2023-2024學年廣東省深圳市高二年級下冊開學考試數(shù)學（含答案）

2023-2024學年廣東省深圳市高二下冊開學考試數(shù)學

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

2

人A=b∣∣x∣=x]Z?=(jdx+x≥0),.ΛD_

1.若集合?111),?1/,貝r"”一()

A.[-1,0]B.[0,+∞)C.[l,+∞)D.(-∞,-l]

【正確答案】B

【分析】解不等式求出A=[0,+∞),B=[0,-+w)(-∞,T],求出交集.

【詳解】A={R∣X∣=X}=[0,+8),θ=∣x∣%2+x≥0∣=[0,+∞)u(-∞,-l],

故AnB=[0,+8).

故選：B

-?.?

2.已知復數(shù)Z=二」，則IZl=()

1-1

A.√2B.√3C.√6D.√5

【正確答案】D

【分析】利用復數(shù)除法運算求出復數(shù)z,再求出復數(shù)的模作答.

(3+i)(l+i)2+4i,?

【詳解】依題意，Z=M;^=l+2ι,

(1-1)(1+1)2

所以IZl=Vi2+22=?/?.

故選：D

anmn

3.a>b是Iog2a>Iog2b的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】求出Iog2α>log2人的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

u,

【詳解】Iog2a>Iog2b<^>a>b>O,因為a>h'N"a>6>0”且

“a>b"U"a>6>0”，

因此，"a>b''是"log?”>log2人”的必要不充分條件.

故選：B.

4.己知函數(shù)y=∕(x)在定義域(一1,3)上是減函數(shù)，且/(2π-l)<∕(2-α),則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.(1,2)B.(-∞,1)C.(0,2)D.(l,4w)

【正確答案】A

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性及定義域化簡不等式，即可得解.

【詳解】因為函數(shù)y=∕(x)在定義域(T,3)上是減函數(shù)，且"2"l)<∕(2-α),

-l<2α-l<3

則有｛-l<2-α<3,

2。一1>2-。

解得l<α<2,所以實數(shù)〃的取值范圍是(1,2).

故選：A.

5.已知加,/是兩條不同的直線，α,α是兩個不同的平面，則下列可以推出的是()

A.β,lLaB,mA,l,ar>β-l,m(^a

C.ιn∕∕l,mLa,l±βD.ILa,mlll,mlIβ

【正確答案】D

【分析】

A,有可能出現(xiàn)α,夕平行這種情況.B,會出現(xiàn)平面α,P相交但不垂直的情況.C,根據(jù)面面平行

的性質(zhì)定理判斷.D,根據(jù)面面垂直的判定定理判斷.

【詳解】對于A,機，/,mu0,若/J■尸，則。//4，故A錯誤；

對于B,會出現(xiàn)平面α,￡相交但不垂直的情況，故B錯誤；

對于C,因為m/〃，m_La,貝”J_a,又因為/J■尸na〃咒,故C錯誤；

對于D,/_!_?,〃?〃/=機_La,又由tn〃B=a工β,故D正確.

故選:D

本題考查空間中的平行、垂直關(guān)系的判定，還考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

6.在長方體ABC。一ABICQl中，己知耳。與平面ABCz)和平面AAB班所成的角均為30°,則

()

A.AB^2ADB.AB與平面ABCD所成的角為30。

C.AC=CB1D.BQ與平面BBCC所成的角為45°

【正確答案】D

【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出.

【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)AB=α,A。=>,AA=c,依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，BQ與平面ABCz）所成角為

ch

NBQB,BQ與平面44IB/所成角為/。用A,所以sin30=--=~~,即h=c,

o?LJO1ZJ

222

BxD-Ic-?∣a+h+c>解得a=?∣2c-

對于A,AB=a,AD=h,AB=MAD,A錯誤；

對于B,過8作BE_LAg于E,易知BE_L平面ABCQ,所以AB與平面ABCQ所成角為

NBAE,因為tan∕B4E=f=?-,所以NBAE≠30,B錯誤；

a2

22,22

對于C，AC=?Ja+b=?∣3cCBi-?∣b+c-?[2c-ACkCB∣,C錯誤；

CDa五

對于D,BID與平面BB1C1C所成角為NDB0,sinNDBlC=而

BID2c2

O<ZDB1C<90,所以NOBC=45.D正確.

故選：D.

7.2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十

分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，

是瑞典數(shù)學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三

角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，

重復進行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為3,則圖③中。M?0N的值為（）

N

,M

O

①②③④

A.3√3B.6√3C.6D.6√2

【正確答案】C

【分析】在圖③中，以。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由向量的運算求得OM,ON的

坐標，再由數(shù)量積的坐標表示計算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系,

OM?=2,OM=(2cos-,2sin-)=(l,y∕3),

133

4

H4,即MP=(1,0),

∣P2V∣=∣,由分形知PN//OM,所以PN=

所以O(shè)N=OM+MP+PN

所以O(shè)M?ON=lχ3+GχZ^=6?

26

己知雙曲線。的左右焦點分別為實軸為虛軸為用與，直線與直線與與相

8.G,F2,

交于點。.若。則的離心率等于（

ε=3DB2,C）

A.5B.3C.√3D.√2

【正確答案】A

【分析】連接&區(qū),通過構(gòu)造平行線，由對應線段成比例，解得c=5α,可得雙曲線離心率.

?DF,?

【詳解】如圖所示，DR=3DB,,則EV=3,

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得2分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

22

9.已知雙曲線方程C:二―匕=1,則在該雙曲線中下列結(jié)論中正確的是（）

97

A.實軸長為6B.漸近線方程為y=±gχ

C.焦距是4D.焦點到漸近線的距離是正

【正確答案】ABD

【分析】由雙曲線方程得到C的值，進而得到實軸長，漸近線方程和焦距，利用點到直線距離求

出焦點到漸近線的距離.

22

【詳解】'—二=1中α=3,b=√y,故￠2=/+82=9+7=16,故c=4,

97

則實軸長為2α=6,漸近線方程為y=±2jc=±YZχ,B正確;

a3

焦距為2c=8,C錯誤;

由對稱性，不妨取焦點（4,0）到漸近線3y+J7x=0距離為d=g^L=√y,D正確.

√9+7

故選：ABD

10.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,=I-1（）〃，則下列結(jié)論正確的有（）

A.｛4｝是遞減數(shù)列

B.a6>Q

C.S11>0D.當S“最小時，〃=5

【正確答案】BCD

【分析】由數(shù)列前〃項和為可求數(shù)列通項，然后逐個驗證選項.

2

【詳解】Stl=n-10n,當〃=1時，α,=S1=1-10=-9；

22

當〃22時，an=S11-S,,-1=(n-l0n)-[(n-l)-10(〃-l)]=2n-ll

注意到n=1時也滿足α∣=2xl-ll,

所以數(shù)列｛q｝的通項公式為a,,=2n-??,〃?N*，

%?~%=2,｛a,,｝是遞增數(shù)列，A選項錯誤：

4=2x6-II=I>0,B選項正確；

S11=UfelJlfLi)=Ilfl6>0,C選項正確；

Sa=〃2—10〃=("—5)2—25,"∈N*,當S“最小時，〃=5,D選項正確.

故選：BCD.

11.已知點P(XO,%)是直線/：x+y=4上的一點，過點P作圓O:/+V=2的兩條切線，切點分

別為A,B,連接OAO8,則()

A.當四邊形Q4PB為正方形時，點P的坐標為(2,2)B.IeAl的取值范圍為[指,+8)

C.當，246為等邊三角形時，點尸的坐標為(1,3)D,直線AB過定點

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)距離公式及圓心切點構(gòu)成的直角三角形求解，再利用過定點的判斷法則進行判斷即可.

【詳解】解：

對于A選項：當四邊形。4P8為正方形時，則∣Q4∣=∣O8∣=∣AH=∣3H

則圓0:X?+y?=2=>r=?∣2

.?.∣PO∣=J（揚2+（揚2=2

又點產(chǎn)（%,%））是直線/：x+y=4上一點

設(shè)P(Xo,4-%)

二22即√-

IP0∣=7(XO-O)+(4-%O-O)=λ∕2√-8x0+16=2，?4x0+6=0

該方程A<0,%無解

故不存在點P使得。4PB為正方形，A錯誤；

對于B選項：由A知，∣PA∣?y∣?Pθf-?θAf?y]?Pθf-2

222

.?.∣PO∣=√+(4-x0)=2X0-8X0+16=2(X0-2)+8≥8

.?.∣PO∣2-2N6,貝IJlp4∣≥遙，即Q4的取值范圍是[#,+8)

故B正確；

對于選項C：若三角形Q48為等邊三角形為等邊三角形，易知NAPB=60°

又OP平分/APB

.-.ZAPO=ZBPO=30a

在RJQ40中，由于IQAl=J5

.?.sin30。=n∣OP∣=2√2

?OP?I1

又尸點坐標為：(XO,4-/)

222

.?.X0+(4-X0)=8,即2J√—8/+8=On(XO-2)=0

x0=2,y0=2,故C錯誤；

對于選項D：P(x0,4-?)

222

.?.∣P<9∣=x0+(4-?)=2Λ0-8x0+16

記OP中點為O(字,三五)

則以D為圓心，㈣為半徑的圓與圓O的公共弦為AB

2

???圓。方程為卜—率)+(>_與a)=∣-(2√-8%0+16)

22

整理得X+y-x0x-(4-xo)y=O

聯(lián)立bJyJ%x-(4τ°)y=0,化簡得χ0χ+(4r0)y=2

χ2+y~=2

即得直線方程為XOX+(4-x°)y-2=0

將X=>=；代入方程恒成立；故直線AB過定點(；，；)，D正確.

故選：BD

12.已知正四面體ABC。的棱長為28，其外接球的球心為。.點E滿足AE=ZIA3(0<4<1),

C戶=〃Co(()<〃<1),過點E作平面α平行于AC和BZX平面α分別與該正四面體的棱SC,CD,

AD相交于點M,G,H,則()

A.四邊形EMG”的周長為是變化的

64

B.四棱錐A-田WG”的體積的最大值為上

81

C.當4=’時，平面ɑ截球。所得截面的周長為叵兀

42

14

D.當％=〃=—時，將正四面體ABCC繞EF旋轉(zhuǎn)90°后與原四面體的公共部分體積為一

23

【正確答案】BD

【分析】將正四面體轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)分析運算.對A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理結(jié)合

平行線的性質(zhì)分析運算；對B：根據(jù)錐體體積公式，利用導數(shù)求其最值；對C：根據(jù)球的性質(zhì)分析運

算；對D：根據(jù)正方體分析可得：兩個正四面體的公共部分兩個全等的正四棱錐組合而成，利用錐體

體積公式運算求解.

【詳解】對于邊長為2的正方體A4CA-4BC∣D,則ABCD為棱長為20的正四面體，則球心。

即為正方體的中心，

連接80，設(shè)AClBxDy=N

,；BBlDD∣,BBi=DDi,則BBQQ為平行四邊形

/.BDBtDl,

又；BO〃平面α,片22平面ɑ,

B1D1I平面α,

又；AC.平面α,ACIBlDI=N,AC,BiDiI平面ABC。，

.?.平面1平面A4CZ）∣,

對A：如圖1,

?.?平面α平面ABCA,平面α平面ABC=EM，平面4耳。。平面ABC=AC,

EMBE

.,.EMAC,則=I-A,即EM=(I_/l)AC=2&(1-/1),

ACAB

同理可得：HEGM/.BlDi,HE=GM=2√2λ-EMGHAC,

EM=GH=2近(\-孫

四邊形EMGH的周長L=EM+MG+G4+EH=4j5（定值），A錯誤;

對B：如圖1,由A可知：HEGMBQ,HE=GM2√2Λ>EMGHAC,

EM=GH=2y∕2(l-λ),

■：ABiCD,為正方形，則AC±BfDt,

：.EMG”為矩形,

根據(jù)平行可得：點A到平面α的距離d=/IAA=2Λ,

故四棱錐A—EMGH的體積V=-×2λ×2√2λ×2√2(l-λ)=y(Γ-A3),則

V,=yΛ(2-3A),

2(212

V0<2<l,則當0<∕l<5時，則V'>(),V在［0,5J上單調(diào)遞增，當5<∕l<l時，則V'<(),V

33

g,l）上單調(diào)遞減,

在

264

...當4=；時，V取到最大值上,

381

故四棱錐A—￡MG”的體積的最大值為J,B正確；

81

對C：正四面體ABCo的外接球即為正方體ABCA-A/G。的外接球，其半徑H=百，

設(shè)平面。截球0所得截面的圓心為。I,半徑為r,

當zl=?L時，則Oo=

42

2222

?.?OO1+產(chǎn)=R2,則r=y∣R-OO,=g?，

.?.平面α截球0所得截面的周長為2兀r=JH兀，C錯誤；

對D：如圖2,將正四面體ABe。繞E尸旋轉(zhuǎn)90°后得到正四面體A與GA,設(shè)

AiDiIAD=P,AiCyIBD=K,BλCiIBC=Q,BQ∣IAC=N,

；丸=〃=；,則E尸,P,Q,K,N分別為各面的中心，

.?.兩個正四面體的公共部分為EFPQKN,為兩個全等的正四棱錐組合而成，

根據(jù)正方體可得：EP=母,正四棱錐K-PEQF的高為gAA=1,

故公共部分的體積V=2Vκ=2×?×1X√2×√2=,D正確；

故選：BD.

思路點睛：對于正四面體的相關(guān)問題時，我們常轉(zhuǎn)化為正方體，利用正方體的性質(zhì)處理相關(guān)問題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.拋物線y=2f的準線方程是.

【正確答案】y=~-

8

【分析】

先將拋物線方程化為標準形式，求出，的值，即可求解.

【詳解】由y=2f得拋物線方程為χ2=_1）,,所以〃=]_,

24

所以拋物線y=2√的準線方程是γ=-^=-∣,

故答案為.y=——

14.正三棱柱ABC-44G的所有棱長都相等，則異面直線A與與BC所成的角余弦值是

【正確答案】?

【分析】分別取的中點LMN,則ABl//LM,BGzzMN,進而NLMN（或其補角）

是直線ABl與Ba所成角，然后解出.LMN的三邊，進而用余弦定理即可解得.

【詳解】設(shè)三棱柱棱長為2,取AB,35,B∣G,BC的中點分別為乙,M,N,P,連接LM,MN,LN,

：.ABi//LM,BG〃MN,設(shè)直線AB∣,BG所成角為a,cosα=∣cosNLMN

連接LP,PN,容易判斷尸，易知：LP=I,NP=2,：.LN=dL產(chǎn)+N產(chǎn)=石,

易知：LB=BM=?,NLBM=90°,：.LM=^LB-+BM2=√2-同理?LM=√Σ

..??2+2—511

在4LMN中，由余弦定理：CoSNrLMNr=-----=~~-==--,：.cosa=∣cosZLMN∣=—.

2×√j2×√j244

故答案為

/2—1,〃為奇數(shù)

15.若數(shù)列q,,%I傭*,則q+/+%+%+…+^99+400=---------

n,〃為偶數(shù)

【正確答案】5000

【分析】按奇偶項分組，再利用等差數(shù)列的求和公式代入計算即可.

［詳解］4+%+%+%"I-----1^%9+"∣OO=%-----。99)+(“2+“4+…+"100)，

,t,,π-τzs50(a∣+%)50(0+98)C

由已知可得4+%-l----1-^99=-------2-------=-------2------=2450,

a2+a4+---+ai00=5。(％尸00)=50(2700)=255θ^所以原式=2450+2550=5(X)().

故答案為5000.

本題主要考查數(shù)列求和問題，涉及分組求和與公式法求和，屬中等難度題.

尤2V2

16.過雙曲線「：三—方=l(4>O∕>O)的左焦點6的動直線/與『的左支交于A、B兩點，設(shè)「

的右焦點為F2.若存在直線/,使得AF2LBF2,則Γ的離心率的取值范圍是.

【正確答案】(6」+&］

+%；

【分析】由題可設(shè)/為％=〃)一。，A(x,,y),B(A2,%),聯(lián)立/與雙曲線的方程可得My?、X

根據(jù)Ag_LB居得KA?=0,將Xy2、X+%代入可得關(guān)于m的表達式,根據(jù)m范圍和yly2<O

可求離心率范圍.

【詳解】依題意知直線/的斜率不為0,設(shè)/的方程為x=2Y-c,

x=∕ny-c

222224

聯(lián)立《爐y2,消去X,(?w-a)y-2bcmy+b=0,

b-F=1

9h2rmh4

設(shè)A(χ∣,y),B(Λ?,%),則由△>()知,y1+y2=τn一,必=丁三一F'

b'm~-a^b^m-a^

由Ag寫得EA?g8=0,

故(％-C)(W-C)+%%=°，即(/孫-2c)W%-2c)+χy2=0,

2

整理得("P+1)y∣-2c∕n(yl+y2)+4c=0,

將)'1>2、X+%代入整理得,(加2+1)"-4w202/^+402^24-/)=0,

則(n?+1)//=4α>2,.?./+1=4；：N],故44,2Z(c2_q2)2,

c4+a4-6a2c2≤0-兩邊除以03^/-6e2+l≤0,)W?3-2√2<e2≤3+2√2，

XVe>l,.?.l<e2≤(l+√2p故l<e≤l+√∑,

又A、B在左支且/過片，.?.χ%<O,即"~7<0,故布<、，

b^m--a~b~

...機2+1=l?r<.+1,4鳥2<a2b2+/=〃(/*對=bιc2,

BP4a2<b2=c2-a2>JS1J5a2<c2>故e'S，即e>J?,

綜上：√5<e≤l+√2.BPe∈(75,l+72].

故答案為.(√5,l+√2]

本題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線/方程X=中Y-C里面〃?的范圍，得到關(guān)于“、b、C的不等式，從而求得離

心率的范圍.

四、解答題

17.ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,已知石“cosC=CSinA，b-C-1.

(1)若。=4,求_ABC的周長；

(2)若COSB=L,求ABC的面積.

7

【正確答案】(1)18(2)10√3

【分析】(1)由正弦定理邊化角可求出C,結(jié)合余弦定理c?=a?+〃—CoSC,由b-c=l代換》，

求得c,b,進而得解;

hcr÷1C

(2)由正弦定理二一=-一,b=c+l代換得二一=-一,求出sinB,可解得b,c,由正弦

sinBsinCsinBsinC

面積公式S2BCCSinA=gz?CSin(3+C)即可求解.

【小問1詳解】

因為GaCOSC=CSinA，所以GSinACOSC=SinCSinA.

又SinAWO,所以SinC=geosC，即tan。=G.又O<Cv兀，所以C=§.

c2=∕+∕-"=i6+(c+ι)2-4(c+ι)=c2-2c+13,

1315

解得c=],則人=萬.故JIBC的周長COBC=Q+H+C=18;

【小問2詳解】

因為CoSB=L,所以sin8=±叵

77

c+1_c

由一--=—--,i>=c+l,得4ΛQ?∣3，解得c=7,b=8.

sinBsinC————

1I

?besinA=^?csin(β+C)=28×=10百.

故一ABC的面積SAABC—+—×

227

18.等比數(shù)列｛%｝中,4=2,且。2,4+%，。4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）若數(shù)列功Iog2fl,l+l-Iog2fl/求數(shù)列也｝前〃項的和卻

【正確答案】（1）4=2"

⑵TLT

【分析】（1）設(shè)出公比，得到。2+4=2（卬+%），求出公比，得到通項公式;

,111

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到a=-~Z=------三，裂項相消法求和.

zn/1+1

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q.

因為4=2,且。2,6+%，。4已成等差數(shù)列，

所以O(shè)2+“4=2卜4+?3）,

因為4+%=4+44?=q(ι+q2)wθ,所以'￡+：，=2，即q=2,

n

所以數(shù)列｛?！埃耐椆綖閍l,=2×2-'=2".

【小問2詳解】

由(1)得數(shù)列｛4｝的通項公式為%=2",

,1111

所以數(shù)列b,,="；-----------；-------=Z.X=----T

Iog20,,+1-Iog2∕ι(∏+l)nn+↑

所以數(shù)列｛〃｝前〃項的和（=11-3）+[3-；）+2+[：-/7）=1-/7-

π

19.如圖，在多面體ABa>E中，平面ABCz)J,平面Λ5E,AD±AB,ADHBC,NBAE=—,

2

AB=AD=AE-2BC=2,尸是AE的中點.

(1)證明：BF〃平面CDE；

(2)求點尸到平面CDE的距離.

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)取OE中點G,結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可證得四邊形BCGF為平行四邊形，從而得到

BFHCG,由線面平行的判定可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得ADj"平面ABE,以A為坐標原點建立空間直角坐標系，根據(jù)點到面距

離向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

取。E中點G,連接RG,CG,

",G分別為SDE中點，“G//A。，F(xiàn)G=-AD,

又ADHBC,BC=-AD,.-.BCHFG,BC=FG,

2

四邊形BCGb為平行四邊形，.?.3F7/CG,

又BFz平面COE,CGU平面CDE,.?.8/7/平面CDE

【小問2詳解】

平面ABeD工平面A3E,平面ABCZ)C平面ABE=AB，ADJ.AB，4)U平面ABC￡),

π

.?.AT),平面A3E,又NBAE=一,

2

則以A為坐標原點，AB,AE,Afj正方向為MV*軸，可建立如圖所示空間直角坐標系,

則F(0,1,0),C(2,0,l),O(0,0,2),￡(0,2,0),

.?.CD=(-2,0,1),D￡=(0,2,-2),FE=(0,1,0),

設(shè)平面CDE的法向量"=(x,y,z),

CD`n=-2x+z=O

則令X=1,解得：y=2Z=2、.*."=(1,2,2),

DE?n=2y-2z=O

?b'E-n2

???點尸到平面CDE的距離d

H3

20.已知。為坐標原點，拋物線C：V=2px(p>0)的焦點為凡P是C上在第一象限內(nèi)的一點，PF

與X軸垂直，|0"=3石.

(1)求C的方程；

(2)經(jīng)過點F的直線/與C交于異于點P的A,B兩點，若RW的面積為186，求/的方程.

【正確答案】(1)r=12x

(2)y=&x-3后或y=-λ∕Σx+3>∕Σ.

【分析】(1)根據(jù)拋物線方程以及P的位置關(guān)系，由IOH=3店即可計算拋物線方程；(2)由題意

可知直線/的斜率一定存在，設(shè)出直線方程并與拋物線聯(lián)立方程組，利用弦長公式并根據(jù).A43的面

積為186即可求得直線的斜率，得到直線方程.

【小問1詳解】

由題可知，點P的坐標為

因為IoH=3石，所以+p2=45,解得P=6或P=—6(舍去)，

故C的方程為V=12x.

【小問2詳解】

由題可知，P(3,6),所以直線/的斜率一定存在，

可設(shè)/的方程為V=左(*一3),A(%,y),B^x2,y2).

y=k(x-3)

聯(lián)立方程組12二，

Iy=⑵

整理得女2%2_(6%2+12卜+9攵2=0,

則xl+x2=6k,X1X2=9.

所以，Q46的面積S3，(X]+/F-4中2=3^^=18W)，

=^∣PF∣∣ΛI-Λ2∣=

2

解得公=2或公=一§(舍去)，

故/的方程為y=y∕2x—3?∣2或y=-Ox+3JΣ.

21.如圖1,在直角三角形ABC中，NC為直角,NA=30°,。在AC上，且OA=OC=6,作

DEJ.AB",將VAQE沿直線DE折起到E所處的位置，連接PB,PC,如圖2.

(2)若二面角P—DE-A為銳角，且二面角P—8C—E的正切值為渲，求PB的長.

9

【正確答案】(1)證明見解析

⑵√∏

【分析】(1)由題意知BElZ)E，由面面垂直的性質(zhì)定理可得BE_L平面PDF，進而可得BE，PZ)；

(2)作尸所在的直線于點”,由題意可得知OEJ所以即，平面PEB，即可

得平面PBE_L平面BCOE,作HG_LBC于點G,連接PG，進而可得NPG”為二面角

P-BC-E的平面角，設(shè)APGH=θ,則tan。=里=巫,設(shè)CG=XlOVX,則

GH9

4"=2%〃￡=3-2蒼〃8=4-2》，進而可得華三魚=婭，解得光=',再由/>8=7^^7京，

2√3(2-x)92、

計算即可得答案.

【小問1詳解】

證明：由題意知E，

又平面PDE1.平面BCDE,平面PDE、平面BCDE=￡>￡8EU平面BCDE，

所以_L平面尸DE?

又PDU平面PDE，

所以BE-LPD；

【小問2詳解】

解：由題意知OELBE,OELPE,

PECEB=E,PEU平面PEB,EBU平面PEB,

因而EoJ_平面PEB，

又EDU平面BCDE,因而平面PBE_L平面5QDE.

如圖，作尸〃J.所在的直線于點，，

又平面PBEC平面BCDE=BE,PHU平面PBE,所以PHL平面BCDE.

作“GLBC于點G,連接PG,

則NPGH為二面角P-BC-E的平面角，

設(shè)ΛPGH=Θ,則tan，=也，

9

在.ABC中，∠?C=90°,ZA=30?L>A=DC=√3,

3

所以AB=4,BC=2,AE=二，

2

設(shè)CG=X(O<x<q),貝IjA'=2x,"E=g-2x,∕ffi=4-2x,

因而尸”=J?一(∣-2x)=y∣6x-4xi,HG=曰HB=6Q-x),

在直角三角形的中，tad器=手即密與，

解得X=L或X=3(舍去)，此時尸H=虛,H8=3,

211

從而PB=-JPH2+HB2=√π.

2222

22.已知橢圓C：*+我=i(α>∕,>0)的長軸為雙曲線會―3=1的實軸，且橢圓C過點

P(2,l)?

(1)求橢圓C的標準方程:

(2)設(shè)點A,B是橢圓。上異于點尸的兩個不同的點，直線Q4與PB的斜率均存在，分別記為占，

k2,若Z*2=