（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練15 直線與圓-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題能力訓(xùn)練15直線與圓專題能力訓(xùn)練第36頁

一、能力突破訓(xùn)練1.已知圓E經(jīng)過三點A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x-322+y2=254 B.C.x-342+y2=2516 D.答案:C解析:因為圓心在x軸的正半軸上,排除B;代入點A(0,1),排除A,D.故選C.2.若直線x-2y-3=0與圓C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F兩點,則△ECF的面積為()A.32 B.25 C.355 答案:B解析:由題意知圓心坐標(biāo)為C(2,-3),半徑為r=3,則△ECF的高h(yuǎn)為圓心到直線的距離d=|2+2×3-3|1+(-2)2=5,底邊長為l=2r2-d2=23.已知直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]答案:A解析:設(shè)圓心到直線AB的距離d=|2+0+2|2=點P到直線AB的距離為d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又|AB|=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤64.已知實數(shù)a,b滿足a2+b2-4a+3=0,函數(shù)f(x)=asinx+bcosx+1的最大值記為φ(a,b),則φ(a,b)的最小值是()A.1 B.2 C.3+1 D.3答案:B解析:由題意知φ(a,b)=a2+b2+1,且a,b滿足a2+b2-4a+3=0,即點(a,b)在圓C:(a-2)2+b2=1上,圓C的圓心為(2,0),半徑為1,a2+b2表示圓C上的動點(a,b)到原點的距離,最小值為1,所以φ5.已知兩條直線l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,則a=.

答案:0或1解析:當(dāng)a=0時,l1⊥l2;當(dāng)a≠0時,由-1a·2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=6.已知圓(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點,且直線3x+4y+2=0與該圓相切,則該圓的方程為.

答案:(x-1)2+y2=1解析:因為拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為(1,0),所以a=1,b=0.又根據(jù)|3×1+4×0+2|32+42=7.(2019天津十二重點中學(xué)聯(lián)考(二))已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,且y軸和直線3x+4y+4=0均與圓C相切,則圓C的方程為.

答案:(x-2)2+y2=4解析:設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=a2(a>0).∵直線3x+4y+4=0與圓C相切,∴|3a+4|3故圓C的方程為(x-2)2+y2=4.8.已知P是拋物線y2=4x上的動點,過點P作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,N是圓(x-2)2+(y-5)2=1上的動點,則|PM|+|PN|的最小值是.

答案:26-1解析:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),圓(x-2)2+(y-5)2=1的圓心為C(2,5),根據(jù)拋物線的定義可知點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點的距離,進(jìn)而推斷出當(dāng)P,C,F三點共線時,點P到點C的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值為|FC|=(2-1)2+(5-09.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點O為圓心的圓與直線x-3y=4相切.(1)求圓O的方程;(2)若圓O上有兩點M,N關(guān)于直線x+2y=0對稱,且|MN|=23,求直線MN的方程;(3)設(shè)圓O與x軸相交于A,B兩點,若圓內(nèi)的動點P使|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,求PA·PB解:(1)依題意,圓O的半徑r等于原點O到直線x-3y=4的距離,即r=41+3=2.所以圓O的方程為x2+y2=4(2)由題意,可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0.則圓心O到直線MN的距離d=|m由垂徑定理,得m25+(3)2=22,即m=±所以直線MN的方程為2x-y+5=0或2x-y-5=0.(3)設(shè)P(x,y),由題意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比數(shù)列,得(x+2)2+即x2-y2=2.因為PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2且點P在圓O內(nèi),所以0≤由此得0≤y2<1.所以PA·PB的取值范圍為[-10.已知圓O:x2+y2=4,點A(3,0),以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O,記點B的軌跡為Γ.(1)求曲線Γ的方程;(2)直線AB交圓O于C,D兩點,當(dāng)B為CD的中點時,求直線AB的方程.解:(1)設(shè)AB的中點為M,切點為N,連接OM,MN,則|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4取點A關(guān)于y軸的對稱點A',連接A'B,則|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以點B的軌跡是以A',A為焦點,長軸長為4的橢圓.其中,a=2,c=3,b=1,故曲線Γ的方程為x24+y2=(2)連接OB.因為B為CD的中點,所以O(shè)B⊥CD,即OB⊥AB.設(shè)B(x0,y則x0(x0-3)+y02=又x024+y02=1,解得x0=則kOB=±22,kAB=?2則直線AB的方程為y=±2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.11.已知過點A(0,1),且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若OM·ON=12,其中O為坐標(biāo)原點,求解:(1)由題意可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2k解得4-73所以k的取值范圍為4-(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2,OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由題設(shè)可得4k(1+k)1+所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.二、思維提升訓(xùn)練12.在矩形ABCD中,|AB|=1,|AD|=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若AP=λAB+μAD,則λ+μ的最大值為()A.3 B.22 C.5 D.2答案:A解析:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,1),B(0,0),D(2,1).設(shè)P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC即圓的方程是(x-2)2+y2=45易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=λAB+μAD,得x=2μ所以λ+μ=12x-y+1設(shè)z=12x-y+1,即12x-y+1-z=因為點P(x,y)在圓(x-2)2+y2=45所以圓心C到直線12x-y+1-z=0的距離d≤r即|2-z所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故選A.13.已知直線k(x+1)+y+2=0恒過定點C,且以C為圓心,5為半徑的圓與直線3x+4y+1=0相交于A,B兩點,則弦AB的長為.

答案:221解析:由x+1=0,y+2=0,得x所以以C為圓心、5為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+2)2=25.圓心到直線3x+4y+1=0的距離d=|-3-則AB的長度為|AB|=225-4=214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是答案:[-52,1]解析:設(shè)P(x,y),由PA·PB≤20,得x2+y2+12x-6y把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20,得2x-y+5≤0.由2可得x=-5,y=-5或x=1,y=7.由215.已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.若|AB|=23,則|CD|=.

答案:4解析:因為|AB|=23,且圓的半徑R=23,所以圓心(0,0)到直線mx+y+3m-3=0的距離為R2-|由|3m-3|將其代入直線l的方程,得y=33x+23,即直線l的傾斜角為30°由平面幾何知識知在梯形ABDC中,|CD|=|AB|cos3016.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且|BC|=|OA|,求直線l的方程;(3)設(shè)點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得TA+TP=TQ解:圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心M(6,7),半徑為5.(1)由圓心N在直線x=6上,可設(shè)N(6,y0).因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0<y0<7,于是圓N的半徑為y0,從而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因為直線l∥OA,所以直線l的斜率為4-02設(shè)直線l的方程為y=2x+m,即2x-y+m=0,則圓心M到直線l的距離d=|2因為|BC|=|OA|=22+42而|MC|2=d2+|BC所以25=(m+5)25+5,解得故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).因為A(2,4),T(t,0),TA+所以x2因為點Q在圓M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②將①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,從而圓(x-6)2+(y-7)2=25與圓[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共點,所以5-5≤[(t+4)-解得2-221≤t≤2+221.因此,實數(shù)t的取值范圍是[2-221,2+221].17.已知以點Ct,2t(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O,A,與y軸交于點O,B,其中(1)求證:△AOB的面積為定值;(2)設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點M,N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程;(3)在(2)的條件下,設(shè)P,Q分別是直線l:x+y+2=0和圓C上的動點,求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標(biāo).(1)證明由題設(shè)知,圓C的方程為(x-t)2+y-2t2=t2+4t2,化簡,得x2-2tx+y2-4ty=0.當(dāng)y=0時,x=0或2t,則A(2t,0);當(dāng)x=0時,y=0或4t,則B0,4t,故S△AOB=12(2)解∵|OM|=|ON|,∴原點O在MN的中垂線上.設(shè)MN的中點為H,則CH⊥MN,∴C,H,O三點共線,則直線OC的斜率k=2t∴t=2或t=-2.∴圓心為C(2,1)或(-2,-1),∴圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=