABCD,

:.ZABC=ZA=ZBCD=ZADC=9Q°,CB=CD=AB,

△5PC是等邊三角形，

...ZPBC=60°=ZPCB=/BPC,

/.ZEBA=90°-60°-30°,

??BE=2AE,故①符合題意;

正方形ABCD,

:.ADIIBC,/CBD=45。,

.\ZPFE=ZPCB=60°,

ZPFE=NBPC=60°,

△5PC是等邊三角形，

PC=BC=CD,

而ZPCD=90°-60°=30°,

ZCDP=1(180°-30°)=75°,

.\ZPDF=90°-75°=15°,

由ZPBC=60°,ZCBD=45°,

ZPBH=15°,

/.ZPBH=/PDF,

BPHsDFP,故②符合題意；

NPBD=15°,ZBDP=30°,/PDF=15°,ZPFD=60°,

PF2BPO不相似，故③不符合題意；

正方形ABCD,

,-.ZCDB=45°,

ZPDH=90°—45°-15°=30°=NPCD,

ZDPH=ZCPD,

PDHs..pcD,

DPPH

一而一而‘

DP2=PH-PC,故④符合題意，

綜上：符合題意的有：①②④.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定

與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.（本題2分）（2023春?山東濰坊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,E、

產(chǎn)為線段上兩動(dòng)點(diǎn)，且NECF=45。，過點(diǎn)￡、尸分別作比；/C的垂線相交于點(diǎn)四垂足分別為吊G.以

下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB=42B.當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)8重合時(shí)，MH=；

C.AF+BE=EFD.MGMH=-

2

【答案】C

【分析】A由題意知，一ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷;

B如圖1,當(dāng)點(diǎn)6與點(diǎn)6重合時(shí)，點(diǎn)〃與點(diǎn)6重合，可得MG〃3C,四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得到尸G

是△ACB的中位線，從而作出判斷；

C如圖2所示，根據(jù)SAS可證.ECF與ECD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；

D易證△ACEs△班匕，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得隹.3尸=4。3。=1,由題意知四邊形CHMG是矩形，

再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG-MH=—AEx—BF=-AE-BF=-AC-BC^~,依此即可作

22222

出判斷.

【詳解】解：由題意知，一ABC是等腰直角三角形，

AB=VAC2+BC2=A/2，故A正確；

如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡與點(diǎn)6重合時(shí)，點(diǎn)〃與點(diǎn)力重合，

：.MBrBC,ZMBC=90°,

'：MG±AC,

/.NMGC=90°=NC=NMBC,

AMG//BC,四邊形MGCB是矩形，

：.MH=MB=CG,

,：ZFCE=45°=ZABC,ZA=ZACF=45°,

CF=AF=BF,

...刀G是"CB的中位線，

AGC=-AC=MH,故B正確；

2

如圖2所示,

圖2

??,AC=BC,ZACB=90°,

ZA=Z5=45°.

將AAC尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至

則CF=CD,Z1=Z4,ZA=/6=45°,8。=AF；

?/N2=45°,

???N1+N3=N3+N4=45°,

:.NDCE=Z2.

CF=CD

在△￡*€戶和aECD中，\Z2=ZDCE

CE=CE

:?LECF込厶ECD(SAS),

???EF=DE.

???N5=45°,

J/DBE=9(f,

ADE2=BD2+BE2即石尸2=4b2+B石2,故c錯(cuò)誤;

*.*Z7=Zl+ZA=Zl+45°=Z1+Z2=ZACE,

??Z=N5=45°,

/\ACEs/\BFC,

.AEAC

**BC-BF'

：.AEBF=ACBC=\,

由題意知四邊形CHMG是矩形,

/.MG//BC,MH=CG,MH//AC,

.CHAECGBF

"BC-AB；AC-AB'

MGAEMHBF

即7=五7=g'

：.MG=—AE,MH=—BF,

22

/.MG*MH=—AEx—BF=-AE-BF=-AC*BC=-,

22222

故D正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，

矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性

質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

9.（本題2分）（2023秋?黑龍江大慶?九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在中，ZBAC=90°,AB=1,

AC=272點(diǎn)、D,￡分別是邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，則/M+DE的最小值為（）

立D

C.9

【答案】B

【分析】如圖，作/關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接A4',交BC于凡過A作A'E丄AC于笈交BC于。，則=

此時(shí)AD+DE的值最小，就是4E的長，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比可得結(jié)論.

【詳解】解:作4關(guān)于3c的對(duì)稱點(diǎn)A，，連接A4"交3C于反過A作A'E丄AC于反交3C于。,則AT）=HO,

此時(shí)AD+DE的值最小，就是4E的長，

在Rt^ABC中，ABAC=90°,AB=1,AC=272,

3C=J『+(2夜/=3,

S=-ABAC=-BCAF,

wARr22

-X1X2A/2=-X3AF,

22

,k2百

AF=------,

3

AA'=2AF=^^,

3

NA'FD=ZDEC=90°,ZA'DF=ZCDE,

ZA'=ZC,

ZAEA'=ZBAC=90°,

AEA^BAC,

AA'BC

~^E~~AC，

4竝

r_3，

A'E2-J2

A'E=—.

即AD+DE的最小值是￡：

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱一最短問題、三角形相似的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱以及垂線段最短解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

10.（本題2分）（2022秋?湖南衡陽?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，AB=BC,ZABC=90°,

是AC邊中線，點(diǎn)。，E分別在邊AC和BC上，DB=DE,EF丄AC于點(diǎn)尸，以下結(jié)論：（1）

ZDBM=NCDE；(2)$四邊形.相；(3)CD-EN=BN-BD■,(4)AC=2DF.其中正確結(jié)論的個(gè)

數(shù)是（

B

ADMFC

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】(1)設(shè)NEDC=x,則/DEF=90?！?從而可得到—O3E=，DEB=/EDC+/C=x+45。，

NDBM=ZDBE-ZMBE=45。+x—45。=%,從而可得至U/DBM=ZCDE；

(2)可證明丄血必馬。￡尸，然后可證明：△OVB的面積=四邊形M0FE的面積，所以△DA?的面積+BVE

的面積=四邊形NMFE的面積+-BNE的面積；

(3)證明eWCs_NEB可得答案；

(4)由二BDMaDEF,可知。尸=5M,由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可知=；AC.

【詳解】解：(1)VAB=BCfZABC=90°,5M是AC邊中線，

ZABM=ZCBM=45°,

設(shè)/EDC=x,貝ij"跖=90。-1，BD=DE,

：.ZDBE=ZDEB=ZEDC+=x+45°,

???ZDBM=ZDBE-MBE=45°+^-45°=%.

：.ZDBM=ZCDE,故(1)正確；

(2)在Rt和RtAD跖中，

ZDBM=ZCDE

<ZDMB=ZDFE,

BD=DE

；?RtBDM鄴t_DEF.

??S7BDM=S^DEF?

??S'BDM-S^DMN=S7DEF-SvDMN，即^NDBN='四邊形"可防?

SyDBN+S'BNE~S四邊形MNEQ+^VBNE，

??S^BDE=S四邊形，故(2)錯(cuò)誤;

(3)?:NBNE=NDBM+NBDN,NBDM=NBDE+NEDF,NEDF=NDBM,

:.NBNE=NBDM.

又?：NC=NNBE=45。

:..DBCs一NEB.

.CD_BN

??茄一麗’

:?CDEN=BNBD；故（3）正確；

（4）VRtBDM^RXDEF,

???BM=DF,

■:?B90?,M是AC的中點(diǎn)，

1

BM=-AC.

2

L,即AC=2Db,故（4）正確.

DF=2AC

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形性質(zhì)和判定，在直角

三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等和相似.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（本題2分）（2022秋?福建泉州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知直線《〃。〃上直線加與直線4、IA

AD4CF

4分別交于點(diǎn)4D、F,直線厶與直線乙、從4分別交于點(diǎn)反C、E.若寸=工，則三=________.

Dr5nC

【答案】I

4

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，解答即可.

【詳解】解：.直線乙人人，

ADBC_4

DF-CE-5

CE_5

BC-4

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)定理得出比例式，注意：一

組平行線截兩條直線，所截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

12.（本題2分）（2023秋?重慶萬州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=9,E為CD

的中點(diǎn)，戶為8c上一點(diǎn)，BF<FC,且AF丄FE.對(duì)角線AC與斷交于點(diǎn)G,則GC的長為

【分析】過點(diǎn)。作GUC于點(diǎn)〃，先證明冋s.c,得岀H噂,根據(jù)-FC,得岀於3-6,

再證明..AF3sFGH,得出？區(qū)=三巴，證明NABCjGHC,得出產(chǎn)=手，聯(lián)立求岀得岀。冃="

BFABABBC7

12

GH=—,最后在RtAGHC中，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)G作GH丄3c于點(diǎn)〃,

^BF=x,貝lJCF=9—%，

???￡為。。的中點(diǎn)，

??.CE=-CD=3,

2

?.*AF±FE,

：.ZAFB+NEFC=90。,

???四邊形ABC。為矩形，

：.1B90?,CD=AB=6,

\ZFAB+ZAFB=90°f

\ZFAB=ZEFCf

：/B=NECF=90。，

\FAB^EFC,

BFABx6

R即n一二----

~CECF39-x

解得：玉=3,%2=6,

,:BFcFC,

:?BF=3,CF=6,

設(shè)C〃=y,貝ijm=6-y,BH=9-y,

?:NFAB=NEFC,ZB=ZGHF=90°,

???、AFBsFGH,

.GH_FHGH_6-y

BFAB36

,.?ZGCH=NACB,ZGHC=ZB,

???ZABC^GHC,

.^GHy

??一9即一,

ABBC69

*Zr-rm/RGH2y

整理得：—=-^-,

????=J解得：y*,

oy/

2Xx—12

AGH7,解得：GH=(,

-=-----7

39

在RtzXGHC中，根據(jù)勾股定理可得:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角

形的判定方法，以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

13.（本題2分）（2022秋?福建泉州?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在一ABC中，矩形DEFG的頂

點(diǎn)D、E分別是邊AB.AC的中點(diǎn)，邊FG與BC邊重合，AH±BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)、I,

A

【分析】首先利用中位線的性質(zhì)得到。石〃3C,DE=gBC,然后利用平行線的性質(zhì)可以得到

2

△ADEsAABC,最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】?:D、E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，

/.DE//BC,DE=-BC,

2

:.Z\ADEsAABC,

?：AH±BC于點(diǎn)H,交DE于點(diǎn)I,

.AIDE_1

"AH~BC-2,

故答案為：g.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和中位

線的性質(zhì)及其應(yīng)用.

14.（本題2分）（2023秋?河南南陽?九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,

點(diǎn)E、廠分別在邊AC、BC±,連接即，沿跖折疊該三角形，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在邊上，若YBDF

是直角三角形，則CF的長為.

【分析】由勾股定理可知，AB=5,由折疊的性質(zhì)可知，CF=DF,設(shè)CF=a,分兩種情況討論：①當(dāng)

ZBFD=90°8^；②當(dāng)NBDF=9O。時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)分別求解，即可得到答案.

【詳解】解：在RtA4BC中，NC=90。，AC=3,BC=4,

:.AB=4AC1+BC-=5>

由折疊的性質(zhì)可知，CF=DF，

設(shè)CF=a,貝!］。尸=。，BF=BC-CF=4-a,

①如圖，當(dāng)/硒）=90°時(shí)，此時(shí)VBL屮是直角三角形,

ZBFD=ZC=9O°,ZDBF=ZABC,

DBFs.ABC,

BF_DF

4-aa

??二，

43

解得：”亍I?，即。尸=I與?；

②如圖，當(dāng)N瓦加=90。時(shí)，此時(shí)V5L屮是直角三角形,

ZBDF=ZC=90°,/DBF=ZABC,

/.FBD^ABC,

BF_DF

''AB~~\C'

4-a_a

.,一，

53

解得：?=3|,即cr=3i；

綜上可知，CT的長為］12或13.

故答案為:,12或3

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論的思想，熟練掌握

相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.（本題2分）（2023?河南駐馬店?駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在邊長為6的等邊MC中，

點(diǎn)。在AC上，且C￡>=2,點(diǎn)E在A8上（不與點(diǎn)A、B重合），連接。E,把VADE沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在等邊ABC的邊上時(shí)，AE的長為

【答案】2或10-2抗？

【分析】分兩種情況：當(dāng)產(chǎn)點(diǎn)落在邊3c上時(shí)，利用翻折的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得"FC=/3EP,

可證DFCS.FEB,可得孚="=雙，可求AE；尸點(diǎn)落在邊上時(shí)，利用30。所對(duì)的直角邊等于斜

CFCDDF

邊的一半即可求出A石.

【詳解】解：①當(dāng)尸點(diǎn)落在邊上時(shí),

把VAD石沿。E折疊,

:.ZA=ZEFD=6O°,

ZEFC=ZB+ZBEF,

:.ZEFD+ZDFC=ZB+^BEF

ZEFD=ZA=ZB=6O°，

:.ZDFC=ZBEF,

:.△DFCsBEB,

BEBFEF

~CF~~CD~~DF

而EF+BE=EA+BE=AB=6,DF=DA=AC—CD=4,

.6-AE6-CFAE

"CF2一彳

CF=4（6-AE）

AE即考啓，及，

CF=6--AE

2

解得A￡=10-2萬或A￡=10+2萬（舍去）;

②尸點(diǎn)落在邊上時(shí)，

ZA=ZDFE=60°,ZDE4=90°,ZADE=ZFDE,

:.ZADE=30°,

:.AE=^AD=^AC-CD）=^x4=2.

所以AE的長為2或10-2萬.

故答案為：2或10-2后.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及含30。角的直角三角形的性質(zhì)，，解題時(shí)要考

慮全面，難度中等.

16.（本題2分）（2023?江蘇泰州??？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)E在直

線AD上，從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒0.5cm,點(diǎn)尸在直線BC上，從點(diǎn)5出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每

秒2cm,BE、AF相交于點(diǎn)G,則BG+CG的最小值為cm.

【答案】10

【分析】過點(diǎn)G作直線分別交AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)G作直線PQ〃CD,分別交A3、DC

于點(diǎn)AQ,易知四邊形ABMW、PBNG、GNC。為矩形，證明,GAEjG用，由相似三角形的性質(zhì)可得

AFGM

—=—；設(shè)E、尸兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為乙則AE=0.5f,BF=2t,易得GM=lcm,GN=4cm；作點(diǎn)C關(guān)于

直線尸。的對(duì)稱點(diǎn)K,由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,故當(dāng)3、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，3G+KG的值最小，即

BG+CG取最小值，此時(shí)，在RtZkBCK中，由勾股定理求得BK的值，即可獲得答案.

【詳解】解：如下圖，過點(diǎn)G作直線分別交AD、BC于點(diǎn)M、N,過點(diǎn)G作直線尸?！?/p>

分別交AB、DC于點(diǎn)P、Q,

易知四邊形ABMH、PBNG、GNCQ為矩形，MN=AB=5cm,

:四邊形A3CD為矩形，

AAD//BC,AB//DC

:.NGAE=NGFB,ZGEA=ZGBF,

：..GAE^GFB,

.AEGM

,?而一而‘

設(shè)E、P兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為厶則AE=0.5t,BF=2t,

則有要=竽=；，即GN=4GM,

GN2t4

'：MN=5cm,

：.GM=\cm,GN=4cm,

?.?四邊形GNCQ為矩形，

/.QC=GN=4cm,

作點(diǎn)C關(guān)于直線尸。的對(duì)稱點(diǎn)K,如圖，

則QK=QC=4cm,KC=QK+QC=8cm,

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得CG=KG,

當(dāng)3、G、K三點(diǎn)共線時(shí)，3G+KG的值最小，即3G+CG取最小值,

此時(shí)，在RtABCK中，BK=《BC?+KC°=后+8)=10cm，

，3G+CG的最小值為10cm.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理等知

識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵.

17.（本題2分）（2023秋?江西吉安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在RtaACB中，NC=90。，點(diǎn)。為3c

上一點(diǎn)，過點(diǎn)8作AD的垂線交的延長線于點(diǎn)E,若+=9（T,4AD=5DE,AC=3后，則線

段的長為.

CD/

【答案】8^/10

【分析】通過導(dǎo)角證明=過點(diǎn)D作D尸丄AB于點(diǎn)廣，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/）尸=八￡,

4RAT）5

BF=BE,證明一后，得出==—=:，設(shè)AB=5x,BE=BF=4x,依次證明△DEBS/XACB,

BEDF4

AACD^ABCA,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.

【詳解】解：ZC=90°,

二?ZC4￡)+ZCZM=90°,

又ZAB￡)+ZCDA=90°,

ZCAD=ZABD,

ZC=ZE=90°,/CDA=/EDB,

??./CAD=/EBD,

ZABD=ZEBD,

如圖，過點(diǎn)D作小丄AB于點(diǎn)尸，

DFLAB,DE工EB,

DF=DE,

在RtADEB和RtAPFB中,

DF=DE

DB=DB

/.RtADEB之RtDFB(HL),

BF=BE.

4AD=5DE,DF=DE,

AD5AD

~DE~\~~DF'

ZAFD=ZAEB=90°,ZDAF=ZBAE,

?..DAFS_BAE,

.AB_BE

…而―BF'

.ABAD5

,-4?

設(shè)A5=5x,BE=BF=4x,

?e-AE=JAB?—BE?=3=，AF=AB-BF=x,

,c5%4x

..AD=—,DE——

33

4尤

...DF=DE=——

3

ZDFB=ZACB=90°,/DBF=ZABC,

「?ADFBs^ACB,

DFBF

ACBC

BCBF

???ACDF

3

AC-3710,

BC=3AC=9y/10,

AB=VAC2+BC2=30,

ZACD=ZBCA=90°,ZCAD=ZABCf

AACD^ABCA,

CDCA

CA~CB

CA2G啊「

■-CD=——~~亠=回'

CB9而

BD=BC-CD=9加-加=8加,

故答案為：8M.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解

題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)角證明厶班＞=NEBD.

18.（本題2分）（2023春?浙江寧波?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)￡在線段AD

上，以O(shè)E為邊構(gòu)造正方形DEFG,使6在8的延長線上，連接CF,取CF中點(diǎn)〃，連接D8.當(dāng)￡為40

中點(diǎn)時(shí)，△CDH的面積為，當(dāng)點(diǎn)￡在"）邊上運(yùn)動(dòng)（不含4D）時(shí)，的最小值為.

【分析】當(dāng)￡為4￡＞中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)〃作HN丄GC于點(diǎn)兒先證HN是△CTG的中位線，求出其長度，再根

據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；連接G”,EH,AC,BD,AC與3。交于點(diǎn)0,延長EE到點(diǎn)必使EM=FE,

連接O0,CM,根據(jù)正方形的性質(zhì)先證點(diǎn)久0、狀8在一條直線上，再證E”是△CW的中位線，并推

出當(dāng)丄亜時(shí)，CM最小，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CO丄即，故點(diǎn)〃與點(diǎn)。重合，求出對(duì)角線AC的長，

即可得出CO的長，于是得出的長，再根據(jù)正方形的性質(zhì)證砲=即可得出的最小值.

【詳解】解：當(dāng)￡為4）中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)〃作"V丄GC于點(diǎn)兒如圖1,

:正方形A3CD的邊長為4,

AD=CD=4,

AE=DE=2,

:四邊形OEFG是正方形,

FG=DE=2,FG丄GC,

：.HN//FG,

.CHCN

??麗一麗，

???點(diǎn)〃是CF的中點(diǎn)，即g=1，

FH

???里=1,

NG

二點(diǎn)”是GC的中點(diǎn)，

EW是△(7尸G的中位線，

：.HN=-FG=-x2=l,

22

S=-CD-HN=-x4xl=2；

CcDmH22

如圖2,連接GH,EH,AC,BD,AC與交于點(diǎn)。，延長EE到點(diǎn)也使EM=FE,連接DM,CM,

AB

FE\M/

圖2

???四邊形。EFG是正方形，

FE=DE,NFED=90°,

：.DE=EM,NDEM=90。,

/.是等腰直角三角形，

二ZEDAf=45°,

???四邊形ABC。是正方形，

NAD3=45。，ACYBD,

點(diǎn)以0、族6在一條直線上，

..?點(diǎn)￡是根的中點(diǎn)，點(diǎn)〃是CP的中點(diǎn),

EH是ACFM的中位線，

/.EH=-CM,

2

當(dāng)CM最小時(shí)，最小,

即當(dāng)CM丄3。時(shí)，CM最小,

CO1BD,

〃點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，CM最小，

:正方形ABCD的邊長為4,

/.AD=CD=4,ZADC=90°,AO=CO,

由勾股定理得AC=^AEr+CEr="+4?=472，

/.CO=-AC=-x4y/2=2y/2,

22

：.EH=LCO=LX2^=竝,

22

:四邊形OEFG是正方形，

ZFGC=90°,

:點(diǎn)〃是CF的中點(diǎn)，

/.GH=-CF=FH,

2

.?.點(diǎn)〃在尸G的垂直平分線上，

:四邊形OEFG是正方形，

...點(diǎn)〃也在即的垂直平分線上，

EH=DH,

DH=應(yīng)，

即OH的最小值為四；

故答案為：2,0.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形中位線定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)及

三角形中位線定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵，此題有點(diǎn)難度，需認(rèn)真思考.

19.（本題2分）（2023春?浙江臺(tái)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為2的正方形A3CD中，點(diǎn)E,F分

別在邊AB,BC上，AF丄DE，垂足為點(diǎn)G,以DG,GR為邊作矩形。GFH.若圖中陰影部分面積為3,則

矩形DGFH的面積為

AD

【答案】3

【分析】過點(diǎn)G作GK丄AD于K,交BC于J,,先證明△ABR四△ZME(AAS),可推出S四邊形.E=S的

進(jìn)而可得s四邊形BFGE=S曲=＜，GK=(，再求得GJ=KJ-GK=[,由,AGW.RG/,可得黑=2=3,

ZZZAGrCrA

即bG=3AG,再由直角三角形面積可得AG?DG=AD-GK=1,利用S矩形次切=/G-OG=3AG-OG,即可

求得答案.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作GK丄AO于K,交3C于丿,

正方形ABCD的邊長為2,

：.AB=AD=2,ZBAD=ZB=90°,AD//BC,

:.ZBAF+ZDAG=90°,

AF±DE,垂足為點(diǎn)G,

:.ZADE^ZDAG=90°,

:.ZBAF=ZADE,

ABF烏DAE(AAS),

…S^ABF

S'DAE，

艮卩SAEG+S四邊形8產(chǎn)GE=SAEG+SADG,

一S四邊形BFGE=SADG,

S四邊形BFGE+S45G—§正方形4BCD-'陰影=2-3=],

￡

??S四邊形5FGE=SADG

2

即:3GK=g,

:.GK=-

2f

KJLAD,

ZAKJ=90。=NBAK=NB,

，四邊形ABJK是矩形,

：.KJ=AB=2,

13

:.GJ=KJ-GK=2——=一，

22

ADBC,

AGKsFG,

3

AG~GK~，

2

...FG=3AG,

AGDG=ADGK=1,

S矩形DGFH=FG?DG=3AG,DG=3x1=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題是正方形與矩形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，三角形面積，矩形面積，相似三角形的判定和性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.

20.（本題2分）（2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，ZABC=90°,=點(diǎn)。在

C3延長線上，且亜，點(diǎn)尸在AC上，連接。尸，點(diǎn)E在。歹上，NBEF=45。，AG丄。尸于點(diǎn)G,若

FG=1,EG=6,則AC的長為.

【答案】3M

【分析】連接AD，過點(diǎn)8作私7丄方交。產(chǎn)于點(diǎn)過點(diǎn)8作8N丄AG,交AG的延長線于點(diǎn)N,根據(jù)

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)可得NAZM=/ZMB=/C4B=45。，求得N/MC=90。，根據(jù)等角的余角相等

可得NADb=NG4尸，推得N￡DB=NGV,根據(jù)矩形的判定可證明四邊形MGNB為矩形，根據(jù)全等三角形

的判定和性質(zhì)可得==根據(jù)正方形的判定和性質(zhì)可得即/=MG=GV=NB,根據(jù)等角

對(duì)等邊可得=推得DE=AG,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得OE=AG=3,根據(jù)勾股定理求

得AP=癡，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：連接AD,過點(diǎn)8作丄D尸交于點(diǎn)過點(diǎn)B作3N丄AG,交AG的延長線于點(diǎn)N,

如圖：

DBC

VZABC=90%AB=BC,BC=BD,

???△ABD和一ABC是等腰直角三角形，

JZADB=ZDAB=ZACB=ZCAB=45°,

：.ZDAC=ZDAB-^-ZCAB=90°,

AG丄。尸，

???ZAGF=90°,

又???NA￡）尸+NAFD=90。，NG4F+ZAFG=90。，

???ZADF=ZGAF,

VZADF^-ZEDB=45°,ZG4F+ZG4^=45°,

:.ZEDB=ZGAB,

VBM±DF,BN丄AG,AG.LDF,

：.ZBMG=ZBNG=ZMGN=90°,

???四邊形MGNB為矩形，

VZEDB=ZGAB,ZBMG=ZBNG=90°,BD=AB,

:.,DMB沿.ANB,

：.BM=BN,DM=AN,

???四邊形MGA?為正方形,

BM=MG=GN=NB,

,：NBEF=45°,NBM