1.3 解直角三角形（7大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第1章解直角三角形1.3解直角三角形（7大題型）分層練習(xí)考查題型一解直角三角形的相關(guān)應(yīng)用1．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊中，點(diǎn)E在邊上自A向C運(yùn)動，點(diǎn)F在邊上自C向B運(yùn)動，且運(yùn)動速度相同，連接交于點(diǎn)P，連接，在運(yùn)動過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)A作于A，作于，連接，交于，證明，得，再證明，可得，確定點(diǎn)的運(yùn)動路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，再由弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于A，作于，連接，交于，是等邊三角形，，，，，，，是的垂直平分線，，在中，，，，，，，，，，點(diǎn)的運(yùn)動路徑是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的弧，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑長為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，扇形的面積，動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡等知識，確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解本題的關(guān)鍵．2．（21·22下·武漢·一模）如圖，已知D為等腰的腰上一點(diǎn)，繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，M為的中點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，．

【答案】/0.25【分析】連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，推出，則，根據(jù)三角形的中位線定理可得，通過證明，可推出，得出，即可求解．【詳解】解：連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，∵繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，∴，，則，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)D為中點(diǎn)，∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，則，∵，，，∴，∴，∴，即，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等，相似三角性質(zhì)對應(yīng)邊成比例．3．（21·22下·蕪湖·自主招生）如圖所示，已知，且與的距離為2，與的距離為1，正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在，，上，則．

【答案】【分析】作于．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過作的垂線．顯然有為等邊三角形，，都是有一個(gè)角為30°的直角三角形，所以．勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖所示作于則，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，過作的垂線，交分別于點(diǎn)，

∴為等邊三角形，則∴∵，∴∴，∴，∵，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考查題型二解非直角三角形1．（2019上·成都·期末）如圖，在等腰中，于點(diǎn)，則的值（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，易得，由可得，進(jìn)而用勾股定理分別將BD、BC長用AB表示出來，再根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，又∵，∴，在中，，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性質(zhì)和勾股定理以及三角函數(shù)的定義．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（23·24上·哈爾濱·階段練習(xí)）在中，若，，，則．【答案】1或13【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分高在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，分兩種情況討論：①當(dāng)在的外部時(shí)，如圖：

∵，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖：

同法可得：，∴；綜上：1或13；故答案為：1或13．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進(jìn)行求解．考查題型三構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長或面積1．（22·23下·益陽·期末）如圖，在四邊形中，，，，，則四邊形的面積為（

）

A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】連接AC，利用勾股定理求出AC，再根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示

，，，四邊形的面積為48故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形面積，解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會巧妙添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2022下·哈爾濱·開學(xué)考試）如圖，在矩形ABCD中，，，M是CD上的一點(diǎn)，將沿直線AM對折得到，若AN平分，則CN的長為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】過點(diǎn)N作CD的垂線交于點(diǎn)E，根據(jù)對折和平分線可以得到，再利用三角函數(shù)可以求出，，最后利用勾股定理可以求出CN的長．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)N作CD的垂線交于點(diǎn)E由折疊可知：，，∵AN平分∴∴∵∴，∴∴∵，∴∴，∴∴在中，由勾股定理可得：故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、解直角三角形以及勾股定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（22·23下·專題練習(xí)）如圖，在中，，，，則的長為，的面積為．【答案】【分析】過作，如圖所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面積公式代值求解即可得到．【詳解】解：過作，如圖所示：在中，，，，在中，，，即，，由勾股定理得；，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查解非直角三角形問題以及求三角形面積，涉及三角函數(shù)定義、勾股定理及三角形面積公式，熟練掌握解非直角三角形的方法是解決問題的關(guān)鍵．考查題型四仰角俯角問題1．（22·23下·日照·階段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延長交的延長線于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（21·22下·武漢·階段練習(xí)）如圖，在一場馬拉松比賽中，某人在大樓A處，測得起點(diǎn)拱門的頂部C的俯角為，底部D的俯角為，如果A處離地面的高度米，則起點(diǎn)拱門的高度為．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】6米【分析】作于，則四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：作于，則四邊形為矩形，

∴，，由題意得：，，∴為等腰直角三角形，，∴米，∴米，∵在中，，∴（米），∴（米），故答案為：6米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動，測量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，）

【答案】銅像的高度是；【分析】根據(jù)題意可得，從而求出，即可求解．【詳解】解：由題意得：，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴銅像的高度是；【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出．考查題型五方位角問題1．（23·24上·石家莊·階段練習(xí)）如圖，島位于島的正西方，兩島間的距離為海里，由島分別測得船位于南偏東和南偏西方向上，則船到島的距離為（）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】要求的長，需要構(gòu)造直角三角形，作輔助線，然后根據(jù)題目中的條件利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，

海里,，，，，，，，解得：海里，海里，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行解答．2．（22·23下·清遠(yuǎn)·三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔的處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的B處，這時(shí)，B處與燈塔P的距離為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，

在中，海里，，（海里），在中，，（海里），處與燈塔的距離為海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學(xué)?？计谀┤鐖D，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度航行，在A處測得島C在北偏東方向上，1小時(shí)后漁船航行到B處，測得島C在北偏東方向上，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．

(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？(3)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：、、）【答案】(1)10海里(2)有危險(xiǎn)(3)沒有危險(xiǎn)【分析】（1）過C作垂直，通過證明，即可求出的長；（2）求出點(diǎn)C到的距離是否大于9，如果大于9則無觸礁危險(xiǎn)，反之則有；（3）過點(diǎn)C作，首先求出，然后根據(jù)三角函數(shù)求出的長，進(jìn)而比較求解即可．【詳解】（1）過C作垂直，

為漁船向東航行到C道最短距離∵在A處測得島C在北偏東的∴又∵B處測得島C在北偏東，∴，，∴，∴（海里）；（2）∵，∴∴（海里）∴（海里）∵∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（3）如圖所示，過點(diǎn)C作，

根據(jù)題意可得，∴，即解得（海里）∵∴沒有危險(xiǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度得到，再通過三角函數(shù)計(jì)算出相關(guān)距離．考查題型六坡度坡比問題1．（22·23下·廣州·一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)處，垂直高度同時(shí)升高80米，那么山坡的坡度為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用勾股定理得出的長，進(jìn)而利用坡度的定義得出答案．【詳解】解：由題意可得：（米），則山坡的坡度為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．2．（22·23下·南充·階段練習(xí)）有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm．王詩嬑觀測到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm，則高圓柱的高度為多少cm

【答案】280【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，設(shè)，利用勾股定理求出和，得到，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長的比例，求出的長度，即可得到．【詳解】解：如圖，為高圓柱，為太陽光，為斜坡，為圓柱在斜坡上的影子，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，

由題意可得：，∵斜坡坡度，∴，∴設(shè)，在中，，解得：，∴，∴，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm，，可知四邊形為矩形，∴，

∴，∴，故高圓柱的高度為280cm．故答案為：280．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長之間的關(guān)系解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·浙江·模擬預(yù)測）某種電纜在空中架設(shè)時(shí)，兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀，現(xiàn)按操作要求，電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米．

(1)如圖1，若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱，求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度？(2)如圖2，若在一個(gè)坡度為的斜坡上，按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱．求這種情況下在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為多少米？【答案】(1)22米(2)米【分析】（1）由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40，代入函數(shù)表達(dá)式中可求得高度即可；（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為，直線的解析式為，設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸于F，交于G，則，由可求解．【詳解】（1）解：由題意，最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是40，則，（米），答：固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有22米的高度；（2）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)此時(shí)拋物線的解析式為，由于斜坡的坡度為，且米，∴米，而（米），∴；∵，，坐標(biāo)兩點(diǎn)分別代入解析式中，得，解得，∴，即，即拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；過點(diǎn)M作軸于F，交于G，∵坡度為，∴（米），∴（米），答：在豎直方向上，下垂的電纜與地面的最近距離為米．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用、坡度問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．考查題型七解直角三角形的其他應(yīng)用1．（2022春·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計(jì)算【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)秋千的繩索，得到，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)秋千的繩索，則，，，，，，這個(gè)秋千的繩索有尺．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·湖北武漢·九年級校考階段練習(xí)）如圖，某景區(qū)由游客中心A處通往百米觀景長廊有兩條棧道，且，現(xiàn)需要從游客中心A到觀景長廊加修一條棧道，則的最短長度為米．（結(jié)果精確到0.1，，）【答案】63.4【分析】根據(jù)題意可得當(dāng)時(shí)，最短，設(shè)，然后利用三角函數(shù)用x表示出，進(jìn)而構(gòu)建方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，最短，設(shè)，則在直角三角形中，∵，∴，在直角三角形中，∵，∴，∵，即，∴解得：米；故答案為：63.4．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西段（瓦盆窯——秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省的標(biāo)志性工程．主橋采用雙塔雙索面鋼—混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動支承，屬塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系．大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁．全長．圖2是從圖1引申出的平面圖．假設(shè)你站在橋上測得拉索與水平橋面的夾角是，拉索與水平橋面的夾角是，兩拉索頂端的距離為2米，兩拉索底端距離為128米，請求出索塔高的長．（結(jié)果精確到0.1米，）

【答案】109.8米【分析】設(shè)的長為x米，運(yùn)用三角函數(shù)表示出的長，列出等式算出，即可解答；【詳解】解：設(shè)的長為x米，在中，，（米），米，在中，米，米，，，解得：，米，（米），答：索塔BH的長約為109.8米．【點(diǎn)睛】該題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答該題的關(guān)鍵是能夠熟練地運(yùn)用三角函數(shù)列出等量關(guān)系式．1．（2023上·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)D，E在邊上，若，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由于是等邊三角形，還給出，所有考慮直接把轉(zhuǎn)移到一個(gè)直角三角形中求解，那么這個(gè)角度如何利用，恰好想到過點(diǎn)A作的垂線直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【詳解】∵是等邊三角形；∴；過點(diǎn)作的垂線，垂足為；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；在中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故選．

2．（2023上·江蘇南通·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，連結(jié)并延長至C，連結(jié)，若滿足，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)C作軸，垂足為D，通過解直角三角形可求得，根據(jù)已知易證，從而可得，，然后在中求出與的長，最后證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)C作軸，垂足為D，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了坐標(biāo)與圖形、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形中，，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B，D分別落在點(diǎn)，處，如果點(diǎn)，，C在同一條直線上，那么的值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、、，由題意可知，可設(shè)，則可知，，利用正切函數(shù)的定義可得關(guān)于的方程，可求得的值，再由正切函數(shù)的定義可求得答案．【詳解】解：如圖，

四邊形為矩形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，設(shè)，則，，、、在同一條直線上，且，，，即，解得或小于，不合題意，舍去，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正切函數(shù)的定義求得矩形的寬是解題的關(guān)鍵．4．（2022下·云南紅河·八年級統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長有幾？”詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步(每一步為五尺)，秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長？（

）

A．14尺 B．尺 C．15尺 D．無法計(jì)算【答案】B【分析】設(shè)這個(gè)秋千的繩索，得到，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)秋千的繩索，則，，，，，，這個(gè)秋千的繩索有尺．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達(dá)點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數(shù)據(jù)：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延長交的延長線于，作于，首先根據(jù)坡度求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交的延長線于，作于，

由題意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度約為米．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角、坡度坡角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2023上·河南周口·九年級統(tǒng)考期中）如圖，斜坡的坡度是，如果點(diǎn)B離地面的高度是3米，那么斜坡的長度是米．

【答案】【分析】先根據(jù)坡度的定義可得的長，再利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：∵斜坡的坡度是，∴，，∵點(diǎn)離地面的高度是3米，∴，解得（米），則斜坡的長度是（米），故答案為：．【點(diǎn)睛】7．（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某?！熬C合與實(shí)踐”小組采用無人機(jī)輔助的方法測量一座橋的長度．如圖，橋是水平并且筆直的，測量過程中，小組成員遙控?zé)o人機(jī)飛到橋的上方的點(diǎn)處懸停，此時(shí)測得橋兩端兩點(diǎn)的俯角分別為和，則橋的長度是（結(jié)果根據(jù)四舍五入法精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)）．

【答案】/95米【分析】根據(jù)俯角定義，過向作垂線，解直角三角形即可得到答案．【詳解】解：過作于，如圖所示：

測得橋兩端兩點(diǎn)的俯角分別為和，，，，在中，，，則，解得；在中，，，則，解得；，即橋的長度是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形求解是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高米，學(xué)生身高米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)處測得攝像頭的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)處測得攝像頭的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為．【答案】米【分析】由題意得米，分別在和中，利用三角函數(shù)求出、，可以得到段的長．【詳解】解：由題意得，米，米，在中，，米，在中，，米，米．故答案為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，利用仰角構(gòu)建直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．在構(gòu)建的兩個(gè)直角三角形中，分別利用兩個(gè)仰角的正切三角函數(shù)值，求得相應(yīng)直角邊的長．這里需要熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．9．（2023上·上海浦東新·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上．將沿著所在的直線翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊的延長線上．如果平分，那么的長度為．【答案】【分析】由翻折得出，再根據(jù)平分，得出，然后借助相似列出方程即可．【詳解】解：作于H，在紙片中，，由勾股定理得：，∵將沿翻折得，∴，∵平分，∴，∴，設(shè)，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了以直角三角形為背景的翻折問題，緊扣翻折前后對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等來解決問題，通過相似表示線段和列方程是解題本題的關(guān)鍵．10．（2022下·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對角線、相交于點(diǎn)O，．點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是對角線上一點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，證明為等邊三角形，推出，則，，進(jìn)而得出，當(dāng)點(diǎn)E、F、G在同一條直線上時(shí)，取最小值，證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，如圖，∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，．∵，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)E、F、G在同一條直線上時(shí)，取最小值，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，則，∵，∴，∴，∴，解得：，綜上：的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，找出．11．（2023上·上海松江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知梯形是一水庫攔水壩的橫斷面示意圖，壩頂寬米，壩高18米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，求壩底寬．【答案】米【分析】此題考查了坡度坡角問題．分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為點(diǎn)、，分別在中，在中根據(jù)坡度的定義即可求解．注意構(gòu)造直角三角形，并借助于解直角三角形的知識求解是關(guān)鍵．【詳解】解：分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為點(diǎn)、，根據(jù)題意，可知米，，，四邊形是矩形，米，在中，背水坡的坡度，，米，在中，迎水坡的坡度，米，米，答：壩底的長度為米．12．（2023上·河北邢臺·九年級?？计谥校┪覈谌斯ぶ悄芗夹g(shù)研究領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先地位，“中國制造”已向“中國智造”轉(zhuǎn)型，圖1是我國自行設(shè)計(jì)的一款智能手臂機(jī)器人，圖2是該型號手臂機(jī)器人處于工作狀態(tài)時(shí)的示意圖，是垂直于工作臺的移動基座，，為機(jī)械臂，，，，，過點(diǎn)C作直線垂直工作臺于點(diǎn)D，點(diǎn)A，B，C，D，O在同一平面內(nèi)．(1)求的度數(shù)．(2)求機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺的距離CD的長．（結(jié)果保留根號）【答案】(1)(2)機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺的距離的長為【分析】（1）分別延長，交于點(diǎn)P，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平行線的判定得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出結(jié)果即可；（2）過點(diǎn)B作直線，分別交直線，于點(diǎn)E，F(xiàn)，證明四邊形為矩形，根據(jù)三角形函數(shù)求出，，最后根據(jù)線段之間的關(guān)系求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：如圖、分別延長，交于點(diǎn)P．∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）解：如圖，過點(diǎn)B作直線，分別交直線，于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，，，，∴，，∴，∴．答：機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺的距離的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形函數(shù)的定義．13．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第四十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某地下停車庫入口的設(shè)計(jì)示意圖，已知，坡道的坡度，的長為7.2米，的長為0.4米．按規(guī)定，車庫坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人車輛是否能安全駛?cè)?，根?jù)所給數(shù)據(jù)，請確定該車庫入口的限高（即點(diǎn)D到的距離的值）．【答案】該車庫入口的限高為2.4米．【分析】由題意延長交于E，并根據(jù)坡度和坡角可得，過點(diǎn)D作于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出的長．【詳解】解：如圖：延長交于E，，∴，，，