第03講平行線的性質（知識解讀達標檢測）

第03講平行線的性質【題型1利用平行線性質求角度】【題型2利用平行線性質解決三角板問題】【題型3利用平行線性質解決折疊問題】【題型4平行線性質的實際應用】【題型5利用平行線的判定與性質的綜合】【題型6尺規(guī)作圖】考點1：平行線性質性質（1）：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠1=∠5（兩直線平行，同位角相等）性質（2）：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內錯角相等。幾何語言：∵a∥b∴∠3=∠5（兩直線平行，內錯角相等）性質（3）：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補。幾何語言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（兩直線平行，同旁內角互補）【題型1利用平行線性質求角度】【典例1】（2023秋?漣源市期末）如圖，直線m∥n，點A在直線n上，點B在直線m上，連接AB，過點A作AC⊥AB，交直線m于點C．若∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：如圖所示，∵m∥n，∴∠CAD+∠1＝180°，∴∠1+∠BAC+∠2＝180°∵AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∵∠1＝50°，∴50°+90°+∠2＝180°，∴∠2＝40°，故選：C．【變式11】（2022秋?芮城縣期末）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：AB∥CD，∠BAE＝94°，∠E＝28°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．122° B．120° C．118° D．115°【答案】A【解答】解：延長DC交AE于點F，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DFE＝94°，∵∠DCE是△CEF的一個外角，∴∠DCE＝∠DFE+∠E＝122°，故選：A．【變式12】（2022秋?白銀期末）一桿古秤在稱物時的狀態(tài)如圖所示，已知∠1＝85°，則∠2＝（）A．15° B．85° C．95° D．115°【答案】C【解答】解：如圖，根據(jù)生活意義，得到a，∴∠3＝∠1＝85°；∵∠3+∠2＝180°，∴∠3＝95°．故選：C．【變式13】（2023秋?前郭縣期中）如圖，把一根鐵絲折成圖示形狀后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，則∠B等于（）A．60° B．80° C．100° D．130°【答案】D【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，∴∠E＝80°﹣30°＝50°．∵AB∥DE，∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．故選：D．【題型2利用平行線性質解決三角板問題】【典例2】（2023?新城區(qū)校級一模）如圖，直線m∥n，含有45°角的三角板的直角頂點O在直線m上，點A在直線n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．15° B．25° C．35° D．45°【答案】B【解答】解：過B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故選：B．【變式21】（2022秋?新絳縣期末）將等腰直角三角形和直尺按圖中方式疊放在一起，若∠1＝76°，則∠2的度數(shù)為（）A．14° B．31° C．36° D．76°【答案】B【解答】解：∵尺子的對邊平行，∴∠4＝∠3，∵∠＝76°，∴∠3＝180°﹣90°﹣76°＝14°，∴∠4＝∠14°，∴∠2＝45°﹣14°＝31°．故選：B．【變式22】（2022秋?鄧州市期末）如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若∠1＝60°15′，則∠2的大小為（）A．60°15′ B．39°45′ C．29°85′ D．29°45′【答案】D【解答】解：如圖，由直尺兩邊平行，可得：∠1＝∠3＝60°15'，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°15'＝29°45'，故選：D．【變式23】（2022秋?淇縣期末）如圖，將直尺與含45°角的直角三角形疊放在一起，若∠2＝35°，則∠1的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解答】解：如圖，∵∠ACB＝90°，∠2＝35°，∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣35°＝55°，∵直尺對邊平行，∴∠1＝∠3＝55°．故選：C．【題型3利用平行線性質解決折疊問題】【典例3】（2023秋?蘄春縣期中）如圖，將長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C的對應點為E．若∠CBD＝35°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：由折疊的性質可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故選：B．【變式31】（2023秋?長治期中）如圖，把一張對邊互相平行的紙條折疊，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則∠BFD′的度數(shù)為（）A．112° B．116° C．138° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠EFB＝32°，∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，∴∠EFD′＝∠EFD＝148°，∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°，故選：B．【變式32】（2023秋?臨渭區(qū)期中）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點D落在邊AB上的點D′處，點C落在點C′處，若∠AD′M＝50°，則∠MNB的度數(shù)為（）A．40° B．70° C．80° D．100°【答案】B【解答】解：∵在正方形ABCD中，∠A＝90°，∴∠AMD′＝90°﹣∠AD′M＝90°﹣50°＝40°∴∠DMD′＝180°﹣∠AMD′＝180°﹣40°＝140°，由折疊可得，∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠MNB＝∠DMN＝70°．故選：B．【變式33】（2023秋?橋西區(qū)期中）如圖，矩形紙片ABCD，M為AD邊的中點將紙片沿BM、CM折疊，使A點落在A1處，D點落在D1處，若∠1＝32°，則∠BMC＝（）A．74° B．106° C．122° D．148°【答案】B【解答】解：∵∠1＝32°，∠AMA1+∠1+∠DMD1＝180°，∴∠AMA1+∠DMD1＝180°﹣32°＝148°．∴∠BMA1+∠CMD1＝74°．∴∠BMC＝∠BMA1+∠CMD1+∠1＝74°+32°＝106°．故選：B【題型4平行線性質的實際應用】【典例4】（2023?廣西）如圖，一條公路兩次轉彎后又回到與原來相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度數(shù)是（）A．160° B．150° C．140° D．130°【答案】D【解答】解：∵公路兩次轉彎后又回到與原來相同的方向，∴AC∥BD，∴∠B＝∠A＝130°．故選：D．【變式41】（2023春?雞西期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°．第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，求∠C的度數(shù)（）A．160° B．150° C．140° D．135°【答案】A【解答】解：如圖，延長AB，交DC延長線于點E，由題意得，AF∥DE，∴∠A＝∠E＝130°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴∠BCD＝∠CBE+∠E＝30°+130°＝160°．故選：A．【變式42】（2023春?西安期末）如圖是自來水公司安裝的一條自來水管道，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，∠BCD等于（）A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】B【解答】解：過C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠BCF＝∠ABC＝80°，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠CDE＝140°，∴∠DCF＝40°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝40°．故選：B．【變式43】（2023春?渠縣校級期末）如圖是中國機器人創(chuàng)意設計大賽中一參賽隊員設計的機器人比賽時行走的路徑；機器人從A點出發(fā)，到達B點，第一次拐的∠B是140°，第二次拐的∠C是100°，第三次拐的角是∠D，這時機器人行走的路徑恰好和出發(fā)時行走的路徑平行，那么∠D的度數(shù)是（）A．100° B．120° C．140° D．90°【答案】B【解答】解：過點C作FC∥AB，由題意可得：AB∥FC∥ED，則∠B+∠1＝180°，∠2+∠D＝180°，故∠B+∠1+∠2+∠D＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°，則∠D＝360°﹣140°﹣100°＝120°．故選：B．【題型5利用平行線的判定與性質的綜合】【典例5】（2023秋?市期末）如圖，已知∠BAD＝∠BDA，AD平分∠BDC．（1）求證：AB∥CD；（2）若AD⊥AC，∠C＝70°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）證明見解答過程；（2）140°．【解答】（1）證明：∵AD平分∠BDC，∴∠BDA＝∠ADC，∵∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝∠ADC，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠BDC＝180°，∵AD⊥AC，∠C＝70°，∠BAD＝∠BDA，∴∠BAD＝180°﹣70°﹣90°＝20°，∴∠BDC＝2∠BDA＝2∠BAD＝40°，∴∠B＝180°﹣∠BDC＝180°﹣40°＝140°．【變式51】（2022秋?汝州市期末）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．（1）請說明：AB∥CD；（2）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵∠CED＝∠GHD，∴CE∥GF，∴∠C＝∠FGD，又∵∠C＝∠EFG，∴∠FGD＝∠EFG，∴AB∥CD；（2）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，∴∠CGF＝∠GHD+∠D＝80°+30°＝110°，又∵CE∥GF，∴∠C+∠CGF＝180°，∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠C＝70°，∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．【變式52】（2023春?石城縣期末）如圖，已知∠ABC＝180°﹣∠A，BD⊥CD于D，EF⊥CD于E．（1）求證：AD∥BC；（2）若∠ADB＝36°，求∠EFC的度數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】（1）證明：∵∠ABC＝180°﹣∠A，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC，∠ADB＝36°，∴∠DBC＝∠ADB＝36°，∵BD⊥CD，EF⊥CD，∴BD∥EF，∴∠DBC＝∠EFC＝36°【變式53】（2023秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）AD與EC平行嗎？請說明理由．（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于點A，∠1＝76°，求∠FAB的度數(shù)．【答案】（1）AD與EC平行，理由見解析；（2）∠FAB＝52°．【解答】（1）AD與EC平行，證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2＝∠ADC（兩直線平行，內錯角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°（等量代換），∴AD∥CE（同旁內角互補，兩直線平行）；（2）解：∵∠1＝∠BDC，∠1＝76°，∴∠BDC＝76°，∵DA平分∠BDC，∴∠ADC＝∠BDC＝38°（角平分線定義），∴∠2＝∠ADC＝38°（已證），又∵DA⊥FA，AD∥CE，∴CE⊥AE，∴∠AEC＝90°（垂直定義），∵AD∥CE（已證），∴∠FAD＝∠AEC＝90°（兩直線平行，同位角相等），∴∠FAB＝∠FAD﹣∠2＝90°﹣38°＝52°．考點2：尺規(guī)作線段和角1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。即：1、作一條線段等于已知線段。2、作一個角等于已知角【典例6】（2023秋?青龍縣期中）下列作圖語句正確的是（）A．作射線AB，使AB＝a B．作∠AOB＝∠a C．延長直線AB到點C，使AC＝BC D．以點O為圓心作弧【答案】B【解答】解：A、射線是不可度量的，故選項錯誤；B、正確；C、直線是向兩方無線延伸的，故選項錯誤；D、需要說明半徑的長，故選項錯誤．故選：B．【變式61】（2022秋?寧明縣期末）下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）A．延長射線AB到D B．以點D為圓心，任意長為半徑畫弧 C．作直線AB＝3cm D．延長線段AB至C，使AC＝BC【答案】B【解答】解：A．根據(jù)射線AB是從A向B無限延伸，故延長射線AB到D是錯誤的；B．根據(jù)圓心和半徑長即可確定弧線的形狀，故以點D為圓心，任意長為半徑畫弧是正確的；C．根據(jù)直線的長度無法測量，故作直線AB＝3cm是錯誤的；D．延長線段AB至C，則AC＞BC，故使AC＝BC是錯誤的；故選：B．【變式62】（2023春?環(huán)翠區(qū)期末）下列關于幾何畫圖的語句，正確的是（）A．延長射線AB到點C，使BC＝2AB B．延長線段AB到點C，使AC＝BC C．反向延長射線BC D．連接B、C，使BC＝5cm【答案】C【解答】解：A．延長射線AB到點C，使BC＝2AB，因為射線AB不能延長，所以A選項錯誤，不符合題意；B．延長線段AB到點C，得到AC＝AB+BC，即AC＞BC，所以B選項錯誤，不符合題意；C．反向延長射線BC，C選項正確，符合題意；D．連接B、C，則BC不一定是5cm．所以D選項錯誤，不符合題意．故選：C．【變式63】（2022春?萊陽市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，分別交AB，AC于點D，E，再分別以點D，E，為圓心，以大于DE的長度為半徑作弧，兩弧交于點F，作射線AF交BC于點G，若AB＝12，CG＝3，則△ABG的面積是（）A．12 B．18 C．24 D．36【答案】B【解答】解：過點G作GH⊥AB于點H，根據(jù)題意得，AF是∠CAB的角平分線，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故選：B．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?道里區(qū)校級期中）如圖，直線a∥b，若∠1＝50°，則∠2是（）A．150° B．155° C．130° D．140°【答案】C【解答】解：∵直線a∥b，∠1＝50°，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130°．故選：C．2．（2023春?寧明縣期末）如圖，若m∥n，∠1＝105°，則∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．75°【答案】D【解答】解：∵m∥n，∴∠1+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），而∠1＝105°，∴∠2＝180°﹣105°＝75°．故選：D．3．（2023?棗莊二模）把一副三角板按如圖所示擺放，使FD∥BC，點E恰好落在CB的延長線上，則∠BDE的大小為（）A．10° B．15° C．25° D．30°【答案】B【解答】解：∵FD∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝60°，又∵∠FDE＝45°，∴∠BDE＝60°﹣45°＝15°，故選：B．4．（2023春?碭山縣校級期中）下列作圖屬于尺規(guī)作圖的是（）A．用量角器畫出∠AOB，使∠AOB＝60° B．借助沒有刻度的直尺和圓規(guī)作∠AOB，使∠AOB＝2∠α C．用三角尺畫MN＝1.5cm D．用三角尺過點P作AB的垂線【答案】B【解答】解：尺規(guī)作圖是指：只利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)進行作圖，故選：B．5．（2023春?衢江區(qū)期中）如圖，將一張長方形紙條折疊，如果∠1＝125°，則∠2＝（）A．110° B．130° C．150° D．80°【答案】A【解答】解：∵長方形紙條對邊互相平行，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°，由折疊的性質得，∠3＝∠4，∵長方形紙條對邊互相平行，∴∠2＝∠3+∠4＝55°+55°＝110°．故選：A．6．（2023春?溫州月考）如圖，a∥b，Rt△ABC的直角頂點C在直線b上，若∠A＝40°，∠2＝26°，則∠1等于（）A．26° B．25° C．24° D．23°【答案】C【解答】解：過B作BD∥a，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠CBD＝∠2＝26°，∠1＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝24°，∴∠1＝24°．故選：C．7．（2023秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，AF是∠BAC的角平分線，DF∥AC，若∠BDF＝60°，則∠1的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【解答】解：∵AF是∠BAC的角平分線，∴∠BAF＝∠CAF，∵DF∥AC，∴∠DFA＝∠CAF，∴∠BAF＝∠DFA，∵∠BDF＝60°，∴∠DFA＝∠1＝30°．故選：C．8．（2023?廣陵區(qū)二模）如圖，AB∥CD，∠A＝100°，∠BCD＝50°，∠ACB的度數(shù)為（）A．25° B．30° C．45° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝100°．∴∠A+∠ACD＝180°．∴∠ACD＝80°．∵∠BCD＝50°．∴∠ACB＝∠ACD﹣BCD＝30°．故選：B．9．（2023秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）如圖，直線AB∥CD，一個含60°角的直角三角板EFG（∠E＝60°）的直角頂點F在直線AB上，斜邊EG與AB相交于點H，CD與FG相交于點M，若∠AHG＝49°，則∠FMD等于（）A．49° B．39° C．29° D．19°【答案】D【解答】解：∵∠AHG＝49°，∴∠EHF＝∠AHG＝49°（對頂角相等），在△EFH中，∠EFH＝180°﹣60°﹣49°＝71°，∴∠AFM＝∠EFG﹣∠EFH＝90°﹣71°＝19°，∵AB∥CD，∴∠FMD＝∠AFM＝19°．故選：D．10．（2023秋?西平縣月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，點D為線段AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊后，點B落在點E處，且CE∥AB，則∠ACD的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【解答】解：∵∠B＝50°，CE∥AB，∴∠BCE＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，由折疊可知，∠BCD＝∠ECD＝＝65°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝25°．故選：C．二．填空題（共5小題）11．（2022秋?牡丹區(qū)期末）如圖，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠A＝110°，則∠AEC＝35°．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝35°，∴∠AEC＝∠DCE＝35°；故答案為：35．12．（2022秋?普寧市期末）把一張長方形的紙按上圖那樣折疊后，B、D兩點落在B′、D′處，若∠OGC＝50°，則∠CGD'的度數(shù)為80°．【答案】80°．【解答】解：由題意可知，∠OGC＝∠BOG＝∠B′OG＝50°，B′O∥D′G，∴∠OBG＝∠CGD′＝180°﹣50°﹣50°＝80°．故答案為：80°．13．（2023?鄒城市一模）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的∠A＝120°，第二次拐的∠B＝150°，第三次拐的∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C＝150°．【答案】150°．【解答】解：過點B作BD∥AE，由已知可得：AE∥CF，∴AE∥BD∥CF，∴∠ABD＝∠A＝120°，∠CBD+∠C＝180°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣120°＝30°，∴∠C＝180°﹣∠CBD＝180°﹣30°＝150°．故答案為：150°．14．（2022秋?林甸縣期末）如圖，AB∥CD，點O在AB與CD之間，∠AOC＝75°，∠C＝28°，則∠A＝47°．【答案】47．【解答】解：如圖，過點O作OE∥AB，∵OE∥AB，AB∥CD，∴CD∥OE，∵∠C＝28°，∴∠COE＝28°，∵∠AOC＝75°，∴∠AOE＝75°﹣28°＝47°，∵OE∥AB，∴∠A＝47°，故答案為：47．15．（2023秋?廣平縣期中）如圖所示，一副三角尺擺放置在矩形紙片的內部，三角形的三個頂點恰好在矩形的邊上，若∠FGC＝16°，則