2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題1(含解析)

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知直線經(jīng)過點工(3,-1)和點8(0,2),則直線48的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.135°

【正確答案】D

【分析】設(shè)直線的傾斜角為。，求出直線的斜率即得解.

【詳解】設(shè)直線的傾斜角為口，

由題得直線的斜率為^=tana=-=-1,

-3

因為0"4a<180",

所以a=135”.

故選：D.

2.若直線/的一個方向向量為；=(-2,-2,-4),平面a的一個法向量為；:(1,1,2),則直線/與

平面a的位置關(guān)系是()

A.垂直B.平行

C.相交但不垂直D.平行或線在面內(nèi)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)；2；得到J與；共線，即可得到直線/與平面&垂直.

【詳解】因為；:-2；，所以)與；共線，直線/與平面a垂直.

故選：A.

3.疫情防控期間，某單位把120個口罩全部分給5個人，使每人所得口罩個數(shù)成等差數(shù)列,

且較大的三份之和是較小的兩份之和的3倍，則最小一份的口罩個數(shù)為()

A.6B.10C.12D.14

【正確答案】C

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式及等差數(shù)列通項公式聯(lián)立方程組解出即可.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項為4,公差為d>0,由條件可知，

.=120,

%+%+%=3(q+%)，

即3（q+3d）=3（2《+d）,

叫fi4+2J=204，

解得％=12,d=6,

所以最小一份的口罩個數(shù)為12個，

故選：C.

4.雙曲線C:4-《=l（a>0,b>0）的離心率為Y6,則C的一條漸近線方程為（）

ab-2

A.5/2x-y=0B.x--0

C.y[6x-y-0D.x-y/3y=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)離心率計算公式，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】因為C的離心率為e=j+0=當(dāng),所以]=日，

所以漸近線方程為x士島=0.

故選：B.

5.在各棱長均相等的直三棱柱/8C-44G中，點”在84上8M=2M用，點N在ZC上

且NN=2NC,則異面直線4M與N8所成角的正切值為（）

A.6B.fC.乎D.當(dāng)

【正確答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量的方法求異面直線所成角即可.

【詳解】設(shè)棱長為3,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,0,3),M-^-,-,2,B*，于0，N(0,2,0),

\/\7

.?.瑞〔(乎B，-1,惹=卜苧,；,0.設(shè)異面直線4M與BN所成角為0,

14M切刈63sS'/T7

則cosd=1L*,...tan0=4，，異面直線4加與BN所成角的

V10XV7356

正切值為叵.

6

故選：B.

6.圓(x-l)2+/=4截直線/：y=Mx-2)+l所得的弦長最短為()

A.—B.1C.y/2D.2V2

2

【正確答案】D

【分析】先判斷得點”在圓C內(nèi)部，再結(jié)合圖像與弦長公式得到當(dāng)CM_L/時，弦長取得最

小值，由此得解.

【詳解】因為直線/：y=Mx-2)+l恒過定點A/(2,l),又(2-1)2+仔＜4,

所以點"在圓C：(x-iy+/=4內(nèi)部，

因為圓C：(x-l)2+/=4的圓心為C(l,0),半徑r=2,

因為弦長為恒邳=2護(hù)二/=2j4-/,當(dāng)d最大時，弦長卜用最短，

所以當(dāng)CM_U時，〃最大，則弦長|力卻最短，

又\CM\=^/(2-1)2+(1-0)2=41，

所以|力卻,““,=2y/4-\CMf=2V2.

用為其左、右焦點，過右焦點鳥的直線與雙曲線右支交于

..\AF.3

點4和點8,以怛片為直徑的圓恰好經(jīng)過4點，且試=彳，則該雙曲線的離心率為（）

A.@B.75C.—D.V10

22

【正確答案】C

【分析】由幾何關(guān)系及雙曲線的定義列方程即可求得離心率.

【詳解】如圖:

\AF\3

由題可知/反4耳=90。，由墻=1，

可設(shè)=3x,則AB=4xfBF、=5x

設(shè)48=九則牝=4x-y

因為4、6都在雙曲線上，

所以4￡一46二54-8居=2a

即3x-y=5x-（4x-y）=2a

解得x=y="

又FH=2c=dAF；+AF；=Mx,

所以c=?x,

2

則離心率e=￡=8.

a2

故選：C.

8.數(shù)列｛%｝滿足：％=2,=記數(shù)歹■“乜川｝的前〃項和為加若S“<m

an+\an

恒成立，則實數(shù)〃2的取值范圍是()

A.[!,+?>)B.C.[2,+oo)D.p+ooj

【正確答案】C

【分析】由條件求出數(shù)列｛對｝的通項公式，再求數(shù)列｛%?《川｝的前〃項和為，及其范圍，

再由條件s,,<m恒成立求機(jī)的取值范圍.

【詳解】因為1--'=1(〃eN*),q=2,所以數(shù)列為首項為:，公差為1的等差數(shù)

-2

11,八，2n-l4J11>

列，所以一=3+(〃_l)xl=-,所以—=23―；-m)

an22(2〃-1)(2〃+1)v2/?-12〃+1)

所以數(shù)列｛““q+J的前〃項和為S,=2(l_；)+2J+…+2(達(dá)_

所以S.=2(l-不二］,又〃eN*,所以S“<2,

k2n+lJ

因為5.<m恒成立，所以機(jī)22,

故實數(shù)取的取值范圍是[2,+8),

故選：C.

二、多選題

9.已知空間向量2(-2,7,1)工:(3,4,5),則下列結(jié)論正確的是()

XZ"\,,

A.(2a+6)//aB.5同二6卜|

x,x弋D.，在。上的投影數(shù)量為-變

C.a_L(5a+4b)

2

【正確答案】BD

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，驗證向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解決.

九八，、人，、—127

【詳解】由題得2a+b=(-l,2,7),a=(-2,T,I),而一工彳工卜故A不正確：

-2-11

因為I”)=|=5\及，所以5k|=6卜卜故B正確：

因為二(5禽4同=(-2,-1,1)電,11,25)=10工0,故C錯；

.--I4/X學(xué)箴'-5V2

因為。在b上的投影數(shù)量為同cos(a,6)=優(yōu)=二方=-彳，故D正確；

故選：BD.

10.已知圓/+/=4上有且僅有三個點到直線/的距離為1,則直線/的方程可以是()

A.x-y+\=0B.7x-y+50=OC.x-y+-j2=0D.x=-l

【正確答案】BCD

【分析】將圓Y+V=4上有且僅有三個點到直線/的距離為i,轉(zhuǎn)化為圓心到直線/的距離

d=\,根據(jù)圓心到直線距離公式計算即可.

【詳解】由題知，圓》?+/=4,圓心為。(0,0),半徑為r=2,

因為圓V+必=4上有且僅有三個點到直線I的距離為1,

所以圓心到直線/的距離d=l,

對于A,圓心為。(0,0)到直線x-y+l=0的距離1=以=交，故A錯誤；

V22

對于B,圓心為0(0,0)到直線7x—y+5&=0的距離d=Eg=l，故B正確；

572

對于C,圓心為0(0,0)到直線x-y+五=0的距離］=F3=1,故C正確；

V2

對于D,圓心為0(0,0)到直線x=-l的距離1==故D正確：

故選：BCD

11.如圖，己知正方體/BCD—44GA的棱長為2,E,F,G分別為AB,8c的中點,

以下說法正確的是()

A

A.三棱錐C-EFG的體積為1B.4c，平面EFG

C.42〃平面MGD.平面EG/與平面N8C￡＞夾角的余弦值為

~6

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)錐體體積公式求得三棱錐C-E尸G的體積.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

判斷BCD選項的正確性.

【詳解】A選項，SrFF=2x2--xlxl-lxlx2--xlx2=4---l-l=-,

22222

所以七.MG=%-C"=gx|x2=l,A選項正確?

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

4(2,0,2),C(0,2,0),R(0,0,2),E(l,0,0),1(2,1,0),G(l,2,2),

4d1(-2,2,-2)，4心(-2,0,0),〃1^,1,0)EG=(),2,2),

A.CEG^Q,AXC-EF^Q,所以4c_LEG，4CJ_EF,

由于56門后F=區(qū)56二產(chǎn)＜3平面用6,所以％C_L平面EFG,B選項正確.

平面EFG的一個法向量為A,C=(-2,2-2),

40-4C=4M0,所以4。與平面EFG不平行，C選項錯誤.

平面ABCD的法向量為〃=(0,0,1),

設(shè)平面EFG于平面ABCD的夾角為。,

I^＜Xi

則cos。=~7r='-，D選項錯誤.

明加||2。3

故選：AB

12.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)將1到1000這1000

個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,其前〃

項和為S,,則()

A.《0-網(wǎng)=14B.qo=127

C.幾=640D.｛?！埃灿?2項

【正確答案】BCD

【分析】先求得數(shù)列｛?！埃耐椆綖?14〃-13(〃472),進(jìn)而求得q0-08的值判斷選項人；

求得生。的值判斷選項B；求得九的值判斷選項C；求得｛6｝的項數(shù)判斷選項D.

【詳解】將1到1000這1000個數(shù)中能被2除余1且被7除余1的數(shù)按

從小到大的順序排成一列，構(gòu)成首項為1末項為995公差為14的等差數(shù)列

則數(shù)列｛%｝的通項公式為?！?1+14(?-1)=14?-13(〃<72)

則數(shù)列｛凡｝共有72項.故選項D判斷正確；

q。一心=2x14=28.故選項A判斷錯誤；

a10=14x10-13=127.故選項B判斷正確；

Slo=|xlOx(I+127)=640做選項C判斷正確.

故選：BCD

三、填空題

13.若直線4：米+3y+3=0與心x+(4-幻y+l=0平行，則火的值為

【正確答案】1

【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列出方程，解之并進(jìn)行檢驗，排除重合的情況即可求解.

【詳解】由已知得，lx3-(4-左)k=0,即公一"+3=0,解得％=1或%=3.

當(dāng)左=1時，4：x+3y+l=O,4：x+3y+3=0,顯然兩直線平行：

當(dāng)％=3時，(：x+y+l=O,化簡后4：x+y+l=0,顯然兩直線重合，舍去.

所以左=1.

故答案為.1

14.經(jīng)過原點的平面a的一個法向量為5=(3,1,2),點A坐標(biāo)為(0,1,0),則點A到平面a的

距離為.

【正確答案】—##-^-714

1414

【分析】使用空間向量法求點到平面的距離，點A到平面a的距離可視為人在日」(3,1,2)上

的投影大小.

【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點為O,則0j1(0,1,0),點A到平面a的距離可視為在，;=(3,1,2)上的投

影大小,

-X

(0,1,0)43,1,2)1

故4=

HV14-714-14

唔

15.已知直線/：4x-3y+8=0,若尸是拋物線/=4x上的動點，則點P到直線/和它到V軸

的距離之和的最小值為

7

【正確答案】-

【分析】首先利用拋物線的定義，將拋物線上的點到y(tǒng)軸的距離轉(zhuǎn)化為其到拋物線的焦點的

距離減1,從而將其轉(zhuǎn)化為求拋物線的焦點到直線4x-3y+8=0的距離減1,從而求得結(jié)果.

127

+|PS|=(|P//|-1)+|PS|=(|PF|+|PS|)-1>dF^-\=--l=-,

7

故答案是

該題考查的是有關(guān)拋物線上的點到兩條定直線的距離之和的最小值問題，涉及到的知識點有

拋物線的定義，利用拋物線的定義將距離轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到焦點的距離和到定直線的距

離之和的最小值問題，屬于簡單題目.

16.我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)

之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，所有被3除余2的正整數(shù)按從小

到大的順序排列組成數(shù)列｛凡｝,所有被5除余2的正整數(shù)按從小到大的順序排列組成數(shù)列

圾｝,把數(shù)列｛4｝與圾｝的公共項按從小到大的順序排列組成數(shù)列k｝,則數(shù)列匕｝的第

10項是數(shù)列也｝的第項.

【正確答案】28

【分析】根據(jù)給定的條件，求出數(shù)列｛凡｝,也,｝的通項公式，再推導(dǎo)出數(shù)列上“｝的通項即可

計算作答.

(詳解】依題意，數(shù)列解“｝,｛b?｝的通項公式分別為=3〃-1"=5〃-3,令4=&%GN*,

即有頭一1=5加-3，則Z=—=2m-—,因此〃2+2=3/?,p€N，,即〃z=3p-2,pwN",

有Cp~^3p-2，

于是得數(shù)列｛%｝的通項為。2=5(3〃—2)-3=15〃-13,c10=137,由5〃-3=137得:

〃=28,

所以數(shù)列｛。｝的第10項是數(shù)列｛2｝的第28項.

故28

四、解答題

17.在等差數(shù)列｛4｝中，％+&=12,%+%=16.

(1)求等差數(shù)列｛〃,,｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛2a“+〃J是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列抄“｝的前〃項和S”.

【正確答案】⑴a,,=2〃-l；

(2)2"-2M2-1.

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列出方程組求解即可；

(2)設(shè)數(shù)列｛2%+也,｝的通項公式為c“，由等比數(shù)列公式求出可得",

再由分組求和得解.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，

a}+4=122q+5d=12=1,

由題知解得

出+%=162q+7d=16d=2.

an=1+2(w—1)=2/7-1.

(2)設(shè)數(shù)列｛2a“+4｝的通項公式為c.，

則CT,—"，

.?也=c,,-2%=2"T-2(2〃-1),

則S“=(l+2+4++2"-')-2(1+3+5++2n-\)

1—2"〃(1+2〃-1)

=-----------2?-------------------=2—2/7-1.

1-22

18.已知點尸圓C:(X-3)2+「=4.

(1)判斷點P與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵當(dāng)f=5時，經(jīng)過點P的直線〃與圓C相切，求直線〃的方程.

【正確答案】(1)點P在圓C外，理由見解析；

(2)工=5或41+3〉一2=0.

【分析】(1)求出|PC|與半徑，?比較，即可得出；

(2)當(dāng)直線〃的斜率不存在時，直線〃的方程為x=5,滿足條件：當(dāng)直線〃的斜率存在時,

設(shè)直線〃的方程為y+6=-5),根據(jù)圓心到直線的距離d=r列出方程,求解即可得到%的

值，進(jìn)而解出切線方程.

【詳解】(1)點P在圓C外.

由已知得，圓心C(3,0),半徑廠=2.

又|PC|=+(f+l)2=J2--4/+I0=72(/-1)2+8>2A/2>2=T>

所以，點尸在圓C外.

(2)當(dāng)t=5時,點尸(5,-6).

①當(dāng)直線〃的斜率不存在時，直線〃的方程為x=5,圓心C(3,0)到直線的距離為2等于半

徑，所以直線x=5是圓的切線；

②當(dāng)直線〃的斜率存在時，設(shè)直線〃的方程為y+6=a(x-5),即依-y-5"6=0,

佻-0-5A-6|睇+6|4

圓心C(3,0)到直線〃的距離4==/幣=2,解得"

4

所以直線〃的方程為y+6=-：(x-5),即4x+3y-2=0.

綜上，直線〃方程為x=5或4x+3y-2=0.

19.如圖，在四棱錐P-/8co中，P/_L平面月8CD,正方形4BCD的邊長為2,PA=4,

設(shè)E為側(cè)棱尸C的中點.

P

(1)求四棱錐的體積V；

(2)求直線BE與平面PCD所成角0的大小.

Q

【正確答案】(1與;

力.2而

(2)arcsin.

【分析】(1)利用錐體的體積公式即得：

(2)利用坐標(biāo)法，根據(jù)線面角的向量求法即得.

【詳解】(1)在四棱錐P-/8co中，平面/BCD,正方形/BCD的邊長為2,PA=4,

E為側(cè)棱PC的中，

所以，點E到平面Z8CD為高人=1尸4=2,

2

又因為S正方形"CD=4,

11Q

所以，四棱錐E-/8C。的體積％=正方3B87=§x4x2=§；

(2)如圖，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，

則8（2,0,0）,C（2,2,0）,尸（0,0,4）,￡（1,1,2）,0（0,2,0）,

---Fuuu

所以8E=（-1,1,2）,0P=（0,-2,4）,DC=（2,0,0）,

A八

―/.n-DP=-2y+4z=0

設(shè)平面PCD的法向量〃=（x,y,z）,則

n-DC=2x=0

取y=2,得；=（0,2,1）,

因為直線BE與平面尸c。所成角為e,

質(zhì)44_2回

sin0=

忸耳卜「孤石一15

/.0-arcsin-------,

15

因此，直線8E與平面PCD所成角為arcsin2叵.

15

20.已知數(shù)列｛4"｝的前"項和為S"，q=l,且5“=2S,I+1(〃€N，,W22).

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)b?=nan,求數(shù)列｛或｝的前"項和7；.

【正確答案】(l)a"=2"T

⑵7；=("-l)x2"+l

【分析】(1)根據(jù)an+I=S?+i-S.作差可得%=2%,再求出出,即可得到■=2,從而得

a\

到｛〃.｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可得到其通項公式；

(2)由(1)可得4=〃.2"T,利用錯位相減法求和即可;

【詳解】(1)解：因為S,,=2S,I+l(〃eN,,〃22)①，

所以S同=2S,+1②,

②一①得—S,=2S"+1-(2S?.,+1)即w=2a?,

所以&=4■=%=???=2,

a244

又當(dāng)〃=2時，S2=2S,+1,又q=l,所以%=2,所以a=2,

a\

所以空=2("eN),所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以。"=2"，

(2)解：由(1)可得=〃?2"T,

所以7；=1x20+2x21+3x22+4X23+...+(M-1)X(I)"-2+wx2"-1,

則27；=1x2,+2x2?+3x23+4x2,+...+("-1)X2"T+”*2"

i_y

兩式相減得，-7；=20+2I+22+23+~+2'T-"X2"=L^--wx2n=-l-(w-l)x2"

1—2

所以7；=(〃-1)*2'%1,

21.如圖，已知四棱錐P-Z8CZ)的底面為直角梯形，平面平面

ABCD,AD//BC,ADLCD,且=2BC=2CD=4,PA=PD=2&,AD,的中點分別是

0,G.請用空間向量知識解答下列問題:

(1)求證：0G，平面POC；

(2)求二面角O-PG-O的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析；

⑵返.

11

【分析】(1)先證明O8,OZ),OP兩兩相互垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明

OG1OC,OG1OP,再由線面垂直的判定定理得證：

(2)利用向量法求出二面角的余弦值即可.

【詳解】(1)連接。8,由。W/8C,0￡>=BC知四邊形08co是平行四邊形，

又AD1.CD,所以

因為P/=P。，。是/。的中點，所以尸01Z。，

又平面平面是兩平面交線，POu平面尸Z3,

所以P。/平面Z8C。，

因為O8u平面為8cD,所以尸0,08,

即08,8,0P兩兩相互垂直，

.??以。為坐標(biāo)原點，。8,。。,?！杆谥本€分別為*//軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

.,.OPAPA2-0A?=我二=2,

則0(0,0,0),G(1,T,0),C(2,2,0),P(0,0,2),Z>(0,2,0).

OG=(1,-1,0),OC=(2,2,0),O尸40,0,2,

OG-OC=(l,-1,0)-(2,2,0)=0,OG-OP=(1,-1,()(0,0Q=(，

OG1OC,OG1OP,

又OCOP=O,OC,OPu平面尸oc,

OGY^POC.

(2)由(1)知OGJ_OC,又PO上平面/BCD,OCu平面/BCD,

所以POJLOC,由OGPO=O,OG,OPu平面OPG,

所以O(shè)C_L平面。尸G,

故平面OPG的一個法向量為〃2=（2,2,0）,

因為OG=(1,-3,0),PG=(l,-l,-2).

設(shè)平面Z）0G的一個法向量為〃=（xj,z）,

x=3,

則，之吟0,即

xx-3y/==0,0取…

解得y=l,

n.PG=0,

z=1.

故平面。尸G的法向量為〃=（3,1,1）,

設(shè)二面角。-尸G-。的大小為。，由圖可知。為銳角,

82y/22

/.cos6=cos

產(chǎn)『2丘?拒一11

故二面角O-PG-O的余弦值為2叵

11

22.已知雙曲線「：5一/=1（.>0/>0）的焦距為4,且過點P2

（1）求雙曲線r的方程;

（2）過雙曲線r的左焦點F分別作斜率為區(qū)用的兩直