四川省九市聯(lián)考（雅安眉山資陽遂寧廣安廣元自貢內(nèi)江樂山）高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（文）試題

遂寧市高2023屆第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（文史類）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次不等式解法求出集合A，再根據(jù)集合交集運算即可得到答案．【詳解】，，故．故選：C．2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算法則即可計算.【詳解】.故選：A.3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動鄉(xiāng)村經(jīng)濟發(fā)展，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗區(qū)種植了某農(nóng)作物．為了解該品種農(nóng)作物長勢，在實驗區(qū)隨機選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測量，其高度（單位：cm）均在區(qū)間內(nèi)，按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”．則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為（）A.20 B.40 C.60 D.88【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計算出“優(yōu)質(zhì)苗”的占比,再乘以100可得結(jié)果【詳解】由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質(zhì)苗”的占比為，因此，所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為.故選：C.4.已知，，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角的正弦、余弦公式代入化簡即可得出答案.【詳解】由可得：，則，因為，所以，所以，則.故選：B.5.過直線：上的點作圓：的切線，則切線段長的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系表示出切線段長度，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出其最小值．【詳解】設(shè)直線上任意一點為P，過P作圓的切線，切點為M，圓C圓心C為，半徑，則，要使最小，則最小，易知最小值為圓心C到直線l的距離．即，∴．故選：B．6.數(shù)學(xué)與音樂有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合音．如圖為某段樂音的圖像，則該段樂音對應(yīng)的函數(shù)解析式可以為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圖像可知，該函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇偶函數(shù)的定義，得出A，B為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像中，判斷出A對，B錯；由圖像得，判斷出C，D錯誤，即可得出答案．【詳解】對于A，函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，故A正確；對于B，函數(shù)，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，又，故B錯誤；對于C，函數(shù)，因為，故C錯誤；對于D，函數(shù)，，故D錯誤，故選：A．7.已知函數(shù)，則（）A.有2個極大值點 B.有1個極大值點和1個極小值點C.有2個極小值點 D.有且僅有一個極值點【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值點的定義即可得解.【詳解】，因為（當且僅當時取等號），則當時，，當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極小值點為，沒有極大值點，即函數(shù)有且僅有一個極值點.故選：D.8.將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)可以是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】現(xiàn)利用輔助角公式將f(x)化簡，再根據(jù)函數(shù)圖象左右平移即可求出新的函數(shù)解析式．【詳解】，將函數(shù)的圖象上的所有點向右平移個單位長度，得到函數(shù)．故選：D．9.已知四棱柱的底面是正方形，，，點在底面ABCD的射影為BC中點H，則點到平面ABCD的距離為()A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】求出，根據(jù)∥平面ABCD即可得點到平面ABCD的距離．【詳解】如圖，連接，則⊥平面ABCD，且，由題可知∥，又∵平面ABCD，平面ABCD，∴∥平面ABCD，∴點到平面ABCD的距離與點到平面ABCD的距離相等．故選：B．10.已知定點，直線：與拋物線交于兩點A，B，若，則()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】設(shè)，聯(lián)立直線l與拋物線的方程，求得，，，由可得，從而可求k的值，根據(jù)弦長公式即可求．【詳解】設(shè)，，由題知，，故，則，由，即，即，解得，則，則．故選：C．11.在中，，，為的中點，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】推導(dǎo)出平面，計算出的外接圓的直徑，可得出三棱錐的外接球直徑為，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.翻折前，在中，，，為的中點，則，且，翻折后，則有，，又因為，、平面，所以，平面，由已知，則是邊長為的等邊三角形，將三棱錐置于圓柱上，使得的外接圓為圓，所以，的外接圓直徑為，所以，三棱錐的外接球直徑為，則，因此，三棱錐的外接球表面積為.故選：C.12.已知函數(shù).若過點可以作曲線三條切線，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】切點為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，設(shè)切線為：，可得，設(shè)，求，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點的個數(shù)，結(jié)合圖象即可得出答案.【詳解】設(shè)切點為，由可得，所以在點處的切線的斜率為，所以在點處的切線為：，因為切線過點，所以，即，即這個方程有三個不等根即可，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點的個數(shù)，設(shè)，則由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當趨近于正無窮，趨近于0，當趨近于負無窮，趨近于正無窮，的圖象如下圖，且，要使與的圖象有三個交點，則.則的取值范圍是:.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線，則離心率為___________.【答案】##【解析】【分析】求出、、的值，即可得出雙曲線的離心率的值.【詳解】在雙曲線中，，，，因此，雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知，，，則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】先求出向量的坐標，再利用模的坐標運算列方程求解即可.【詳解】由已知得，，，解得.故答案為：.15.中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則面積的最大值為___________.【答案】##【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即可得出面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得，所以，，因為、，則，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，則.當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為.故答案為：.16.《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側(cè)的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內(nèi)隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則___________.【答案】##【解析】【分析】通過計算三個半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計算公式即可得出答案.【詳解】解：陰影部分面積為：由圖可知：，所以則，因為在半圓О內(nèi)隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，所以，，即，則解得：，因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某商店銷售某種產(chǎn)品，為了解客戶對該產(chǎn)品的評價，現(xiàn)隨機調(diào)查了200名客戶，其評價結(jié)果為“一般”或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：一般良好合計男20100120女305080合計50150200（1）通過計算判斷，有沒有99%的把握認為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系？（2）利用樣本數(shù)據(jù)，在評價結(jié)果為“良好”的客戶中，按照性別用分層抽樣的方法抽取了6名客戶.若從這6名客戶中隨機選擇2名進行訪談，求所抽取的2名客戶中至少有1名女性的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.【答案】（1）有99%的把握認為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算出的值，對比附表數(shù)據(jù)，然后作出判斷；（2）先根據(jù)分層抽樣計算出男、女客戶并對男女生進行標記，列出“從名學(xué)生中隨機抽取名”的所有基本事件，分析滿足“抽取的兩名客戶中至少有名女性”的基本事件，根據(jù)基本事件數(shù)之比求解出對應(yīng)概率.【小問1詳解】，有99%的把握認為客戶對該產(chǎn)品的評價結(jié)果與性別有關(guān)系.【小問2詳解】因為“效果較好”的男客戶和女客戶的人數(shù)之比為，即為，所以抽取的名客戶中，男生有名，記為，，，，女生有名，記為，，從這人中選取人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個.其中至少一名女生的基本事件有：，，，，，，，，，共9個.所以，抽取的名客戶中至少有名女性的概率為.18.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其前3項的和為12，是公比大于0的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列通項公式直接求解；（2）利用裂項相消和等比數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，公比為，則由題可得數(shù)列的前3項的和，因為，所以，所以，又因為，所以解得或（舍），所以.【小問2詳解】由（1）可知，，所以的前項和為：.所以19.如圖，在三棱錐中，H為的內(nèi)心，直線AH與BC交于M，，.（1）證明：平面平面ABC；（2）若，，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)平面ABC于點N，過N作于E，于F，連接PE，PF，通過全等三角形及角平分線性質(zhì)可證N與H重合，從而可證平面平面ABC；（2）由（1）知平面ABC，且由已知可求長度，再由角平分線性質(zhì)可求面積，從而可求三棱錐的體積．【小問1詳解】如圖，設(shè)平面ABC于點N，過N作于E，于F，連接PE，PF．∵平面ABC，平面ABC∴又∵∴平面PNE∴，同理在，中，，∴∴在，中，，∴，∴，即N到AB，AC的距離相等同理N到BC，AC距離相等，故N為的內(nèi)心，N與H重合∴平面ABC又∵平面APM∴平面平面ABC【小問2詳解】由已知可得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，故，因為H為的內(nèi)心，所以AH平分，所以，，所以，，故的面積為，因為，所以，所以，得，所以，，故三棱錐的體積為．20.已知橢圓：經(jīng)過，兩點，M，N是橢圓上異于T的兩動點，且，直線AM，AN的斜率均存在.并分別記為，.（1）求證：為常數(shù)；（2）證明直線MN過定點.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓過A和T求出橢圓的標準方程.根據(jù)知與關(guān)于直線AT對稱，設(shè)任一點為，求出其關(guān)于AT對稱后的點的坐標，表示出即可證明；（2）設(shè)點，：．聯(lián)立AM和橢圓方程，求出，同理求出，根據(jù)（1）中的值得AM和AN斜率關(guān)系.求出MN的斜率，寫出MN的方程，化簡該方程為直線方程的斜截式即可判斷其經(jīng)過定點．【小問1詳解】∵橢圓過A和T，∴解得，∴橢圓的方程為：，由知與關(guān)于直線對稱．在上任取一點，設(shè)關(guān)于直線AT對稱的點為，則，解得，從而，于是．【小問2詳解】設(shè)點，：．由得，∴，從而．同理，．由(1)有，故，，為方便，記，則，，∴，即．由此可知，當變化時，直線過定點．【點睛】本題綜合考察圓錐曲線里面的定值和定點問題.第一問關(guān)鍵是將這個已知條件轉(zhuǎn)化為直線AM和直線AN關(guān)于直線AT對稱；第二問的關(guān)鍵是結(jié)合韋達定理直接求出M和N的坐標，直接寫出MN的方程，從而證明其經(jīng)過定點．21已知函數(shù)有兩個極值點、.（1）求的取值范圍；（2）若時，不等式恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合極值點的定義檢驗即可；（2）由已知可得出，，將這兩個等式相除可得，變形可得，再由可得，令，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得出實數(shù)的最小值.【小問1詳解】解：因為，該函數(shù)的定義域為，且，因為函數(shù)有兩個極值點，所以，方程有兩個不等的實數(shù)根，則方程有兩個不等的實根，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，且當時，；當時，.如下圖所示：由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，且交點橫坐標為、，當或時，；當時，.此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意，因此，實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】證明：由（1）可知，函數(shù)的兩個極值點、是方程的兩個根，且，，則有，，等式與等式相除可得，則有，由可得，即，即，因為，則，令，則，可得，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，，則.因此，實數(shù)的最小值為.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出